《高等数学二》期末复习题及答案
高等数学2期末复习题与答案
《高等数学》2期末复习题一、填空题:1、函数得定义域就是 1≦X^2+Y^2<3 、2、设则、3、函数在点得全微分4.设则、设则、5、设而则6.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,)得方向导数就是7、改换积分次序 ; 、8.若L就是抛物线上从点A到点B得一段弧,则=9、微分方程得通解为、二、选择题:1. 等于 ( )(上下求导)A.2, B、 C、0 D、不存在2.函数得定义域就是( D )A. B、C、 D.3、 ( B )A、 B、C、 D、5、设,且F具有导数,则(D )A、;B、;C、 ;D、、6.曲线 ,,,在处得切向量就是 ( D )A. B、 C、 D、7.对于函数 ,原点 ( A )A.就是驻点但不就是极值点 B、不就是驻点 C、就是极大值点 D、就是极小值点8.设I=, 其中D就是圆环所确定得闭区域,则必有( )A.I大于零 B、I小于零 C、I等于零 D、I不等于零,但符号不能确定。
9、已知L就是平面上不包含原点得任意闭曲线,若曲线积分,则a等于( )、A -1B 1C 2D -210.若L为连接及两点得直线段,则曲线积分=( )A.0 B、1 C、 D、211、设D为则( )A、;B、 ;C、 ;D、、12、微分方程得通解为( )A、;B、;C、;D、13、( )就是微分方程在初始条件下得特解、A、;B、;C、;D、、三、计算题:1、设,求及,其中f 具有一阶连续偏导数、2．设, 求 ,3．求旋转抛物面在点处得切平面及法线方程。
4．求函数得极值5．计算,其中D就是由圆周及轴所围成得右半闭区域、6．计算,其中D就是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点得三角形闭区域、7、计算 ,其中就是三个坐标面与平面所围成得区域、8、计算 ,其中L为圆得正向边界。
9、计算曲线积分其中L就是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0)、10、验证:在整个面内,就是某个函数得全微分,并求出这样得一个函数、11、求微分方程得通解、12、求解微分方程得特解:13、解微分方程、四、应用题:1、用钢板制造一个容积为V得无盖长方形水池,应如何选择水池得长、宽、高才最省钢板、2、已知矩形得周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时得矩形面积、3、求抛物线所围成得闭区域得面积、4、求抛物面与锥面所围成得立体得体积、高等数学2期末复习题答案一、填空题:1、2、3、4、5、6、(注:方向导数)7、;8、(注:) 9、二、选择题:1、A;2、 D;3、 B;4、缺5、 D;6、 D;7、 A;8、 A;9、 A; 10、C;11、 C; 12、C; 13、D三、计算题:1、解:令,则2212sin 3sin 3x x z z u z v z z e y x e y f x f x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2212cos 3cos 3x x z z u z v z z e y y e y f y f y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2、 解:两方程分别两边对求偏导数,注意就是关于得二元函数,得即这就是以为未知量得二元线性方程组。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
《高等数学二》期末复习题及答案_28171462418361700
D
2 ,2t
x+y= 1
在第一象限内所围成的区域。
x= 0
14、（本题满分12分）一质点沿曲线＞，= /从点（0,0,0）移动到点
z = r
（0, 1, 1）,求在此过程中，力户=Jl + x*7-£ + 9所作的功W。
15、（本题满分10分）判别级数ynsin-的敛散性。
23、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则j(x+y)4s=
24、lim/x"=
(21。。)次+/ +1 _1
25、2=3,b=4,［与B的夹角是工，«')axb =2
26、已知三角形的顶点A(U,T),8(2J,0),C(0,0,2),则AABC的面积等于
27、点(2,3』)至1|点加2(274)的距离附|“［=
3、积分/=JJje4/b的值为x2+y2<4
4、若a,b为互相垂直的单位向量，则a b=
5、交换积分次序jjiZrJo /(x,yMy=
6、级数£(：+/)的和是
“1LJ
7、二一即=
Dxy,T)
8、二元函数z = sin(2x + 3y),则」=
9、设/(x, y)连续，交换积分次序J：八［J(x,y}dy=
11、B解：若级数£%收敛，由收敛的性质4G。三个选项依然是“■1
收敛的，而£(%+2)未必收敛，或者排除法选择B。/1.1
12、C解：二重积分|].f(#,y)d#dy的值与函数有关，与积分区域有关， 而与积分变量的字母表达没关系。
13、B解：利用平行向量对应的坐标成比例，Z=(84,-2),则
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
11级高数期末复习题答案
高等数学2期末复习题一参考解答一、 填空题：（共10小题，每小题2分，共20分） 1、12； 2、01(,)xdx f x y dy --⎰⎰； 3、2； 4、225y z x +=；5、1;6、(0，0),(1，1)；7、(),f x y 在点()00,x y 处偏导数存在且连续或()()00000,,lim0,x y z f x y x f x y yρρ→''∆-∆-∆=ρ=8、!)2(ln n n；9、3,11,2,3,(1)n n u n n n =⎧⎪=⎨=⎪-⎩1()n n n u S S -=-； 10、3512x xy C e C e -=+。
二、 单项选择：（共5小题，每小题2分，共10分） 1、D ； 2、C ； 3、A ； 4、A ； 5、B 。
三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分） 1、解 因为22211,1()z y xxyx yy ∂==∂++22221()1()z x x xyyx yy ∂-=-=∂++ ………6分所以22220xy xy z z xyxyx yx y∂∂+=-=∂∂++ ………7分2、解 由2y xy x=⎧⎨=⎩, 得交点(0,0),(1,1). ………1分2110sin x yxx x dy dx dx dyxx=⎰⎰⎰………5分112sin ()sin (1)x x x dx x x dxx=-=-⎰⎰………6分1sin 1=- ………7分3、解 方程可变形为()222111dx y x dyy y y +=++ ………2分所以方程的通解为()()()()222222ln 1ln 111221111y ydy dy y y y y x e e dy C e e dy C y y y y --++++⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥=+=+⎰⎰++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]22111ln 11dy C y C y y y ⎡⎤=+=+⎰⎢⎥++⎣⎦ ………6分将()11y =代入通解，得2C =。
高等数学Ⅱ复习题部分答案
一、单项选择题（共 86 题， 86 分）1、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 42、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 43、A、 0B、 2C、 3D、 1E、 44、A、 0B、 1C、 2D、 eE、 35、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 4 6、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 7、A、 ln3B、 ln2C、 0D、 1E、 2 8、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 9、A、 1-exB、 eC、 ex+eD、 0E、 110、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、连续且偏导存在D、既不连续偏导也不存在11、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 412、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 413、A、 1B、 2C、 3D、 4E、 014、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 e15、A、 0B、 2C、 3D、 4E、 116、A、 eB、 1C、 2D、 4E、 317、A、 ln3B、 ln2C、 1D、 2E、 318、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 419、A、 1-exB、 ex+eC、 eD、 0E、 120、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、既不连续偏导也不存在D、连续且偏导存在21、以下对于多元函数连续、偏导及可微说法正确的选项是（）A、若可微，则偏导存在B、若连续，则偏导存在C、若偏导存在，则连续D、若偏导存在，则可微22、A、B、C、D、23、A、 dx+2dy+dzB、 dx+dy+dzC、 2dx+dy+dzD、 2dx+2dy+dz24、A、 1B、 -1C、 0D、 225、A、B、C、D、26、设 u=cos(xy), 则 du=( ).A、 -cos(xy)(ydx+xdy)B、 -sin(xy)(ydx+xdy)C、 cos(xy)(ydx+xdy)D、 sin(xy)(ydx+xdy)27、A、 2B、 4C、 -2D、 128、A、 2B、 0C、 1D、 329、A、 3B、 2C、 1D、 030、A、B、C、 yD、31、A、B、C、D、32、A、 2x+2y-z=0B、 2x+2y-z-1=0C、 2x+2y-z-2=0D、 2x+y-z-2=033、A、必需条件但非充足条件B、充足条件但非必需条件C、既非必需条件也非充足条件D、充要条件34、A、 4B、 8C、 6D、 1035、A、 x+y-8z=116B、 x-y-8z=120C、 x-y+8z=110D、 x+y+8z=14036、A、 2B、 1C、 3D、 437、A、 4,0B、 1,2C、 0,4D、 2,138、A、 -2B、 2C、 -4D、 439、A、 (1,1)B、 (1,2)C、 (1,-1)D、 (2,1)40、A、 1B、 2C、 0D、 341、A、 3B、 6C、 9D、 042、A、 1+sin1B、 1-cos1C、 1-sin1D、 043、A、 4B、 5C、 -4D、 -544、A、 2B、 3C、 1D、 445、A、 3SB、 2SC、 SD、 4S46、A、 2B、 3C、 1D、 047、A、 2B、 1C、 0D、 448、A、 1B、 0C、 2D、 -149、A、大于0B、等于0C、没法确立50、A、B、C、 0D、 151、A、 1B、 2C、 3D、 052、A、 aB、 abcC、 bD、 053、A、 22 πB、 21 πC、 20 πD、 25 π54、A、 2 πB、 4 πC、 0D、 8 π55、B、π/2C、 0D、 256、A、 13/9B、 14/9C、 1D、 057、A、 0B、C、 2D、 158、A、 2 πB、 4 πC、πD、 3 π59、A、 2B、 1C、 0D、 360、A、B、C、D、61、A、 4B、 16C、 8D、 1062、A、 3B、 1C、 0D、 463、A、I=JB、I<JC、I>JD、没法判断I,J大小64、A、4πB、0C、2D、2π65、B、4πC、2D、2π66、A、-2B、4C、-4D、267、A、πB、2πC、π/2D、4π68、A、10B、8C、-8D、-1069、A、1B、2C、470、A、dxB、dx+dyC、-dyD、dy71、A、（0,0）不是函数的极小值点B、（0,0）是函数的极大值点C、(0,0)是函数的极小值点D、（0,0）不是函数的极值点72、A、{4,4,8}B、{2,4,4}C、{4,4,12}D、{2,2,4}73、A、B、C、D、74、A、B、2C、/2D、175、A、B、C、D、76、A、连续B、极限不存在C、极限存在但不连续D、没有定义77、A、 0B、1C、 2D、 378、A、1B、2C、-2D、079、A、1B、-1C、2D、 380、A、48πB、16πC、24πD、π81、A、B、C、D、82、A、0B、1C、2D、383、A、B、C、D、84、A、e+1B、e-1C、-e-1D、e85、设 C 为一条平面闭曲线，方向为逆时针，则下边可表示所围地区 D 面积的是( )A、B、C、D、86、A、B、C、D、二、判断题（共 18 题， 18 分）1、√2、×3、√4、5、能否正确？√6、质心与形心两个观点没有任何差别.7、8、9、偏导存在且连续能够推出函数可微√10、计算空间体的体积只有二重积分和三重积分两种方法，其余种类的积分不可以办理体积的问题 .×11、二元函数在某点极值存在，且该点处偏导存在，则偏导数必定为零.12、二元函数在开地区内部假如只有一个极值点，则该极值点为最值点.13、二元函数在某点极限存在当且仅当沿任何方向随意路径趋近于该点处极限均存在且相等.14、偏导存在能推出连续，连续不可以推出偏导存在×15、二重积分的几何意义是曲顶柱体体积的代数和. √16、质心与形心两个观点是有所不一样的. √17、方导游数是一个数，梯度是一个向量√18、×19、函数 f(x,y,z)在有界闭区Ω 上连续时，f(x,y,z)在Ω 三重积分必存在。
高数2-期末试题及答案
北京理工大学珠海学院2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 2234ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 223x xy y ++.则 2u x y ∂∂∂ =分析：u x∂∂ = 22x y +, 则2u x y ∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y∂∂ 12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ， 则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =-则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Qx∂=-∂，1P y ∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此1130xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
高等数学II试卷及答案
06/07试卷（B ） （本试卷共 4 页）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→= 。
(A)不存在(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为4、 级数 ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1c o s 11n n n α （常数0>α）在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。
（要求：必须画出积分区域的图形）五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ） 1、（7分）判别级数∑∞=+1)]1[ln(1n n n 的敛散性。
2、（8分 ）求幂级数∑∞=+11n n nx的收敛域及和函数.六、解答下列各题（本大题共 3小题，总计 19分 ）1、（5分）求微分方程0)()(7='+''t x t x 的通解。
2、（7分） 求微分方程024)12(=+-'+-y e y x 的通解。
3、（7分）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅++++++-=+∞→)!1(!3!21)1(lim 122n x x x x x y n n试证明y 是初始值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+==0d d 0x y y x x y 的解。
《高等数学Ⅱ》期末考试参考答案及评分标准三. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在大题末的表格中）（本大题共 6 小题，1、[]2222)()(),(),,(xy y x y x y x f f ++=ϕ。
2、312221-=-=-z y x 3、y =4、1[-1、 z x2、 n cos α(((,1,2,1,2,1,2z u y u x u ∂∂∂∂∂∂=n u ∂∂四、1、解 2⎰⎰D x412π= 7分 2、解=7 五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ）1、解法1 记[]0)1ln(1>+=n nn u 有（3分） 而()02ln 1lim =+∞→n n ，故10lim 1<=+∞→nn n u u （5分） 由比值判别法，原级数[]∑∞=+1)1ln(1n n n 收敛。
高数2 期末复习题
高等数学Ⅱ期末复习题一、单项选择题1、下列函数中是奇函数的是（）A 、()1sin f x x =+B 、)xC 、()arccos f x x =D 、1cos xx +2、设11)(+=x x f ，则))((x f f =（ ） A 、11++x x B 、x x +1 C 、21x x++ D 、x +11 3、当0x →时，下列函数哪个是x 的高阶无穷小量（ ）A 、sin 2x x +B 、tan sin x x -C 、2sin x x + D 、cos()2x π+4、当0x →时，下列函数哪个不是x 的同阶无穷小量（ ）A 、tan sin 2x x +B 、21xe- C 1 D 、1cos3x -5、下列式子不正确的是（ ）A 、0sin lim 1x x x →=B 、01lim sin 1x x x →=C 、10lim(1)x x x e →+=； D 、1lim (1)x x e x→∞+=6、当0x →时，下列函数哪个不是x 的等价无穷小量（ ）A 、sin 2tan x x -B 、1xe - C 、ln(1)x + D 、2(1cos )x - 7、2x =是函数1()arctan2f x x =-的 （ ） A 、连续点； B 、可去间断点； C 、跳跃间断点； D 、第二类间断点；8、sin 0( )xd dx =⎰ A 、cos cos x x B 、cos x C 、2cos x - D 、cos x9、设2x y xe -=的，则下列说法正确的是（ ）。
A 、12x =是极小值点； B 、12x =是极大值点； C 、12x =不是极值点； D 、12x =是拐点.10、 函数()f x =[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件的( )ξ=A 、 1/2B 、 1/3C 、 2/3D 、 3/4 11、设()f x 在0x x =处可导，则000()()limx f x f x x x∆→--∆∆等于（ ）A 、0 ()f x 'B 、0()f x '-C 、02()f x 'D 、0 ()f x '-12、设)()(x G x F '='，则（ ）A 、 ()()0F x G x -=B 、 ()()0F x G x +=C 、()()F x G x +为常数D 、 ()()F x G x - 为常数 13、函数2()x f x xe -=的下凸区间为A 、1(,)2-∞B 、1(,)2+∞ C 、(,1)-∞ D 、(1,)+∞. 14、设函数()f x 满足0()0f x '=，且()f x 在1x x =处不可导, 则（ ） A 、01x x x x ==和都是极值点 B 、只有0x x =是极值点C 、只有1x x =是极值点D 、01x x x x ==和都有可能不是极值15、1, 0,() 0 , 0.x f x xx >=⎪≤⎩, 则(0)f ='（ ） A 、0 B 、1 C 、-1D 、不存在16、设函数()f x 在0x 可导，则 02200()()lim x x f x f x x x →-=- （ ）A 、0()f x 'B 、0()f xC 、0D 、002()()f x f x '17、1sin , 0,() 0 , 0.x x f x xx α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处可导, 则（ ） A 、1α= B 、1α≥ C 、1α> D 、2α>18、极限()y x y x y x --→→sin lim11 （ ） A 、等于0 B 、等于1 C 、等于2 D 、不存在 19、设33()3f x xy x y =--+，则下列说法中正确的是（ ） A 、（0, 0）是极小值点； B 、（0, 0）是极大值点； C 、（1，-1）是极小值点； D 、（1, -1）是极大值点20、下列级数中发散的是A 、1n ∞= B 、13!n n n ∞=∑ C 、321n n ∞-=∑ D 、1n n ∞=21、设a 为常数，且0a >，则级数()111cos nn a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑（ ）A 、发散B 、条件收敛C 、绝对收敛D 、收敛性与α有关22. 级数1(1)ln(2)nn n ∞=-+∑ A 发散； B 绝对收敛； C 条件收敛； D 无法判断.23. 下列结论错误的是A 若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；B 若11n n u u +<，则正项级数1n n u ∞=∑收敛； C 若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；D1()nn n uv ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛.24. 下列说法正确的是： A 级数1nn x∞=∑收敛，则级数21nn x∞=∑也收敛. B 绝对收敛的级数一定收敛.C 级数1nn k u∞=∑和1nn u∞=∑同敛散. D 收敛级数去括弧后所成的级数一定收敛.25、微分方程yy x x'-=的通解为( ) A 、 2Cx x + B 、 2x x C ++ C 、 2x Cx + D 、2Cx x -26、曲线21xxe y =的渐近线的条数有A 、 0B 、 1C 、2D 、 3 27、方程ln 0x x +=实数根的个数是（ ） A 、0 个 B 、1个 C 、2个D 、3个28、已知2y z x =，则下列结论正确的是（ ）A 、220z z x y y x ∂∂->∂∂∂∂B 、220z z x y y x ∂∂-<∂∂∂∂C 、220z z x y y x ∂∂-≠∂∂∂∂D 、220z z x y y x∂∂-=∂∂∂∂29.改换1d (,)d y f x y x ⎰的次序，则下列结果正确的是 ( )(A) 11d (,)d x f x y y -⎰；(B)11d (,)d x f x y y -⎰⎰；(C)11d (,)d x f x y y -⎰；(D)1d (,)d x f x y y ⎰．30. 设22sin()z x y =-，则2z x y∂=∂∂ ( ) (A) 22sin()x y --； (B) 22sin()x y -； (C) 22(22)sin()x y x y +-； (D) 224sin()xy x y -．二、填空题1、由曲线21y y x ==-所围成的平面图形的面积为 2、函数()arcsin f x x =在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______. 3、设函数()y y x =由方程1sin y x y =+确定，则dydx=_________. 4、函数33()3,[2,]2f x x x x =-∈-的最大值为5、微分方程440y y y '''++=满足初始条件()02, (0)0y y '==的特解为6、2arccos y x = 则(0)y '=_________.7、 曲线2yx =上点(1，1)处的切线方程为_______.8、级数112(1)1n n nn x n ∞-=-+∑的收敛半径R = ______. 9、设D 是由曲线1,1x y x y +=-=及0x =所围的区域，则⎰⎰Ddxdy =_______.10、设()(1)(2)(100)f x x x x x =--- ，则(1)f '=___11.极限10lim(12sin)xx x →+=12.设函数2sin xy ze y x =+，则它的全微分(,1)d zπ=13.222sin ln(x x x ππ-+=⎰14. 某商品需求函数为200.25Q P =-，则当10P =时的需求价格弹性为 15. 微分方程2d 3d y x y x =的通解为三 、 计算题 1、求3113lim 11x x x →-⎛⎫-⎪++⎝⎭2、求 3232342lim 753x x x x x →∞-++-3、求20cos 1lim x x x →-，30tan sin lim (arctan )x x xx →-，()20ln 1lim sec cos x x x x →+-． 4、讨论函数 1,01,()1,1,3,1 2.x x f x x x x -+≤≤⎧⎪==⎨⎪-+<≤⎩在点1x =处的连续性．5．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义求下列极限，指出A 表示什么？(1)000()()lim x f x x f x A x∆→-∆-=∆；(2) 0()lim x f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在；(3) 000()()lim h f x h f x h A h→+--=．6、3221x y -=, 求dxdy7、212sin x x y +=, 求dxdy8．求下列函数的导数：(1)2sin x y e x =； (2)2(43)y x =+； (3)tan(12)y x =-； (4)arctan()x y e =；(5)ln(sin )y x =；(6)2cos3x y ex -=；(7)1ln 1ln xy x-=+；(8)sin cos n y x nx =；(9)ln ln ln y x =；(10) 21sin xy e -=； (11)cos 3x y xarc =9．用微分求由方程1sin()xyx y e -++=确定的函数()y y x =的微分与导数．10．求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂：(1)2y z x =； (2)22xz x y =+．11．求下列函数的全微分:(1)arctan x yz x y+=-； (2)22cos()z y x y xy =-+；(3)z = (4)u xy yz zx =++． 12．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：(1)22sin()xy x y x y =++，求dy dx ； (2)2224x y z z ++=，求zx∂∂，z y ∂∂．13、求函数45x y e =的弹性函数EyEx及在3x =处的弹性3x Ey Ex =。
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。
（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。
（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。
（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。
2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。
原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3第二学期高等数学期末考试试卷（B 卷）答案一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1,2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4、4-和7，则该向量的起点 A 的坐标为___________________________．2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?ac c b b a_____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=??yz_____________________________． 4. 设yx z =，则=yx z2___________________．5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时，25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='Lf ，350='K f 。
如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________6. 交换积分顺序，有()=??--221,y y ydx y x f dy_____________________________．7. 设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________．8. -p 级数∑∞=11n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．10. 对于微分方程x e y y y -=+'+''23，利用待定系数法求其特解*y 时，应设其特解=*y ______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）．答案： 1. ()0,3,2-A ；2. 23-； 3. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -； 4. ()x y x y ln 11+-； 5. 2750单位； 6.()()----+1111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ；7. 02u u -； 8. 1>p ； 9.213sin 61C x C x x ++-； 10. xAxe y -=*．二．（本题满分8分）求过点()3,2,10-P ，且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．解：所求直线l 过点()3,2,10-P ，设其方向向量为s，由于l 平行于平面12=+z x 和23=-z y ，所以其方向向量s 同时垂直于向量{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n ．因此，方向向量s可取为，k j i kj i s n s++-=-=?=32310201 ．从而所求直线方程为:13221-=-=-+z y x ．三．（本题满分8分）设函数??=x y x z F x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试求zu z y u y x u x+??+??．解：-??? ??'+??? ??-??? ??'+??? ??=??-22211,,,x y x y xz F x x z x y x z F x x y x zF kx x u kkk ??'-??? ??'-??? ??=---x y xz F yx x y x z F zx x y xz F kxk k k ,,,22121'=???? ??'=??-x y x z F x x x y x z F x y u k k ,1,212'=???? ??'=??-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以， zz y u y x u x+??+?? ??'-??? ??'-??? ???=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kxx k k k ,,,22121'?+??? ??'?+--x y xz F x z x y x z F xy k k ,,1121=x y x z F kx k , 四．（本题满分8分）计算二重积分??≤++=42222y x y xdxdy e I 的值．解：作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，则有==≤++220422222rdr e d dxdy eI r y x y x πθ()1212422-=?=e e rππ．五．（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为: 2835325)3,5(22=?-?+=c （万）六．（本题满分10分）⑴. 将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数；⑵. 指出该幂级数的收敛域；⑶. 求级数()()∑∞=--1121n nn n 的和．解：⑴. 因为()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<="" p="" ，且00arctan="，所以，"> =+∞=∞=+-=-=??? ??-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x而 ()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x所以， ()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n nnn n nx nxn x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n n n n nx n xn ()∑∞=+??+-+-=222211211n n n x n n ()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数()()()∑∞=+++-02222121n n n x n n 的收敛域为[]1,1-．⑶. 令1=x ，则有()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n n n n n n n n ()()-=+-?==2ln 214211ln 1arctan 12122πf2ln 2-=π．七．（本题满分10分）求微分方程()1ln ln +=+'x x y x y x 的通解．解：该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+' 因此，()x x x P ln 1=， ()xx x Q ln 1ln +=．代入一阶线性微分方程的求解公式，有+?+?=?-C dx e x x e y dx x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln ??+?+=C x d x x x x ln ln 1ln ln 1 ()()C dx x x ++=1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以，原方程的通解为 ()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八．（本题满分10分）讨论级数()∑∞=+-11ln1n nnn 的绝对收敛性与条件收敛性．解：⑴. 因为级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 为交错级数，nn u n 1ln+=．由于， ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列{}n u 单调减少而且01 lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n ．因此由Leibniz 判别法知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 收敛．⑵. 讨论级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n ．其前n 项部分和为∑=+=nk n k k s 11ln ()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()∞→+=1ln n ()∞→n所以，级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n 发散．综上所述知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 条件收敛．九．（本题满分8分）设函数()u f 具有二阶连续的导函数，而且()y e f z xsin =满足方程z e yzx z x 22222=??+??，试求函数()u f ．解：设y e u x sin =，则有()y e u f x z x s i n '=??，()y e u f yz x cos '=?? 所以，()()y e u f y e u f x z xx sin sin 2222'+''=??()()y e u f y e u f xzx x s i n c o s 2222'-''=?? 代入方程 z e yz x z x22222=??+??，得，()()()()z e y e u f y e u f y e u f y e u f x x x x x 22222sin cos sin sin ='-''+'+''即，()()xx e u f e u f 22=''由此得微分方程 ()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程，得其通解为 ()uueC e C u f -+=21 （1C 与2C 为任意常数）此即为所求函数．。
通化师范成人教育《高等数学2》期末考试复习题及参考答案
第1页 共 8 页第2页 共 8 页高等数学（二） 试卷一、填空题（每空3分，共21分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x 3124312，则=x ，=y ． 2、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201321A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414201B ，则 =-B A 2 ，TAB = ． 3、设向量()123=α与向量()m 42正交，则m = 。
4、二次型3221232221321642),,(x x x x x x x x x x f +-++=的矩阵=A 。
5、设A 为4阶矩阵，且2=A ，则=-13A 。
二、单项选择题（每题3分，共15分）1、若A 为l s ⨯矩阵，B 为q p ⨯矩阵，已知A B T可以运算，则正确关系是（ ）．A. l p =B. s p =C. l q =D. s q =2、设A 、B 为n 阶矩阵，下列各式中一定成立的是（ ）．A. BA AB =B. BA AB =C. T T T B A AB =)(D.222)(B A AB = 3、设矩阵A 为64⨯矩阵，如果3)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 44、n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ ）． A. A 有n 个互不相同的特征值 B. A 有n 个互不相同的特征向量 C. A 有n 个两两正交的特征向量 D. A 有n 个线性无关的特征向量5、实二次型212322221321222),,(x kx x k x x x x x f +++=正定，则k 的取值范围为（ ）． A. 2002<<<<-k k 或 B. 22>-<k k 或 C. 00><k k 或 D. 22<<-k 三、计算题（每题10分，共30分）1、求行列式14908-376D 01203594--=---的值2、求矩阵X ，使B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=310134B ．3、已知213124A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，102134B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（1）求2T A B -；（2）若23T A X B +=，求X.四、论证题（本题10分）1、讨论当参数λ为何值时，方程组12312312 3022602 0x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解？五、（本题10分）已知向量组123410311304,,,217142142αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，判定向量组的相关性，若相关，求出它的秩和一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示六、（本题14分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=163053064A 的特征值与特征向量．2高等数学2答案第一部分、填空题1、2，-22、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-016441，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43147 3、-14 4、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--43032210211 5、281 第二部分、选择题1、B2、B3、C4、D5、A 第三部分、计算题1、解：原式214114-908029-65630-1200-1736-4r r r r +-2965612017364-=---12320762912017024r r r r -+---2176(1)(1)1624+-=-⋅-=-2、解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=323403011001011311210101134322B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→921003011001011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→921006201063001921006201001011 故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=926263X3、解：(1) 42612354322480142312TA B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) 由23T A X B += 得 12(3)T X B A =- 所以 5122711222302163129123438X ⎛⎫⎡-⎤--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=--= ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭第四部分、论证题1、解：21131322222262222203222D r r λλλλλλλλλλ++=-+++=⋅---。
2020-2021《高等数学II》期末课程考试试卷B(含答案)
第 1 页 共2页 第 1 页 共2页2020-2021《高等数学II 》期末课程考试试卷B适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1. 级数013nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的和为 1.52.222ln()u x y z =++在点(1,2,1)M -处的梯度为Mgradu =121333i j k -+. 3. 改变积分顺序11(,)⎰⎰ydy f x y dx =100(,)⎰⎰xdx f x y dy .4. 设z=()2cos xy ，xz∂∂=()sin 2-y xy ; y z ∂∂=()sin 2-x xy5.()(2,2,0sin limx y x y →= 4.二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1. 设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有(D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.⎰-++2224sin 2xdx x x 为（ D ）A 、2πB 、3πC 、3235D 、0 3. 下列命题正确的是（ B ）.A. 若),(y x f z =在),(00y x 处可微，则),(),,(y x f y x f y x ''在该点处连续；B. 若),(y x f z =在),(00y x 处可微，则),(),,(0000y x f y x f y x ''存在；C. 若),(y x f z =在),(00y x 处),(),,(0000y x f y x f y x ''都存在，则),(y x f 在),(00y x处连续；D.若),(y x f z =在),(00y x 处的二阶偏导数都存在，则),(),,(y x f y x f y x '' 在),(00y x 处连续. 4.设2z x y =，则dz =( B ).A.dx dy +B.22xydx x dy +C.2x dx ydy +D.2x ydx dy + 5. 坐标面yoz 上的曲线2y z =绕z 轴旋转一周而得旋转曲面方程为（ A ） A 、22y x z += B 、222y x z += C 、22y z = D 、221y x +=三、解下列各题。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。
设,则.2。
曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。
其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。
等于0； B. 等于；C。
等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。
充分但非必要条件；C。
必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。
3.设,则A。
; B。
；C.；D。
4.若级数在处收敛，则此级数在处A。
绝对收敛; B。
条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。
5。
微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。
三。
（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。
（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。
（8分)求微分方程：的通解。
解:，原方程为：通解为：九。
幂级数:1。
试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。
1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。
（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。
《高等数学Ⅱ》复习题及答案
课程名称：《高等数学Ⅱ》一、 单项选择题 （从下列各题的四个备选答案中选出一个正确答案，选错或未选者，此题不得分，每小题2分，共40分。
）二、 多项选择题 （从下列各题四个备选答案中选出正确答案，答案选错者，该题不得分，每小题 4分，共 40 分。
）三、 判断题 (你认为下列命题是正确的，就在题后方括号内加“A ”，错误的加“B ”。
每小题判断2分，共20分。
)《高等数学Ⅱ》（A ）卷一、 单选题 (每题2分，共40分）1. 当+∞→n 时，下列数列中哪项数列收敛（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1B 、{}n n )1(-C 、{}n lgD 、{}2n2.=-→)3(lim 22x x （ ）A 、1-B 、2C 、1D 、3-3.=-+∞→)213lim 2x x x （（ ）A 、∞B 、3C 、0D 、44. =---→24lim 222x x x x （ ）A 、∞B 、34C 、0D 、15. 下列哪项为无穷小？（ ）A 、x cos )0(→xB 、x 1)0(→xC 、x tan )0(→xD 、x2)0(→x6. =→x xx 5sin lim0（ ） A 、51B 、1C 、0D 、5 7. =+∞→x x x 2)21(lim （ ）A 、2eB 、1C 、eD 、4e8. 若x x y 1ln +=，则=dy （ ）A 、211x x -B 、211x x +C 、dx x x )11(2-D 、dx x x )11(2+9. 由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x sin 2143确定的函数的导数=dx dy （ ）A 、26cos t t B 、t t cos 62 C 、26cos t t- D 、t t cos 62-10. =+∞→x xx ln lim（ ）A 、0B 、∞-C 、∞+D 、1 11. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.A 、()()2ln 2ln f x x g x x == 和B 、()||f x x = 和 ()g x =C 、()f x x = 和 ()2g x =D 、()||x f x x=和 ()g x =1 12. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.A 、0B 、14 C 、1 D 、213. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. A 、1y x =- B 、(1)y x =-+ C 、()()ln 11y x x =-- D 、y x = 14. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.A 、连续且可导B 、连续且可微C 、连续不可导D 、不连续不可微14. 点0x =是函数4y x =的（ ）.A 、驻点但非极值点B 、拐点C 、驻点且是拐点D 、驻点且是极值点15. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. A 、只有水平渐近线 B 、只有垂直渐近线C 、既有水平渐近线又有垂直渐近线D 、既无水平渐近线又无垂直渐近线 17.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. A 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B 、1fC x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭C 、1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭18.x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.A 、arctan x e C +B 、arctan x eC -+ C 、x x e e C --+D 、ln()x x e e C -++ 19. 下列定积分为零的是（ ）.A 、424arctan 1x dx x ππ-+⎰ B 、44arcsin x x dx ππ-⎰ C 、112x xe e dx --+⎰ D 、()121sin x x x dx -+⎰ 20. 设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.A 、()()20f f -B 、()()11102f f -⎡⎤⎣⎦C 、()()1202f f -⎡⎤⎣⎦ D 、()()10f f - 二、 多选题 (每题4分，共40分)21、在空间直角坐标系中，不是方程22z x y =+的图形是( )。
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《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()D Ix y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)2240ad a rdr a πθπ=⎰⎰(B)22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)223023ad r dr a πθπ=⎰⎰(D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
13、已知→→b a //且 ),2,4,(),1,2,1(-=-=→→x b a 则x = ( B )（A ） -2 （B ） 2 （C ） -3 （D ）314、在空间直角坐标系中，方程组2221z x y y ⎧=+⎨=⎩代表的图形为( B )（A ）抛物线 (B) 双曲线 （C ）圆 (D) 直线 15、设)arctan(y x z +=，则yz∂∂= （ B ） (A) 22)(1)(sec y x y x +++ (B) 2)(11y x ++ （C ）2)(11y x ++- (D)2)(11y x +- 16、二重积分⎰⎰1102),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ( A )（A ）⎰⎰x dy y x f dx 010),( (B) ⎰⎰100),(2dy y x f dx y(C)⎰⎰110),(dy y x f dx (D) ⎰⎰2010),(x dy y x f dx17、若已知级数∑∞=1n nu收敛，n S 是它的前n 项之和，则此级数的和是（ C ）（A ）n S (B)n u (C) n n S ∞→lim (D) n n u ∞→lim18、设L 为圆周：2216x y +=，则曲线积分2LI xyds =⎰Ñ的值为（ D ） （A ）1- (B) 2 （C ）1 (D) 019、 设直线方程为210zy x ==，则该直线必 ( A ) （A ） 过原点且x ⊥轴 （B ）过原点且y ⊥轴 （C ） 过原点且z ⊥轴 （D ）过原点且x //轴20、平面260x y z ++-=与直线234112x y z ---==的交点坐标为（ C ） (A)（1，1，2） (B)（2，3，4） （C ）（1，2，2） (D)（2，1，1）21、考虑二元函数的下面4条性质：① (,)f x y 在点00(,)x y 处连续； ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微； ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有 （ A ）（A ）②⇒③⇒① (B) ③⇒ ②⇒① (C) ③⇒④⇒① (D) ③⇒①⇒④ 22、下列级数中绝对收敛的级数是( B )(A)1(1)nn ∞=-∑ (B) 211tan n n ∞=∑ (C)21 1 (1)2 3 n n n n ∞=+-+∑ (D)11ln(1)n n ∞=+∑ 23、设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz＝（ B ）（A ） 22-（B ）22 （C ）2 （D ）2- 24、设a 为常数，则级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 1)1(n n n a （ C ）(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关 25、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n nnnk （ B ） (A) 发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)敛散性与k 的取值有关 26、211y xdx e dy =⎰⎰( C )(A)12e + (B)12e - (C) 12e - (D)12e +二、填空题 1、0x y →→= 22、二元函数 (23)z sin x y =+，则zx∂=∂ 2cos(23)x y + 3、积分σd eI y x y x ⎰⎰≤++=42222的值为 )1(4-e π4、若→→b a , 为互相垂直的单位向量， 则=⋅→→ba 05、交换积分次序210(,)x dx f x y dy =⎰⎰110(,)dy f x y dx ⎰6、级数111()23nn n ∞=+∑的和是 3/2 7、00x y →→= -1/48、二元函数 (23)z sin x y =+，则zy∂=∂ 3cos(23)x y + 9、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰x x dy y x f dx 2),(1⎰⎰y ydx y x f dy ),(1010、设曲线L ： 222x y a +=，则(2sin 3cos )Lx y x ds +=⎰Ñ 011、若级数11()nn u∞=+∑收敛，则lim n n u →∞= -112、若22(,)f x y x y x y +-=-则 (,)f x y = xy 13、00x y →→= -1/214、已知→→⊥b a 且 ),1,,0(),3,1,1(-==→→x b a 则x = 3 15、设),ln(33y x z +=则=)1,1(dz 3322dx dy + 16、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰y y dx y x f dy 2),(10⎰⎰x xdy y x f dx ),(1017、级数1nn uS ∞==∑，则级数()11n n n u u ∞+=+∑的和是 12S u -18、设L 为圆周：222R y x =+，则曲线积分sin LI x yds =⎰Ñ的值为 0 19、222222(,)(0,0)1cos()lim()x y x y x y x y e→-+=+ 020、已知,a i j b k =+=-r r r v v , 则a b ⨯=rv i j -+r v21、0sin()limx y axy x →→= a22、已知向量a r 、b r 满足0a b +=r r r ，2a =r，则a b ⋅=r r -423、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +⎰24、22(,)limx y →= 225、3a =r ，4b =r ，r a 与r b 的夹角是2π，则r r a b ⨯= 1226、已知三角形的顶点的面积等于则ABC ),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(∆-C B A 27、点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M 5 28、若322a i j k ,b i j k ,→→→→→→→→=--=+-则a b →→⋅= 3 29、00x y →→ 1/230、函数2(,)(3)(1),xy f x y x y x e =-+-求(1,3)x f =3e三、解答题1、求曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。
解：设(,,)23zF x y z z e xy =-+-则2x F y = ，2y F x = ，1zz F e =-对应的切平面法向量(1,2,0)(,,)x y z n F F F →=代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+-=或240x y +-=2、计算二重积分⎰⎰Dyxdxdy e ，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线2y x =和直线1y =围成的平面区域。
解 ：21x xy yyDedxdy dy e dx =⎰⎰⎰⎰2100y x yye dy ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 1y (ye y )dy =-⎰1202y yy ye e ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦12=3、求函数2(234)u ln x y z =++的全微分du 。
解：因为22234u x x y z ∂=∂++ ， 23234u y x y z ∂=∂++ ，28234u z z x y z ∂=∂++ u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂ 所以222238234234234zdu dx dy dz x y z x y z x y z =++++++++4、证明：函数242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数(,)f x y 在点（0，0）处不连续。