第五课时第一次数学危机
第一次数学危机
（1）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达。
芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。
人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”同时它导致了第一次数学危机。
我觉得毕达哥拉斯是一个很矛盾的人，他有很多成就，是影响西方乃至世界的人物，是第一个注重“数”的人，发现了毕达哥拉斯定理，证明了正多面体的个数。
建设了许多较有影响的社团。
同时他允许女人进入课堂讨论，也可以帮助穷人学习，会设定一些奇奇怪怪的要求，娶了自己热心听众中的一个女子为妻……他相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。
我以为他会是一个能够包容的人，海纳百川。
但是，他好像不太喜欢被人质疑，尽管他发现了黄金分割、勾股定理等，依然不能抹杀他犯的大错。
希勃索斯的死亡不能掩埋学问。
（2）约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯(约公元前408—前355)解决了关于无理数的问题。
他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处致。
21世纪后的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。
最终数学危机得以解决，人们明白了几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。
然而数却可以由几何量表示出来。
数学危机
贝克莱还讽刺挖苦说：即然 t 和 S 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不 是 0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 ————贝克莱悖论 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学 家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。
t 0
三、第三次数学危机
到19世纪，数学从各方面走向成熟。 人们水到渠成地思索：整个数学的基础 在哪里？ 19世纪末，集合论出现了。人们感觉到， 集合论有可能成为整个数学的基础。
元素与集合关系:
a A
a A
罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”： 某村的一个理发师宣称，他给且只 给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。 问： 理发师是否给自己刮脸？
第一次数学危机的要害是不认识无理 数，而无理数是无限不循环小数，它可以 看成是无穷个有理数组成的数列的极限。 所以，第一次数学危机的彻底解决， 是在危机产生二千年后的19世纪，建立了 极限理论和实数理论之后。实际上，它差 不多是与第二次数学危机同时，才被彻底 解决的。
第二次数学危机的要害，是极限理论 的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过 渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难， 也集中在“无穷小量”上。 无穷与有穷有本质的区别.
第四天 康托尔
区间 [0，1]上每一实数点都占一个房间
请提问
还会有第四次数学危机吗？
49
终极问题存在吗？
50
谢谢大家！
51
数学危机。
4． 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的 许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。 当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃 集合论，再寻找新的理论基础，另一种是 分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨 消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖 论的同时，尽量把原有理论中有价值的东 西保留下来。
(完整版)(完整word)论第一次数学危机产生的原因和影响
论第一次数学危机产生的原因和影响目录第一次数学危机的简介 (2)第一次数学危机产生的原因 (3)第一次数学危机的解决 (4)第一次数学危机的产物：古典逻辑与欧氏几何学 (5)第一次数学危机的影响 (6)参考文献 (6)数学科学学院数学与应用数学赵文君0710120040摘要:毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产，导致了第一次数学危机。
这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展,使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展。
本文就第一次数学危机的产生、解决到影响作了简单的介绍.关键词：第一次数学危机无理数毕达哥拉斯我们了解的数学危机有三大，如果说每次危机都把数学家们推入黑暗,但是随着危机的解决带来是更好的光明，三大数学危机带来的也是三大数学成就.从哲学的观点来看矛盾就是无处不在的，数学这么严密的学科也不例外。
纵观数学的发展，就是不断的产生冲突和危机并把它们解决的过程。
知识是人们总结出来的，人的认识是有限的，所以知识本身是应该随着社会的发展不断地突破的。
一次大的数学危机,对人们的影响是非常大的，当你一直认为理所当然的事却被指出是错的的时候，人们是很难接受的,所以危机的解除也是相当困难的事情.我们并未经历这么大的数学危机，不能体会自己的观念完全被推翻的感受。
基于对此我爱好或者说好奇，我选择了这个主题。
第一次数学危机的简介：从某种意义上来讲，现代意义下的数学来源于古希腊的毕达哥加斯学派。
这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,它是一个违心主义流派。
他们重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。
他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。
数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥加斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。
历史上的三次数学危机+课件
第一次数学危机的解决
戴德金分割定义无理数
有理数集ℚ的一个分割为集合, ，满足：
• ∪=ℚ
• ∩=∅
• 对任意 ∈ , ∈ ，有 <
则对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
戴德金（1831-1916）
德国数学家
① 集合中有最大数， 中无最小数
其中, 均为整数
例： 与
= ×
=×
万物皆数！
例： 与 与
= ×
= ×
= ×
第一次数学危机的产生
1
=?
1
希帕索斯，毕达哥拉斯的学生
第一次数学危机的产生
希帕索斯发现： 与 无法公度！
本质原因： 是无理数
② 集合中无最大数， 中有最小数
③ 集合中无最大数， 中无最小数
④ 集合中有最大数， 中有最小数
第一次数学危机的解决
对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
①集合中有最大数， 中无最小数
②集合中无最大数， 中有最小数
③集合中无最大数， 中无最小数
④集合中有最大数， 中有最小数
情况④不可能出现（为什么）
情况③可能出现，此时就称该切割确定了一个无理数
第一次数学危机的解决
总结：
• 有理数之间存在“空隙”，那些空隙就对应了无理数
• 实数集=有理数集∪无理数集
• 可以继续由戴德金分割证明，实数间不存在空隙，从
第一次数学危机的内容及其对数学发展的影响1000字
第一次数学危机的内容及其对数学发展的影响1000字1. 引言1.1 概述数学作为一门古老而又重要的学科，对人类文明的发展起到了至关重要的作用。
然而，在数学发展的过程中，曾经出现过一次被称为“第一次数学危机”的事件，给数学领域带来了巨大的冲击。
本文将以此事件为切入点，探讨第一次数学危机的内容及其对数学发展产生的深远影响。
1.2 研究背景在人类历史上，数学始终是不断发展和演进的。
然而，随着数学领域日益扩大和专业化，各个分支之间相互联系日渐复杂。
第一次数学危机是在这样一个背景下爆发出来的，它凸显了数学领域中存在的问题并引起了广泛关注。
1.3 目的和意义通过深入研究第一次数学危机所涉及的内容以及其对整个数学领域发展所产生的影响，可以更好地理解数学研究面临的困境和挑战，并寻找解决方法和改进策略。
此外，也可以从中得到宝贵的启示和教训，促进学术界对数学研究的反思，不断推动数学的创新与发展。
以上是对文章“1. 引言”部分的详细清晰撰写。
2. 第一次数学危机的发生2.1 背景介绍在数学发展的历史长河中，曾经出现过多次危机和困境。
其中，第一次数学危机是指发生在19世纪末20世纪初的一场重大危机。
这场危机源于欧洲各国数学界对基础数学概念和定理的混乱和不统一认知，导致了数学领域的分歧与混乱。
2.2 事件概述第一次数学危机的事件始于19世纪末期，当时欧洲各国的数学家们在研究中逐渐发现了一些矛盾和争议。
这些矛盾主要集中在基础数学概念和定理方面，例如无限集合论、实数体系、连续性等问题。
各国的数学家们对这些问题有不同的见解和解释，没有达成共识。
在此期间，德国著名数学家康托尔提出了集合论及其应用，在推动了数学发展的同时也引起了更大范围内对基本理论与公理体系正确性的怀疑。
他从集合论角度来看待一些传统数学概念，如连续性和无理数等，与传统观点存在分歧。
这引起了数学界的大规模争议。
同时，在法国和德国的数学家之间也存在着对于连续性的不同看法。
三次数学危机及其影响ppt课件
一. 第一次数学危机
一. 第一次数学危机
1.危机的起因：
第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 长度就不能以整数之比表示。
危机的实质： 是无理 2
数，全体整数之构成的
最后，这些既属于自己而又不属于自己
的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， 引发起第三次数学危机。
危机的消除
危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了
由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 后来，还有改进的ZFC-系统。
这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过
是有理数系，有理数系
需要扩充，需要添加无
理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一
危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。
第一次数学危机
第一次数学危机1.1 背景第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。
数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。
在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。
后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。
”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。
1.2起源1.2.1“万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。
当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。
这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。
对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。
所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。
数学史上的三次危机PPT课件
2
们要求物体在
t0
的瞬时速度，先求
S t
。
SS(t1)S(t0)12gt12 12gt02 12g[(t0 t)2 t02]12g[2t0t(t)2]
∴
S
1
t
gt0
g(t) 2
（*）
2021
9
当 t 变成无穷小时，右端的
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt 0 ，这就是物体在 t 0 时的瞬时速度，
时的极限，即
物体在
t
0
时刻的瞬时速度= lim t 0
S t
。
2021
39
下边我们对（*）式的等号两边同时取
极限 t0 ，根据“两个相等的函数取 极
限后瞬仍时相速等度”=，得ltim 0(g0t
1g(t)) 2
再根据“两个函数和的极限等于极限的 和” lt ，i0 (g 得m 0 t1 2g ( t) ) lt i0g m 0 t lt i01 2 m g ( t)
2021
3
一、第一次数学危机
第一次数学危机是由 2 不能写成两 个整数之比引发的，我们在第一章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。
2021
4
这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 2 不能表为整数比。
其实质是： 2 是无理数，全体整数之比
构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需 要添加无理数。
正因为如此，此后近二百年间的数学家， 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。
第一次数学危机
第一次数学危机：无理数的发现大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。
他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。
这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。
有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。
不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。
三次数学危机的产生与解决
感谢观看
解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
第一次数学危机概要
是奇
是奇数而不能
被4整除，右端却因 n
n c 个矛盾说明开始的假设 m
是偶数而可以被4整除。这
是错误的。从而 c
不能表成两个整数的比。证毕。
[注]：这是“反证法”的开始。
26
2）不可公度的线段
d 设正方形的边长为 a，对角线长为 ，如图：
d
a
a
27
根据毕达哥拉斯定理，d 2 2a 2 。如果存在第三 个线段长为 如
如果不然，有两个正整数 m 和
n m
n
（不妨设
是既约分数即 (m, n) 1）。两端
。 2m 2 n 2
n 使 c m
n2 平方得 2 2 ，即 m
由此知
n 是偶数。由于偶数的平方是偶
2
数，奇数的平方是奇数，∴
n 是偶数。
25
因 n “既约”， m 数。这样 2m 2 n 2
m
不能再是偶数，于是 m 的左端，因 m
危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的
体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被 认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数 所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到
各种非欧几何学。
二、毕达哥拉斯学派和他们的 “万物皆数” 1. 毕达哥拉斯 Pythagoras
42
四、反证法与无理数
1. 反证法
1）反证法的威力
43
例：有数学书、物理书、外语书共十本。
证明：在这三种书籍中，有一种书籍
至少有四本。 穷举法： 数学书 10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 … 物理书 外语书 反证法：
第一次数学危机的产生及其影响
人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。
其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
如果追溯这一危机的来龙去脉，那么就需要我们把目光投向公元前6世纪的古希腊。
那时，在数学界占统治地位的是毕达哥拉斯学派。
这一学派的创立者毕达哥拉斯是著名的哲学家、数学家。
他在哲学上提出“万物皆数”的论断，并认为宇宙的本质在于“数的和谐”。
他所谓“数的和谐”是指：一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比。
与此相对应，在数学中他提出任意两条线段的比都可表为整数或整数的比，用他的话说就是：任意两条线段都是可通约的。
他在数学上最重要的功绩是提出并证明了毕达哥拉斯定理，即我们所说的勾股定理。
然而深具讽刺意味的是，正是他在数学上的这一最重要发现，却把他推向了两难的尴尬境地。
他的一个学生希帕索斯在摆弄老师的著名成果毕达哥拉斯定理时，提出了这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？换句话说，两者的比是不是有理数呢？经过认真的思考，他发现这个数既不是整数，也不是一个分数，而是一个全新的数，我们现在知道这个数。
这是人类历史上诞生的第一个无理数。
它的诞生是人类对数认识的一次重大飞跃，是数学史上的伟大发现。
然而作为老师的毕达哥拉斯并没有为这一重大发现而欢欣鼓舞，相反他陷入极度不安之中。
如果不赞同它，理智上无法接受，学生的论断毕竟是找不出毛病的呀！可是如果赞同，感情上更难接受。
因为这一发现对他来说是致命的，它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。
于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”。
在这两难处境下，他先是在学派内封锁这一发现，不让它传到外界。
后来当希帕索斯本人把发现泄漏后，他让学派内的成员把希帕索斯抛入了大海。
这就是聪明的学生从伟大的老师那里获得的“奖赏”！被后人尊为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误，而是想通过暴力压制真理，这一作法令他一生蒙羞，成为他一生中的最大污点。
第一次数学危机
05
第一次数学危机的反思
对数学危机的认识
认识到数学需要严谨性
第一次数学危机让人们认识到数学需要严谨的证明和推理，不能仅仅依靠直观和经验。
数学证明的局限性：古希腊数学家在证明一些命 题时，往往依赖于一些未经证明的假设，这使得 人们对数学证明的可靠性产生了怀疑。
不可公度量的存在：古希腊数学家还发现了一些 无法用已知单位量度的量，如圆的周长与直径之 比π，这进一步加深了人们对数学的不信任。
第一次数学危机对数学的发展产生了深远的影响 。它促使人们重新审视数学的基础理论，推动了 数学的发展。同时，它也提醒我们在探索未知领 域时，要保持谨慎和理性的态度。
第一次数学危机促使数学家们开始关注数学与其他学科的交叉，推动了数学在其他领域 的应用和发展。
对未来数学发展的展望
继续深化对数学基础的研 究
随着数学的发展，对数学基础的研究将更加 深入，为解决更多的数学问题提供理论支持 。
加强数学与其他学科的交叉
未来数学的发展将更加注重与其他学科的交叉，推 动数学在其他领域的应用和发展。
欧几里得几何的建立
01 02
欧几里得几何的形成
欧几里得几何是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中的几何学 体系，其建立在五条公设和若干公理的基础上，通过演绎推理构建了完 整的几何学体系。
欧几里得几何的完美演绎
欧几里得几何的建立标志着演绎推理的完美运用，其公设和公理都是为 了研究几何学而设定的，其推理过程也是非常严谨和精确的。
第一次数学危机
教学内容：第一次数学危机教学目标：通过讲解，使学生了解第一次数学危机增强对数学史文化的了解教学过程：教师介绍，历史上，数学的发展有顺利也有曲折。
大的挫折叫做危机。
危机意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
一、什么是数学危机危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。
人类最早认识的是自然数。
从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。
可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。
二、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”1. 毕达哥拉斯 Pythagoras(约前570年—前500年）毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学、哲学发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。
相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献1）数学证明的起始泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得证明是要有假设的: 公设、公理及定义。
许多人推测，欧几里得几何《原本》前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。
9幻灯片102）数学抽象的提出从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。
第一次数学危机
第一次数学危机一、简介毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。
他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。
这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。
有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。
不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。
不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
二、历史回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。
即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。
比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。
至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。
而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。
但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。
这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。
这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。
三、诱因整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
第一次数学危机
第一次数学危机：毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生.小小√2的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击.对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了.更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法.这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机：导源于微积分工具的使用.伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪几乎在同一时期,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现.这一工具一问世,就显示出它的非凡威力.许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌.但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的.两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的.因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击.其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
第三次数学危机：十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。
数学危机
第二次数学危机
第二次数学危机的解决
• 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理 论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是 零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。 无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本 质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯 西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创 立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立， 从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来， 第二次数学危机基本解决。
第一次数学危机的解决
• 这场危机通过在几何学中引进不可通约量 概念而得到解决。两个几何线段，如果存 在一个第三线段能同时量尽它们，就称这 两个线段是可通约的，否则称为不可通约 的。正方形的一边与对角线，就不存在能 同时量尽它们的第三线段，因此它们是不 可通约的。很显然，只要承认不可通约量 的存在使几何量不再受整数的限制，所谓 的数学危机也就不复存在了。
数学发展史过程中的几次数学 危机
第一次数学危机
• 第一次危机发生在公元前580～568年之间 的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达 哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲 学于一体，该学派人数固定，知识保密， 所有发明创造都归于学派领袖。当时人们 对有理数的认识还很有限，对于无理数的 概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说 的数，原来是指整数，他们不把分数看成 一种数，而仅看作两个整数之比，他们错 误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整 数或整数之比。
第三次数学危机
• 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生 震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的 数学出现了自相矛盾。 著名的“理发师悖论”，就是一位理发师给不给 自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理 发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体 内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的 每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从 数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。
第一次数学危机
第一次数学危机第一篇：第一次数学危机不可通约性的发现引起第一次数学危机。
有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。
不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。
不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一次数学危机
教学目标：通过讲解，使学生了解第一次数学危机增强对数学史文化的了解
教学过程：教师介绍，历史上，数学的发展有顺利也有曲折。
大的挫折叫做危机。
危机意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。
人类最早认识的是自然数。
从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；
引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。
可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。
二、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”
1.毕达哥拉斯Pythagoras
(约前570年—前500年）
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学、哲学发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。
相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。