高等数学(上册)第六章

AdA 4
2
(
y

4

1 2
y
2
)
d
y
o
yx4 x
(2, 2)
18
第二节 定积分在几何中的应用
例 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA ydx0 a (1 cost) a (1 cost) d t
a2 2π (1 cos t)2 dt 0
2
4
o
a 2a x
第二节 定积分在几何中的应用
例 求双纽线
所围图形面积 .
解 利用对称性 ,则所求面积为
1 a2 cos2 d
2
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
y π
4
o
ax
a2 sin 2 a2
π
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin 4
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y yd y
y
y2 2x
(8, 4)
此平面图形为Y—型 则有
观察X-型或Y-型
3） 固定一点,过此点作平行于y轴的平行线,
如果平行线与边界线的交点超过三个以上， 则要划分区域，使划分后的区域为X型
练习：求由 x y2 , x y 2 所围成的面积
第二节 定积分在几何中的应用
2. 极坐标情形
求由曲线
及
在区间
围成的曲边扇形的面积 . 上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
第一节 定积分的元素法
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
的
近似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
点击图片任意处 播放开始或暂停
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算心形线
面积 .
解
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2
π 0
4
cos 4

2
d
令
t


2
π
8a2 2 cos4t dt 0
8a2 3 1 π 4 22
3 πa2 2
所围图形的
(利用对称性)
第六章 定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用 定积分在经济中的应用
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何中的应用 第三节 定积分在物理中的应用 第四节 定积分在经济中的应用
a a
a
第一节 定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解 利用对称性 , 所求面积
A

1 2
πa2

2

1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1

cos
2
)
1 πa2 a2
2
(3 2cos 1 cos 2 )d
2
2
y
1 πa2 a2 ( 3 π 2)
所围公共部分的面积 .
答案: A 2
π
6 a2 sin2 d

π 4
1
a2
cos 2
d
0
2 π
6
第二节 定积分在几何中的应用
旋转体的体积
h
r
规则的旋转体体积：
V 1 πr2h 3
r
h
R
V 1 π(R2 rR r2 )h 3
d

o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
x2 y2 ax a x2 y2
即 r a(1 cos )
参数的几何意义
y
点击图中任意点
动画开始或暂停
oa
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
πa2
• 弧长: 8a
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算心形线
2
2
r r1( )
o
A 1
2

[r2
2
(
)

r12
(
)]d
x
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算阿基米德螺线
到 2 所围图形面积 .
解
A 2π 1 (a )2 d
02

a2 2
1 3

3

2π 0
对应 从 0 变
2πa
o
x
d
4 π3 a2 3
y
4a2 2π sin4 t dt
0
2
o
8a2 π sin4 u du 0
(令u t ) 2
2πa x
π
16 a2 2 sin4 u du 0
3π a2
第二节 定积分在几何中的应用
注：在直角坐标系下计算面积的步骤
1） 画图，求交点
2） a x b或c y d
1
AdA0
x x2 dx
1 3
在第一象限所围
y y2 x (1,1) y x2
ox 1 x xdx
第二节 定积分在几何中的应用
y
y y 2 (x)
O
y 1(x)
ax b
x
X -型：
a x b
d
y
cx 1( y)
O
x 2 ( y)
x
Y-型：
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2

x
第二节 定积分在几何中的应用
极坐标与直角坐标的关系
x r cos

y

r
sin
r r2 ( )
扇形面积：
A 1 r r 1 r2
边梯形面积为 A , 则
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y
y f1(x)
y f2(x)
右下图所示图形面积为
百度文库
b
A a f1(x) f2 (x) dx
o axxdx b x
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
解由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法)
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 定积分在几何中的应用
•平面图形的面积 1. 直角坐标情形
y y f (x)
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲 o a x b x
x dx