第2章导热理论基础以及稳态导热
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第二章 导热的基本定律稳态导热
§2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热 §2-4 通过肋片的导热分析
1 、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。 2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3 、了解内容：多维导热问题
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
金属非金属
固体 液体 气体
纯铜 39 w/8 m•C 大理 石 2.7w/m•C
0˚C时：冰2.2w 2/m•C
§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。
由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标 和时间的函数：
tfx,y,z,
其中 x, y为, z空间坐标， 为时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
tf(x,y,z,)
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。
稳态温度场 t 0
稳态导热
（ Steady-state conduction ）
非稳态温度场 t 0
非稳态导热
（Transient conduction）
三维稳态温度场： tf(x,y,z)
一维温度场:
t f (x)
水0.55 w/1 m•C
蒸 汽 0.01w /8 m • 3 C
2 、保温材料（隔热、绝热材料）
把导热系数小的材料称保温材料。
我国规定：≤350 ℃ 时，≤ 0.12w/mk
t 保温材料导热系数界定值的 大小反映了一个国家保
温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的
水平越高。
我国50年代
0.23W/mk
A x
数学表达式：
A t
x
3 ）傅里叶定律用热流密度表示：
q t
x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中 q——热流密度(单位时间内通过单位面
积的热流量) — t —物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
式为:
q gradttn
n
gradt 是空间某点的温度梯度；
2 ）热流密度矢量与热 流线的关系：
在整个物体中，热流 密度矢量的走向可用热 流线表示。如图示，其 特点是相邻两个热流线 之间所传递的热流密度 矢量处处相等，构成一 热流通道。
三、导热系数（导热率、比例系数）
1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
q/gradt w/m·℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。
不同的等温面之间，有温差， 有导热
t t n s
温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的 物理量。
系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
傅里叶定律： qgradt
建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐 标和时间变化的内在联系。
理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律， 建立导热物体中的温度场应满足的数学 表达式，称为导热微分方程。
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知
d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x 表面导入的热量：
dx qxdydzd
d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x+dx 表面导出
的热量：
d xdxqxdxdydzd
qxdxqx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d xd xdx q xxdxdydzd
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
t+Δt t t-Δt
qgradt
负号是因为热流密度
n dt dn
与温度梯度的方向不
t1
一致而加上
t t+dt
傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯
t2
0
x
δ
度成正比而方向相反
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
二、傅里叶定律的严格表述 在导热现象中，单位时间内通过给定截面所 传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上 的温度变化率，而热量传递的方 向与温度升高的方向相反，即 ~ t
（Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f(x,y,z)
2 ）非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
边界条件常见的有三类
（１）第一类边界条件:该条件
是给定系统边界上的温度分布，
它可以是时间和空间的函数，也
可以为给定不变的常数值。
0
0 时twf
（2）第二类边界条件:该条件是
给定系统边界上的温度梯度，即
相当于给定边界上的热流密度，
dydydyqyydxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
d zd zdz q zzdxdydzd
[导入与导出净热量]:
d d( q xx q yy q zz)dxdydzd
傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
qz
t z
d [ x ( x t) y ( y t) z( z t)]d x d y d z d
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
4.热流密度矢量（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最 大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该 方向的热流密度
q
q
q q cos
温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的 法线方向。由于热流是从高温处流向低温处， 因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。
0(1bT)
3、各向异性材料
指有些材料（木材，石墨）各向结构 不同，各方向上的 也有较大差别，这些材 料称各向异性材料。此类材料 必须注明方 向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知： （ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
• 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
• 等温线图的物理意义： • 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密
可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示 是用等温线图表示温度场的实例。
t+Δt t
t-Δt
3.温度梯度（Temperature gradient）
等温面上没有温差，不会有热 传递。
2t x2
2t y2
2t z2
0
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增 量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微 分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热 量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。
80年代 GB4272-84 0.14w/mk
90年代 GB427-92 0.12w/mk
保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热
2、 d时间微元体内热源的发热量
vqvdxdydzd
3、微元体在d时间
内焓的增加量 ct dxdydzd
dv＝
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v
非稳态项
扩散项
源项
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方
程的一般表达式。
二、导热过程的单值性条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量 守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的 关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用 表达式。 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件， 包括四项：几何、物理、初始、边界
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
1、几何条件：说明导热体的几何形 状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚 度、直径等
n是通过该点等温线上的
法向单位矢量，指向温
t1
度升高的方向；
t2
0
q是该处的热流密度矢量。
δ
x
n dt dn
t t+dt
q gradttn
n
负号是因为热流密度
与温度梯度的方向不
t1
一致而加上
傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯
t2
0
x
δ
度成正比而方向相反
n dt dn
t t+dt
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
2 、温度梯度与热流密度 矢量的关系
表示了微元面积 dA 附 近的温度分布及垂直于该 微元面积的热流密度矢量 的关系。 1 ）热流线
定义：热流线是一组与等温线处处垂直 的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点 的热流密度矢量相切。
其物理意义：反映了物体的温度随时间和空
间的变化关系。
1）对上式化简：
①导热系数为常数
·
t
a(x22t
2t y2
z22t)c
式中，a/(，c)称为热扩散率。
②导热系数为常数 、无内热源
t
2t 2t 2t
a(x2 y2 z2)
③导热系数为常数 、稳态
·
2t x2
2t y2
2t z2
0
④导热系数为常数 、稳态 、无内Biblioteka Baidu源
损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射 换热，垂直于隔热板上的导热系数可达： 10 - 4w/mk
同一种物质的导热系数也会 因其状态参数的不同而改变， 因而导热系数是物质温度和 压力的函数。
一般把导热系数仅仅视为温 度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系 来描述
等温面与等温线
• 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同 的点连接起来所构成的面
• 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这 个平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点：
• (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
• (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会 中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面 （曲线），或者就终止与物体的边界上
三、其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
ta( r22 t1 r r tr1 2 2t2 z22 t) qv c
对于球坐标系
t a [r 1 2 r ( r 2 r t) r 2 s 1i n (s t i) n r 2 s 1 2 i n 2 t 2 ] q v c
2、物理条件：说明导热体的物理
特征如：物性参数 、c 和 的数
值，是否随温度变化；有无内热源、 大小和分布； 3、初始条件：又称时间条件，反映导热系统的 初始状态
tf(x,y,z,0)
４、边界条件:反映导热系统在界面上的特征，也可 理解为系统与外界环境之间的关系。
2 、分类
1 ）初始条件：初始时间温度分布的初始条件； 2 ）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边 界条件。 说明： ①非稳态导热定解条件有两个； ②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是 各向同性的。
§2-2导热微分方程（Heat Diffusion Equation） 一、导热微分方程的推导
(3) 物 体 内 具 有 均 匀 分 布 内 热 源 ； 强 度 qv [W/m3]; qv 表示单位体积的导热体在单位时间内
放出的热量
导热体内取一微元体，根据能量守恒定律， 单位时间净导入微元体的热量 加d 上微元体内热 源生成的热量 应 等v 于微元体焓的增加量
ddvv＝
1、导入与导出微元体的净热量
§2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热 §2-4 通过肋片的导热分析
1 、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。 2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3 、了解内容：多维导热问题
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
金属非金属
固体 液体 气体
纯铜 39 w/8 m•C 大理 石 2.7w/m•C
0˚C时：冰2.2w 2/m•C
§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。
由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标 和时间的函数：
tfx,y,z,
其中 x, y为, z空间坐标， 为时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
tf(x,y,z,)
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。
稳态温度场 t 0
稳态导热
（ Steady-state conduction ）
非稳态温度场 t 0
非稳态导热
（Transient conduction）
三维稳态温度场： tf(x,y,z)
一维温度场:
t f (x)
水0.55 w/1 m•C
蒸 汽 0.01w /8 m • 3 C
2 、保温材料（隔热、绝热材料）
把导热系数小的材料称保温材料。
我国规定：≤350 ℃ 时，≤ 0.12w/mk
t 保温材料导热系数界定值的 大小反映了一个国家保
温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的
水平越高。
我国50年代
0.23W/mk
A x
数学表达式：
A t
x
3 ）傅里叶定律用热流密度表示：
q t
x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中 q——热流密度(单位时间内通过单位面
积的热流量) — t —物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
式为:
q gradttn
n
gradt 是空间某点的温度梯度；
2 ）热流密度矢量与热 流线的关系：
在整个物体中，热流 密度矢量的走向可用热 流线表示。如图示，其 特点是相邻两个热流线 之间所传递的热流密度 矢量处处相等，构成一 热流通道。
三、导热系数（导热率、比例系数）
1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
q/gradt w/m·℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。
不同的等温面之间，有温差， 有导热
t t n s
温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的 物理量。
系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
傅里叶定律： qgradt
建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐 标和时间变化的内在联系。
理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律， 建立导热物体中的温度场应满足的数学 表达式，称为导热微分方程。
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知
d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x 表面导入的热量：
dx qxdydzd
d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x+dx 表面导出
的热量：
d xdxqxdxdydzd
qxdxqx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d xd xdx q xxdxdydzd
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
t+Δt t t-Δt
qgradt
负号是因为热流密度
n dt dn
与温度梯度的方向不
t1
一致而加上
t t+dt
傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯
t2
0
x
δ
度成正比而方向相反
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
二、傅里叶定律的严格表述 在导热现象中，单位时间内通过给定截面所 传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上 的温度变化率，而热量传递的方 向与温度升高的方向相反，即 ~ t
（Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f(x,y,z)
2 ）非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
边界条件常见的有三类
（１）第一类边界条件:该条件
是给定系统边界上的温度分布，
它可以是时间和空间的函数，也
可以为给定不变的常数值。
0
0 时twf
（2）第二类边界条件:该条件是
给定系统边界上的温度梯度，即
相当于给定边界上的热流密度，
dydydyqyydxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
d zd zdz q zzdxdydzd
[导入与导出净热量]:
d d( q xx q yy q zz)dxdydzd
傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
qz
t z
d [ x ( x t) y ( y t) z( z t)]d x d y d z d
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
4.热流密度矢量（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最 大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该 方向的热流密度
q
q
q q cos
温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的 法线方向。由于热流是从高温处流向低温处， 因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。
0(1bT)
3、各向异性材料
指有些材料（木材，石墨）各向结构 不同，各方向上的 也有较大差别，这些材 料称各向异性材料。此类材料 必须注明方 向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知： （ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
• 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
• 等温线图的物理意义： • 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密
可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示 是用等温线图表示温度场的实例。
t+Δt t
t-Δt
3.温度梯度（Temperature gradient）
等温面上没有温差，不会有热 传递。
2t x2
2t y2
2t z2
0
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增 量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微 分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热 量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。
80年代 GB4272-84 0.14w/mk
90年代 GB427-92 0.12w/mk
保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热
2、 d时间微元体内热源的发热量
vqvdxdydzd
3、微元体在d时间
内焓的增加量 ct dxdydzd
dv＝
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v
非稳态项
扩散项
源项
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方
程的一般表达式。
二、导热过程的单值性条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量 守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的 关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用 表达式。 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件， 包括四项：几何、物理、初始、边界
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
1、几何条件：说明导热体的几何形 状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚 度、直径等
n是通过该点等温线上的
法向单位矢量，指向温
t1
度升高的方向；
t2
0
q是该处的热流密度矢量。
δ
x
n dt dn
t t+dt
q gradttn
n
负号是因为热流密度
与温度梯度的方向不
t1
一致而加上
傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯
t2
0
x
δ
度成正比而方向相反
n dt dn
t t+dt
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
2 、温度梯度与热流密度 矢量的关系
表示了微元面积 dA 附 近的温度分布及垂直于该 微元面积的热流密度矢量 的关系。 1 ）热流线
定义：热流线是一组与等温线处处垂直 的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点 的热流密度矢量相切。
其物理意义：反映了物体的温度随时间和空
间的变化关系。
1）对上式化简：
①导热系数为常数
·
t
a(x22t
2t y2
z22t)c
式中，a/(，c)称为热扩散率。
②导热系数为常数 、无内热源
t
2t 2t 2t
a(x2 y2 z2)
③导热系数为常数 、稳态
·
2t x2
2t y2
2t z2
0
④导热系数为常数 、稳态 、无内Biblioteka Baidu源
损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射 换热，垂直于隔热板上的导热系数可达： 10 - 4w/mk
同一种物质的导热系数也会 因其状态参数的不同而改变， 因而导热系数是物质温度和 压力的函数。
一般把导热系数仅仅视为温 度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系 来描述
等温面与等温线
• 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同 的点连接起来所构成的面
• 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这 个平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点：
• (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
• (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会 中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面 （曲线），或者就终止与物体的边界上
三、其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
ta( r22 t1 r r tr1 2 2t2 z22 t) qv c
对于球坐标系
t a [r 1 2 r ( r 2 r t) r 2 s 1i n (s t i) n r 2 s 1 2 i n 2 t 2 ] q v c
2、物理条件：说明导热体的物理
特征如：物性参数 、c 和 的数
值，是否随温度变化；有无内热源、 大小和分布； 3、初始条件：又称时间条件，反映导热系统的 初始状态
tf(x,y,z,0)
４、边界条件:反映导热系统在界面上的特征，也可 理解为系统与外界环境之间的关系。
2 、分类
1 ）初始条件：初始时间温度分布的初始条件； 2 ）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边 界条件。 说明： ①非稳态导热定解条件有两个； ②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是 各向同性的。
§2-2导热微分方程（Heat Diffusion Equation） 一、导热微分方程的推导
(3) 物 体 内 具 有 均 匀 分 布 内 热 源 ； 强 度 qv [W/m3]; qv 表示单位体积的导热体在单位时间内
放出的热量
导热体内取一微元体，根据能量守恒定律， 单位时间净导入微元体的热量 加d 上微元体内热 源生成的热量 应 等v 于微元体焓的增加量
ddvv＝
1、导入与导出微元体的净热量