第八章-矩阵位移法(一),同济大学结构力学课件,朱慈勉版教材,吕凤悟老师课件
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结构力学-矩阵位移法-PPT
a11 AB a21
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
实践应用
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
《结构力学课件》矩 阵 位 移 法
将（17—21）及（17—25） T F 式代入上式得： e
K
T
e
T e
e
F
T
K
T e
e 另 [T]T[ K ] [I]=[K]e 则 用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
e Fi e F j e Kii e K ji e e Kij i e Ke jj j
• 注：1） F , 为结构坐标的杆端力和杆端位移。 • 2） Kij e 表示单元e 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力 • 分量分别产生的力。 • 3） Kii , Kij , K ji , K jj 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
e e
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• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
• 已知上例支承条件 1 =0，连同已获得的[K]，以及各结点 荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i 1 0 2i1 4i1 4i 2 2i 2 0 0 2i 2 2 4i 2 3 M1 M 2 0
｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。
矩阵位移法-1
1
1/2
2
M
五.(零位移)边界条件处理
方法: 后处理法: 先处理法 后处理法
6kN.m
3kN.m
i1 = 1 i2 = 2
2 3
P3
1
置0置1法 乘大数法
1
(1) (2)
2
(3)
(1)置0置1法 (2)乘大数法 若 δi 元素 ⎡4 ⎢2 ⎢ ⎢ ⎣0
= 0 ,则将总刚主对角 kii 乘以大数N.
1
=1
×δ3
1 k22
1 k12
1 1 2 3 2 单元刚度矩阵中元素的物理意义 δ3 δ δ i = i i = i 1 1 2 2 ⎡k11 k12 k13 ⎤ ⎥ [k ] = ⎢ k k k 总刚的形成方法 ---“对号入座” ⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ 1 2 ⎣k31 k32 k33 ⎥ ⎦ 1 2 1 1 kij ---发生 δ j = 1, 其它结点位 ⎡ ⎤ 11 k k 1 11 12 移为零位移时在 i结点所需 [k ] = ⎢ 1 1 ⎥ k21 k22 ⎦ 2 2 ⎣ 加的结点力. 1 2 3 1 1 结构刚度矩阵性质:对称矩阵 0⎤1 ⎡k11 k12 1 1 2 2⎥ [k ] = ⎢ ⎢k21 k22+ k11 k12⎥ 2 2 2⎥ 简记为 {P} = [k ]{Δ} ---结构刚度方程 ⎢ k k 0 ⎣ 21 22⎦ 3 2 3 [k ] --结构刚度矩阵(总刚) 1 2 1 1 k = 0 k11 = k11 k 21 = k 21 2 2 31 2 1 ⎡ ⎤ k k 2 11 12 2 1 1 2 [k ] = ⎢ 2 2 ⎥ k32 = k 21 k12 = k12 k 22 = k 22 + k11 3 2 k k 21 22 ⎣ ⎦ 2 2 k13 = 0 k 23 = k12 k33 = k 22
1/2
2
M
五.(零位移)边界条件处理
方法: 后处理法: 先处理法 后处理法
6kN.m
3kN.m
i1 = 1 i2 = 2
2 3
P3
1
置0置1法 乘大数法
1
(1) (2)
2
(3)
(1)置0置1法 (2)乘大数法 若 δi 元素 ⎡4 ⎢2 ⎢ ⎢ ⎣0
= 0 ,则将总刚主对角 kii 乘以大数N.
1
=1
×δ3
1 k22
1 k12
1 1 2 3 2 单元刚度矩阵中元素的物理意义 δ3 δ δ i = i i = i 1 1 2 2 ⎡k11 k12 k13 ⎤ ⎥ [k ] = ⎢ k k k 总刚的形成方法 ---“对号入座” ⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ 1 2 ⎣k31 k32 k33 ⎥ ⎦ 1 2 1 1 kij ---发生 δ j = 1, 其它结点位 ⎡ ⎤ 11 k k 1 11 12 移为零位移时在 i结点所需 [k ] = ⎢ 1 1 ⎥ k21 k22 ⎦ 2 2 ⎣ 加的结点力. 1 2 3 1 1 结构刚度矩阵性质:对称矩阵 0⎤1 ⎡k11 k12 1 1 2 2⎥ [k ] = ⎢ ⎢k21 k22+ k11 k12⎥ 2 2 2⎥ 简记为 {P} = [k ]{Δ} ---结构刚度方程 ⎢ k k 0 ⎣ 21 22⎦ 3 2 3 [k ] --结构刚度矩阵(总刚) 1 2 1 1 k = 0 k11 = k11 k 21 = k 21 2 2 31 2 1 ⎡ ⎤ k k 2 11 12 2 1 1 2 [k ] = ⎢ 2 2 ⎥ k32 = k 21 k12 = k12 k 22 = k 22 + k11 3 2 k k 21 22 ⎣ ⎦ 2 2 k13 = 0 k 23 = k12 k33 = k 22
矩阵位移法ppt课件
e
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
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作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
第八章-矩阵位移法(一)
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计 算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却 日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几 十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 和结果分析上。
2019/1/14
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造 都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛 的重视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发 具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前 世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。 目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、 价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的 PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、 BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
2019/1/14
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
有限元分析技术的发展现状
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来 国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等 专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
结构力学教学课件09矩阵位移法ppt
所在行、列的副元素以及同行 的未知结点荷载改为0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
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0 0 sin cos 0
00 0
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2014/12/20
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
有限元分析技术的发展现状
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来 国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等 专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计 算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却 日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几 十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 和结果分析上。
先处理法的分析步骤
2014/12/20
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
几个基本概念
§8-3 单元刚度矩阵 Element stiffness matrix
F e K e Δe
杆端位移向量 单元刚度矩阵
单元刚度矩阵：单元杆端力与杆端位移之间的关系矩阵。
杆端力向量
杆端力和杆端位移的表示方法
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
矩阵位移法进行结构分析的步骤
后处理法（直接刚度法）的分析步骤
结构离散并进行结构标识。 单元分析 计算各单元的刚度矩阵。 形成原始总刚度矩阵和原始总刚度方程。 引入位移边界条件，形成结构刚度矩阵和刚度方程。 结构整体分析 求解结构刚度方程，得未知的结点位移。 计算各单元杆端力和支座反力。 结构离散并进行结构标识。 单元分析 计算各单元的刚度矩阵。 形成结构刚度矩阵和刚度方程。 结构整体分析 求解结构刚度方程，得未知的结点位移。 计算各单元杆端力和支座反力。
目的：有利于分析途径系统化，步骤规格化。易于编程。
结论：选择位移法
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
矩阵位移法与有限元法（FEM）的关系
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、 壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分 析方法。 矩阵位移法可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
水轮机叶轮的受力分析模拟－应力云图
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
有限元模型
结构内力图
开挖状态变形图
位移云图
邻房位移随施工进程变化图
三林商业城地下施工对相邻建筑物的影响
2014/12/20
同济大学土木工程学院
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
§8-1 概述
结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。
结构分析问题趋向大型化、复杂化 ——提出要求 计算机技术发展突飞猛进 ——提供可能
力法 位移法
应用矩阵理论 以计算机为工具
矩阵力法 矩阵位移法
（结构矩阵分析方法）
（力学原理与方法） 结构分析技术手段：手算 技术要求：计算尽可能简化
2014/12/20
同济大学土木工程学院 结构力学 之 同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 矩阵位移法
后处理法（又称直接刚度法）
结构的支座位移边界是在总刚度方程形成后引入的，即先形成原始总刚度方 程，再考虑支座位移边界对总刚度方程修正形成结构刚度方程。 单元分析不考虑任何位移约束，故，单元均为自由式单元（无杆端约束）， 单元统一。 先处理法
在形成单元刚度矩阵时就将实际的位移边界条件和位移关系考虑进去，即在 总刚度方程形成之前考虑支座位移边界条件。 单元为有约束单元，每个单元所受到的位移约束条件不完全相同，故，单元 不统一。 由单刚形成的总刚度方程就是结构刚度方程。
后处理法单元统一，更适用于编程、电算；先处理法单元不统一，适用于手 算。
e eT
e
x
ui , Fxi
i
j
u j , Fxj vi , Fyi v j , Fyj
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
结构坐标系中 杆端力向量 Fe Fxi Fyi M i Fxj Fyj M j eT 杆端位移向量 Δe ui vi i u j v j j eT
结构力学 之 矩阵位移法
§8-2 矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法的解题思路
一般原理：同位移法
第一步：离散化，单元分析
相当于位移法中第1步（判别基本 未知 量，做基本结构 ）和第 3 步 （求位移法方程的系数项和自由 项）
结构
单跨超静定 杆件（单元） 的组合体
相当于位移法中第2步（建立位移 法方程）和第4步（解方程求节点 位移）
y
3
②
右手系
4 ③ 2 x
单元编号
单元：两结点之间的等截面直杆段。
y
x
①
1
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结构力学 之 矩阵位移法
变截面和曲杆杆件的离散化处理方式
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
矩阵位移法的基本方程
单元刚度方程
Fe K e Δe （相当于位移法中的转角位移方程）
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处 理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限 元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图， 便于极值搜索和所需数据的列表输出。 与CAD软件的无缝集成 当今有限元分析系统的另一个特点是与通用 CAD软件的集成使用， 即：在用 CAD 软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算， 如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从 而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了 和著名的 CAD 软件的接口（例如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、 SolidEdge 、 SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等） 。
正负号规定：无论是在单元坐标系还是在结构坐标系中，均规定力和位移分 量与坐标方向一致为正。 单元坐标系中 j,M j 杆端力向量 F e Fxi Fyi M i Fxj Fyj M j eT i , M i y 杆端位移向量 Δ ui vi i u j v j j “－”表示单元坐标系中的物理量。
单元杆端位移向量
单元刚度矩阵
单元杆端力向量
原始总刚度方程
F 0 K 0 Δ0 （结构全部结点的平衡方程）
结构总的结点位移向量 原始总刚度矩阵（由单刚形成） 结构总的结点力向量
结构刚度方程
KΔ F （相当于位移法方程）
结构已知结点力向量（荷载） 结构未知结点位移向量 结构刚度矩阵
位移边界条件
第二步：按平衡条件组合，整体分析 与位移法不同之处：
一般计入所有杆件的轴向变形。 基本结构（单元）进一步归于一类杆件——两端固定杆。 进一步规格化 所有过程均采用矩阵的形式表述。
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
结构的离散化
结构标识 坐标系的设定（为了表示力和位移的方向）
2014/12/20
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结构力学 之 矩阵位移法
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造 都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛 的重视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发 具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前 世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。 目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、 价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的 PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、 BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
有限元法的发展和应用
有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场 等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题（多物理场 问题）。
例如：
当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这 就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问 题。
y
e
j
j,M j
u j , Fxj
i , M i i
ui , Fxi
v j , Fyj
x
vi , Fyi
单元坐标系和结构坐标系中，杆端力和杆端位移向量同一分量所表示的物理 含义不同。故，单元坐标系和结构坐标系中的单刚不同。
2014/12/20
同济大学土பைடு நூலகம்工程学院