向量组线性相关性判定
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。
而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。
本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。
一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。
二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。
1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。
4-2 向量的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
1
一 、线性相关与线性无关的定义
1. 定义 给定向量组 A: a1, a2, ... ,am , ,a
如果存在不全为零的实数 如果存在不全为零的实数 k1, k2, ..., km , 使
因为 λ1, ... , λm − 1, −1 这 m 个数不全为 0 (至少 −1 ≠ 0)，所以向量组线性相关 证毕 至少 ，所以向量组线性相关.
6
向量组的线性相关与线性无关的概念也 可移用于线性方程组. 可移用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时, 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的, 方程组(各个方程)是线性相关的; 这个方程就是多余的 称方程组(各个方程)是线性相关的 当方程组中没有多余的方程, 当方程组中没有多余的方程 称该方程组 (各个方程)线性无关(或线性独立). 各个方程)线性无关(或线性独立)
12
证法二 利用方程组有解的条件
把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) 1 1 0 , 记作 B = AK . 0 1 1 设 Bx = 0，以 B = AK 代入得 A(Kx) = 0 . ，
8
1 0 0 0 1 0 例 4 n 维向量组 e1 = , e2 = , L, en = M M M 0 0 1
称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性 试讨论它的线性相关性. 称为n维单位坐标向量组 试讨论它的线性相关性
3.2线性相关性
a11 a21 A 1 , 2 , , s a n1 a12 a22 an 2 a1 s x1 a2 s x2 ,x ans xs
• 证明：设x1a1+x2a2 +…+xsas=0（3.2），即
第二节 向量组的线性相关性
一、向量组线性相关性的概念 二、向量组线性相关性的判定 三、向量组线性相关性的性质
• 一、向量组线性相关性的概念
• 定义4 给定向量组A: 1, 2,…, s, 如果存在不全 为零的数k1, k2,…, ks, 使 k11+k22 +…+kss=0 • 称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关。
• • • •
引理 设有列向量组a1, a2 , …, as, 其中 a1=(a11, a21, …, an1)T， a2 =(a12, a22, …, an2)T, …, as=(a1s, a2s, …, ans)T（s个n维列向量） 则向量组a1, a2 , …, as线性相关齐次线性方程组 Ax=0 (3.1) • 有非零解, 其中
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。
向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。
• 当 r =m 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。
* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。
3-2-2向量组的线性相关性的判定
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
线性代数 向量组的线性相关性
分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
线性代数-向量组的线性相关性
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,,0)T ,e2 = (0,1,,0)T ,，en = (0,0,,1)T
称为n维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E = 1 ≠ 0，知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
因α1，α 2，α 3线性无关，故有
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
x2 + x3 = 0.
由于此方程组的系数行 列式 1 01 1 1 0 =2≠0 011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
(1) 若向量组 A：α1,α2 ,,αm 线性相关,则 向量组 B :α1,,α m ,α m+1 也线性相关.反言之,若向
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证明 （1）记A = (a1,, am ), B = (a1,, am , am+1 )，有 R(B) ≤ R( A) + 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,因此, 根据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立.
相关性的判定
r2 2 r1
1 2 0 2 0 0
3 5 1
∵R（B）=3， ∴B的3个行向量线性无关
推论 n个n维向量线性无关的充分必要条件是 它们所构成的方阵的行列式不等于0
（3）
C 1 0 0 3 2 0 2 1 0 2 3 0
即R（A）=2＜3，故C的3个行向量线性相关
3
2
2 0
1 1
2 3 5
解： （1）∵R（A）=2＜3，∴A的3个行向量线性相关 推论：当m＞n时，m个n维向量a1,a2, …，am一定线性 相关（即向量组中的向量个数大于维数则必线性相关）
（ 2）
1 2 3 r3 r2 r1 B 2 2 1 0 0 1 源自2 a x
n
n
0
故：一个向量组与一个齐次线性方程组是一一对应的
定理1：向量组
1,2 ,
,m （m≧2）线性相
关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余
m-1个向量线性表示.
证明： 如果向量组 A: a1 , a2 ,……, am ( m≥2 ) 线 性相关， 则有不全为零的数 1 , 2 ,, m 使
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 x, y, 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
2， ， r 线性相关，故有 证：因 1， 不全为0，使
k1 ,k2 ,
,kr
线性代数线性相关性判定定理
（A）1,2 , ,m 中有一零向量
（B）1,2 , ,m 中任意两个向量的分量成比例
（C）1,2 , ,m 中有一向量是其余向量的
线性组合
（D）1,2 , ,m 中任意一个向量是其余向
量的线性组合
例2 若向量组 1,2 , ,m 线性相关，则 1
是其余向量的线性组合，这种说法对吗？ 不对
§3.3 线性相关性判定定理
定理1 向量组1,2 ,,m（当m 2 时）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 22 m1m1
因 由1,2 , ,m 唯一的线性表示
所以 k1 l1 l1, k2 l2 l2 , , km lm lm 所以 k1 0, k2 0, , km 0
即1,2 , ,m 线性无关
所以此命题为真命题
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性相关 , 则增加
若干个向量后所得的向量组
余向量线性表示
例8 设向量组 1,2 ,3 线性相关，向量组2 ,3 ,4
线性无关，问
1能否由 2 ,3 线性表示？证明你的结论
解能
因为 2,3,4 线性无关，
整体无关则部分无关
所以 2 ,3 线性无关 而 1,2 ,3 线性相关 由定理2，1可唯一的由 2 ,3 线性表示
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k11 k22
k1 k
1
k2 k
2
krr k
kr k
r
线性代数-向量组的线性相关性
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
{PAGE}
20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
0
10Leabharlann 线性表示。{PAGE}
6
定义 2’：
设1 ,2 ,,m是向量组,如果存在不全为零的常数
k1 ,k2 , ,km
使得k11 k22 kmm 0
则称向量组1 ,2 ,,m线性相关，否则称为线性无关。
{PAGE}
7
注
由以上定义可得，
向量组1 ,2 ,,m是向线性无关的充分必要条件是 方程组k11 k 22 kmm 0只有零解。
2、 向量1 ,2 ,3线性相关
1 ,2 ,3 中有一个向量可由其余的向量线性表示
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34
不妨设3
k11
k2
，
2则
1
,2
,
线性相关
3
1 ,2 ,3 共面
k2 2 3 k11
{PAGE}
35
定理 3
设向量组1 ,2 ,,m线性无关,1 ,2 ,,m ,
线性相关，则 可由1 ,2 ,,m唯一线性表示。
{PAGE}
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
怎么判断向量组的线性相关性
怎么判断向量组的线性相关性
可以通过线性相关的定义入手去判断向量组是否线性相关。
令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关。
若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
也可以通过线性相关的性质入手去判断：
1、当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关。
2、当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。
3、通过向量组的正交性研究向量组的相关性。
4、通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性。
线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
5、通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的。
若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
向量组的概念：
在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，向量分为行向量和列向量。
而由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应，即矩阵由行向量组组成，或列向量组组成。
方向相同，大小相等的向量叫做向量组。
3.3 向量组的线性相关性
法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 行列式法 0 1 2
a1 , a2 , a3线性无关
2 1 0
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§3.3
向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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§3.3
向量组的线性相关性
2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 阶梯形矩阵 2 0 0 4 0 1
1 1 2 , 2 2 3 , , n n 1 ,
证明:当 n为奇数时,向量组1 , 2 , , n 线性无关； 当 n为偶数时，向量组 1 , 2 , , n 线性相关. 证：设一组数 k1 , k2 ,kn使k11 k2 2 kn n 0 即k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k n an a1 ) 0 亦即 （ k1 kn )a1 ( k1 k2 )a2 ( k2 k3 )a3 ( kn1 kn )an 0, a1，a2， , an线性无关，有
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念。
判断向量组是否线性相关的方法有很多。
下面将介绍几种常见的判断方法。
方法一：线性组合法设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，若存在一组不全为0的系数c1,c2,…,cn，使得c1v1+c2v2+…+cnvn=0，则向量组V是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。
这个方法主要是利用了线性组合的概念，通过求解线性方程组的方法来判断向量组的线性相关性。
方法二：行列式法将n个向量作为列向量排列成一个n×n的矩阵A，即A=[v1,v2,…,vn]，计算矩阵A的行列式det(A)。
若det(A)=0，则向量组V是线性相关的；若det(A)≠0，则向量组V是线性无关的。
这个方法主要是利用了行列式的性质，当行列式为0时，表示该矩阵的行（或列）向量线性相关。
方法三：秩的概念定义矩阵A=[v1,v2,…,vn]，将矩阵A进行高斯消元或初等变换，得到阶梯形矩阵B。
如果B的主对角线上所有元素都不为0，那么向量组V 是线性无关的；如果B的主对角线上有一个元素为0，那么向量组V是线性相关的。
这个方法主要是利用了矩阵的秩的概念，即矩阵的秩等于阶梯形矩阵的主对角线上非零元素的个数。
方法四：向量的线性组合关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果存在一个向量vi （i从2到n），可以由剩余的n-1个向量线性表出，即vi可以表示为其他向量的线性组合，那么向量组V是线性相关的；如果任意一个向量都不能由剩余的其他向量线性表出，那么向量组V是线性无关的。
这个方法是一种直观的判断方法，通过观察向量之间的线性组合关系来判断向量组的线性相关性。
方法五：向量的长度关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果向量v1的长度大于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性无关的；如果向量v1的长度小于等于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性相关的。
3_2_2向量组线性相关性的判定内容
向量组线性相关按定义方式的判定：向量组s ααα,,,21L 线性相关的充要条件是：存在一组不全为零的数s k k k ,,,21L 使1122s s k k k o ααα+++=L ．向量组线性无关按定义方式的判定：向量组s ααα,,,21L 线性无关的充要条件是：对于任意一组数s k k k ,,,21L 只要1122s s k k k o ααα+++=L ，则必021====s k k k L ．对于一个向量线性关系的判定：一个向量α线性相关o α⇔=；一个向量α线性无关o α⇔≠．命题3. 1：若向量组有一个部分组线性相关，则它线性相关．证明：不妨设s r αααα,,,,,21L L 的部分组r ααα,,,21L 线性相关，由定义，有不全为零的数r k k k ,,,21L 使 1122r r k k k o ααα+++=L ．于是有1122100r r r s k k k o ααααα+++++++=L L而0,,0,,,,21L L r k k k 仍是一组不全为零的数，故12,,,s αααL 线性相关． □ 推论：(1) 含有零向量的向量组必线性相关；(2) 线性无关向量组的任一部分组也线性无关．定理 3. 2 向量组s ααα,,,21L （2≥s ）线性相关的充分必要条件是其中有一个向量可被其余向量线性表出．证明：必要性．设s ααα,,,21L 线性相关，则有不全为零的一组数s k k k ,,,21L 使1122s s k k k o ααα++=L不妨设 01≠k ，于是s s k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性. 不妨设1α可被其它向量线性表出，即有一组数s k k k ,,,32L 使s s k k k αααα+++=L 33221于是，122(1)s s k k o ααα−+++=L ，这里()1−，2k ，s k ,L 不全为零，因而向量组s ααα,,,21L 线性相关． □ 定理3. 3 设向量组r ααα,,,21L 线性无关，βααα,,,,21r L 线性相关，则β可被r ααα,,,21L 线性表出，且表出系数惟一．证明: 存在一组不全为零的数l k k k r ,,,,21L 使得1122r r k k k l o αααβ++++=L若0=l ，则1122r r k k k o ααα+++=L ⇒021====r k k k L 与这组数不全为零相矛盾．故0≠l ，于是有1212()()()r r kk k l l lβααα=−+−++−L ． 表出系数惟一性的证明请读者完成． □设有向量组：()n a a a 112111,,,L =α，()n a a a 222212,,,L =α，K ，()12,,,s s s sn a a a α=L在每一个向量的后面再添加上一维分量，得到如下新的向量组：()()111111211:,,,,,n b b βαααα==L ，()()222212222:,,,,,n b b βαααα==L ，K ，()()12:,,,,,s s s s s sn s b b βαααα==L向量组s βββ,,,21L 叫做向量组s ααα,,,21L 的加长向量组．这里是添加了一维的情况，也可以添加若干维，并且新添加的分量也不仅仅限于最后．可以在第1维的前面加长，也可以在第1维与第2维之间加长等等，所有这些通过添加分量所得到的新向量组都叫做原向量组的加长向量组． 命题3. 4 线性无关向量组的加长向量组也是线性无关．证明：只证在每一向量的最后加长1维的情况，其它加长情况的证明是一样的．设s ααα,,,21L 线性无关，其加长向量组为()()()s s s b b b ,,,,,,222111αβαβαβ===L ．考虑线性组合1122s s x x x o βββ+++=L即()()()11112222,,,s s s s x x b x x b x x b oααα+++=L ，亦即 11(,)s si i i i i i x x b o α===∑∑，从而有1122s s x x x o ααα+++=L 由于s ααα,,,21L 线性无关，故 021====s x x x L ，因而12,,,s βββL 线性无关．。
向量组的线性相关性
向量组线性无关性的判定定理 m维向量组 A： , , , 线性无关 1 2 n 如果 k11 k22 knn （零向量），则必有 k1 = k2 = … = kn =0 ． n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = 1 2 n 的秩等于向量的个数 n ． 即：r(A)=n
, ,
k1( ) k2( ) k3( ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) (k1 k3 )
因为向量组 , , 线性无关，所以
k1 k3 0 k1 k2 0 k2 k3 0
，如果存
11 2 2 nn
则称向量 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 能由向量
组A 线性表示．
P.110 定理4.1 的结论： 向量 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = 有解
r ( A) r ( A, )
由于零向量可由向量组A线性表示：0 01 02 0n n元齐次线性方程组 Ax =0 有非零解
已知向量组A:
k1 0 kl 1 k n 0
含有零向量的向量组线性相关
4、n维基本单位向量组 1, 2 n
1 0 1 0
0 1 2 0
0 0 n 1
所以向量组 1, l ,l 1 ,n 也线性相关
部分相关 整体相关， 整体无关 部分无关
例4 、
分析：
性质3、已知向量组 1,2 , ,n ，若其中至少有一个向量能表示成其余向量 的线性组合，不妨假设
1 k202 kn 0n
则其次线性方程组
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向量组线性相关性判定安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。
所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组? 例如一个m?n 矩阵对应一个m维列向量组? 也对应一个n维行向量组第 3 页(a11a22?a1n)(a21a22?a2n)??????(am1am2 ?amn) 线性组合与线性表示?a11a12?a1n???aa?a?21222n???? ???? ??aa?a??m1m2mn??a11??a12??a1n?? ?????a?21?,?,?a22?,?a2n?????????? ???a ??a???a??m1??m2??mn?向量组的线性相关性的定义设A:a1,a2,?,am是一向量组? 表达式k1a1?k2a2???kmam称为向量组A的一个线性组合? 其中k1,k2,?,km是一组实数? 称为这个线性组合的系数? 如果向量b是向量组A的线性组合b??1a1??2a2????mam则称向量b能向量组A线性表示? 例如，任一n维向量，都可以n维基向量线性表示. 例 1. 设向量组b1??1,0,?1?,b2??1,1,1?,b3??3,1,?1?,b4??5, 3,1?,试判断b4是否可TTTTb1,b2,b3线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式. 解设一组数k1,k2,k3,使b4?k1b1?k2b2?k3b3,即有T?5,3,1???k1?k2?3k3,k2?k3,?k1?k2?k3?. T 向量相等的定义可得线性方程组?k1?k2?3k3?5,?? k2?k3?3,??k?k?k?1.?123该方程组的一个解为k1?2,k2?3,k3?0. 于是b4?2b1?3b2,即b4b1,b2,b3线性表示. 定理1 向量b能向量组A:a1,a2,?,am线性表示的充分必要条件是矩阵A?(a1,a2,?am) 与矩阵B?(a1,a2,?am,b)的秩相等? 即R(A)?R(B)? 向量组线性相关的定义定义 1 向量组A:a1,a2,?,am(m?2)线性相关?在向量组A 中至少有一个向量能其余m?1个向量线性表示. 定义 2 给定向量组A:a1,a2,?,am，m个数k1,k2,?,km,构造k1a1?k2a2???kmam?0, ?*? 如果存在不全为零的数k1,k2,?,km,使?*?式成立，称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关. 这两个定义是等价的. 证明如下：第 4 页如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能其余m?1个向量线性表示? 即有?1,?2,?,?m?1,使am??1a1??2a2???m?1am?1, 于是?1a1??2a2???m?1am?1?(?1)am?0. 因为?1,?2,?,?m?1,?1不全为0? 所以向量组A线性相关? 反过来，如果向量组A线性相关，则有k1a1?k2a2???kmam?0, 其中k1,k2,?,km 不全为0? 不妨设k1?0? 于是a1??(1)(k2a2???kmam), k1即a1能a2,?,am线性表示? 例2 判断向量组?1?(2,?1,3,1),?2?(4,?2,5,4),?3?(2,?1,4,?1)是否线性相关. 解：可取?1,?2,?3为未知数，建立下列方程式?1?1??2?2??3?3?0, 看它是否有?1,?2,?3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组?2?1?4?2?2?3?0,????2????0,?123 ?3??5??4??0,23?1???1?4?2??3?0.前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故?1,?2,?3线性相关.特别的一组解，可取为(?1,?2,?3)?(3,?1,?1),即3?1??2??3?0或?3?3?1??2. 定理2向量组a1,a2,?,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A?(a1,a2,?am)的秩小于向量个数m? 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m 这是因为? 向量组A:a1,a2,?,am线性相关?x1a1?x2a2???xmam?0 即Ax?0有非零解?R(A)?m. 向量组a1,a2,?,am线性无关?R(a1,a2,?,am)?m. 例 3 证明n维单位坐标向量组e1?(1,0,?,0)T,e2?(0,1,?,0)T,?,en?(0,0,?,1)T 线性无关. 证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数k1,k2,?,kn,使得第5 页k1e1?k2e2???knen?0, 根据向量线性运算的定义可以得到(k1,k2,?,kn)T?(0,0,?,0)T,从而k1?k2???kn?0.所以e1,e2,?,en是线性无关的. 另证我们利用定理，设向量组e1,e2,?,en构成的矩阵为I?(e1,e2,?,en),I 是n阶单位矩阵.显然有R(I)?n,即R(I)等于向量组中向量的个数，所以定理2知向量组I是线性无关的. TT例4 已知向量a1?(1,1,1)T,a2?(0,2,5),a3?(2,4,7)讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性. 解对矩阵(a1,a2,a3)施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵(a1,a2,a3)及(a1,a2)的秩，再利用定理2就可以得出结论. 易知R(a1,a2,a3)?2?3,向量组a1,a2,a3线性相关；R(a1,a2)?2,向量组a1,a2线性无关. 4.向量组线性相关性的性质含零向量的向量组必线性相关? 线性无关的向量组中一定不含零向量. 一个向量?线性相关???0. 一个向量?线性无关???0. (3)两个非零向量?1,?2线性相关??1?k?2. 两个向量?1,?2线性无关?它们不成比例. (4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关. 向量组全体线性无关，则每一部分线性无关. 若向量组A:a1,a2,?,am线性相关? 则向量组B:a1,a2,?,am,am?1也线性相关? 反之? 若向量组B线性无关? 则向量组A也线性无关? 结论可叙述为? 一个向量组若有线性相关的部分组? 则该向量组线性相关? 一个向量组若线性无关? 则它的任何部分组都线性无关? 性质说明：这是因为? 记A?(a1,a2,?,am)?B?(a1,a2,?,am,am?1)?有R(B)?R(A)?1.若向量组A线性相关? 则有R(A)?m，从而R(B)?R(A)?1?m?1.因此向量组B线性相关? (5) 个数大于维数时，必线性相关. 个数等于维数时，看行列式. 第 6 页m个n维向量组成的向量组? 当维数n 小于向量个数m时一定线性相关? 特别地? n?1个n维向量一定线性相关? 这是因为? m个n维向量a1,a2,?,am构成矩阵An?m?(a1,a2,?,am), 有R(A)?n. 若n?m则R(A)?n?m, 故m个向量a1,a2,?,am线性相关? (6)设向量组A:a1,a2,?,am线性无关? 而向量组B:a1,a2,?,am,b线性相关? 则向量b必能向量组A线性表示? 且表示式是唯一的? 这是因为? 记A?(a1,a2,?,am)?B?(a1,a2,?,am,b)?有m?R(A)?R(B)?m?1, 即有R(B)?R(A)?m.因此方程组有唯一解(a1,a2,?,am)x?b 即向量b能向量组A线性表示? 且表示式唯一? 5.向量组线性相关性的判定方法定义法给定向量组A:a1,a2,a3,?,am,如果存在不全为零的数k1,k2,k3,?,km,使得A是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的k1a1?ka2?2??kmam?0成立，则称向量组数k1,k2,k3,?,km,使得k1a1?k2a2???kmam?0成立，也就是说，只有当k1,k2,k3,?,km全部为0时，k1a1?k2a2???kmam?0才成立，则称向量组A是线性无关的. 例5 设向量组a1,a2,a3线性无关，判断向量组b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a1的线性相关性. 解设一组数k1,k2,k3,使k1b1?k2b2?k3b3?0,则有k1(a1?a2)?k2(a2?a3)?k3(a3?a1)?0,即(k1?k3)a1?(k1?k2)a2?(k2?k3)a3?0. 因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以?k1?k3?0,??k1?k2?0, ?k?k??2该方程组的系数行列式D?2?0,故方程组只有零解k1?k2?k3?0,所以向量组b1,b2,b3线性无关. 例6 判断向量组b1??1,0,?1?,b2??1,1,1?,b3??3,1,?1?,b4??5, 3,1?的线性相关性. 解设一组数k1,k2,k3,k4,使k1b1?k2b2?k3b3?k4b4?0, 第7 页TTTT 比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组?k1?k2?3k3?5k4?0,? ?k2?k3?3k4?0, ??k?k?k?k?0.?1234 该方程组的一个非零解为k1?2,k2?3,k3?0,k4??1,故向量组b1,b2,b3,b4线性相关. 利用向量组内向量之间的线性关系判定定理 3 向量组A:a1,a2,a3,?,am线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量可以其余m?1个向量线性表示. 定理 4 向量组a1,a2,?,am线性无关，而a1,a2,?,am,?线性相关??可a1,a2,?,am线性表示且表达方式唯一. 定理 5 若向量组a1,a2,?,am有一部分向量组线性相关?向量组a1,a2,?,am线性相关.与此等价的一个说法为：向量组a1,a2,?,am线性无关?向量组a1,a2,?,am的任一部分向量组线性无关. 例7 已知?1,?2,?3线性无关，?2,?3,?4线性相关，问：?4能否?1,?2,?3线性表示？?1能否?2,?3,?4线性表示？解?1,?2,?3线性无关??2,?3线性无关，又?2,?3,?4线性相关??4能?2,?3线性表示且表达方式唯一，所以存在数k2,k3使得?4?k2???3?30??4?k?2k1，故?k??4能??1,?2,?3线性表示. 反证法.假设?1能?2,?3,?4表示，则存在数?1,?2,?3，使得1）?4能?2,?3线性表示，所以?1能?2,?3线性表示，所?1??1?2??2???,3又假设向量组?1,?2,?,?m线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,?,km使得：k1?1?k2?2???km?m?0，(1)此可知km?0，上式可得?m??1k(k1?1?k2?2???k m?1?m?1) m即?m可以它前面m?1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此km?0，于是(1)式转化为k1?1?k2?2???km?1?m?1?0. 类似于上面的证明可得km?1?km?2???k2?0,(1)式转化为k1?1?0.但?1?0，所以k1?0这与k1,k2,?,km不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关. 例10 设A为n阶矩阵，?为n维列向量，若A??0，但A2??0. 证明：向量组?,A?线性无关. 证明：用反证法. 假设向量组?,A?线性相关，于A??0，从而??0，则A?可?线性表出，设为A??k?(k?0)否则??0，于是A2??A(A?)?A(k?)?kA??k2??0，这与已知A2??0矛盾，因此向量组?,A?线性无关. 例11 设?1,?2,?,?n是一组n维向量，已知单位坐标向量?1,?2,?,?n可被它们线性表出，证明：?1,?2,?,?n线性无关. 证明：法1 若?1,?2,?,?n线性相关，则至少有一?i可其他?j线性表示.题设，?1,?2,?,?n可?1,?2,?,?n线性表示，从而可?1,?2,?,?n?1线性表示，而任一n维向量均可?1,?2,?,?n线性表示，因而也可n的秩?1,?2,?,?n?1线性表示.此得全体n 维向量构成的向量集合Rn的秩小于n，这与R 等于n矛盾，故?1,?2,?,?n线性无关. 第9 页法 2 设?1,?2,?,?n的秩为r，则r?n,而?1,?2,?,?n 的秩为n.题设，?1,?2,?,?n 可?1,?2,?,?n线性表出，因此n?r，故r?n. 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定. 对于各分量都给出的向量组?1,?2,?,?m，若以A?[?1,?2,?,?m]为系数矩阵的齐次线性方程组AX?0只有零解向量，则此向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 例12 证明向量组?1?(2,1,0,5)T,?2?(7,?5,4,?1)T,?3?(3,?7,4 ,?11)T线性相关. 证明：以?1,?2,?3为系数向量的齐次线性方程组是x1?1?x2?2?x3?3?0,即?2x1?7x2?3x3?0?x?5x?7x?0?123 ?4x?4x?03?2??5x1?x2?11x3?0利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，行阶梯型矩阵可知，R(A)?2?3,即齐次线性方程组有非零解，所以向量组?1,?2,?3线性相关. 例13 ?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,n.证明：如果aij?0，那么?1,?2,?,?n线性无关. 证明：设k1?1?k2?2???kn?n?0,得到线性方程组?a11k1?a21k2???an1kn?0?ak?ak? ??ak?0?121222n2n? ???? ?a1nk1?a2nk2???annkn?0于系数行列式的转置行列式aij?0，故齐次线性方程组只有零解，从而?1,?2,?,?n线性无关. 利用矩阵的秩进行判定设向量组A:?1,?2,?,?m是m个n维列向量所组成的向量组，则向量组A的线性相关性可向量组A所构成的矩阵A?(?1,?2,?,?m)的秩的大小来进行判定.即当R(A)?m 时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性无关的. 当R(A)?m时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 第10 页例14 设?1?(1,1,1)T,?2?(1,2,3)T,?3?(1,3,t)T, 问当t为何值时，向量组?1,?2,?3线性相关，并将?3表示为?1和?2的线性组合. 解：利用矩阵的秩有111111111A???1,?2,?3??123?012?01213t02t?100t?5可见，当t?5时，向量组?1,?2,?3线性相关，并且有111101A?012?012,所以?3???1?2?2. 000000利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定. 例15 断向量组?1?(2,1,3,?1),?2?(3,?1,2,0),?3?(1,3,4,?2)的线性相关性. 解：以?1,?2,?3为行向量构成矩阵A，并进行初等行变换化为行阶梯形4?2??134?2??213?1??134?2??13???3?120 ???0?10?106???0?10?106?A??3?120?????????134?2??213?1??0?5?5 3??0000?????????则R(A)?2?3向量的个数，故向量组线性相关. 例16 向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则下列线性无关的向量组是(A)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1;(B)?1??2,?2? ?3,?3??4,?4??1;(C)?1??2,?2??3,?3??4,?4?? 1;(D)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.分析对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法：定义法先设k1?1?k2?2???ks?s?0,然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等，究竟用什么方法应当从已知条件去寻求信息.通过一次或多次恒等变形来分析k1,k2,?,ks能够不全为零还是必须全是0，从而得知?1,?2,?,?s是线性相关还是线性无关. 利用矩阵的秩. 要论证?1,?2,?,?s线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A，第11 页利用rankA?s或rankA?s来说明. 利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论. 反证法. 解法 1 观察可知(?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0，(A)线性相关. (?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0，(C)线性相关；(?1??2)?(?2??3)?(?3?，(D. 0)线性相关?4)?(???)?排除法可知应选(B). 法 2 对(B)，设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??4)?k4(?4??1 )?0，拆项重组为(k1?k4)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?(k3?k4)? 4?01?k1?k4?0?k?k?01?12?1,?2,?3,?4线性无关知? ，于系数行列式0?k2?k3?0?0?k3?k4?001100?100?2,所以方1011程组只有零解k1?k2?k3?k4?0,从而(B)线性无关.用此法可知(A),(C),(D)均线性相关. 利用行列式的值进行判定若向量组A:?1,?2,?,?m是m个n维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵A?(?1,?2,?,?m)，即A为m阶方阵，则当A?0时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 当A?0时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性无关的. 若向量组A:?1,?2,?,?m的个数m与维数n 不同时，则当m?n时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 当m?n 时，转化为上述来进行判定，即选取m 个向量组成的m维向量组，若此m维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的. 例17 已知?1?(1,1,1),?2?(0,2,5),?3?(2,4,7)试讨论?1,?2,?3的线性相关性. 证明：令A?(?1,?2,?3) 102则A?124?0，所以?1,?2,?3线性相关. 157行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组第12 页是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 例18 已知向量组A:?1,?2,?3是线性无关的，且有b1??1??2,b2??2??3,b3??3??1，证明向量组b1,b2,b3线性无关. 证明：设有x1,x2,x3,使得x1b1?x2b2?x3b3?0即x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0 整理为(x1?x3)?1?(x1?x2)?2?(x2?x3)?3?0 ? x1?x3?0?因?1,?2,?3是线性无关的，所以?x1?x2?0 ?x?x?03?2101于此方程组的系数行列式110?2?0 011故方程组只有零解x1?x2?x3?0，所以向量组b1,b2,b3线性无关. 例19 已知向量组?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,t?2,1) ,?4?(1,2,4,t?9)线性相关，试求t的值. 分析对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：先定义写出x1?1?x2?2???xs?s?0，再根据向量组相当写出齐次线性方程组；若该齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关；若该齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关. ??1????2 排成矩阵A?(?1,?2,?,?s)或A???，求A的秩；???????s?若rankA?s时，向量组线性相关；若rankA?s时，向量组线性无关. 对于n个n维向量，可同上将其排成矩阵A，用A?0是否成立来判断?1,?2,?,?n是否线性相关. 利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定. 解t??1或?2. 第13 页23??10??1??10????11??01352???法 1 A???????3??1?1t?21??0?1??????124t?9?? ?02?4?213??1?02????t?2??0??2t?6??0013 ?2?? 0t?10??00t?2?21t??1或t??2时，rankA?3?4,?1,?2,?3,?4线性相关. 10231135法2 ?(t?1)(t?2) t??1或t??2时行列式为0. 1?1t?21124t?96.结论通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破. 第14 页。