豫南九校2020高三联考数学试卷

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2019-2020学年河南省豫南九校上学期第三次联考高一数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省豫南九校上学期第三次联考高一数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面【答案】C【解析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2．下列哪个函数的定义域与函数()15x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（）A ．2y x x =+B ．ln 2y x x =-C ．1y x =D ．1y x x=+ 【答案】B 【解析】求出函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域，再求出各选项中的定义域，比较即可得出选项.【详解】函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，对于A ，函数2y x x =+的定义域为R ；对于B ，函数ln 2y x x =-的定义域为()0,∞+；对于C ，函数1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；对于D ，函数1y x x=+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；故选：B【点睛】本题考查了指数函数的值域、对数函数的定义域，属于基础题.3．已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由，，则，故选C.4．已知圆锥的侧面积展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（）A ．1B C D ．2 【答案】D【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长可得母线与底面圆半径间的关系．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由已知可得2r l ππ=，所以2l r =，所以2l r=，即圆锥的母线与底面半径之比为2.故选D ．【点睛】解答本题时要注意空间图形和平面图形间的转化以及转化过程中的等量关系，解题的关键是根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得到等量关系，属于基础题．5．已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．()2,0- D ．[]2,0-【答案】C【解析】函数f (x )=x 2+x +a 的图象的对称轴方程为12x =-,故函数在区间(0,1)上单调递增，再根据函数f (x )在(0,1)上有零点,可得()()00120f a f a ⎧=<⎪⎨=+>⎪⎩，解得−2<a <0. 本题选择C 选项.点睛：解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．6．函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是（）A ．y =B ．|2|y x =-C ．21x y =-D ．2log (2)y x = 【答案】A【解析】函数()f x 过定点为()1,1,代入选项验证可知A 选项不过A 点,故选A. 7．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】B 【解析】取BD 中点O ，连结,EO FO ，则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.【详解】取BD 中点O ，连结,EO FO ，设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BG AG G CD ⋂=∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.8．已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．4a <-或4a ≥D ．44a -<≤【答案】D【解析】由题意使230x ax a -+>在[)2,+∞恒成立，且由复函函数的单调性使()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数即可求解.【详解】令()23x x a g ax -+=，则()230x a a g x x =-+>在[)2,+∞恒成立，且()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数，所以22a ≤且()240g a =+>，所以44a -<≤.故选：D.【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调性，注意解题时需使式子在单调区间内有意义. 9．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后PQ的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径，分别计算出结果，得出答案.【详解】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ=（2）前面和上面再一个平面此时PQ=故选C【点睛】本题考查了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是PQ 的路径有两种情况，属于较易题.10．已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.11．已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（）A ．35B ．35-C ．1D ．-1【答案】A【解析】由题意得出()g x 、()h x 的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得2141x m ≤-+转化为求函数的最值，求出函数2141x y =-+的最大值即可.【详解】()g x为偶函数，()h x为奇函数，且()()2xg x h x-=①()()()()2xg x h x g x h x-∴---=+=②①②两式联立可得()222x xg x-+=，()222x xh x--=.由()()0m g x h x⋅+≤得224121224141x x xx x x xm----≤==-+++，∵2141xy=-+在[]1,1x∈-为增函数，∴max231415x⎛⎫-=⎪+⎝⎭，故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意分离参数法的应用，此题属于中档题.12．无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：①若//x y，//x z，则//y z；②若x y⊥，x z⊥，则y z⊥；③若x y⊥，//y z，则x z⊥；④若x与y无公共点，y与z无公共点，则x与z无公共点；⑤若x，y，z两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.其中说法正确的序号为（）A．①③B．①③⑤C．①③④⑤D．①④⑤【答案】B【解析】由平行的传递性可判断①；由直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系可判断②③④⑤.【详解】由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误；若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，若三个平面两两相交，则交点有无数个，故⑤正确；故选：B【点睛】本题主要考查了平行的传递性、直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系，属于基础题.二、填空题13．设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.14．一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为3，则它的侧面积为______.【答案】【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，由四棱锥的体积可求出边长，从而求出侧面积.【详解】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，则24ABCD S a =，h ===，则313V =⨯=1a =，则14222BC PF a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭侧2==故答案为：【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可.【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+-又()f x 在[]0,3上单调递减，所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---<所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m <. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题. 16．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_______________【答案】4π【解析】试题分析：将四面体ABCD 补为正方体，如下图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O ，面积最小的截面就是与OE 垂直的截面.由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为：.224ππ⨯=.【考点】空间几何体.三、解答题17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 和1AA 的中点.求证：CE ，1D F ，DA 交于一点.【答案】证明见解析【解析】根据两个面的公共点一定在两个面的公共线上，只需证出CE 与1D F 交点在AD 上即可.证明：如图所示，连接1CD 、EF 、1A B ，因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点，所以1//EF A B 且112EF A B =. 即：1//EF CD ，且112EF CD =，所以四边形1CD FE 是梯形，所以CE 与1D F 必相交，设交点为P ，则P CE ∈，且1P D F ∈，又CE ⊂平面ABCD ，且1D F ⊂平面11A ADD ，所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面11A ADD ，又平面ABCD平面11A ADD AD =，所以P AD ∈，所以CE 、1D F 、DA 三线交于一点. 【点睛】本题主要考查线共点，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 18．已知函数f （x ）=21x ax bx +++是定义在R 上的奇函数；（1）求a 、b 的值，判断并证明函数y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性（2）已知k ＜0且不等式f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0对任意的t ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（-1，0）【解析】（1）根据奇函数的定义即可求出a 、b 的值，再根据增减性定义证明函数单调性即可（2）根据奇函数的性质及函数的增减性原不等式可转化为t 2-2t +3＞1-k 对任意的t ∈R 恒成立，只需求出t 2-2t +3的最小值即可.（1）∵函数f （x ）=21x ax bx +++是奇函数 ∴由定义f （-x ）=21x a x bx -+-+=-21x ax bx +++，∴a =b =0， ∴f （x ）=21xx +， y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：∵f （x ）=21xx +，∴2221()(1)x f x x -++'=，∵x ＞1，∴()0f x '<，∴y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减．（2）由f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0及f （x ）为奇函数得：f （t 2-2t +3）＜f （1-k ）因为t 2-2t +3≥2，1-k ＞1，且y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减，所以t 2-2t +3＞1-k 任意的t ∈R 恒成立，因为t 2-2t +3的最小值为2，所以2＞1-k ，∴k ＞-1∵k ＜0，∴-1＜k ＜0．∴实数k 的取值范围是（-1，0）．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义，函数的单调性的判断与证明，不等式恒成立，属于中档题．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋1a 4Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？【答案】（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算1(50)80150120277.54f =+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得1()2504f x x =-+，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴1(50)80150120277.54f =+⨯+= （2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 【考点】1.函数建模；2.二次函数. 20．已知幂函数()()3*pf x xp N -=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上为增函数.（1）求不等式()()22132p p x x +<-的解集.（2）设()()log a g x f x ax ⎡⎤=-⎣⎦()0,1a a >≠，是否存在实数a ，使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ (2) a =【解析】试题分析：（1）由题意偶函数和在()0,+∞上为增函数，解得1p =，得到()()1122132x x +<-，结合定义域和单调性，解得答案；（2）由()g x 在[]2,3上有意义得，所以02a <<且1a ≠，所以()2h x x ax =-在[]2,3上为增函数，分12a <<和01a <<两类讨论，解得答案。

河南省信阳市豫南中学2020年高三数学理模拟试卷含解析

河南省信阳市豫南中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x 的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．2. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A． B． C． D．参考答案：C3. 已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A．15 B．10 C．9 D．8参考答案：B4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．123 B.38 C．11 D．3参考答案：C5. 已知集合,则等于A． B．C． D．参考答案：A略6. 设集合A={0，1}，B={-1，0，a+3},且A B，则a=（）A．1 B．0 C．-2 D．-3参考答案：C7. 如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN 上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B【点评】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1“的应用8. 不等式（x＋5）（3－2x）≥0的解集是( )A．{x | x≤－5或x≥} B．{x |－5≤x≤}C．{x | x≤－或x≥5}D．{x |－≤x≤5}参考答案：B9. 若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上参考答案：A【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．10. 若，是虚数单位，则乘积的值是（）A． B．C． D．参考答案：C试题分析：,.考点：复数概念及运算．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3，已知球的半径R＝2，则此圆锥的体积为＿＿＿＿参考答案：12. 在扇形中，，弧的长为，则此扇形内切圆的面积为．参考答案：13. 有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为参考答案：14. 已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是▲。

2019-2020学年河南省豫南九校高一(上)第一次联考数学试卷

（1）求和的值；
（2）求满足解不等式的取值集合．
定义在上的奇函数，已知当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断并证明在上单调性；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年河南省豫南九校高一（上）第一次联考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1.已知集合＝，则下列关系式中，正确的是（）
A. B. C. D.
2.函数在上的最小值为（）
A. B. C. D.
3. 的值是（）
A. B. C. D.
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）
设集合，，则集合的子集的个数为________．
函数的最大值为________．
设函数对的一切实数都有，则＝________
已知函数，若存在，，当时，＝，则的最小值为________ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
A. ＝ B. C. ＝ D. ＝
5.已知＝，＝，＝，则（）
A. B. C. D.
6.已知函数＝，则的解析式是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
7.已知函数＝定义域是，则＝的定义域是（）
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，对任意都有＝，＝，则的值为（）

河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第二次联考文科数学试题

豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的娃名、准考证号．考场号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}22610A x x =∈<+≤N ，{}04B x x =<<，则A B ⋂=（）A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}1,2D ．{}2,32．已知i 为虚数单位，则43i1i -=+（）A ．17i 22+B ．17i22-C ．53i 22+D ．53i 22-3．已知“24x x >”是“2x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．()(),22,⋃-∞-+∞D ．(][),22,-∞-⋃+∞4．已知圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若6cos 4BOC ∠=，则OA OC ⋅= （）A ．BC ．D 5．已知函数()1xf x ax x =++，若()02f '=，则()2f =（）A ．83B ．2C ．53D ．36．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b ==，且12CA CB ⋅=- ，则c =（）A ．2B ．C D7．已知sin18m ︒=，则cos 2424︒+︒=（）A ．242m-B ．224m-C ．4D ．4-8．已知{}n a 为等差数列，公差为黄金分割比512（约等于0.618），前n 项和为n S ，则()2106842a a S S -+-=（）A 1-B 1+C ．16D ．49．2022年8月26日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同吋，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积S （单位：m 2）与时间t （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型()tS t ka =（t ∈Z ，0k >，0a >且1a ≠）．已知第一个月该植物的生长面积为1m 2，第3个月该植物的生长面积为4m 2，则该植物的生长面积达到100m 2，至少要经过（）A ．6个月B ．8个月C ．9个月D ．11个月10．已知()e xf x x =，过1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（）A ．3e2B ．23e C ．2e D11．已知函数()()sin 034f x A x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若4T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的图象向左平移2π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则2f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．D 12．已知数列{}n a 的通项公式为()2(1)n n a n n =--，前n 项和为n S ，则满足212023n S +≤-的最小正整数n 的值为（）A ．28B ．30C ．31D ．32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()1,2A ，()2,3B -，则与AB垂直的单位向量的坐标为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若945S =，且8996a a +=，则123a a +=______．15．已知函数()2sin f x x =的导函数为()f x '，()()()g x f x f x =+'，则函数()g x 图象的对称中心为______．16．已知函数()231sin 3e 12xf x x π⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为______．三、解答题，本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z 的共轭复数为z ，()()2i 3i zm m -=+∈R （其中i 为虚数单位）．（1）若6z z +=，求z ；（2）若3z z ⋅<，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知命题p ：()21,02,0x a x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩的最小值为1-，命题q ：x ∀∈R ，2420x x a -+≥恒成立．（1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos a B A =．（1）若2c b =，求证：ABC △为直角三角形；（2）若ABC △的面积为6a =，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a x x =，()cos ,cos sin b x x x =- ，向量b 在a 上的投影记为()f x ．（1）若()a ab ⊥-，求()f x 的值；（2）若()2f x =，求b ．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n s a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1122n n n n a b a a ++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若()10nn c n a =-，数列{}n c 的前n 项和为n A ，求n A 的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln exf x x k k =+∈R ．（1）若1x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的极值；（2）设()ln e x x h x =的极大值为()0h x ，且()f x 有零点，求证：02e x kx ≥-．豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）参考答案123456789101112CBDAADBCBCAD1．【答案】C【解析】由题意，得{}{}220,1,2A x x =∈-<≤=N ，又{}04B x x =<<，故{}1,2A B ⋂=．故选C ．2．【答案】B【解析】()()()()43i 1i 43i 17i 17i 1i 1i 1i 222----===-++-．故选B ．3．【答案】D【解析】由24x x >，得04x <<，由题意，得24m≥，即(][),22,m ∈-∞-⋃+∞．故选D ．4．【答案】A【解析】由cos 4BOC ∠=，得cos 4AOC ∠=-，故6224OA OC ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．5．【答案】A 【解析】由()1x f x ax x =++，得()()211f x a x +'=+，故()012f a ='+=，故1a =，故()1x f x x x =++，故()282233f =+=．故选A ．6．【答案】D【解析】由12CA CB ⋅=- ，得1cos 2ab C =-．又22a b ==，故1cos 4C =-，由余弦定理，得22212cos 4122164c a bab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故c =D ．7．【答案】B 【解析】()1cos 24242cos 24sin 242cos 60242cos3622⎛⎫︒+︒=⨯︒+︒=︒-︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭()()222212sin 1821224m m =⨯-︒=⨯-=-．故选B ．8．【答案】C 【解析】设{}n a 的公差为d ，则d 是方程210x x +-=的一个解，则21d d +=，故()()()2221068424161616a a S S d d d d -+-=+=+=．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意，得()()31134S ka S ka ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故()11222t t S t -=⨯=．令()12100t S t -=>，结合t ∈Z ，解得8t ≥，即该植物的生长面积达到100m 2时，至少要经过8个月．故选B ．10．【答案】C 【解析】由()e x f x x =，得()()1e x f x x +'=，设切点坐标为()000,e x x x ，则切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+-，把点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入并整理，得()000112x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得01x =或012x =-（舍去），故切线斜率为()12e f '=．故选C ．11．【答案】A 【解析】∵2T πω=，∴3sin 44T f A π⎛⎫==⎪⎝⎭2A =，∴()2sin 24g x x ππω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∵()g x 为奇函数，∴()00g =，即()24k k ωπππ+=∈Z ，∴()122k k ω=-∈Z ．又03ω<<，∴32ω=，∴()32sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2sin 222f ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．12．【答案】D 【解析】由题意，得()()()()222222212143221n S n n +⎡⎤=-+-++---⎣⎦ ()()22112345221n n n ⎡⎤+--+-+-+⋅⋅⋅+-+⎣⎦()()()()()()()221124334221212(21)21n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+---+-+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222121234221121122n n n n n n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+++=+++=-+，由212023n S +≤-，得()222023n n -+≤-，即220232n n +≥，结合*n ∈N ，解得32n ≥，故n 的最小值为32．故选D ．13．【答案】10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意，得()3,1AB =- ．设与AB 垂直的向量为(),a x y =，由0AB a ⋅= ，得30x y -+=，即3y x =，当a的坐标是()1,3时，可得与AB 垂直的单位向量为a a ± ，即10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．14．【答案】182【解析】因为945S =，所以()19599452a a a +==，解得55a =．又8951296a a a a +=+=，所以1291a =，所以123122182a a a +==．故答案为：182．15．【答案】(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z【解析】由()2sin f x x =，得()2cos f x x ='，故()2sin 2cos 4g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k ππ+=∈Z ，得()4x k k ππ=-+∈Z ．故答案为：(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．16．【答案】-6【解析】由题意，得()2321sin 31cos 3e 12e 1xx f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把()f x 的图象向上平移3个单位长度，可得函数()21cos e 1x g x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭的图象．当[],x ππ∈-时，()()()221cos 1cos e 1e 1x x g x x x g x -⎛⎫⎫-=---=-=- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()g x 为奇函数，在[],ππ-上的最大值与最小值之和为0，故()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为6-．故答案为：6-．17．【解析】由()2i 3i z m -=+，得()()()()3i 2i 3i 236i 2i 2i 2i 55m m m m z +++-+===+--+．（2分）∴236i 55m m z -+=-．（3分）（1）由6z z +=，得23265m -⨯=，解得9m =，∴33i z =+，故z ==．（6分）（2）由3z z ⋅<，得22236355m m -+⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（8分）即26m<，解得m <<∴m 的取值范围是(．（10分）18．（1）对于命题p ，当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，当且仅当1x =时取等号，故当0x >时，()f x 的最小值为2a +．（2分）当0x ≤时，()()22211f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 的最小值为1-．（4分）由()f x 的最小值为1-，得21a +≥-，即3a ≥-．即若命题p 为真，则3a ≥-．（5分）故若命题p ⌝为真，则3a <-，即实数a 的取值范围是(),3-∞-．（6分）（2）对于命题q ，由x ∀∈R ，2420xx a -+≥，得Δ1680a =-≤，解得2a ≥．即若命题q 为真，则2a ≥．（9分）故若q ⌝为真，则2a <．由()p q ∧⌝为真，得32a -≤<，即实数a 的取值范围为[)3,2-．（12分）19．【解析】由sin cos a B A =及正弦定理，得sin sin cos A B B A =，又sin 0B >，故tan A =()0,A π∈，故3A π=．（3分）（1）因为2c b =，所以结合余弦定理，得22222222cos 423a b c bc A b b b b =+-=+-=，所以22224ab bc +==，所以ABC △是以C 为直角的直角三角形．（6分）（2）由ABC △的面积为1sin 2bc A =8bc =，（8分）由6a =，结合余弦定理，得()()222222cos 32436a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-=，所以b c +=（11分）故ABC △的周长为6．（12分）20．【解析】（1）由题意，得()a b f x a b a⋅==⋅，由()a ab ⊥-，得()0a a b ⋅-=，（2分）即20a a b -⋅= ，21a b a ⋅== ，∴()1f x =．（4分）（2）由（1），得()()2215cos sin cos sin sin 2cos 2sin 222f x a b x x x x x x x ϕ=⋅=+-=+=+ （其中25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=）．（6分）令()()55sin 222f x x ϕ=+=，得()sin 21x ϕ+=，∴()222x k k πϕπ+=+∈Z ，（8分）∴()222x k k ππϕ=+-∈Z ，（8分）∴sin 2sin 2cos 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，cos 2cos 2sin 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭．（10分）∴b ===．（12分）21．【解析】（1）由22n n S a =-，得1122S a =，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=，（2分）∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴{}n a 的通项公式为2n n a =．（4分）（2）由（1），得()()111211222222222n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪+++⋅+⎝⎭，（5分）∴11111111124661010182222n n n T +⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪++⎝⎭111112422221n n+⎛⎫=⨯-=- ⎪++⎝⎭．（7分）（3）∵()()10102n nn c n a n =-=-⋅，∴当9n ≤时，0n c >；当10n =时，0n c =；当11n ≥时，0n c <．∴当9n =或10时，n A 取得最大值，且910A A =．（9分）239992827212A =⨯+⨯+⨯++⨯ ．①∴234109292827212A =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．②②-①，得()923910941218222218202612A ⨯-=-+++⋅⋅⋅++=-=-，∴n A 的最大值为2026．（12分）22．【解析】（1）解法一：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2ex f x x -=-，()()1121e 22e x x x f x x x---=-='，设()()11e 0x g x x x -=->，则()()11e 0x g x x -'=-+<，即()g x 在()0,+∞上单调递减．（3分）又()10g=，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）解法二：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2e x f x x -=-，()122e x f x x-=-'，显然()f x '是减函数，又()10f '=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）（2）由()ln e x x h x =，得()()1ln 1ln 0e ex x xx x x h x x x --==>'．（6分）设()1ln x x x ϕ=-，则()ln 1x x ϕ'=--．令()0x ϕ'=，得1ex =．当10e x <<时，()0x ϕ'>，当1e x >时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()x ϕ的极大值为1110e e ϕ⎛⎫=+>⎪⎝⎭．（8分）当10ex <<时，()0x ϕ>．又()110ϕ=>，()212ln 20ϕ=-<，故()x ϕ存在唯一的零点0x ，且()01,2x ∈．由()0001ln 0x x x ϕ=-=，得001ln x x =．（10分）当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h >，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，即()hx 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．故()hx 的极大值为()00000ln 1e e x x x h x x ==，（11分）令()0f x =，得2ln e 0x x k +=，即1ln 2e x xk -=．由()f x 有零点，得00112e x k x -≤，即02e x kx ≥-．（12分）。

2020-2021学年河南省豫南九校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)(含答案解析)

2020-2021学年河南省豫南九校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈(0,+∞)，lnx=2x”的否定是()A. ∀x∈(0,+∞)，lnx=2xB. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠2xC. ∃x∉(0,+∞)，lnx=2xD. ∃x∈(0,+∞)，lnx≠2x2.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 既不充分又不必要条件D. 无法判断3.若a，b为非零实数，则下列不等式中成立的是()A. |a+b|>|a−b|B. a+b2≥√abC. (a+b2)2≥ab D. ab+ba≥24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosAcosB =ba，且4sinA=3sinB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 钝角三角形5.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N∗的都有a n+1=1+a n+n，则1a1+1a2+⋯…+1a99=()A. 9998B. 2 C. 9950D. 991006.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4√6x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6√3，则|PF|=()A. 2√3B. 4√3C. 4√6D. 8√37.已知双曲线T：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R(2√33,0)，△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k1≠0，i=1，2，3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为−1.则1k1+1k2+1k3的值为()A. −1B. −12C. 1 D. 128. 函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，且当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，若1<a <2，则( )A. f(2a )<f(2)<f(log 2a)B. f(2)<f(log 2a)<f(2a )C. f(log 2a)<f(2a )<f(2)D. f(log 2a)<f(2)<f(2a )9.曲线f(x)=f′(1)e x −x 2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于( )A. 2eB. 2e−1C. 2ee−1D.4−2e e−110. 已知f(x)=lnx√2x ，则△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=( )A. −2−ln2B. −2+ln2C. 2−ln2D. 2+ln211. 已知函数f(x)=e x (sinx −cos x)，x ∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( )A.B.C.D.12. 过双曲线x 24−y 28=1的右焦点作一直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=8，则这样的直线l 共有( )条？A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =√14[c 2a 2−(c2+a 2−b 22)2](其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边).在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若a =2，且a =c(cosB +√3cosC)，则三角形ABC 的面积最大时，B = ______ ． 14. 8、设斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，若点P ，Q 在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为．15. 设{x +y ≥0x −y ≥0与抛物线y 2=−4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P(x,y)为D 内的一个动点，则目标函数z =x −2y 的最大值为______．16. 已知函数f(x)=ae x −x +2a 2−3的值域为M ，集合I =(0,+∞)，若I ⊆M ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 证明当x >−1时，e x −1≥ln(x +1)．18.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．(1)证明平面ADE⊥平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC+12c.(1)求角B．(2)若b=3，求△ABC面积的最大值．20.一椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，已知三角形F1F2P的周长是18．(1)求a的值；(2)求m的值．21.已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=92．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前100项和．22.已知函数f(x)=(x+1)⋅(ln(x+1)−1)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−ax−b(a,b∈R)在区间[0,1]上存在零点，求a2+b的最小值．(参考数据：ln2≈0.6931)参考答案及解析1.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈(0,+∞)，lnx≠2x，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.答案：A解析：解：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选：A．由“好人”⇒“有好报”，即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，当a>0>b时，|a+b|<|a−b|，A错误；对于B，当a、b<0时，a+b2<√ab，C错误；对于C，(a+b2)2−ab=(a−b)22≥0，C正确；对于D，当a>0>b时，ab +ba<0，D错误；故选：C．根据题意，举出反例分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查不等式的基本性质，注意举出反例分析不等式是否成立，属于基础题．4.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．由已知利用正弦定理可得4a=3b，由cosAcosB =ba，利用余弦定理整理可得(a2+b2)(a2−b2)=c2(a2−b2)，从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．解：∵4sinA=3sinB，∴4a =3b ， ∵cosAcosB =ba，可得：b 2+c 2−a 22bc a 2+c 2−b 22ac=ba ，整理可得：(a 2+b 2)(a 2−b 2)=c 2(a 2−b 2)，∴a 2−b 2=0，或a 2+b 2=c 2， ∴a 2+b 2=c 2，或a =b(舍去) ∴△ABC 的形状是直角三角形．故选：B ．5.答案：C解析：解：根据题意，数列{a n }满足对任意n ∈N ∗的都有a n+1=1+a n +n ，则a n+1−a n =n +1，则a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，则1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；则1a 1+1a 2+⋯…+1a 99=2[(1−12)+(12−13)+⋯…+(199−1100)]=2(1−1100)=9950；故选：C ．根据题意，将a n+1=1+a n +n 变形可得a n+1−a n =n +1，进而可得a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，变形可得1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；据此由数列求和的方法分析可得答案．本题考查数列的递推公式和数列的求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．6.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．求出抛物线的焦点坐标，然后利用三角形的面积求解P 的纵坐标，即可求解|PF|．解：O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4√6x 的焦点，P 为C 上一点，若△POF 的面积为6√3，可得抛物线的焦点坐标为：(√6,0)，∴12×√6×|y P |=6√3，可得|y p |=6√2， ∴x P =3√6，则|PF|=√(3√6−√6)2+(±6√2−0)2=4√6．故选C ．7.答案：B解析：解：由题意可得，a =2√33，c =2，∴b 2=c 2=−a 2=83，∴双曲线T ：x 243−y 283=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，M(s 1,t 1)，N(s 2,t 2)，P(s 3,t 3)，由：6⋅x 12−3⋅y 12=8，6⋅x 22−3⋅y 22=8，两式相减，得到6(x 1−x 2)(x 1+x 2)−3(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴k 1=y 1−y 2x 1−x 2=2⋅x 1+x 2y 1+y 2=2⋅s 1t 1，∴1k 1=12⋅t1s 1．同理可得，1k 2=12⋅t 2s 2，1k 3=12⋅t3s 3．再根据直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−1，可得1k 1+1k 2+1k 3=12(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−12，故选：B ．由条件求得a 、b 、c 的值，可得椭圆的标准方程，利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为−1，求得1k 1+1k 2+1k 3的值．本题考查双曲线的标准方程和简单性质，考查直线的斜率公式、点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称．当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，则(x −1)f′(x)>0，x >1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x <1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)， ∴f(log 2a)=f(2−log 2a)<f(2)<f(2a )，故选：D ．函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称．当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，可得(x −1)f′(x)>0，进而得到单调性．若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：f(x)=f′(1)e x −x 2+2，可得f′(x)=f′(1)e x −2x ，可令x =1，可得f′(1)=f′(1)e −2，解得f′(1)=2e−1，可得曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为2e−1，故选：B ．对f(x)=f′(1)e x −x 2+2求导数，再令x =1，解方程可得f′(1)，再由导数的几何意义可得所求值．本题考查导数的几何意义，运用导数的运算性质是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查了导数的定义及其导数的运算法则，属基础题．对f(x)求导，然后由△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)，求出值即可．解：∵f(x)=lnx√2x ， ∴f′(x)=−lnx−22√2x 32，∴f′(12)=2+ln2， △x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)=−2−ln2．故选：A ．11.答案：B解析：解：故答案选B．12.答案：C解析：解：①若A、B都在右支，若AB垂直x轴，a2=4，b2=8，c2=12，所以F(2√3,0)则AB：x=2√3，代入双曲线x24−y28=1，求得y=±4，所以AB=|y1−y2|=8，所以|AB|=8的有一条，即垂直于x轴；②若A、B分别在两支a=2，所以顶点距离为2+2=4<8，所以|AB|=8有两条，关于x轴对称．所以一共3条故选C．先看当A、B都在右支上时，若AB垂直x轴，根据双曲线方程求得焦点的坐标，把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而求得AB的长等于8，则即为垂直于x轴的一条；再看若A、B分别在两支先看A，B为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，最后综合可得答案．本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．13.答案：120°解析：解：因为a=c(cosB+√3cosC)，由正弦定理得sinA=sinC(cosB+√3cosC)=sin(B+C)，所以sinCcosB+√3sinCcosC=sinBcosC+sinCcosB，即√3sinCcosC=sinBcosC，因为cosC≠0，所以√3sinC =sinB ，由正弦定理得b =√3c ，S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=√14[4c 2−(c2+4−3c 22)2]=12√−c 4+8c 2−4=12√−(c 2−4)2+12，当c 2=4时，角形ABC 的面积最大，此时c =2，b =2√3，故cosB =4+4−122×2×2=−12，故B =120°．故答案为：120°．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是确定椭圆方程中a ，b 和c 的关系．解：由题意，两个交点横坐标是−c ，c ，所以两个交点分别为，代入椭圆方程可得，∴c 2(2b 2+a 2)=2a 2b 2∵b 2=a 2−c 2∴c 2(3a 2−2c 2)=2a 4−2a 2c 2∴2a 4−5a 2c 2+2c 4=0， ∴(2a 2−c 2)(a 2−2c 2)=0，∵0<e <1．故答案为：15.答案：3解析：解：由题意，抛物线y 2=−4x 的准线x =1，它和不等式{x −y >0 x +y >0共同围成的三角形区域为{x −y ≥0x +y ≥0x ≤1，目标函数为z =x −2y +5，作出可行域如右图，由图象可知当直线经过点C 时，直线z =x −2y +5的截距最小，此时z 最大，点C 的坐标为(1,−1)，此时z =1−2×(−1)=3．故答案为：3．先确定平面区域，作出可行域，进而可求目标函数z =x −2y 的最大值．本题考查抛物线的简单性质，考查线性规划知识，正确确定平面区域是关键．16.答案：(−∞,1]解析：本题主要考查了利用导数求函数的值域，对参数分类讨论是求解问题的关键，属于中档试题．由题意可得f(x)的最小值小于等于0，先对函数求导，然后结合a 的范围即可求解．解：由题意可得f(x)的最小值小于等于0，f′(x)=ae x −1，若a ≤0，则f′(x)<0，f(x)在R 上单调递减，当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→−∞，故f(x)的值域R ，满足题意，若a >0，则易得函数在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增，所以当x =−lna 时，函数取得极小值f(−lna)=lna −2+a 2，>0恒成立，令g(a)=lna−2+a2，则g′(a)=4a+1a故g(a)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0，要使得g(a)≤0，则a≤1，故0<a≤1，综上可得，a的范围(−∞,1]故答案为：(−∞,1]17.答案：证明：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=1−1−0=0．f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增，f′(0)=0，−1<x<0时，f′(x)<0；，0<x时，f′(x)>0．x+1∴函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．∴f(x)>f(0)=0．∴当x>−1时，e x−1>ln(x+1)．解析：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=0.f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增．f′(0)=0，x+1可得函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)如图所示，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE，AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1．又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．(2)解法一：如图所示，设F是AB的中点，连结DF、DC1、C1F，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质及D 是A1B1的中点，知A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF．又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF．而AB//A1B1，所以AB⊥平面C1DF.又AB平面ABC1，故平面ABC1⊥平面C1DF．过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．连结AH，则∠HAD是直线AD和平面ABC1所成的角，由已知，不妨设，则AB=2，，，，，，所以，即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解法二：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,−1,0)，B(，0，0)，C1(0,1,)，D()，易知=(，1，0)，=(0,2,)，=().设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z)，则有解得，，故可取n=(1,，).所以cos〈n，〉=．由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解析：(1)应用线面垂直来推证面面垂直．(2)先作出线面角，再求．19.答案：解：(1)因为a=bcosC+12c，所以sinA=sinBcosC+12sinC=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB，即12sinC=sinCcosB，因为sinC>0，所以cosB=12，由B∈(0,π)得B=π3；(2)由余弦定理得b2=9=a2+c2−ac≥ac，当且仅当a=c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S=12acsinB=√34ac≤9√34．故面积的最大值9√34．解析：(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosB，进而可求B；(2)由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题．20.答案：解：(1)∵椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，∴三角形F1F2P的周长是18=2a+2c，即a+c=9，又由a 2=9+c 2得：a =5，(2)由(1)得，椭圆的方程为：x 225+y 29=1，将P(1,m)代入得：125+m 29=1，解得：m =±65√6解析：(1)由已知可得：三角形F 1F 2P 的周长是18=2a +2c ，即a +c =9，结合a 2=9+c 2可得：a 值；(2)将P(1,m)代入椭圆的方程可得m 的值．本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档． 21.答案：解：(1)设公差为d ，由a 3=2，前3项和S 3=92，可得a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12，所以a n =12n +12；(2)1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，则前100项和为4(12−13+13−14+⋯+1101−1102)=4(12−1102)=10051．解析：(1)设公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，运用裂项相消求法，计算数列{1a n a n+1}的前100项和即可．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域是(−1,+∞)，f′(x)=ln(x +1)，当x =0时，f′(x)=0，故f(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(0)=−1，无极大值；(Ⅱ)法一(分类讨论)：g(x)=f(x)−ax −b =(x +1)(ln(x +1)−1)−ax −b(0≤x ≤1)，则g′(x)=ln(x +1)−a(0≤ln(x +1)≤ln2)，(1)a ≤0时，则g′(x)≥0，g(x)在[0,1]递增，则{g(0)≤0g(1)≥0⇒{−1−b ≤02(ln2−1)−a −b ≥0⇒−1≤b ≤2(ln2−1)−a ，故a 2+b ≥−1；(2)a ≥ln2时，则g′(x)≤0，g(x)在[0,1]递减，则{g(0)≥0g(1)≤0⇒{−1−b ≥02(ln2−1)−a −b ≤0⇒2(ln2−1)−a ≤b ≤−1，故a 2+b ≥a 2+2(ln2−1)−a ≥(ln2)2+ln2−2>−1，(3)0≤a ≤ln2，则∃x 0∈[0,1]，使得a =ln(x 0+1)，易知g(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,1)递增，故{g(0)=−1−b g(1)=2(ln2−1)−a −b g(x 0)≤0⇒{g(0)=−1−bg(1)=2(ln2−1)−a −b b ≥(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b ≥a 2+(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0=a 2+a −e a ，记ℎ(a)=a 2+a −e a ，则ℎ′(a)=2a +1−e a ，ℎ″(a)=2−e a ，由0≤a ≤ln2得ℎ″(a)>0，故ℎ′(a)在(0,ln2)递增，得ℎ′(a)≥ℎ′(0)=0，故ℎ(a)在(0,ln2)递增，得ℎ(a)≥ℎ(0)=−1，此时可验证g(0)或g(1)必有其一大于等于0，故零点存在，由(1)(2)(3)得：a 2+b 的最小值是−1；法二(变更主元)：设x 0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，则(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0−b =0，即b =(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b =a 2−x 0a +(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)≥4(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−x 024，设ℎ(x)=4(x +1)(ln(x +1)−1)−x 2，x ∈[0,1]，则ℎ′(x)=4ln(x +1)−2x ，ℎ″(x)=4x+1−2=2(1−x)x+1，当x ∈[0,1]时，ℎ″(x)≥0，故ℎ′(x)递增，又ℎ′(0)=0，ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)递增，ℎ(x)min =ℎ(0)=−4，故a 2+b ≥−1，当a =0，b =−1时“=”成立，故a 2+b 的最小值是−1．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，得到f(x)的单调区间，求出函数的极值即可；(Ⅱ)(法一)求出g(x)的解析式，求出g(x)的导数，通过讨论a的范围得到函数的单调性，求出b的范围，得到a2+b的最小值即可；(法二)设x0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，得到b=(x0+1)(ln(x0+1)−1)−ax0，从而a2+b≥4(x0+1)(ln(x0+1)−1)−x02，设ℎ(x)=4(x+1)(ln(x+1)−1)−x2，x∈[0,1]，根据函数的单调性求出ℎ(x) 4的最小值，从而求出a2+b的最小值．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

2019-2020学年豫南九校高一(下)第一次联考数学试卷(含解析)

2019-2020学年豫南九校高一(下)第一次联考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|y=√1−x}，集合B={x|0≤x≤2}，则(∁U A)∪B等于()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [0,+∞)D. (0,+∞)2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. y=1x B. y={−x2+1x>0x2−1x<0C. y=a−x−a x(0<a<1)D. y=ln1−x1+x3.如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是()A. 中位数为14B. 众数为13C. 平均数为15D. 方差为194.袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是()A. 至少有一个白球；全部都是红球B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 恰有一个白球；恰有一个红球D. 恰有一个白球；全部都是红球5.在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x+y的值为()A. 3B. 4C. 5D. 66.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名7. 下列程序运行后的结果是( )A. 6B. 7C. 8D. 98. 运行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为13，则判断框中可以填( )A. m >7？B. m ≥7？C. m >8？D. m >9？9. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (−1,0)C. (0,+∞)D. (0,1)10. 与下边三视图对应的几何体的体积为( )A. 43 B. 83 C. 23 D. 211. 已知正三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A −BCD 内，且三棱锥A −BCD 的体积是三棱锥O −BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )A. 15π4B. 3π2C. 9√38D. 4π12.已知函数f(x)=x5+3x3+x+2，若f(a)+f(a−2)>4，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1)B. (−∞,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将110化为六进制数为______ ．14.若函数f(x)=2x−1，则f(3)=______．15.已知b，r∈{1,2，3，4}，则直线y=x+b与圆x2+y2=r2有公共点的概率为_________．16.10.已知集合A={x|1≤2x<16}，B={x|0≤x<3,x∈N}，则A∩B=________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．(1)现需要从第一排就座的6位嘉宾a、b、c、d、e、f中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾a和嘉宾b至少有一人上台抽奖的概率；(2)抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．18. 随着经济的发展，某城市市民的收入逐年增长，该城市某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如表：(I)求出y 关于x 的线性回归方程；(II)用所求的线性方程预测到2020年底，该银行的储蓄存款额为多少？参考公式：其中b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2,a ̂=y −−b ̂x −19. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩(满分：100分)汇总，得到如图所示的频率分布表．(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．20.已知四棱锥A−BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD⊥面ABC，BE//CD，F为AD的中点．(1)求证：EF//面ABC；(2)求证：面ADE⊥面ACD；(3)求四棱锥A−BCDE的体积．21.已知⊙C：(x−3)2+(y−3)2=4，直线l：y=kx+1(1)若l与⊙C相交，求k的取值范围；(2)若l与⊙C交于A、B两点，且|AB|=2，求l的方程．22.设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R)．(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；(2)若关于x的不等式f(x)+f(−x)≤2log4m对任意的x∈[0,2]恒成立，求正实数m的取值范围【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合的运算，是一道基础题．先化简集合A，得到A的补集，从而求出(∁U A)∪B即可．解：集合A={x|y=√1−x}={x|x≤1}，所以C U A={x|x>1}，所以(∁U A)∪B=[0,+∞)，故选C．2.答案：D解析：【试题解析】此题考查函数的奇偶性及单调性的判断，关键是熟练掌握基本初等函数的性质及函数奇偶性、单调性的判断．属于基础题，解题时针对每个选项逐一判断即可。

【2020年数学高考】河南省中原名校(即豫南九校)2020届高三第六次质量考评数学理.doc

河南省中原名校（即豫南九校）2020届高三第六次质量考评理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,1A x x B x x =<=<，则（）A ．AB Ü B ．A B R ⋃= C. B A Ü D ．{}1A B x x ⋂=< 2.已知复数(),,2a ix yi a x y R i+=+∈+，则2x y +=（） A ．1 B ．35C. 35- D ．1-3.已知双曲线()2222:10,0a x y C a b b >->=的渐近线与圆()2221x y +-=有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．(]1,2B ．[)2,+∞ C.⎛ ⎝⎦ D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ 4．若向量1tan 67.5,cos157.5a ⎛⎫=︒ ⎪︒⎝⎭，向量()1,sin 22.5b =︒，则a b ⋅=（）A ．2B ．2- D ． 5.已知命题()()()000:0,,p x f x f x ∃∈+∞-=，命题()():,q x R f x f x ∀∈-=.若p 为真命题，且q 为假命题，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()1f x x =+B ．()21f x x =+ C.()sin f x x = D ．()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这几何体的表面积为（）A ．31B ．52 C. 34+．22+7.我国东汉时期的数学名著《九章算术》中有这样个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？设总人数为x ，鸡的总价为y ，如图的程序框图给出了此问题的一种解法，则输出的,x y 的值分别为（）A ．7,58B ．8,64 C.9,70 D ．10,768.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦9.函数()x x f x e ae -=+与()2g x x ax =+在同一坐标系内的图象不可能是（）A． B．C.D ．10.已知,,,A B C D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，若,,120AE BC DE BC AED ⊥⊥∠=︒,2AE DE BC ===，则球O 的表面积为（）A ．73πB ．283π C. 4π D ．16π11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，则实数t 的取值范围为（） A ．(][),13,-∞-⋃+∞ B ．[]1,3-C.(),22⎡-∞⋃++∞⎣ D．2⎡⎣ 12.已知函数()()ln 10xf x x a a=-->，若()y f x =与()()y f f x =的值域相同，则a 的取值范围是（）A ．310,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．210,e ⎛⎤⎥⎝⎦C. (]0,1 D ．(]1,e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()621x x y --的展开式中25x y 的系数为_ ．14. 已知不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的()00,x y D ∈，不等式00426t x y -<-+ 4t <+恒成立，则实数t 的取值范围是_ ．15. 已知函数()11112f x x x x =++++，由()111111f x x x x -=++-+是奇函数，可得函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，类比这一结论，可得函数()237126x x x g x x x x +++=++++++的图象关于点_ 对称.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC ∆的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为_ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的公差10,0d a ≠=，其前n 项和为n S ，且2362,,a S S +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()2121n n n b S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n -<. 18.下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元），其中年份代码x =年份2013-.（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2020年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2AB AC AD PB PB AC ====⊥,.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e ，且椭圆C 与圆224:3O x y +=的4个交点恰为一个正方形的4个顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A 为椭圆C 的下顶点，,D E 为椭圆C 上与A 不重合的两点，若直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，试判断是否存在定点G ，使得直线DE 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数()212x f x e x ax =-+.（1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-，求证：函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0,r ϕ>为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos 26ρθ+=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x a g x bx =-=+.（1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值；（2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABAC 6-10: BCDCB 11、12：DA二、填空题13. 12- 14. ()3,5 15.7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17.（1）由10a =得()1n a n d =-，()12n n n dS -=，因为2342,,a S S +成等比数列，所以()23242S a S =+，即()()2326d d d =+⋅，整理得23120d d -=，即240d d -=，因为0d ≠，所以4d =，所以()()14144n a n d n n =-=-=-. （2）由（1）可得()121n S n n +=+，所以()()()221212121n n n n b S n n +++==+()1111222121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以1111112122231n T n n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭111212212n n n ⎛⎫=+-<+ ⎪+⎝⎭，所以221n T n -<. 18.（1）由题意得 2.5,200x y ==，4421130,2355ii i i i x x y ====∑∑，所以4142221423554 2.520035571304 2.554i ii i i x yxyb x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑，所以20071 2.522.5a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为7122.5y x =+.由于201820135-=，所以当5x =时，71522.5377.5y =⨯+=，所以预测2020年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元. （2）由题可得22⨯列联表如下：故2K 的观测值()210510304520 6.10955503075k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.19.（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，AD =BC AD ==，又2AB AC ==，所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥，又PB AC ⊥，且AB PB B ⋂=，所以AC ⊥平面PAB ，因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . （2）由（1）知,AC AB AC ⊥⊥平面PAB ，如图，分别以,AB AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,2,2,0A B C AC BC ==-由45PBA ∠=︒，PB =()1,0,3P -，所以()()1,0,3,3,0,3AP BP =-=-，设()01AEAPλλ=<<，则(),0,3AE AP λλλ==-，(),2,3CE AE AC λλ=-=--，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即220330x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，可得1x y ==，所以平面PBC 的一个法向量为()1,1,1n =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos ,n CE θ===整理得2340λλ+=，因为01λ<<，所以2340λλ+>，故2340λλ+=无解，所以棱PA 上不存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC. 20.（1）因为椭圆C的离心率e ， =222a b =，因为椭圆C 与圆O 的4个交点恰为一个正方形的4个顶点，所以直线y x =与圆O 的一个交点⎝⎭在椭圆C 上，所以2222133a b +=，由2222222133a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）由（1）知()0,1A -，当直线DE 的斜率存在时，设直线DE 的方程为()1y kx t t =+≠±，代入2212x y +=得，()222124220k x ktx t +++-=，所以()()222216412220k t k t ∆=-+->，即2221t k -<.设()()1122,,,D x y E x y ，则2121222422,1212kt t x x x x k k -+=-=++，因为直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，所以121211AD AE y y k k x x +++=+=()()121212121112t x x kx t kx t k x x x x +++++++=+()22142222t kt k a t +⋅=-==-，整理得1t k =-，所以直线DE 的方程为()111y kx t kx k k x =+=+-=-+，显然直线()11y k x =-+经过定点()1,1.当直线DE 的斜率不存在时，设直线DE 的方程为x m =，因为直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，设(),D m n ，则(),E m n -，所以21122AD AE n n k k a m m m+-++=+===，解得1m =，此时直线DE 的方程为1x =，显然直线1x =经过定点()1,1. 综上，存在定点()1,1G ，使得直线DE 恒过点G . 21.（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-，所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. 22.（1）将曲线1C 的参数方程2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩化为普通方程为()2222x y r -+=，即222440x y x r +-+-=，由222,cos x y x ρρθ=+=，可得曲线1C 的极坐标方程为224cos 40r ρρθ-+-=，因为曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22242403cos r π-⨯⨯+-=，解得2r =(负值舍去），所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）因为()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线()22:2cos 26C ρθ+=上，所以()212cos 26ρα+=，()222cos 22cos 262παρα⎡⎤⎛⎫++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以22221211112cos 22cos 22663OA OB ααρρ+-+=+=+=. 23.（1）当1b =时，()()11112222a a a f x g x x x x x +=-++≥---=+，因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4. （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 欢迎访问“高中试卷网”——。

豫南九校2019-2020学年上期第二次联考n高一数学试题

＝，＋＝ 1【2．解析】①而易−知x2集−1合<
0 A
，故
[0
f
(
c
) < 0 ，所以 f ∞) ，集合 B
(a) > f (b) > f
{1} 所以 B ⊆
(c) ，故选 A；
A．
②定义在 R 上的奇函数必有 f (0) = 0；
③数形结合可知方程 x2 − 2x = 0有三个零点；
二、填13．空④1题取（本a 大= 1题.1共, x4=小2题，，则每a小x =题15.2分1，，共log20a14分x．=）alo>g11.1 2 > log1.11.21 = 2 .综上，故选 B．
3．
A ∪ CRB = R ，故 B 正确；CR A ∩ B = φ ，故 D错误．故选 B．
4【5【6【【．．．解解解解析析析析】】】】因由当足①为表条直x 中件平=f 行的但2(1时)数不六=，据是面1分长体>y =底析方0 ，l变体面og；量是f14(③菱22y)=显形与=−然，x−12错满的2，<足误变∴0．条化，−故件规所12选但律以=不，A2由.是结k根正合，的棱所k存柱给=在；四−性②个14定函底，理数面故可的是选知图等C，．象腰故和梯选性形C质的.，直可棱知柱：，满 y 随x 变化而增大，排除 B；又随着x 增大， y 加速增长，故排除，C D.故选 A.
∴ 其值域为集合．分 2 1 ≤ g(x) ≤ 2 ,
B=[1,2] ·······································4
∴ ．分 A ∩ B={2}
··················································5

2019～2020学年度河南省豫南九校第1学期第三次联考高一数学试题试题解析

2019～2020学年度河南省豫南九校第一学期第三次联考高一数学试题一、单选题1.下列命题正确的是( ) A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【参考答案】：C【试题解答】：根据确定一个平面的公理及推论即可选出.A 选项,根据平面基本性质知,不共线的三点确定一个平面,故错误；B 选项,根据平面基本性质公理一的推论,直线和直线外一点确定一个平面,故错误；C 选项,根据公理一可知,不共线的三点确定一个平面,而两两相交且不共点的三条直线,在三个不共线的交点确定的唯一平面内,所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面,故错误；综上知选C.本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论,属于中档题.2.下列哪个函数的定义域与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同( )A.2y x x =+B.ln 2y x x =-C.1y x=D.1y x x=+【参考答案】：B【试题解答】：求出函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域,再求出各选项中的定义域,比较即可得出选项.函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+, 对于A,函数2y x x =+的定义域为R ；对于B,函数ln 2y x x =-的定义域为()0,∞+；对于C,函数1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；对于D,函数1y x x=+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；故选：B本题考查了指数函数的值域、对数函数的定义域,属于基础题. 3.已知集合,则( )A.B.C.D.【参考答案】：C 【试题解答】：由,,则,故选C.4.已知圆锥的侧面积展开图是一个半圆,则其母线与底面半径之比为( ) A.123 D.2【参考答案】：D【试题解答】：圆锥的侧面展开图为扇形,根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长可得母线与底面圆半径间的关系.设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r , 由已知可得2r l ππ=, 所以2l r =, 所以2lr=, 即圆锥的母线与底面半径之比为2. 故选D.解答本题时要注意空间图形和平面图形间的转化以及转化过程中的等量关系,解题的关键是根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得到等量关系,属于基础题.5.已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点,则实数a 的取值范围是( )A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.()2,0-D.[]2,0-【参考答案】：C【试题解答】：函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象的对称轴方程为12x =-,故函数在区间(0,1)上单调递增,再根据函数f (x )在(0,1)上有零点,可得()()00120f a f a ⎧=<⎪⎨=+>⎪⎩,解得−2＜a ＜0. 本题选择C 选项.：解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.6.函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.1y x =- B.|2|y x =-C.21x y =-D.2log (2)y x =【参考答案】：A【试题解答】：函数()f x 过定点为()1,1,代入选项验证可知A 选项不过A 点,故选A. 7.正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与CD 所成的角为()A.6πB.4π C.3π D.2π 【参考答案】：B【试题解答】：取BD 中点O ,连结,EO FO ,则//,//OF CD OE AB ,且2a OF OE ==,从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角,由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.取BD 中点O ,连结,EO FO , 设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ,且2aOF OE ==,EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角,取CD 中点G ,连结,BG AG 则,AG CD BG CD ⊥⊥,,BG AG G CD ⋂=∴⊥Q 平面ABG ,AB ⊂Q 平面ABG ,CD AB ∴⊥,OF OE ∴⊥,4EFO π∴∠=,∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B .本题主要考查异面直线所成的角,属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角,然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解,如果利用余弦定理求余弦,因为异面直线所成的角是直角或锐角,所以最后结果一定要取绝对值.8.已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.4a ≤ B.4a ≥ C.4a <-或4a ≥ D.44a -<≤【参考答案】：D【试题解答】：由题意使230x ax a -+>在[)2,+∞恒成立,且由复函函数的单调性使()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数即可求解.令()23x x a g ax -+=,则()230x a a g x x =-+>在[)2,+∞恒成立,且()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数, 所以22a≤且()240g a =+>, 所以44a -<≤. 故选：D.本题主要考查对数型复合函数的单调性,注意解题时需使式子在单调区间内有意义. 9.某几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为,,则在该几何体表面上,从点到点的路径中,最短路径的长度为( )A. B. C. D.【参考答案】：C【试题解答】：画出几何体的图形,然后PQ的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径,分别计算出结果,得出答案.由题,几何体如图所示(1)前面和右面组成一面此时PQ＝(2)前面和上面再一个平面此时PQ ＝故选C本题考查了几何体的三视图以及相关的计算,解题的关键是PQ 的路径有两种情况,属于较易题.10.已知函数f (x )＝|ln x |－1,g (x )＝－x 2＋2x ＋3,用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值.设函数h (x )＝min{f (x ),g (x )},则函数h (x )的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4【参考答案】：C【试题解答】：画图可知四个零点分别为－1和3,1e和e,但注意到f (x )的定义域为x >0,故选C.11.已知()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-,使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解,则实数m 的最大值为( ) A.35B.35-C.1D.-1【参考答案】：A【试题解答】：由题意得出()g x 、()h x 的解析式,不等式恒成立,采用分离参数法,可得2141x m ≤-+转化为求函数的最值,求出函数2141x y =-+的最大值即可.Q ()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,且()()2x g x h x -=①()()()()2x g x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x x g x -+=,()222x xh x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x xm ----≤==-+++, ∵2141xy =-+在[]1,1x ∈-为增函数, ∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭, 故选：A.本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值,注意分离参数法的应用,此题属于中档题.12.无论x ,y ,z 同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面,给出下列说法： ①若//x y ,//x z ,则//y z ； ②若x y ⊥,x z ⊥,则y z ⊥； ③若x y ⊥,//y z ,则x z ⊥；④若x 与y 无公共点,y 与z 无公共点,则x 与z 无公共点； ⑤若x ,y ,z 两两相交,则交点可以有一个,三个或无数个. 其中说法正确的序号为( ) A.①③B.①③⑤C.①③④⑤D.①④⑤【参考答案】：B【试题解答】：由平行的传递性可判断①；由直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系可判断②③④⑤.由平行于同一直线的两直线平行,平行于同一平面的两平面平行,可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行,可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个,可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点,可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点,可得另两个平面无公共点；可得④错误；若三条直线两两相交,则交点可以有一个或三个,若三个平面两两相交,则交点有无数个,故⑤正确；故选：B本题主要考查了平行的传递性、直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系,属于基础题.二、填空题13.设函数()()xxf x e aea R -=+∈,若()f x 为奇函数,则a =______.【参考答案】：-1【试题解答】：利用函数为奇函数,由奇函数的定义即可求解.若函数()xxf x e ae -=+为奇函数,则()()f x f x -=-,即()xx x x ae ae ee --+=-+,即()()10xxe a e-++=对任意的x 恒成立,则10a +=,得1a =-. 故答案为：-1本题主要考查函数奇偶性的应用,需掌握奇偶性的定义,属于基础题.14.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为3,则它的侧面积为______.【参考答案】：【试题解答】：设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ,由四棱锥的体积可求出边长,从而求出侧面积.设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ,则24ABCD S a =,2222422h PB BO a a a --=,则31442233V a =⨯=则1a =, 则22142242BC PF a a a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯-⎪⎝⎭侧24343a ==故答案为：43本题主要考查棱锥的体积公式,需熟记公式,属于基础题.15.已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数,在[]0,3上单调递减,并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭,则m 的取值范围是______.【参考答案】：1122m ≤<. 【试题解答】：根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式,求解即可.因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数, 所以230a -+=,解得5a =,所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减, 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<,2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得,22221223103220m m mmm m⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得1122m-≤<.故m的取值范围是1122m-≤<.本题主要考查了偶函数的定义域,偶函数的单调性,不等式的解法,属于难题.16.正四面体ABCD的棱长为4,E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,则截面面积的最小值为_______________【参考答案】：4π【试题解答】：试题分析：将四面体ABCD补为正方体,如下图所示,则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O,面积最小的截面就是与OE垂直的截面.由图可知,这个截面就是底面正方形的外接圆,其面积为：.224ππ⨯=.空间几何体.三、解答题17.如图所示,在正方体1111ABCD A B C D-中,E、F分别是AB和1AA的中点.求证：CE,1D F,DA交于一点.【参考答案】：证明见解析【试题解答】：根据两个面的公共点一定在两个面的公共线上,只需证出CE与1D F交点在AD上即可.证明：如图所示,连接1CD 、EF 、1A B , 因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点,所以1//EF A B 且112EF A B =. 即：1//EF CD ,且112EF CD =,所以四边形1CD FE 是梯形, 所以CE 与1D F 必相交,设交点为P ,则P CE ∈,且1P D F ∈,又CE ⊂平面ABCD , 且1D F ⊂平面11A ADD ,所以P ∈平面ABCD , 且P ∈平面11A ADD ,又平面ABCD I 平面11A ADD AD =,所以P AD ∈, 所以CE 、1D F 、DA 三线交于一点.本题主要考查线共点,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 18.已知函数f (x )＝21x ax bx +++是定义在R 上的奇函数； (1)求a 、b 的值,判断并证明函数y ＝f (x )在区间(1,＋∞)上的单调性(2)已知k ＜0且不等式f (t 2-2t ＋3)＋f (k -1)＜0对任意的t ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围. 【参考答案】：(1)见解析(2)(-1,0)【试题解答】：(1)根据奇函数的定义即可求出a 、b 的值,再根据增减性定义证明函数单调性即可(2)根据奇函数的性质及函数的增减性原不等式可转化为t 2-2t ＋3＞1-k 对任意的t ∈R 恒成立,只需求出t 2-2t ＋3的最小值即可.(1)∵函数f (x )＝21x ax bx +++是奇函数∴由定义f (-x )＝21x a x bx -+-+＝-21x ax bx +++, ∴a ＝b ＝0, ∴f (x )＝21x x +, y ＝f (x )在区间(1,＋∞)上的单调递减. 证明如下：∵f (x )＝21xx +,∴2221()(1)x f x x -++'=,∵x ＞1,∴()0f x '<,∴y ＝f (x )在区间(1,＋∞)上的单调递减.(2)由f (t 2-2t ＋3)＋f (k -1)＜0及f (x )为奇函数得：f (t 2-2t ＋3)＜f (1-k ) 因为t 2-2t ＋3≥2,1-k ＞1,且y ＝f (x )在区间(1,＋∞)上的单调递减, 所以t 2-2t ＋3＞1-k 任意的t ∈R 恒成立, 因为t 2-2t ＋3的最小值为2,所以2＞1-k ,∴k ＞-1 ∵k ＜0,∴-1＜k ＜0.∴实数k 的取值范围是(-1,0).本题主要考查了函数奇偶性的定义,函数的单调性的判断与证明,不等式恒成立,属于中档题.19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元). (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大？【参考答案】：(1)；(2)甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大, 且最大收益为282万元.【试题解答】：试题分析：(1)当甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,此时直接计算1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+=即可；(2)列出总收益的函数式得1()422504f x x x =-++,令,换元将函数转换为关于t 的二次函数,由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析： (1)∵甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元, ∴1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+= (2),依题得,即,故.令,则,当时,即时,,∴甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元. 1.函数建模；2.二次函数. 20.已知幂函数()()3*pf x xp N -=∈的图象关于y 轴对称,且在()0,∞+上为增函数.(1)求不等式()()22132p p x x +<-的解集.(2)设()()log a g x f x ax ⎡⎤=-⎣⎦()0,1a a >≠,是否存在实数a ,使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2,若存在,求出a 的值,若不存在,请说明理由. 【参考答案】：(1) 21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ (2) 3352a -+= 【试题解答】：试题分析：(1)由题意偶函数和在()0,+∞上为增函数,解得1p =,得到()()1122132x x +<-,结合定义域和单调性,解得答案；(2)由()g x 在[]2,3上有意义得,所以02a <<且1a ≠,所以()2h x x ax =-在[]2,3上为增函数,分12a <<和01a <<两类讨论,解得答案。

河南省名校联考2020届高三联考数学(理)试题Word版含解析

河南省名校联考2020届高三联考数学（理）试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）A. 先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律作出判断.【详解】函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,所以选A.【点睛】本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.【详解】因为满足，所以在双曲线右支，因此,又为等腰三角形，所以,因为,所以，选B.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.【详解】由，得，则故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.9.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.12.已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.【详解】因为，所以由题意得在上不单调，因为，所以,当时, ,, 当时, ,,因此，选A.【点睛】本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）【答案】35【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.【详解】,即含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，计算即可.【详解】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，，，，则，，，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（Ⅰ）求得分在上的频率；（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故.构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值.【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知..因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。

【附加15套高考模拟试卷】河南省豫南九校2020届高三下学期第一次联考理科数学试题含答案

河南省豫南九校2020届高三下学期第一次联考理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|0}A x x =>，2{|log (31)2}B x x =-<，则（） A ．(0,)A B ⋃=+∞B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．A B R ⋃= D ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I 2．将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则（） A ．A 与B 是互斥而非对立事件B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件3．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，AB =u u u r ,6AC =u u u r ,12AE ED =u u u r u u u r ,则AE EB ⋅u u u r u u u r等于（）A ．14-B ．9-C ．9D ．144．已知函数()()2(0,0)sin =+>>f x ωx φωφ的最小正周期为π，且()4⎛⎫≤ ⎪⎝⎭πf x f ，则φ的最小值为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π5．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2xy+=，则113x y+的最小值是（）A ．2B．C ．4 D ．36．已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||4b =r ，()a a b ⊥+r r r ，则向量a r 在b r方向上的投影为（）A ．1-B ．2-C ．2D ．17．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC V222)a c b +-，周长为6，则b 的最小值是（）A ．2BC ．3D．38．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，则9S =( ) A ．18 B ．19 C ．20 D ．369．函数f(x)＝x a 满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a (x ＋1)|的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．将函数2sin(2)cos(2)()36y x x x R ππ=--+∈的图像向右平移4π个单位长度，所得图像对应的函数（） A ．在(,0)2π-上递增 B ．在(,0)2π-上递减C ．在(0,)6π上递增D ．在(0,)6π上递减 11．过直线3x 4y 140--=上一点P ，作圆C ：22(x 1)(y 2)9++-=的切线，切点分别为A 、B ，则当四边形PACB 面积最小时直线AB 的方程是( ) A ．4x 3y 20-+= B ．3x 4y 20-+=C ．3x 4y 20--=D ．4x 3y 20--=12．已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，AD t AC =u u u r u u u r，若B ,O ,D 三点共线，则t 的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年河南省豫南九校高一上学期第一次联考数学试题(解析版)

【解析】（1）进行分数指数幂的运算即可；
（2）进行对数式的运算即可．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式
．
【点睛】
考查分数指数幂和对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
18．已知集合，集合或 .
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先化简集合，再根据交集的概念，即可求出结果；
【答案】C
【解析】∵函数y=f(x)定义域是[−2,3]，
∴由−2⩽2x−1⩽3，
解得− ⩽x⩽2，
即函数的定义域为，
本题选择C选项.
8．已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据的奇偶性，与，得到；再由确定函数的周期，从而可求出结果.
∴函数的定义域为R，关于原点对称．
∵ ，
∴函数为奇函数．
（3）函数在定义域上为增函数．证明如下：
设，且，
则，
∵y＝2x在上是增函数，且，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数在定义域内是增函数．
（3）∵ ，
∴ ．
∵函数是奇函数，
∴ ．
又函数在定义域内是增函数，
∴ 对任意 1恒成立，
∴ 对任意t 1恒成立．
【详解】
因为对任意对当时，满足，
所以当时，单调递减；
又为偶函数，所以关于直线对称，
因此，时，单调递增；
因为不等式可化为，
又，
所以只需，解得 .
故选A
【点睛】
本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.

河南省豫南九校2019-2020学年高一上学期第三次联考数学试题(解析版)

河南省豫南九校2019-2020学年高一上学期第三次联考试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列命题正确的是（）A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D. 四边形确定一个平面『答案』C『解析』A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.2.下列哪个函数的定义域与函数()15xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（）A.2y x x=+B.ln2y x x=- C.1yx=D.1y xx=+『答案』B『解析』函数()15xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，对于A，函数2y x x=+的定义域为R；对于B，函数ln2y x x=-的定义域为()0,∞+；对于C，函数1yx=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；对于D，函数1y xx=+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；故选：B.3.已知集合{12log 1,2A x x B x ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =（）A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 0,D.()0,2『答案』C『解析』由{}12|log 1|02A x x x x ⎧⎫=>-=<<⎨⎬⎩⎭，{1|2|2x B x x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，则()0,A B ⋃=+∞，故选C.4.已知圆锥的侧面积展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（） A. 1B.C. D. 2『答案』D『解析』设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由已知可得2r l ππ=，所以2l r =，所以2lr =，即圆锥的母线与底面半径之比为2. 故选D ． 5.已知函数()2f x x x a=++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是()A. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. ()2,0- D. []2,0- 『答案』C『解析』函数f (x )=x 2+x +a 的图象的对称轴方程为12x =-,故函数在区间(0,1)上单调递增，再根据函数f (x )在(0,1)上有零点,可得()()00120f a f a ⎧=<⎪⎨=+>⎪⎩，解得−2<a <0.本题选择C 选项.6.函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是（）A. y =B. |2|y x =-C.21xy =- D.2log (2)y x =『答案』A『解析』函数()f x 过定点为()1,1,代入选项验证可知A 选项不过A 点,故选A.7.正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为（）A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π『答案』B『解析』取BD 中点O ，连结,EO FO ，设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG ，则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BG AG G CD ⋂=∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B .8.已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A. 4a ≤B. 4a ≥C. 4a或4a ≥D. 44a -<≤『答案』D『解析』令()23x x ag ax-+=，则()230x a ag xx=-+>在[)2,+∞恒成立，且()23x x ag ax-+=在[)2,+∞上为增函数，所以22a≤且()240g a=+>，所以44a-<≤.故选：D.9.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P与点Q在正视图与侧视图上的对应点分别为A，B，则在该几何体表面上，从点P到点Q的路径中，最短路径的长度为（）A. B. C. D.『答案』C『解析』由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ=（2）前面和上面再一个平面此时PQ=<故选C.10.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』C『解析』画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.11.已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（）A. 35B. 35C. 1D. -1『答案』A 『解析』()g x 偶函数，()h x 为奇函数，且()()2xg x h x -=①()()()()2xg x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x xg x-+=，()222x xh x--=.由()()0m g x h x⋅+≤得224121224141x x xx x x xm----≤==-+++，∵2141xy=-+在[]1,1x∈-为增函数，∴max231415x⎛⎫-=⎪+⎝⎭，故选：A.12.无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：①若//x y，//x z，则//y z；②若x y⊥，x z⊥，则y z⊥；③若x y⊥，//y z，则x z⊥；④若x与y无公共点，y与z无公共点，则x与z无公共点；⑤若x，y，z两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.其中说法正确的序号为（）A. ①③B. ①③⑤C. ①③④⑤D. ①④⑤『答案』B『解析』由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误；若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，若三个平面两两相交，则交点有无数个，故⑤正确；故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()()e exxf x a a -=+∈R ，若()f x 为奇函数，则a =______.『答案』-1『解析』若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()e e e e x x x x a a --+=-+，即()()1e 0e x x a -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 故答案为：-114.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为3，则它的侧面积为______.『答案』『解析』设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，则24ABCD S a =，h =，则313V =⨯=1a =，则14222BC PF a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭侧2==故答案为：15.已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22522a f m m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-+-，则m 的取值范围是______.『答案』112m ≤<.『解析』因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+-又()f x 在[]0,3上单调递减，所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<.故m的取值范围是112m ≤<.16.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_______________ 『答案』4π『解析』将四面体ABCD 补为正方体，如下图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O ，面积最小的截面就是与OE 垂直的截面.由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为：.2π×2=4π.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 和1AA 的中点.求证：CE ，1D F，DA 交于一点.『解』证明：如图所示，连接1CD 、EF 、1A B，因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点，所以1//EF A B且112EF A B =.即：1//EF CD ，且112EF CD =，所以四边形1CD FE是梯形，所以CE 与1D F必相交，设交点为P ，则P CE ∈，且1P D F∈，又CE ⊂平面ABCD ，且1D F ⊂平面11A ADD ，所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面11A ADD ，又平面ABCD 平面11A ADD AD=，所以P AD ∈，所以CE 、1D F、DA 三线交于一点.18.已知函数f （x ）=21x a x bx +++是定义在R 上的奇函数；（1）求a 、b 的值，判断并证明函数y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性（2）已知k ＜0且不等式f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0对任意的t ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．『解』（1）∵函数f （x ）=21x a x bx +++是奇函数 ∴由定义f （-x ）=21x a x bx -+-+=-21x ax bx +++， ∴a =b =0，∴f （x ）=21x x +，y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：∵f （x ）=21x x +，∴2221()(1)x f x x -++'=， ∵x ＞1，∴()0f x '<，∴y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减．（2）由f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0及f （x ）为奇函数得：f （t 2-2t +3）＜f （1-k ）因为t 2-2t +3≥2，1-k ＞1，且y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减，所以t 2-2t +3＞1-k 任意的t ∈R 恒成立，因为t 2-2t +3的最小值为2，所以2＞1-k ，∴k ＞-1 ∵k ＜0，∴-1＜k ＜0．∴实数k 的取值范围是（-1，0）．19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋14Q a =＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)． (1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？『解』（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴1(50)80150120277.54f =+⨯+=（2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 20.已知幂函数()()3*p f x x p -=∈N 的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上为增函数.（1）求不等式()()22132pp x x +<-的解集.（2）设()()log a g x f x ax ⎡⎤=-⎣⎦()0,1a a >≠，是否存在实数a ，使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.『解』（1）由已知得30p ->且*p ∈N ，所以1p =或2p =当2p =时，()3p f x x -=为奇函数，不合题意当1p =时，()2f x x =，所以不等式()()22132pp x x +<-变为()()1122132x x +<- 则0132x x ≤+<-，解得213x -≤<所以不等式()()22132p p x x +<-的解集为21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. （2）()()2log a g x x ax=-，令()2h x xax=-，由()0h x >得()(),0,x a ∈-∞+∞因为()g x 在[]2,3上有定义所以02a <<且1a ≠，所以()2h x x ax=-在[]2,3上为增函数，（Ⅰ）当12a <<时，()()()max 3log 932a g x g a ==-=即2390a a +-=，∴a =，又12a <<，∴a =（Ⅱ）当01a <<时，()()()min 2log 422a g x g a ==-=即2240a a +-=，∴1a =-±.21.已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）当2m =-时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，总有()6f x ≤成立，求实数m 的取值范围.『解』（1）当2m =-时，设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),0x ∈-∞，∴()1,t ∈+∞， ∴()()222413t t t y g t -+=-=+=，对称轴1t =，图像开口向上，∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数， ∴()3g t >，∴()f x 的值域为()3,+∞.（2）由题意知，()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1233x x m ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立，则只需当[)0,x ∈+∞时，min 1233x x m ⎛⎫≤⋅- ⎪⎝⎭，设3xt =，()12h t t t =-，由[)0,x ∈+∞得1t ≥，设121t t ≤<，则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<，所以()h t 在[)1,+∞上递增，即()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =，所以实数m 的取值范围为(],1-∞.22.在菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒，点,M N 分别是棱,CD AD 的中点，将四边形ANMC 沿着AC 转动，使得EF 与MN 重合，形成如图所示多面体，分别取,BF DE 的中点,P Q .（Ⅰ）求证：//PQ 平面ABCD ；（Ⅱ）若平面AFEC ⊥平面ABCD ，求多面体ABCDFE 的体积. 『解』（Ⅰ）取BE 中点R ，连接,,PR QR BD . ∵,P Q 分别是,BF DE 的中点 ∴//,//PR EF QR BD 又∵//EF AC∴//PR 平面ABCD ，//QR 平面ABCD 又∵PR QR R ⋂=∴平面//PQR 平面ABCD又PQ ⊆平面PQR∴//PQ 平面ABCD .（Ⅱ）连接AC ，设,AC BD 交于点O .BD AC ∴⊥又平面AFEC ⊥平面ABCD ，平面AFEC ⋂平面ABCD AC =BD ∴⊥平面AFEC∴多面体ABCDFE 可以分解为四棱锥B ACEF -和四棱锥D ACEF -在菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒知：2,12ACAC BD EF ====.设梯形EFAC 的面积为()1244EFAC BD S EF AC =+⋅=，则1332ABCDFE EFAC V S BD =⋅⋅=.。

河南省豫南九校2020届高三下学期第一次联考文科数学试题Word版含解析

河南省豫南九校2020届高三下学期第一次联考文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故.故选D.2. 复数 (为虚数单位），则（）A. 2B.C. 1D.【答案】C【解析】3. 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选：B4. 抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化为标准方程得，故焦点坐标为.故选B.5. 已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（）A. 1B.C.D. 0【答案】C【解析】事件与事件是对立事件，，故选：C．6. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选：B．7. 某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体在正方体内如下图所示，其表面积为8. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的的值为33，则输出的的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】，开始执行程序框图，，再执行一行，退出循环，输出，故选C.9. 直三棱拄的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，可得，由正弦定理，可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，易得此球的表面积为，故选B．10. 已知的三个内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.，故选.11. 设定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），即x＞0，则，........................故答案选A．12. 已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在依题意，解得,因为直线：，故；设MN的中点为，则，.故选：D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足则的最大值为__________．【答案】1【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值为.14. 已知向量满足，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由，得，故在方向上的投影为.15. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为__________．【答案】8【解析】圆心为（2，﹣1），则代入直线得：2a+2b=2，即a+b=1，则有（当且仅当时取等号）故答案为8．16. 下列结论：①若，则“”成立的一个充分不必要条件是“，且”；②存在，使得；③若函数的导函数是奇函数，则实数；④平面上的动点到定点的距离比到轴的距离大1的点的轨迹方程为.其中正确结论的序号为_________．(填写所有正确的结论序号）【答案】①②③【解析】①若，则“”成立的充要条件是故充分不必要条件是“，且”.故正确.②存在，使得,当a=1.1，x=1.21时，满足a x＜log a x，故∃a＞1，x＞0，使得a x＜log a x，故正确；③若函数的导函数是奇函数，故正确.④设P（x，y），由P到定点F（1，0）的距离为,P到y轴的距离为|x|，当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；当x＞0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，列出等式：﹣|x|=1化简得y2=4x （x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线．则动点P的轨迹方程为y2=4x或，故选项不正确.故答案为：①②③.点睛:这个题目考查的知识点比较多，重点总结平面解析求轨迹的问题，一般是求谁设谁的坐标，然后根据题目等式直接列出数学表达式，求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设正项等比数列，，且的等差中项为.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2)【解析】试题分析：：（1）根据等比数列的公式得到求得基本量，进而得到通项；（2）根据第一问得到，，故，裂项求和即可.解析：（1）设等比数列的公比为，由题意，得解得所以（2）由（1）得，∴，∴18. 如图，四棱锥中，侧面底面，,.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为2，求的面积.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）直接利用线面垂直和面面垂直的性质求出结果．（2）利用等体积转化法求出结果．试题解析：（1）∵平面平面，平面平面，平面，且，∴平面.又∵平面，∴.又∵，，平面，∴平面.（2）取中点，连接.∵，∴.又∵平面，平面平面，平面平面，∴平面.∴为三棱锥的高，且.又∵，，∴.∴，得..又∵平面且平面，∴.∴.19. 某地区某农产品近几年的产量统计如下表:（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年年该农产品的产量.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】(1) (2) 该地区2018年该农产品的产量估计值为7. 56万吨【解析】试题分析：根据题目中所给公式得到，，又，得，进而得到回归方程；（2）将t=7代入方程得到y值.解析：（1）由题，，，，所以，又，得，所以关于的线性回归方程为.（2）由（1）知，当时，，即该地区2018年该农产品的产量估计值为7. 56万吨.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过且与轴垂直的直线与椭圆在第一象限内的交点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，当时，求直线的方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由题意得，，∴.①∵，∴.②联立①②得a,b,c 即得椭圆的方程（2）设直线方程为：，点坐标为，点坐标为.联立得，根据韦达定理由弦长公式得，，又点到直线的距离，，解得k值，即得直线的方程.试题解析：(1)设，，则，∵，∴.①∵，∴.②联立①②得，，，.∴椭圆方程为.(2)显然直线斜率存在，设直线方程为：，点坐标为，点坐标为.联立方程组，得，令得，，∴，，由弦长公式得，，点到直线的距离，，解得.∴的方程为：.点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆的几何性质，考查了弦长公式，点到直线的距离，考查了计算能力，属于中档题.21. 设函数.（1）当时，恒成立，求的范围；（2）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到，，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可.解析：由，当时，得.当时，，且当时，，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.即方程有两解，可得，所以.令，则，当时，，所以在上是减函数.当时，，所以在上是减函数.所以.又当时，；且有.数形结合易知：.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【试题分析】（1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得的取值范围.【试题解析】解：（1）∵圆的极坐标方程为，∴，又∵，，∴，∴圆的普通方程为（2）设，故圆的方程，∴圆的圆心是，半径是2，将代入得，又∵直线过，圆的半径是2，∴，∴，即的取值范围是.23. 选修4-5：不等式选讲已知均为实数.（1）求证：；（2）若，求的最小值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【试题分析】（1）利用分组分解法将原不等式变形为从而得证.（2）因为，所以.【试题解析】证明：（1）法一：，所以.法二：，所以.（2）证明：因为 (由柯西不等式得）所以，当且仅当即时，有最小值.。

2019-2020学年豫南九校高一(下)第一次联考数学试卷(2月份)(含解析)

2019-2020学年豫南九校高一(下)第一次联考数学试卷(2月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 直线方程为y −2=2(x +3)，则( )A. 直线过(2,−3)，斜率为2B. 直线过(−3,−2)，斜率为12C. 直线过(−3,2)，斜率为12D. 直线过(−3,2)，斜率为2 2. (614)12−(−7.8)0−(338)23+(23)−2=( ) A. 14 B. 13 C. 32 D. 15 3. 若一条斜线段的长度是它在平面内的射影长度的2倍，则该斜线与平面所成的角为( )A. 60°B. 45°C. 30°D. 120° 4. 已知集合A ={x|log 12x > −1},B ={x|2x >√2}，则A ∪B =( )A. (12,2)B. (12,+∞)C. (0,+∞)D. (0,2)5. 设f(x)={2e x−1(x <2)log 3(x 2−1)(x ≥2)，则f[f(2)]=( ) A. 2 B. 3 C. 9 D. 186. 点(0,2)关于直线x +2y −1=0的对称点是( )A. (−2,0)B. (−1,0)C. (−65,−25)D. (0,−1)7. 在同一坐标系中，函数y =3x 与的图象之间的关系是( )A. 关于y 轴对称B. 关于x 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y =x 对称8. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1各条棱的长度均相等，D 为AA 1的中点，M,N 分别是线段BB 1和线段CC 1的动点(含端点)，且满足BM =C 1N ，当M,N 运动时，下列结论中不．正．确．的是( ) A. 在ΔDMN 内总存在与平面ABC 平行的线段B. 平面DMN ⊥平面BCC 1B 1C. 三棱锥A 1−DMN 的体积为定值D. ΔDMN 可能为直角三角形9. 已知P(x,y)是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2+y 2−2y =0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为 ( )A. 1B. √2C. √3D. 210. 已知函数f (x )={(3−a )x +2a,x <13x−1,x ⩾1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,3) B. [−2,3) C. [−2,+∞) D. (−2,3)11. 方程42x−1=16的解是 ( )A. x =−32B. x =32C. x =1D. x =212. 若一个几何体的三视图如图所示，则经过几何体的表面从点A 到点B 的最短距离为( )A. 2+√3B. 1+√3C. √13D. √7+2√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 以点A(2,−4)，B(2,2)为直径的圆的标准方程为__________．14. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则f(−1)的值为________．15. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是_________．16. 若函数f(x)=x 2−ax −b 的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx 2−ax −1的零点是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(Ⅰ)求证：EF//平面CB 1D 1；(Ⅱ)求异面直线EF与CD1所成角．18.已知直线L1：(3−a)x+(2a−1)y+10=0，直线L2：(2a+1)x+(a+5)y−6=0．①若L1⊥L2，求a的值；②若L1//L2，求a的值．19.函数f(x+1)是偶函数，当x>1时，f(x)=x2+1，求当x<1时，f(x)的解析式．20.如图，三棱锥A−BCD所有的棱长都为6，以CD为斜边作等腰直角△MCD，若平面MCD⊥平面BCD，连接AM，BM．(1)求证：CD⊥BM；(2)求三棱锥D−MAC的体积．21.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=x2+x−2，求f(x)的解析式．22.已知圆和圆，求圆与圆的公切线的方程．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了直线的点斜式方程和直线的斜率，属于基础题．分局直线方程判断即可．解：因为直线方程为y −2=2(x +3)，故直线经过点(−3,2)，斜率为2，故选D ．2.答案：C解析：本题考查了指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．利用指数幂即可得出．解：(614)12−(−7.8)0−(338)23+(23)−2=√254−1−√(278)23+(32)2 =52−1−94+94=32．故选C ． 3.答案：A解析：解：由题意画如下的草图：因为斜线段AB 的长度是它在平面内的射影AC 长度的2倍，连接BC ，有斜线段与其射影，则△ABC 就构成以∠ACB =90°的直角三角形，因为线段AB 是AC 的2倍，所以∠BAC =60°．故选：A ．由题意，画出一个简图，利用直线与平面所成角的概念找出该斜线段AB 与其射影线AC 的夹角即为该斜线与平面所成的角．此题重点考查了写线段与其射影所成的角即为线面角这一概念，还考查了直线与平面所成的角这一概念及解直角三角形的公式．4.答案：C解析：解：∵集合A ={x|log 12x >−1}={x|log 12x >log 122}={x|0<x <2}， B ={x|2x >√2}={x|2x >212}={x|x >12}， ∴A ∪B ={x|x >0}=(0,+∞)．故选：C ．先分别求出集合A ，B ，由此利用并集定义能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用． 5.答案：A解析：解：∵f(x)={2e x−1(x <2)log 3(x 2−1)(x ≥2)， ∴f(2)=log 3(22−1)=1，f[f(2)]=f(1)=2e 1−1=2．故选：A ．由已知得f(2)=log 3(22−1)=1，由此能求出f[f(2)]=f(1)=2e 1−1=2．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用． 6.答案：C解析：本题考查了求点关于直线的对称点的应用问题，是基础题目．根据点关于直线的对称点连线，被对称轴垂直且平分，列出方程组，求出对称点的坐标．解：设点Q(0,2)关于直线x +2y −1=0的对称点是P(a,b)，则k PQ =2−b −a =2…①，且线段PQ 的中点M(a 2,b+22)在直线x +2y −1=0上， ∴a 2+(b +2)−1=0…②；由①、②组成方程组，解得a =−65，b =−25；∴点P(−65,−25).故选C ． 7.答案：D解析：本小题主要考查指数函数的图象与对数函数的图象的关系，属于基础题．根据指数和对数式的关系即可判断．解：由y =3x 得到x =log 3y ，得到对数函数，则函数y =3x 与的图象之间的关系是关于直线y = x 对称．故选D ． 8.答案：D解析：本题考查了命题的真假与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，属于中档题．本题不好判断的是选项D 到底正确还是不正确，解析中主要利用了反证法的原理.先假设它是正确的，再找到∠MDN 为直角的直角三角形时的情形，找到矛盾.对于这种不好判断的命题，我们有时可以反证法．解：对选项A ，取MN 的中点E ，连接DE ，过点E 作BC 的垂线，垂足为F ，连接AF ，可以证明DE||AF ，所以DE||平面ABC ，故选项A 正确；对于选项B ，可以证明DE ⊥平面BCC 1B 1，所以平面DMN ⊥平面BCC 1B 1，故选项B 正确；对于选项C ，V A 1−DMN =V M−A 1DN ，底面ΔA 1DN 的底边A 1D 和它的高都是一个定值，所以底面积是一个定值，但是点M 到底面的高是一个定值，所以三棱锥A 1−DMN 的体积为定值，故选项C 正确；对于选项D ，若ΔMDN 为直角三角形，则必是以∠MDN 为直角的直角三角形，但是MN 的最大值为BC 1，而此时DM ，DN 的长大于BB 1，所以ΔMDN 不可能为直角三角形，故选D ．9.答案：D解析：要题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，先求圆的半径，四边形PACB 的最小面积是2，转化为三角形PBC 的面积是1，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值．解：圆C ：x 2+y 2−2y =0的圆心(0,1)，半径是r =1，由圆的性质知：S 四边形PACB =2S △PBC ，四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值=1=12rd(d 是切线长)，∴d 最小值=2，圆心到直线的距离就是PC 的最小值，√12+ 22=√1+k 2=√5，∵k >0，∴k =2．故选D ．10.答案：B解析：本题考查分段函数的值域问题，涉及指数函数的性质，属基础题，分段研究函数值域，考虑何时取并集之后符合要求，列关于a 的不等式组，即可得解．解：由于x ≥1时，3x−1⩾1，所以{3−a >0(3−a)+2a ⩾1，解得a ∈[−2,3)．故选B ．11.答案：B解析：本题考查利用指数函数的性质求方程的求解，属于基础题．解：由42x−1=16得42x−1=42，2x−1=2，x=32．故选B．12.答案：C解析：本题主要考查了空间几何体的三视图，属于中档题．解：此几何体展开图如下所示：由三视图可知这是一个正三棱柱，各边都为2，两点之间直线段最短，故A到点B的最短距离为√2²+3²=√13，C正确，故选C．13.答案：(x−2)2+(y+1)2=9解析：本题考查求圆的标准方程，属于基础题目.根据题意得出圆心坐标以及半径，代入公式即可求解．解：由题意，∵A(2,−4)，B(2,2)∴AB的中点即圆心坐标为(2,−1)，半径为12|AB|=12×√(2−2)2+(−4−2)2=3，∴所求圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=9．故答案为(x−2)2+(y+1)2=9．14.答案：−2解析：本题考查了函数奇偶性，属于基础题．当x>0时，f(x)=x2+1x，可得f(1).由于函数f(x)为奇函数，可得f(−1)=−f(1)，即可得出．解：∵当x>0时，f(x)=x2+1x，∴f(1)=1+1=2．∵函数f(x)为奇函数，∴f(−1)=−f(1)=−2．故答案为−2．15.答案：北解析：本题考查正方体展开图，还原成立体图形即可，属容易题．还原成立体图形：故答案为北．16.答案：−12和−13解析：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，是基础题．由题意得a=2+3=5，b=−2×3=−6，所以g(x)=−6x2−5x−1，从而有g(x)=−6x2−5x−1=0，所以其零点可求．解：由题意得a=2+3=5，b=−2×3=−6，所以g(x)=−6x 2−5x −1，令g(x)=0，即−6x 2−5x −1=0，解得x =−13或x =−12，所以其零点为−12和−13．故答案为−12和−13． 17.答案：(Ⅰ)证明：连结BD ，∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF//BD ，∵BB 1//DD 1，BB 1=DD 1，∴四边形是BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD//B 1D 1，∴EF//BD ，∵B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，EF ⊄面B 1D 1C ，∴EF//平面CB 1D 1．(Ⅱ)解：连接A 1B ，A 1D ，∵A 1D 1=BC,A 1D 1//BC ，∴四边形BCD 1A 1是平行四边形，∴BA 1//CD 1，又∵EF//BD ，∴∠A 1BD 就是异面直线EF 与CD 1所成角∵在正方体AC 1中A 1B =A 1D =BD ，∴∠A 1BD =60°，∴异面直线EF 与CD 1所成角为60°．解析：(Ⅰ)连结BD ，则EF//BD ，从而四边形是BB 1D 1D 是平行四边形，由此能证明EF//平面CB 1D 1． (Ⅱ)连接A 1B ，A 1D ，则四边形BCD 1A 1是平行四边形，EF//BD ，从而∠A 1BD 就是异面直线EF 与CD 1所成角，由此能求出异面直线EF 与CD 1所成角．本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．18.答案：解：①L 1⊥L 2则(3−a)(2a +1)+(2a −1)(a +5)=0，解得a =17，②L 1//L 2则(3−a)(a +5)=(2a −1)(2a +1)，解得a =85或a =−2，、当a =−2时，l 1与l 2重合，不满足题意，故a=85．解析：(1)当两条直线垂直时，(3−a)(2a+1)+(2a−1)(a+5)=0，解方程求出a的值．(2)利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．19.答案：解：∵函数f(x+1)是偶函数，∴f(x)的图象关于x=1对称，即f(x)=f(2−x)，设x<1，则−x>−1，则2−x>1，∴f(2−x)=(2−x)2+1=x2−4x+5，∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)=x2−4x+5(x<1)．解析：本题考查利用函数的奇偶性，求解函数的解析式，由题知函数f(x+1)是偶函数，知f(x)= f(2−x)，令x<1则x>−1，则2−x>1，则f(2−x)=(2−x)2+1=x2−4x+5，即可求得f(x)的解析式，属简单题．20.答案：证明：(1)因为等腰直角△MCD，三棱锥A−BCD所有的棱长都为6，所以取CD的中点O，连接MO，BO，则CD⊥MO，CD⊥BO，因为MO∩BO=O，所以CD⊥平面MOB，因为BM⊂平面MOB，所以CD⊥BM；(2)因为CD⊥MO，平面MCD⊥平面BCD，所以点A到平面MCD的距离为√3，所以三棱锥D−MAC的体积为13×12×6×3×√3=3√3．解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥B−ACF的体积，正确转化是关键．(1)证明CD⊥平面MOB，即可证明CD⊥BM；(2)点A到平面MCD的距离为√3，即可求三棱锥D−MAC的体积．21.答案：f(x)={x 2+x −2,x <00,x =0−x 2+x +2,x >0解析：设x >0，则−x <0，由已知得f(−x)=(−x)2+(−x)−2=x 2−x −2，∵f(x)是奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−x 2+x +2，∴当x >0时，f(x)=−x 2+x +2.又f(x)是定义域为R 的奇函数，∴f(0)=0.综上所述：f(x)={x 2+x −2,x <00,x =0−x 2+x +2,x >0．22.答案：解：由题意，圆C 1，圆C 2的方程可化为：(x +1)2+(y +3)2=1,(x −3)2+(y +1)2=9．当公切线斜率不存在时，显然x =0是其一条公切线，设其它的公切线为y =kx +b ．则两圆的圆心到公切线的距离分别为1和3．则√k 2+1=√k 2+1=3．解出k =0，b =−4或k =43，b =0或k =−43，b =−52．则公切线方程为：y =−4，y =43x ，y =−43x −52．综上，公切线方程为x =0，y =−4，y =43x ，y =−43x −52．解析：本题考查圆与圆的公切线，属于基础题.注意分斜率是否存在两种情况讨论．解：由题意，圆C 1，圆C 2的方程可化为：(x +1)2+(y +3)2=1,(x −3)2+(y +1)2=9．当公切线斜率不存在时，显然x =0是其一条公切线，设其它的公切线为y =kx +b ．则两圆的圆心到公切线的距离分别为1和3．则√k 2+1=√k 2+1=3．解出k =0，b =−4或k =43，b =0或k =−43，b =−52．则公切线方程为：y =−4，y =43x ，y =−43x −52．综上，公切线方程为x =0，y =−4，y =43x ，y =−43x −52．。

2019-2020学年河南省豫南九校上学期第三次联考高一数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省豫南九校上学期第三次联考高一数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面【答案】C【解析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2．下列哪个函数的定义域与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（）A ．2y x x =+B ．ln 2y x x =-C ．1y x=D ．1y x x=+【答案】B【解析】求出函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域，再求出各选项中的定义域，比较即可得出选项. 【详解】函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，对于A ，函数2y x x =+的定义域为R ；对于B ，函数ln 2y x x =-的定义域为()0,∞+；对于C ，函数1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；对于D ，函数1y x x=+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞；故选：B 【点睛】本题考查了指数函数的值域、对数函数的定义域，属于基础题. 3．已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由，，则，故选C.4．已知圆锥的侧面积展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】D【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长可得母线与底面圆半径间的关系．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由已知可得2r l ππ=，所以2l r =，所以2lr=，即圆锥的母线与底面半径之比为2. 故选D ．【点睛】解答本题时要注意空间图形和平面图形间的转化以及转化过程中的等量关系，解题的关键是根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得到等量关系，属于基础题．5．已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()2,0-D ．[]2,0-【答案】C【解析】函数f (x )=x 2+x +a 的图象的对称轴方程为12x =-,故函数在区间(0,1)上单调递增，再根据函数f (x )在(0,1)上有零点,可得()()00120f a f a ⎧=<⎪⎨=+>⎪⎩，解得−2<a <0.本题选择C 选项.点睛：解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．6．函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是（） A ．1y x =- B ．|2|y x =-C ．21x y =-D ．2log (2)y x =【答案】A【解析】函数()f x 过定点为()1,1,代入选项验证可知A 选项不过A 点,故选A.7．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】取BD 中点O ，连结,EO FO ，则//,//OF CD OE AB ，且2aOF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角. 【详解】取BD 中点O ，连结,EO FO ，设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG 则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BG AG G CD ⋂=∴⊥Q 平面ABG ,AB ⊂Q 平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.8．已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．4a <-或4a ≥D ．44a -<≤【答案】D【解析】由题意使230x ax a -+>在[)2,+∞恒成立，且由复函函数的单调性使()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数即可求解. 【详解】令()23x x a g ax -+=，则()230x a a g x x =-+>在[)2,+∞恒成立，且()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数，所以22a≤且()240g a =+>，所以44a -<≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调性，注意解题时需使式子在单调区间内有意义.9．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后PQ 的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径，分别计算出结果，得出答案.【详解】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ=（2）前面和上面再一个平面此时PQ=故选C【点睛】本题考查了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是PQ的路径有两种情况，属于较易题.10．已知函数f(x)＝|ln x|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数h(x)的零点个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.11．已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（）A ．35B ．35-C ．1D ．-1【答案】A【解析】由题意得出()g x 、()h x 的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得2141x m ≤-+转化为求函数的最值，求出函数2141x y =-+的最大值即可. 【详解】Q ()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且()()2x g x h x -=①()()()()2x g x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x x g x -+=，()222x xh x --=. 由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x xm ----≤==-+++， ∵2141xy =-+在[]1,1x ∈-为增函数， ∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意分离参数法的应用，此题属于中档题.12．无论x ，y ，z 同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法： ①若//x y ，//x z ，则//y z ；②若x y ⊥，x z ⊥，则y z ⊥； ③若x y ⊥，//y z ，则x z ⊥；④若x 与y 无公共点，y 与z 无公共点，则x 与z 无公共点； ⑤若x ，y ，z 两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个. 其中说法正确的序号为（） A ．①③ B ．①③⑤ C ．①③④⑤ D ．①④⑤【答案】B【解析】由平行的传递性可判断①；由直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系可判断②③④⑤. 【详解】由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误；若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，若三个平面两两相交，则交点有无数个，故⑤正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了平行的传递性、直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系，属于基础题.二、填空题13．设函数()()xxf x e aea R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解. 【详解】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()xx x x ae ae ee --+=-+，即()()10xxe a e-++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题. 14．一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为423，则它的侧面积为______. 【答案】43【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，由四棱锥的体积可求出边长，从而求出侧面积. 【详解】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，则24ABCD S a =，2222422h PB BO a a a --=，则31442233V a =⨯=1a =，则22142242BC PF a a a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯-⎪⎝⎭侧24343a ==故答案为：3【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】1122m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减，所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得1122m -≤<. 故m 的取值范围是1122m -≤<. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_______________ 【答案】4π【解析】试题分析：将四面体ABCD 补为正方体，如下图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O ，面积最小的截面就是与OE 垂直的截面.由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为：.224ππ⨯=.【考点】空间几何体.三、解答题17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 和1AA 的中点.求证：CE ，1D F ，DA 交于一点.【答案】证明见解析【解析】根据两个面的公共点一定在两个面的公共线上，只需证出CE 与1D F 交点在AD 上即可. 【详解】证明：如图所示，连接1CD 、EF 、1A B ，因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点，所以1//EF A B 且112EF A B =. 即：1//EF CD ，且112EF CD =，所以四边形1CD FE 是梯形，所以CE 与1D F 必相交，设交点为P ，则P CE ∈，且1P D F ∈，又CE ⊂平面ABCD ，且1D F ⊂平面11A ADD ，所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面11A ADD ，又平面ABCD I 平面11A ADD AD =，所以P AD ∈，所以CE 、1D F 、DA 三线交于一点. 【点睛】本题主要考查线共点，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 18．已知函数f （x ）=21x ax bx +++是定义在R 上的奇函数；（1）求a 、b 的值，判断并证明函数y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性（2）已知k ＜0且不等式f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0对任意的t ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（-1，0）【解析】（1）根据奇函数的定义即可求出a 、b 的值，再根据增减性定义证明函数单调性即可（2）根据奇函数的性质及函数的增减性原不等式可转化为t 2-2t +3＞1-k 对任意的t ∈R 恒成立，只需求出t 2-2t +3的最小值即可. 【详解】（1）∵函数f （x ）=21x ax bx +++是奇函数∴由定义f （-x ）=21x a x bx -+-+=-21x ax bx +++，∴a =b =0， ∴f （x ）=21xx +， y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：∵f （x ）=21xx +，∴2221()(1)x f x x -++'=，∵x ＞1，∴()0f x '<，∴y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减．（2）由f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0及f （x ）为奇函数得：f （t 2-2t +3）＜f （1-k ）因为t 2-2t +3≥2，1-k ＞1，且y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减，所以t 2-2t +3＞1-k 任意的t ∈R 恒成立，因为t 2-2t +3的最小值为2，所以2＞1-k ，∴k ＞-1 ∵k ＜0，∴-1＜k ＜0．∴实数k 的取值范围是（-1，0）．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义，函数的单调性的判断与证明，不等式恒成立，属于中档题．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？【答案】（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得1()422504f x x x =-++，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+= （2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 【考点】1.函数建模；2.二次函数. 20．已知幂函数()()3*pf x xp N -=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上为增函数.（1）求不等式()()22132p p x x +<-的解集.（2）设()()log a g x f x ax ⎡⎤=-⎣⎦()0,1a a >≠，是否存在实数a ，使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ (2) 3352a -+= 【解析】试题分析：（1）由题意偶函数和在()0,+∞上为增函数，解得1p =，得到()()1122132x x +<-，结合定义域和单调性，解得答案；（2）由()g x 在[]2,3上有意义得，所以02a <<且1a ≠，所以()2h x x ax=-在[]2,3上为增函数，分12a <<和01a <<两类讨论，解得答案。

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