2019年广西高考文科数学模拟试题与答案
2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)解析版
2019年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x≥a}，B={0，1，2}，若A∩B=∅，则a的取值范围是（）A. B. C. D.2.等差数列{a n}中，a2=7，a6=23，则a4=（）A. 11B. 13C. 15D. 173.已知函数，＜，＞，若f（a）=2，则实数a=（）A. B. 4 C. 或1 D. 或44.如图，是3世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽，正方形ABCD内有四个全等的直角三角形，在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形部分的概率是（）A.B.C.D.5.下列函数中不是偶函数的是（）A. B. C. D.6.“k＜4”是“0＜k＜4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知平面向量，的模都为2，且＜，＞=90°，若=λ（λ≠0），则=（）A. 4B.C. 2D. 08.一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（）A. 6B. 5C. 4D. 39.在学校举行的一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：李明预测：甲队第一，乙队第三．张华预测：甲队第三，丙队第一．王强预测：丙队第二，乙队第三．如果三人的预测都对了一半、则名次为第一、第二、第三的依次是（）A. 丙、甲、乙B. 甲、丙、乙C. 丙、乙、甲D. 乙、丙、甲10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，C=，tan B=，则△ABC的面积等于（）A. B. C. 2 D.11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面B1EC的距离等于（）A. B. C. D. 112.已知直线1：y=3x与函数f（x）=，的图象交于三点，其横坐标分别是x1，x2，x3．若x1+x2+x3＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知i为虚数单位，复数Z1=2-i，Z2=1+i，那么Z1Z2=______14.函数f（x）=sin x-cos x（0＜x＜π）的值域是______．15.已知直线y=-1是曲线y=xe x+a的一条切线，则a的值是______16.已知抛物线M：x2=4py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线N：-y2=1交于A．B两点，若△FAB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在平面四边形ABCD中，BC=CD=2，△BCD的面积是2．（1）求∠BCD的大小（2）若∠ABD=2∠ACB=60°，求线段AD的长．18.如图1，在边长为3的菱形ABCD中，已知AF=EC=1，且EF⊥BC．将梯形ABEF沿直线EF折起，使BE⊥平面CDFE，如图2，P，M分别是图2中BD，AD上的点．（1）求证：图2中，平面ADF⊥平面ABEF；（2）若平面PAE∥平面CMF，求三棱锥M一CDF的体积．19.为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值．（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数中位数h（单位：厘米），将男、女生身高不低于h90%参照公式：k2=（3）若男生身高在低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高．假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率．20.已知椭圆N：+=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），且离心率为．（1）求椭圆N的方程；（2）直线l：y=kx-与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数入，使∠AMC=λ•∠ABC 恒成立，并说明理由．21.已知函数f（x）=ax2-x+x lnx，a∈R．（1）若a=-，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；（2）若f（x）在其定义域上恰有两个零点，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的参数方程为，（α∈[0，π]为参数），曲线N的极坐标方程为ρ（1-cosθ）=2．（1）求曲线M的极坐标方程；（2）设曲线M与曲线N的交点为P，Q，求|OP|+|OQ|的值．23.已知函数f（x）=+，M为不等式f（x）＜2的解集．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A∩B=∅，且A={x|x≥a}，B={0，1，2}；∴a＞2；∴a的取值范围是（2，+∞）．故选：D．根据A={x|x≥a}，B={0，1，2}，并且A∩B=∅，从而得出a＞2，即得出a的取值范围．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算，空集的定义．2.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a2=7，a6=23，∴，解得a1=3，d=4．∴a4=a1+3d=3+12=15．故选：C．利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=-，解得a=-1；当a＞0时，f（a）=log2a=2，解得a=4．综上，实数a的值为-1或4．故选：D．当a＜0时，f（a）=-，当a＞0时，f（a）=log2a=2，由此能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】B【解析】解：假设小正方形边长为1，则其面积为1，而正方形ABCD边长为=5，所以大正方形面积为25，故选：B．求出大正方形的面积，从而求出满足条件的概率即可．本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题．5.【答案】A【解析】解：A．函数的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称性，为非奇非偶函数，B．f（x）=sin（x+）=cosx，则f（x）是偶函数，C．函数的定义域为{x|x≠0}，则f（-x）=+e|-x|=+e|x|=f（x），则函数f（x）是偶函数，D．函数的定义域为{x|x≠kπ+，k≠0}，则f（-x）=tan|-x=tan|x|，即f（x）是偶函数，故选：A．根据函数奇偶性的定义，判断f（-x）=f（x）是否成立即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，结合偶函数的定义是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：由“k＜4”不能推出“0＜k＜4”，但是由“0＜k＜4”，能推出“k＜4”，故“k＜4”是“0＜k＜4”的必要而不充分条件，故选：B．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出结论．本题考查了充分必要条件，是一道基础题．7.【答案】A【解析】解：平面向量的模都为2，且＜，＞=90°，若=λ（λ≠0），建立平面直角坐标系如图：则=（2，2），M （，），则=2×+2×=4．故选：A．利用已知条件建立坐标系，求出相关的向量，通过向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，转化为坐标运算，使问题简化．8.【答案】C【解析】解：物质余下质量不超过原有的1%，设至少需要的年数为n，则a（1-）n≤a×1%，解得n≥=log4100．∴至少需要的年数是4．故选：C．物质余下质量不超过原有的1%，设至少需要的年数为n，列出不等式a（1-）n≤a×1%，由此能求出至少需要的年数．本题考查至少需要的年数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：若甲队第一对，则乙对第三错由王强的判断知，丙队第二对，此时张华说的全对，矛盾．若乙队第三对，则丙队第二和甲队第一错，故甲队第二，丙对第一，张华也说对了一半．此时成立．故选：A．根据三人的判断，分类讨论即可本题的解决方法为假设某一说法正确，看能否得到矛盾，从而得到正确的论断．属基础题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，在△ABC中，tanB=，则=且0＜B ＜，又由sin2B+cos2B=1，则sinB=，cosB=，又由C=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB=，又由=，则b===，则△ABC的面积S=absinC=×2××=；故选：A．根据题意，由tanB的值结合同角三角函数的基本关系式分析求出sinB、cosB的值，又由和角公式可得sinA=sin（B+C），计算可得sinA的值，由正弦定理求出b的值，据此由三角形面积公式计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，∴以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵点E为棱AA1的中点，∴C1（0，1，1），B1（1，0，1），E（0，0，），C（0，1，0），=（0，1，），=（1，0，），=（0，1，-），设平面B1EC 的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，-2），∴点C1到平面B1EC的距离为：d===．故选：C ．以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 1到平面B 1EC 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】D【解析】解：由，解得x=0或x=-2，即x 1=-2，x 2=0，由，解得x=，且＞1，即a ＞3，且x 3=，∵x 1+x 2+x 3＜0恒成立， ∴-2+0+＜0，解得a ＞6， 故选：D ．分别求出x 1，x 2，x 3，再结合x 1+x 2+x 3＜0恒成立，即可求出a 的取值范围本题考查了分段函数和参数的取值范围的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 13.【答案】3+i【解析】解：∵Z 1=2-i ，Z 2=1+i ，∴Z 1Z 2=（2-i ）（1+i ）=2+2i-i+1=3+i ． 故答案为：3+i ．把Z 1=2-i ，Z 2=1+i 代入Z 1Z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 14.【答案】（-1， ]【解析】解：f （x ）=sinx-cosx=sin （x-），∵0＜x ＜π， ∴x-∈，sin （x-）∈（-1，]故f （x ）∈（-1，]， 故答案为：（-1，]．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过角的范围，结合正弦函数的值域求解即可． 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的最值的求法，考查计算能力． 15.【答案】【解析】解：根据题意，直线y=-1是曲线y=xe x+a 的一条切线，设切点坐标为（n ，-1），对于y=xe x +a ，其导数y′=e x +xe x ，若直线y=-1是曲线y=xe x +a 的一条切线，则有y′|x=n =e n +ne n=0，解可得n=-1，切点坐标（-1，-1）此时有-1=-e -1+a ；解得a=．故答案为：．根据题意，设直线与曲线的切点坐标为（n ，-1），求出y=xe x+a 的导数，由导数的几何意义可得y′|x=n =2（e n +ne n ）=0，解可得n 的值，将n 的值代入曲线的方程，计算可得答案． 本题考查利用函数的导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．16.【答案】（，+∞） 【解析】解：抛物线M ：x 2=4py （p ＞0）的焦点为F ，其准线y=-p ，双曲线N：-y 2=1的两个交点分别是A（-a ，-p ），B （a ，-p ），△FAB 是等边三角形，可得2a ×=2p ，可得a=，所以双曲线N 的离心率：e==＞．双曲线N 的离心率的取值范围是：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．求出抛物线的准线方程，求出AB 坐标，利用△FAB 是等边三角形，列出关系，然后求解双曲线N 的离心率的取值范围．本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）在△BCD中，BC=CD=2，可得S△BCD=BC•CD•sin∠BCD=sin∠BCD=2，可得：sin∠BCD=1，可得：∠BCD=…4分（2）∵由（1）可得∠CBD=，BD=2，在△BCD中，由于，，∴，∴由正弦定理，可得：AB==，∴在△BAD中，由余弦定理可得：AD2=（2）2+（）2-2×cos=6，可得AD=…12分【解析】（1）在△BCD中，BC=CD=2，利用三角形的面积公式可求sin∠BCD=1，即可得解∠BCD=．（2）由（1）可得∠CBD=，BD=2，可求，由正弦定理可得AB的值，在△BAD中，由余弦定理可得AD的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】（1）证明：∵BE⊥平面CDFE，DF⊂平面CDFE，∴BE⊥DF，∵EF⊥EC，EC∥DF，∴DF⊥EF，又BE∩EF=E，∴DF⊥平面ABEF，又DF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ABEF．（2）解：∵平面PAE与平面CDFE有公共点E，∴平面PAE与平面CDFE有过点E的公共直线l，又平面MCF∩平面CDFE=CF，平面PAE∥平面MCF，∴l∥CF，设l∩DF=Q，则FQ∥EC，又EQ∥CF，∴四边形ECFQ是平行四边形，∴FQ=EC=1，连接AQ，∵平面MCF∩平面ADQ=MF，平面PAE∩平面ADQ=AQ，平面PAE∥平面MCF，∴AQ∥MF，∴=，∵BE⊥平面CDFE，BE∥AF，∴AF⊥平面CDFE，∴M到平面CDFE的距离h=AF=．又EF==2，∴V M-CDF==．【解析】（1）由DF⊥EF，DF⊥AF可得DF⊥平面ABEF，故而平面ADF⊥平面ABEF；（2）根据面面平行的性质可得两平面与平面ADF的交线平行，从而可得M到平面CDFE的距离，带入体积公式计算即可．本题考查了面面垂直的判定，面面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）茎叶图为：∴男生平均值为：=168.8；女生平均值为：=163.6．2h=165k2==≈0.202＜2.706，所以没有90%把握认为男、女生身高有差异．（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生概率为0.4，因此选2名男生恰好一名身高正常的概率为2×0.4×（1-0.4）=0.48．【解析】（1）男生平均值为：=168.8；女生平均值为：=163.6（2）计算观测值，结合临界值表可得．（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生概率为0.4，因此选2名男生恰好一名身高正常的概率为2×0.4×（1-0.4）=0.48．本题考查了独立性检验，属中档题．20.【答案】解：（1）∵椭圆N：+=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），且离心率为，∴b=1，，又a2-c2=b2，可得c=1，a=．则椭圆方程为；（2）存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．证明如下：由，得（9+18k2）x2-12kx-16=0．△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∵，，，，∴=x1x2+==．∴⊥．∵线段AB的中点为M，∴|MC|=|MB|，则∠AMC=2∠ABC．即存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．【解析】（1）由已知得b=1，，与a2-c2=b2联立，可得c=1，a=．则椭圆方程可求；（2）存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积为0可得．再由线段AB的中点为M，得|MC|=|MB|，则∠AMC=2∠ABC．即存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）由函数f（x）=ax2-x+x lnx，得f′（x）=ax+ln x，设g（x）=f′（x），当a=-时，g′（x）=．当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴f′（x）=g（x）≤g（e）=，∴函数f（x）在其定义域上单调递减；（2）f（x）在其定义域上恰有两个零点，即函数h（x）=在（0，+∞）上恰有两个零点．当a≥0时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；当a＜0时，h′（x）=．当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，由h（）＞0，得＞e2，可得＜a＜0．此时h（1）=＜，h（）=．令，由前面同理可得t＞e2，h（）=-e t+ln t+t-1，令φ（t）=-e t+ln t+t-1，φ′（t）=，当t＞e2时，φ′（t）＜0，φ（t）单调递减，则φ（t）＜φ（e2）＜0．∴a的取值范围是（，0）．【解析】（1）求出原函数的导函数f′（x）=ax+lnx，设g（x）=f′（x），当a=-时，求得g′（x）＜0，g（x）单调递减，可得f′（x）=g（x）≤g（e）=0，得到函数f（x）在其定义域上单调递减；（2）f（x）在其定义域上恰有两个零点，即函数h（x）=在（0，+∞）上恰有两个零点，当a≥0时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；当a＜0时，利用导数求最大值，由最大值等于0求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，训练了利用导数求最值，是中档题．22.【答案】解：（1）因为曲线M的参数方程为（α∈[0，π]为参数），所以曲线M是以（5，0）为圆心，5为半径的圆的上半部分，所以曲线M的极坐标方程为ρ=10cosθ（θ∈[0，]）．（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），由，得ρ2-10ρ+20=0，所以ρ1+ρ2=10，所以|OP|+|OQ|=10．【解析】（1）根据参数方程可得圆心坐标和半径，由此可写出圆的极坐标方程；（2）联立曲线M，曲线N的极坐标方程．消去θ后，根据韦达定理可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当x＜-时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜-，当-≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴-≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（2）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】（1）分当x＜-时，当-≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（2）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。
2019年4月广西柳州市高考数学模拟试卷(文科)
2019年4月广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．33．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B． C． D．25．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关x 6 8 10 12B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=2sin（2x+）8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30π B．28π C．26π D．25π9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．3110．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f （a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．7212．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数f（x）=ln（x+）为奇函数，则a=．14．已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为．15．若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是．16．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（2）求sinB+sinC的最大值．18．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．19．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=，AD=DE=2．（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求三棱锥B﹣FCD的体积．20．如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．（I）求圆C和椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．21．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2019年4月广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B={0，1，2}故选：D．2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】根据复数的运算法则，化简复数z，进而得到数z的虚部．【解答】解：z===﹣3﹣2i，则复数z=的虚部为﹣2，故选：A．3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可．【解答】解：命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为若a≥或a≤﹣，则a2≥b．故选：C．4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B． C． D．2【考点】三角函数的化简求值．【分析】判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可．【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0，所以cosα＞0，α是第一象限角，cosα==．∴tanα==．故选：B．5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关x 6 8 10 12B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）【考点】线性回归方程．【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m．【解答】解：==9，∴=﹣0.7×9+10.3=4．∴，解得m=5．故选B．6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出．【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，∴c＞b＞a，故选：C．7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由题意知：=π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin （2x++φ），因为，所得图象关于x=轴对称，所以， ++φ=kπ+，k∈Z，所以，φ=kπ﹣，k∈Z，因为，0＜φ＜π，所以，φ=．可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选：B．8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30π B．28π C．26π D．25π【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出可行域D，可得将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出平面区域D如图，联立，解得B（5，3）；联立，解得C（3，5）；又A（0，2），∴将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为，小圆的半径为2．则圆环的面积为34π﹣4π=30π．故选：A．9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．31【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2×+a5，化为：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=．∵a2=2﹣=a1×，解得a1=﹣1．则数列{a n}的前10项和S10==25﹣1=31，故选：D．10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f （a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论．【解答】解：由于函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，f（2）=1∴不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2）即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜，故选：A．11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，且长方体长、宽、高为4、4、6；三棱柱的底面是直角边分别为4、3的直角三角形，高为4；三棱柱的底面是直角边分别为2、4的直角三角形，高为3；∴该几何体的体积V=4×4×6﹣﹣=68，故选：C．12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数f（x）=ln（x+）为奇函数，则a=1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）为奇函数便可得到，进行分子有理化和对数的运算便可得到=，从而便可得出lna=0，这便得到a=1．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即=；∴lna=0；∴a=1．故答案为：1．【点评】考查奇函数的定义，以及分子有理化和对数的运算性质．14．已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为﹣4．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×3=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是（x﹣1）2+y2=13．【考点】圆的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】直线与圆．【分析】确定抛物线的准线方程及焦点坐标，求出圆的圆心及半径，即可得到圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，∵圆C截此抛物线的准线所得弦长为6，∴圆的半径为=∴圆的标准方程是（x﹣1）2+y2=13故答案为：（x﹣1）2+y2=13【点评】本题考查圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O 的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故答案为：．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（2）求sinB+sinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）由余弦定理化简已知可得a2=c2+b2﹣bc，根据余弦定理可求cosA= =，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+sinC=sin（B+），结合范围B∈（0，），可求B+∈（，），利用正弦函数的性质即可解得sinB+sinC的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c（acosB﹣b）=a2﹣b2．∴由余弦定理可得：a2+c2﹣b2﹣bc=2a2﹣2b2．可得：a2=c2+b2﹣bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）sinB+sinC=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），sin（B+）∈（，1]，∴sinB+sinC的最大值为．…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．18．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=，AD=DE=2．（Ⅰ）在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需证明）；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的点F，求三棱锥B﹣FCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】整体思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可确定F的位置（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式进行求解即可求三棱锥B﹣FCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取线段CE的中点F，连接BF，则BF∥平面ACD；（Ⅱ）∵AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD，∵DE⊥平面ACD，∴AC⊥DE，∵DE∩CD=D，∴AC⊥平面CDE，∵DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD，∴AB∥DE，∵AB⊄平面CED，DE⊂平面CED，∴AB∥平面CDE，∴B到平面FCD的距离为AC，∵S△FCD=S△ECD=，∴三棱锥B﹣FCD的体积V=S△FCD=．【点评】本题主要考查线面平行的判断以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及体积公式是解决本题的关键．比较基础．20．如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．（I）求圆C和椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|MN|=3，利用垂径定理得即可解得r．于是得到圆的方程，可求得点N，M的坐标．②由①得到2c，得到a2=b2+c2；又椭圆过点，代入椭圆的方程又得到关于a，b的一个方程，联立即可解出a，b，进而得到椭圆的方程．（II）设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，表示出k AN+k BN，证明其和等于0即可．【解答】（I）解：①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|MN|=3，得=，解得r=．所以⊙C的方程为．令y=0，解得x=1或4．∴N（1，0），M（4，0）．∴2c=2，得c=1．②∵椭圆过点，∴．联立，解得．∴椭圆的方程为．（II）设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立消去y得到（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，．∵k AN+k BN===[2x1x2﹣5（x1+x2）+8]==0．∴k AN=﹣k BN．当x1=1或x2=1时，，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．因此直线NA与直线NB的倾角互补．【点评】熟练掌握圆的标准方程、垂径定理、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、直线NA与直线NB的倾角互补（斜率存在）⇔k AN+k BN=0等是解决问题的关键．21．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e 时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．第21页（共21页）。
2019年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)
2019年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知两集合，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．C．D．[1，+∞）2．复数z=（a+i）（1﹣i），a∈R，i是虚数单位．若|z|=2，则a=（）A．1B．﹣1C．0D．±13．若向量，满足：||=1，（+）⊥，（3+）⊥，则||=（）A．3B．C．1D．4．若函数f（x）=lnx﹣ax在区间（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]5．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．26．一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．2πB．4πC．6+（2+）πD．（4+2）π7．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11B．10C．8D．78．不等式组的解集记为D，下列四个命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2B．∀（x，y）∈D，x+2y≥2C．∀（x，y）∈D，x+2y≤3D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣19．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（）A．B．C．D．10．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的6个顶点都在球O的球面上，若，AB⊥AC，，则球O的直径为（）A．2B．C．D．411．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．512．设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为_______．14．已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于_______．15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是_______．16．数列{a n}满足a1=2，且a n+1﹣a n=2n（n∈N*），则数列的前10项和为_______．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=accosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是y=bx+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF与△OBC的面积相等，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．四.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．2019年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知两集合，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．C．D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤1，即A=[﹣2，1]，由B中不等式解得：x＜0或x＞，即B=（﹣∞，0）∪（，+∞），则A∩B=[﹣2，0）∪（，1]，故选：C．2．复数z=（a+i）（1﹣i），a∈R，i是虚数单位．若|z|=2，则a=（）A．1B．﹣1C．0D．±1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选：D．3．若向量，满足：||=1，（+）⊥，（3+）⊥，则||=（）A．3B．C．1D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质求得1+=0，3+=0，从而求得||的值．【解答】解：∵向量，满足：||=1，（+）⊥，∴•（+）=+=1+=0，∴=﹣1．∵（3+）⊥，∴3+=﹣3+=0，∴=3，||=，故选：B．4．若函数f（x）=lnx﹣ax在区间（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数，利用函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，可得f′（x）=﹣a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣ax（a∈R），∴f′（x）=﹣a，∵函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，∴f′（x）=﹣a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≥1，故选：A．5．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，所得函数的解析式为y=sinω（x﹣），再根据正弦函数的图象的对称性，求得ω的值．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，可得y=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣）的图象，再根据所得图象关于点对称，可得ω••﹣=kπ，k∈Z，求得ω=2k，k∈Z，结合所给的选项，可取ω=2，故选：D．6．一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．2πB．4πC．6+（2+）πD．（4+2）π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半．∴该几何体的表面积=++=6+π．故选：C．7．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11B．10C．8D．7【考点】选择结构．【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选C．8．不等式组的解集记为D，下列四个命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2B．∀（x，y）∈D，x+2y≥2C．∀（x，y）∈D，x+2y≤3D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1【考点】集合的表示法；全称命题；特称命题．【分析】作出不等式组的表示的区域：对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出不等式组的表示的区域：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立．在直线x+2y=2的右上方区域，：（x，y）∈D，x+2y≥2，故B∀（x，y）∈D，x+2y≥2错误．由图知，∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误．x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误．故选：A9．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，设直线AB的方程为：y=k，（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（2p+pk2）x+=0，由x A+=3，由|BC|=2|BF|，可得=，可得x B．再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：如图所示，设直线AB的方程为：y=k，（k≠0）．联立，化为：k2x2﹣（2p+pk2）x+=0，∴x A x B=．∵x A+=3，∵|BC|=2|BF|，∴=，可得x B=．∴=，解得p=．故选：B．10．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的6个顶点都在球O的球面上，若，AB⊥AC，，则球O的直径为（）A．2B．C．D．4【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，即可得出结论．【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若，AB⊥AC，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为，BC=2，BC1==4，所以球的直径为：4．故选：D．11．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m ﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e==5，故选：D12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x ﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f （x）的与函数y=）﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解则log a4＜3，log a8＞3，解得：＜a＜2故选D二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为．【考点】几何概型．【分析】设AC=x，根据圆的面积小于π，得到0＜x＜1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：设AC=x，若以线段AC为半径的圆面积小于π，则πx2＜π，则0＜x＜1，则对应的概率P=，故答案为：．14．已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于5．【考点】向量的模；向量的加法及其几何意义．【分析】根据向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3）三个条件得到的坐标，本题要求一个向量的模长，这种问题一般对要求的结果先平方，变为已知的向量的模长和数量积的问题．【解答】解：∵向量=（x，y），=（﹣1，2 ），∴=（x﹣1，y+2）∵+=（1，3），∴（x﹣1，y+2））=（1，3）∴x﹣1=1，y+2=3，∴x=2，y=1，∴=（2，1）∴||=，||=，=0，∴|﹣2|===5，故答案为：515．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是6．【考点】基本不等式．【分析】求出xy的最大值，问题转化为m﹣2≤4，求出m的最大值即可．【解答】解：由x＞0，y＞0，xy=x+y≥2，得：xy≥4，于是由m﹣2≤xy恒成立，得：m﹣2≤4，解得：m≤6，故答案为：6．16．数列{a n}满足a1=2，且a n+1﹣a n=2n（n∈N*），则数列的前10项和为．【考点】数列的求和．【分析】由a1=2，且a n+1﹣a n=2n，利用“累加求和”方法可得a n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=2，且a n+1﹣a n=2n，∴n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n，当n=1时也成立，∴a n=2n．∴=．∴数列的前10项和==．故答案为：．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S= accosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由S△ABC=得出tanB=，故而B=；（II）在△ABD中使用正弦定理求出AD，在△ACD中使用余弦定理计算AC．【解答】解：（I）在△ABC中，∵S△ABC=，∴tanB=．∴B=．（II）∵cos∠ADB=﹣，∴sin∠ADB=，cos∠ADC=．在△ABD中，由正弦定理得，即，解得AD=7．在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC=49+4﹣4=49，∴AC=7．即b=7．18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是y=bx+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）由于到2020年用水量趋于稳定，故2023年的用水量约等于2020年的用水量，把x=2020代入回归方程求出用水量的估计值．【解答】解：（I）=2013，==260.2，=（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8=130．=4+1+0+1+4=10．∴b==13，∴回归方程为y﹣260.2=13（x﹣2013），即y=13（x﹣2013）+260.2．（II）当x=2020时，y=13+260.2=351.2（万吨）．答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC，再利用转为直线直线的垂直证明．（2）作出AD与平面ABC所成角的角，转化为三角形求解即可．【解答】证明：（1）取AB中点E，∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形∴CE⊥AB，PE⊥AB，∵CE∩PE=E，∴∵PC⊂平面PEC∴AB⊥PC解：（2）∵，∴角形PEC为正三角形，过P作PO⊥CE，则PO⊥平面ABC，过D作DH平行PO，则DH⊥平面ABC，连AH，则∠DAH为所求角，，．20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF与△OBC的面积相等，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，a+c=1+，解得a，由b=，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，运用中点坐标公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）哟题意可得c=1，a+c=1+，解得a=，b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8+8k2＞0成立，x1+x2=，由△OAF与△OBC的面积相等，可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，AB的中点的横坐标为，CF的中点的横坐标为，即有=，解得k=±．则所求直线的方程为y=±（x﹣1），即为x±y﹣1=0．21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）max＜g（x）max，分别求出其最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣1+=（x＞0），①a≤0时，由于x＞0，故x﹣a＞0，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）递减，②a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=a，在区间（0，a）上，f′（x）＞0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，无递增区间，a＞0时，函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；（Ⅱ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，g（x）max=2a，由（Ⅰ）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，值域是R，不合题意，a=0时，f（x）=﹣x＜0=g（x）max，符合题意，a＞0时，f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（a）=﹣a+alna，故2a＞﹣a+alna，解得：0＜a＜e3．综上，a的范围是[0，e3]．四.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4即：x2+y2﹣4x=0转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ即：ρ=4cosθ圆C2（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1即：x2+y2﹣2y=0转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ即：ρ=2sinθ（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）则：|OP|==，|OQ|==则：|OP||OQ|==设sinα+cosα=t（）则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP||OQ|）max=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）将m=a=﹣1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）m=a=﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|≥x，x＜﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，﹣1≤x≤1时，（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，x≥1时，（x+1）﹣（x﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，综上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，解得：a≤﹣或a≥，∵数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，故=3，解得：m=，∴实数m的集合是{m|m=}．。
2019年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2＜1}，B={x|x≥-1}，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z=4-，则|z|=（）A. 4B. 3C. 5D. 23.已知a=log23，b=log43，c=log63，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.4.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a10=16，S7=14，则数列{a n}的公差为（）A. 3B. 2C. 1D. 65.已知2sin（+α）=，则sin2α=（）A. B. C. D.6.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B. 全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C. 全年中各月最低气温平均值不高于的月份有5个D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势7.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是（）A. 8B. 6C. 4D. 28.函数f（x）=的大致图象为（）A. B.C. D.9.已知圆（x+1）2+（y-1）2=2-m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（φ∈R），若f（-x）=f（x），且f（π）＞f（），则函数f（x）取得最大值时x的可能值为（）A. B. C. D.11.已知等比数列{a n}的前n项和S n=λ•3n-1-1（λ∈R），则=（）A. B. 3 C. 6 D. 912.已知A，B，C为椭圆+y2=1上三个不同的点，O为坐标原点，若=，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知||=1，•=2，则向量（2-）•=______．14.已知x，y满足，则z=x+y的最大值为______．15.在三棱锥A-BCD中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4，AB⊥BD，则三棱锥A-BCD外接球的体积的最小值为______．16.已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）+a（a∈R）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B+b cos2A=a．（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B．18.某校为了调查高三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了高三男生的学习时间（单位：小时）的频数分布表和女生的学习时间的频率分布直方图）（学习时间均在[0，6]内）．男生周日学习时间频数表（）根据调查情况该校高三年级周日学习用时较长的是男生还是女生？请说明理由；（2）从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率．19.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=4，BC=2，∠ACB=90°，A1B⊥AC1．（1）求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；（2）若∠A1AC=60°，P为线段AB的中点，求三棱锥B-PA1C1的体积．20.已知抛物线y2=2x，过点A（-2，4）的直线l交抛物线于B、C两点，设O为坐标原点，点P（，0）．（1）求tan∠PAO的值；（2）若△PAB，△PBC，△PAC的面积成等比数列，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=x+-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）讨论f（x）在[1，e]上的零点个数．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2a（a＞0）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，4），直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|=14，求a 的值．23.设函数f（x）=|x-a2|+|x+2b2|（a，b∈R）．（1）若a=1，b=0，求f（x）≥2的解集；（2）若f（x）的最小值为8，求a+2b的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|-1＜x＜1}，B={x|x≥-1}；∴A∩B=[-1，+∞）．故选：C．可解出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4-=，∴|z|=．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：a=log23＞1＞b=log43=＞=c=log63，∴a＞b＞c．故选：A．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，若a2+a10=16，则a6=×（a2+a10）=8，若S7=14，则有S7==7a4=14，则a4=2，则有2d=a6-a4=6，则d=3；故选：A．根据题意，由等差数列的性质可得a6=×（a2+a10）=8，又由S7==7a4=14，则a4=2，由等差数列的通项公式可得答案．本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由2sin（+α）=，得sin（+α）=，∴sin2α=-cos（）=-[1-2]=-[1-2×]=．故选：A．由已知结合诱导公式及二倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误故选：D．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，是四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，几何体的体积为：V==6．故选：B．利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力．8.【答案】A【解析】解：根据y=ln|x+1|，可得x≠-1；当-2＜x＜-1时，分母＜0，分子ln|x+1|＜0；∴函数f（x）=＞0；图象在x轴上方；当-2＞x时，分母＜0，分子ln|x+1|＞0；∴函数f（x）=＜0；图象在x轴下方；当0＜x时，函数f（x）==＞0；图象在x轴上方；综上可知满足的图象是A故选：A．带入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．9.【答案】B【解析】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y-1）2=2-a，则圆心坐标为（-1，1），半径r=，∵圆x2+y2+2x-2y+m=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，∴圆心到直线的距离d===，解得m=-4，故选：B．求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：因为f（-x）=f（x），即y=f（x）的图象关于直线x=对称，即函数f（x）在x=时取得最值，①当函数f（x）在x=时取得最大值时，又因为函数f（x）的周期为π，所以f（）＜f（）=f（π），满足题意，②当函数f（x）在x=时取得最小值时，又因为函数f（x）的周期为π，所以f（）＞f（）=f（π），不满足题意，综合①②得：函数f（x）取得最大值时x的可能值为．故选：A．由三角函数的最值得：因为f（-x）=f（x），即y=f（x）的图象关于直线x=对称，即函数f（x）在x=时取得最值，由三角函数的图象的性质得：讨论①当函数f（x）在x=时取得最大值时，②当函数f（x）在x=时取得最小值时，结合三角函数图象的性质求解即可．本题考查了三角函数的最值及三角函数的图象的性质，属中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，等比数列{a n}满足S n=λ•3n-1-1，当n=1时，有a1=S1=λ-1，有a2=S2-S1=（3λ-1）-（λ-1）=2λ，a3=S3-S2=（9λ-1）-（3λ-1）=6λ，则有6λ×（λ-1）=（2λ）2，解可得λ=3或-1（舍），首项a1=2，则==9；故选：D．根据题意，由其前n项和公式求出a1、a2、a3的值，由等比数列的定义可得6λ×（λ-1）=（2λ）2，解可得λ的值，据此可得=，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，关键是求出λ的值，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：设直线AB：y=kx+m，代入x2+2y2=2得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2-1）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，设C（x3，y3），由=，y3=-（y1+y2）=-[k（x1+x2）+2m]=-（-+2m）=-，代入x2+2y2=2得1+2k2=4m2，|AB|=|x1-x2|，O到直线AB的距离为d=，由三角形的重心性质可得S△OAB=d|AB|=|m|•=•=•|m|=，可得S△ABC=3S△OAB=．故选：C．设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理，设C（x3，y3），由向量的坐标计算公式可得C的坐标，将其代入椭圆的方程，可得1+2k2=4m2，表示|AB|的值，表示△OAB的面积，又由S△ABC=3S△OAB，计算可得答案．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查向量的坐标表示，点满足椭圆方程，考查三角形的重心性质，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=1，•=2，则向量（2-）•=2=4-1=3．故答案为：3．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．14.【答案】13【解析】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过A（6，7）时，z最大，最大值为：13．故答案为：13．先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过可行域内的点A时，z最大，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15.【答案】【解析】解：∵AB=AC，DB=DC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，又AB⊥BD，即∠ABD=90°，∴∠ACD=90°，设AD的中点为O，则OA=OB=OD=OC，∴O为棱锥A-BCD的外接球的球心．∵AB+BD=4，∴AD2=AB2+（4-AB）2=2AB2-8AB+16=2（AB-2）2+8，∴当AB=2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，∴棱锥外接球的最小半径为AD=，∴外接球的最小体积为V==．故答案为：．由三角形全等可得∠ABD=∠ACD=90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．本题考查棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16.【答案】[0，e]【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：则当-2≤x≤0时，抛物线的对称轴为x=-1，若函数g（x）=f（x）+a有三个不同的零点x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，即g（x）=f（x）+a=0，f（x）=-a有三个不同的根，则0≤-a≤1，即-1≤a≤0，当x≤0时，-x2-2x+a=0，即x2+2x-a=0，则x1x2=-a，当x＞0时，由lnx3+a=0，得lnx3=-a，即x3=e-a，则x1•x2•x3=-ae-a，设g（a）=-ae-a，-1≤a≤0，则导数g′（a）=-e-a+ae-a=e-a（a+1），则当-1≤a≤0时，g′（a）≤0恒成立，即此时函数g（a）为减函数，则g（0）=0，g（-1）=e，即0≤g（a）≤e，即0≤x1•x2•x3≤e，即x1•x2•x3的取值范围是[0，e]，故答案为：[0，e]．作出f（x）的图象，根据g（x）=f（x）+a有三个不同的零点，转化为f（x）+a=0，有三个根，求出x1，x2，x3，关系，构造函数求出函数的导数，利用导数研究取值范围即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为关于a的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的取值范围是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由正弦定理可得a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，则2R sin A sinAsin B+2R sin B cos2A=2R sin A，则sin B（sin2A+cos2A）=sin A，则=，即=，∴=；（2）由余弦定理可得：cos B==，由b=a，则cos2B=，由c＞b，则C＞B，即B为锐角，cos B＞0，则cos B=，即B=45°，∴B为45°．【解析】（1）利用正弦定理及同角三角函数的基本关系，即可求得=；（2）利用余弦定理及三角形的性质，即可求得B的值．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，同角三角函数的性质，考查转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图得女生周日学习用时的平均数为：1.5×0.15+2.5×0.2+3.5×0.3+4.5×0.25+5.5×0.1=3.45（小时），由频率分布表得男生周日学习用时的平均数为：（0.5×8+1.5×10+2.5×7+3.5×9+4.5×4+5.5×2）=2.425，∵3.45＞2.425，∴该校高三年级周日学习用时较长的是女生．（2）80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中，男生有2人，女生有0.1×40=4人，从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，基本事件总数n==15，恰巧抽到1男1女包含的基本事件个数m==8，∴恰巧抽到1男1女的概率p=．【解析】（1）由频率分布直方图求出女生周日学习用时的平均数，由频率分布表求出男生周日学习用时的平均数，由此得到该校高三年级周日学习用时较长的是女生．（2）80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中，男生有2人，女生有4人，从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中抽取2人，基本事件总数n==15，恰巧抽到1男1女包含的基本事件个数m==8，由此能求出恰巧抽到1男1女的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=4，BC=2，∠ACB=90°，A1B⊥AC1．∴四边形A1ACC1是菱形，AC⊥BC，∴A1C⊥AC1，∵A1B∩A1C=A1，∴AC1⊥平面A1BC，∴BC⊥AC1，∵AC1∩AC=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面ABC，∴平面A1ACC1⊥平面ABC．解：（2）∠A1AC=60°，P为线段AB的中点，取A1C1中点E，连结CE，以C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，2，0），P（2，1，0），A1（2，0，2），C1（-2，0，2），=（0，-1，2），=（-4，-1，2），=（-2，1，0），设平面PA1C1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），∴B到平面PA1C1的距离d==，△ ==×=2，∴三棱锥B-PA1C1的体积：V=△ ==．【解析】（1）推导出四边形A1ACC1是菱形，AC⊥BC，从而A1C⊥AC1，进而AC1⊥平面A1BC，再由BC⊥AC1，得BC⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1ACC1⊥平面ABC．（2）取A1C1中点E，连结CE，以C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥B-PA1C1的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由两直线的夹角公式可得tan∠PAO=||=||=；（2）△PAB，△PBC，△PAC的面积成等比数列，可得S△PBC2=S△PAB•S△PAC，设P到直线AB的距离为d，即有（d|BC|）2=d|AB|•d|AC|，可得|BC|2=|AB|•|AC|，即有（|AC|-|AB|）2=|AB|•|AC|，化简可得（|AC|+|AB|）2=5|AB|•|AC|，①设直线l的方程为（t为参数），代入抛物线方程y2=2x可得t2sin2α+（8sinα-2cosα）t=20=0，则t1+t2=，t1t2=，由①可得（）2=5•，解得tanα=-1或，则直线l的方程为y=-x+2或y=x+．【解析】（1）运用两直线的夹角公式，计算可得所求值；（2）由三角形的面积公式和等比数列中项性质，可得|BC|2=|AB|•|AC|，化简可得（|AC|+|AB|）2=5|AB|•|AC|，再设直线l的参数方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和参数的几何意义，解方程即可得到所求直线的斜率，进而得到所求直线方程．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线的参数方程的运用，以及参数的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，若a+1≤0，即a≤-1，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a+1＞0，即a＞-1，则当x∈（0，a+1）时，f′（x）＜0，当x∈（a+1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增；（2）①由（1）可知当a≤-1，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（1）=1+a+1=a+2，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，当a+2＞0时，即-2＜a≤-1时，f（1）＞0，此时f（x）在[1，e]上无零点，当a+2≤0时，即a≤-2时，f（1）≤0，此时f（x）在[1，e]上有一个零点，②当a＞-1时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，若a+1≤1，即-1＜a≤0时，此时f（x）在[1，e]上单调递增，∵f（1）=a+2＞0，此时f（x）在[1，e]上无零点，当1＜a+1＜e时，即0＜a＜e时，f（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∵f（1）＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，f（x）min=f（a+1）=（a+1）+-a ln（a+1）=a+2-a ln（a+1），令h（a）=a+2-a ln（a+1），0＜a＜e，∴h′（a）=-ln（a+1），在（0，e）上单调递减．h′（0）=1＞0，h′（e）=-ln（e+1）＜0．∴存在唯一a0∈（0，e），使得=ln（a0+1）．此时函数h（a）在（0，a0）内单调递增，在（a0，e）内单调递减．h（0）=2，h（e）=e+2-e ln（e+1）＞0．h（a0）=a0+2-a0ln（a0+1）=a0+2-a0•=a0+1+＞0．∴f（x）min＞0，即函数f（x）在[1，e]上无零点．③a+1≥e，即a≥e-1时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（1）=a+2＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，函数f（x）在[1，e]上无零点．综上可得：①-2＜a≤-1时，f（x）在[1，e]上无零点，当a+2≤0时，f（x）在[1，e]上有一个零点，②-1＜a≤0时，f（x）在[1，e]上无零点，0＜a＜e时，函数f（x）在[1，e]上无零点．③a≥e-1时，函数f（x）在[1，e]上无零点．【解析】（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）①由（1）可知当a≤-1，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=a+2，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，对a分类讨论即可得出零点情况．②当a＞-1时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增，对a分类讨论：a+1≤1，即-1＜a≤0时，此时f（x）在[1，e]上单调递增，可得零点情况．0＜a＜e时，f（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，f（1）＞0，f（e）=（e+）+a（-1）＞0，f（x）min=f（a+1）a+2-aln（a+1），令h（a）=a+2-aln（a+1），0＜a＜e，利用导数研究其取值即可得出．③a+1≥e，即a≥e-1时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（1）=a+2＞0，f（e）=（e+）+a （-1）＞0，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ=2a两边平方得ρ2（a2sin2θ+4cos2θ）=4a2，又ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴a2y2+4x2=4a2（a＞0），即曲线C的直角坐标方程为：4x2+a2y2=4a2．（2）消去参数t得直线l的普通方程为：y=x+4，易知P（0，4）在直线l上，所以直线l的斜率为，倾斜角为60°，所以直线l的参摄方程可设为：（t为参数），将以上参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理得：（1+a2）t2+4a2t+12a2=0设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=，所以|PM||PN|=|t1||t2|=|t1t2|==14，解得：a=．【解析】（1）两边平方后，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得曲线C的直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程化成标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，然后根据韦达定理以及参数的几何意义列方程可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）因为a=1，b=0，所以f（x）=|x-1|+|x|，当x＜0时，1-x-x≥2⇒x≤-，∴x≤-；当0≤x＜1时，1-x+x≥2⇒x∈ϕ；当x≥1时，x-1+x≥2⇒x≥，∴x≥．综上所述：x∈（-∞，-]∪[，+∞）．（Ⅱ）∵|x-a2|+|x+2b2|≥|x-a2-x-2b2|=a2+2b2=8，解：由a2+2b2=8，变形得：+=1，即（）2+（）2=1，令=cos x，=sin x，∴a=cos x，b=2sin x，则a+2b=2cos x+2sin x=4（cos x+sin x）=4sin（x+），当sin（x+）=1时，a+2b有最大值，最大值为4．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的解析式，由绝对值的意义讨论x的范围，去绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值，再由三角函数的性质求出a+2b的最大值即可．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。
2019年广西桂林市高考数学模拟试卷和答案(文科)(3月份)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小題 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
（1）求 tan∠PAO 的值； （2）若△PAB，△PBC，△PAC 的面积成等比数列，求直线 l 的方程． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝x+ ﹣alnx（a∈R）．
（1）讨论 f（x）的单调性； （2）讨论 f（x）在[1，e]上的零点个数． （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分.[选修 4-4：极坐标系与参数方程]
﹣BCD 外接球的体积的最小值为
．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝
，函数 g（x）＝f（x）+a（ a∈R）有三个
不同的零点 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是
．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考題，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
2019 年广西桂林市高考数学模拟试卷（文科）（3 月份）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小題 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合 A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x≥﹣1}，则 A∪B＝（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，+∞）
C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1]
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23．设函数 f（x）＝|x﹣a2|+|x+2b2|（a，b∈R）． （1）若 a＝1，b＝0，求 f（x）≥2 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 8，求 a+2b 的最大值．
2019年广西南宁市高考一模数学试卷含参考答案(文科)
2019年广西南宁市高考一模数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R, 集合A＝{x|x＜﹣1}, B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}, 则∁U（A∪B）＝（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|x≤﹣3或x≥﹣1|C．{x|x≥1}D．{x|x≥﹣3}2．（5分）已知复数z＝+2i﹣1, 则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1, ﹣3）B．（﹣1, 3）C．（1, 3）D．（﹣1, ﹣3）3．（5分）在等比数列{a n}中, 若a2＝3, a5＝﹣24, 则a1＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知α∈（﹣）, tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°, 则sinα＝（）A．B．C．D．5．（5分）如图, 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E, F, AB＝6, AD＝8, AA1＝7, 则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知直线l：3x﹣4y﹣15＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+5﹣r2＝0（r＞0）相交于A, B 两点, 若|AB|＝6, 则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝36B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16D．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝497．（5分）已知P（, 1）, Q（, ﹣1）分别是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0, |φ|＜）图象上相邻的最高点和最低点, 则ωφ＝（）A．B．C．D．8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒, 携着游春走, 遇店添一倍, 逢友饮一斗, 店友经三处, 没了壶中酒, 借问此壶中, 当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的, 则输入的x＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x, y满足, 则目标函数z＝4x﹣3y的最小值为（）A．﹣24B．﹣22C．﹣17D．﹣710．（5分）已知四棱锥M﹣ABCD, MA⊥平面ABCD, AB⊥BC, ∠BCD+∠BAD＝180°, MA＝2, BC＝2, ∠ABM＝30°．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上, 则该球的表面积为（）A．20πB．22πC．40πD．44π11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F, 准线为l, 直线y＝k（x﹣）交抛物线于A, B两点, 过点A作准线l的垂线, 垂足为E, 若等边△AFE的面积为36, 则△BEF的面积为（）A．6B．12C．16D．2412．（5分）设a＝log23, b＝log34, c＝log58, 则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）在正方形ABCD中, E为线段AD的中点, 若＝+, 则λ+μ＝．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n, 若a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n, a1＝2, a3＝8, 则S4＝．15．（5分）不透明的袋中有5个大小相同的球, 其中3个白球, 2个黑球, 从中任意摸取2个球, 则摸到同色球的概率为．16．（5分）已知函数f（x）＝+x+a﹣1的图象是以点（﹣1, ﹣1）为中心的中心对称图形, g（x）＝e x+ax2+bx, 曲线y＝f（x）在点（1, f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（0, g（0））处的切线互相垂直, 则a+b＝．三、解答题：本大题共5小题, 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且3b2+3c2﹣4bc ＝3a2．（1）求sin A；（2）若3c sin A＝a sin B, △ABC的面积为, 求c的值．18．（12分）某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者, 并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查, 统计情况如表所示．年龄[10, 20）[20, 30）[30, 40）[40, 50）[50, 60）[60, 70）人数100150a200b50已知[30, 40）, [40, 50）, [50, 60）三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列．（1）求a, b的值；（2）若将年龄在[30, 50）内的上网购物者定义为“消费主力军”, 其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人, 再从这5人中抽取2人, 求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．19．（12分）如图, 在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD为菱形, ∠ABC＝60°, PB＝PC, E为线段BC的中点, F为线段PC上的一点．（1）证明：平面P AE⊥平面BCP．（2）若AC交BD于点O, P A＝AB＝PB＝4, CF＝3FP, 求三棱锥F﹣AOE的体积．20．（12分）设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点, m是过点D且与x轴垂直的直线, E 是直线m与x轴的交点, 点Q在直线m上, 且满足2|EQ|＝|ED|．当点D在圆O上运动时, 记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2, 3）, 过F（2, 0）的直线l交曲线C于A, B两点, 交直线x＝8于点M．判定直线P A, PM, PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝1+lnx﹣ax2．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）证明：xf（x）＜•e x+x﹣ax3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为（r＞0, φ为参数）, 以坐标原点O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0．若直线l与曲线C相切．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上任取两点M, N, 该两点与原点O构成△MON, 且满足∠MON＝, 求△MON面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x+）+f（x﹣1）, g（x）的最大值为t, 若正数m, n满足m+n ＝t, 证明：．2019年广西南宁市高考一模数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R, 集合A＝{x|x＜﹣1}, B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}, 则∁U（A∪B）＝（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|x≤﹣3或x≥﹣1|C．{x|x≥1}D．{x|x≥﹣3}【解答】解：B＝{x|﹣3＜x＜1}；∴A∪B＝{x|x＜1}；∴∁U（A∪B）＝{x|x≥1}．故选：C．2．（5分）已知复数z＝+2i﹣1, 则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1, ﹣3）B．（﹣1, 3）C．（1, 3）D．（﹣1, ﹣3）【解答】解：∵z＝+2i﹣1＝,∴,则在复平面内对应的点的坐标为（﹣1, ﹣3）．故选：D．3．（5分）在等比数列{a n}中, 若a2＝3, a5＝﹣24, 则a1＝（）A．B．C．D．【解答】解：设公比为q, 则＝q3＝﹣8, 则q＝﹣2,则a1＝＝﹣,故选：C．4．（5分）已知α∈（﹣）, tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°, 则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin（76°﹣46°）＝sin30°＝,且α∈（﹣）, ∴α∈（0, ）,联立, 解得sinα＝．故选：A．5．（5分）如图, 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E, F, AB＝6, AD＝8, AA1＝7, 则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：取A1B1中点G, 连接EG, FG, EG⊥FG, 因为EG∥AA1,所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角,在△EFG中, FG＝5, EG＝7, 所以tan∠FEG＝,故选：A．6．（5分）已知直线l：3x﹣4y﹣15＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+5﹣r2＝0（r＞0）相交于A, B 两点, 若|AB|＝6, 则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝36B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16D．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝49【解答】解：化圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+5﹣r2＝0（r＞0）为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2, 可得圆心坐标为（1, 2）, 半径为r,由圆心（1, 2）到直线l：3x﹣4y﹣15＝0的距离d＝,且|AB|＝6,得r2＝32+42＝25．∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．故选：B．7．（5分）已知P（, 1）, Q（, ﹣1）分别是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0, |φ|＜）图象上相邻的最高点和最低点, 则ωφ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数过点P（, 1）, Q（, ﹣1）,∴由题意, 得T＝﹣,∴T＝＝,∴ω＝3,∴f（x）＝sin（3x+φ）,∴将点P（, 1）代入, 得：sin（3×+φ）＝1,∴3×+φ＝kπ+, k∈Z, 解得：φ＝kπ+, k∈Z,∵|φ|＜,∴φ＝,∴ωφ＝3×＝．故选：C．8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒, 携着游春走, 遇店添一倍, 逢友饮一斗, 店友经三处, 没了壶中酒, 借问此壶中, 当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的, 则输入的x＝（）A．B．C．D．【解答】解：i＝1时．x＝2x﹣1, i＝2时, x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3,i＝3时, x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7,i＝4时, 退出循环, 此时8x﹣7＝x解得x＝,故选：C．9．（5分）已知实数x, y满足, 则目标函数z＝4x﹣3y的最小值为（）A．﹣24B．﹣22C．﹣17D．﹣7【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示,由图形知, 当目标函数z＝4x﹣3y过点A时取得最小值,由, 解得A（﹣4, 2）,代入计算z＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22,所以z＝4x﹣3y的最小值为﹣22．故选：B．10．（5分）已知四棱锥M﹣ABCD, MA⊥平面ABCD, AB⊥BC, ∠BCD+∠BAD＝180°, MA＝2, BC＝2, ∠ABM＝30°．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上, 则该球的表面积为（）A．20πB．22πC．40πD．44π【解答】解：由于∠BCD+∠BAD＝180°, 则四边形ABCD四点共圆,由于MA⊥平面ABCD, AB⊂平面ABCD, 所以, MA⊥AB,在Rt△ABM中, ∵∠ABM＝30°, MA＝2, 所以, ,∵AB⊥BC, 所以, 四边形ABCD的外接圆直径为,因此, 四面体MACD的外接球直径为,所以, 该球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝40π．故选：C．11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F, 准线为l, 直线y＝k（x﹣）交抛物线于A, B两点, 过点A作准线l的垂线, 垂足为E, 若等边△AFE的面积为36, 则△BEF的面积为（）A．6B．12C．16D．24【解答】解：因为△AFE是等边三角形, 所以k＝, △AFE的边长为：2p,由, 解得p＝6, 抛物线方程为：y2＝12x,联立, 解得x2﹣10x+9＝0, 所以, x A＝9, x B＝1,所以|BF|＝4, |AF|＝12,故△BEF的面积为：＝12．故选：B．12．（5分）设a＝log23, b＝log34, c＝log58, 则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵, ；又lg27＞lg25＞1, lg64＞1；∴；∴log34＜log58；∵82＜53；∴；∴；又；∴log23＞log58＞log34；∴a＞c＞b．故选：D．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）在正方形ABCD中, E为线段AD的中点, 若＝+, 则λ+μ＝．【解答】解：如图所示,＝+, ＝, ＝．∴＝+．又＝+,则λ＝, μ＝1．则λ+μ＝．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n, 若a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n, a1＝2, a3＝8, 则S4＝26．【解答】解：由a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n, 可得：数列{a n}为等差数列, 设公差为d．∵a1＝2, a3＝8, ∴2+2d＝8, 解得d＝3．则S4＝4×2+×3＝26．故答案为：26．15．（5分）不透明的袋中有5个大小相同的球, 其中3个白球, 2个黑球, 从中任意摸取2个球, 则摸到同色球的概率为．【解答】解：不透明的袋中有5个大小相同的球, 其中3个白球, 2个黑球, 从中任意摸取2个球,基本事件总数n＝＝10,摸到同色球包含的基本事件个数m＝＝4,∴摸到同色球的概率p＝．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝+x+a﹣1的图象是以点（﹣1, ﹣1）为中心的中心对称图形, g（x）＝e x+ax2+bx, 曲线y＝f（x）在点（1, f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（0, g（0））处的切线互相垂直, 则a+b＝﹣．【解答】解：由y＝x+的图象关于（0, 0）对称, y＝f（x）的图象可由y＝x+平移可得．函数f（x）＝+x+a﹣1的图象是以点（﹣1, ﹣1）为中心的中心对称图形,可得a﹣2＝﹣1, 即a＝1, 则f（x）＝+x,f′（x）＝1﹣, 可得f（x）在x＝1处的切线斜率为,g（x）＝e x+x2+bx的导数为g′（x）＝e x+2x+b, 可得g（x）在x＝0处的切线斜率为1+b, 由题意可得（1+b）•＝﹣1, 可得b＝﹣,则a+b＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题, 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且3b2+3c2﹣4bc ＝3a2．（1）求sin A；（2）若3c sin A＝a sin B, △ABC的面积为, 求c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵3b2+3c2﹣4bc＝3a2,∴b2+c2﹣a2＝bc, …2分∴由余弦定理得cos A＝＝, …4分又0＜A＜π,∴sin A＝＝, …6分（2）∵3c sin A＝a sin B,∴3ac＝ab, 可得：b＝, …8分∵△ABC的面积为,∴bc sin A＝, 即：×＝, …10分∴解得：c＝2．…12分18．（12分）某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者, 并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查, 统计情况如表所示．年龄[10, 20）[20, 30）[30, 40）[40, 50）[50, 60）[60, 70）人数100150a200b50已知[30, 40）, [40, 50）, [50, 60）三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列．（1）求a, b的值；（2）若将年龄在[30, 50）内的上网购物者定义为“消费主力军”, 其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人, 再从这5人中抽取2人, 求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．【解答】解：（1）由题意得：,解得a＝400, b＝100．（2）由题意可知在抽取的5人中, 有3人是消费主力军, 分别记为a1, a2, a3,有2人是消费主力军, 分别记为b1, b2,记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件A,从这5人中抽取2人所有可能情况有10种, 分别为：（a1, a2）, （a1, a3）, （a1, b1）, （a1, b2）, （a2, a3）,（a2, b1）, （a2, b2）, （a3, b1）, （a3, b2）, （b1, b2）．符合条件A的有7种, 分别为：（a1, b1）, （a1, b2）, （a2, b1）, （a2, b2）, （a3, b1）, （a3, b2）, （b1, b2）,∴这2人中至少有一人是消费潜力军的概率P＝．19．（12分）如图, 在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD为菱形, ∠ABC＝60°, PB＝PC, E为线段BC的中点, F为线段PC上的一点．（1）证明：平面P AE⊥平面BCP．（2）若AC交BD于点O, P A＝AB＝PB＝4, CF＝3FP, 求三棱锥F﹣AOE的体积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中, 底面ABCD为菱形, ∠ABC＝60°, PB ＝PC,AC交BD于点O, E为线段BC的中点, F为线段PC上的一点．∴AE⊥BC, PE⊥BC,∵AE∩PE＝E, ∴BC⊥平面P AE,∵BC⊂平面BCP, ∴平面P AE⊥平面BCP．解：（2）∵P A＝AB＝PB＝4, ∴P A2+AB2＝PB2, ∴P A⊥AB,∵BC⊥平面P AE, P A⊂平面P AE, ∴P A⊥BC,∵AB∩BC＝B, ∴P A⊥平面AOE,∵CF＝3FP, ∴点F到平面AOE的距离d＝,S△AOE＝＝＝＝,∴三棱锥F﹣AOE的体积：V＝＝＝．20．（12分）设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点, m是过点D且与x轴垂直的直线, E 是直线m与x轴的交点, 点Q在直线m上, 且满足2|EQ|＝|ED|．当点D在圆O上运动时, 记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2, 3）, 过F（2, 0）的直线l交曲线C于A, B两点, 交直线x＝8于点M．判定直线P A, PM, PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【解答】解：（1）设Q（x, y）, D（x0, y0）, ∵2|EQ|＝|ED|, Q在直线m上,∴x0＝x, |y0|＝|y|．①∵点D在圆x2+y2＝16上运动,∴x02+y02＝16,将①式代入②式即得曲线C的方程为x2+y2＝16, 即+＝1,（2）直线P A, PM, PB的斜率成等差数列, 证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2＝48,直线l的方程为y＝k（x﹣2）,代入椭圆方程并整理, 得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．设A（x1, y1）, B（x2, y2）, 直线P A, PM, PB的斜率分别为k1, k2, k3, 则有x1+x2＝, x1x2＝,可知M的坐标为（8, 6k）．∴k1+k3＝+＝+＝2k﹣3•＝2k﹣3•＝2k﹣1,2k2＝2•＝2k﹣1．∴k1+k3＝2k2．故直线P A, PM, PB的斜率成等差数列．21．（12分）已知函数f（x）＝1+lnx﹣ax2．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）证明：xf（x）＜•e x+x﹣ax3．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0, +∞）,f′（x）＝,故a≤0时, f′（x）＞0, f（x）在（0, +∞）递增,当a＞0时, 令f′（x）＝0, 解得：x＝,故f（x）在（0, ）递增, 在（, +∞）递减；（2）证明：要证xf（x）＜•e x+x﹣ax3,即证xlnx＜•e x, 也即证＜,令g（x）＝•（x＞0）,则g′（x）＝,故g（x）在（0, 2）递减, 在（2, +∞）递增,故g（x）最小值＝g（2）＝,令k（x）＝, 则k′（x）＝,故k（x）在（0, e）递增, 在（e, +∞）递减,故k（x）最大值＝k（e）＝,∵＜,故k（x）＜h（x）,即lnx＜,故xf（x）＜•e x+x﹣ax3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为（r＞0, φ为参数）, 以坐标原点O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0．若直线l与曲线C相切．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上任取两点M, N, 该两点与原点O构成△MON, 且满足∠MON＝, 求△MON面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知, 直线l的直角坐标方程为﹣y+2＝0,曲线C是圆心为（, 1）, 半径为r的圆, 由直线l与曲线C相切可得r＝＝2,可知曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2＝4,所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0, 即ρ＝4sin（θ+）．（2）由（1）不放设M（ρ1, θ）, N（ρ2, ）（ρ1＞0, ρ2＞0, ﹣＜θ＜）．S△MON＝|OM||ON|sin＝ρ1ρ2＝4sin（θ+）sin（θ+）＝2sinθcosθ+2cos2θ＝sin2θ+cos2θ+＝2sin（2θ+）+,当θ＝时, △MON面积的最大值为2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x+）+f（x﹣1）, g（x）的最大值为t, 若正数m, n满足m+n ＝t, 证明：．【解答】解：（1）将（﹣1, 3）代入函数的解析式得：3＝|﹣a﹣1|﹣|﹣2+a|, 解得：a＝2；（2）由（1）f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|,故g（x）＝|2x﹣3|﹣|2x+3|≤|2x﹣3﹣2x﹣3|＝6,故t＝6, 故m+n＝6,故+＝（+）（+）＝+++≥+2＝,当且仅当2n＝3m时“＝”成立．。
2019-2020学年桂林、百色、崇左五市高考数学文科模拟试卷含解析
广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0}，集合B={0，1，2}，则A∪B的子集个数是（）A．4 B．8 C．16 D．322．已知i是虚数单位，则复数z=i（1﹣i）的实部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．命题“∃x∈R，x2是无理数”的否定是（）A．∃x∉R，x2不是无理数B．∃x∈R，x2不是无理数C．∀x∉R，x2不是无理数D．∀x∈R，x2不是无理数4．已知向量=（﹣2，1），与=（m，3）平行，则m=（）A．﹣ B．C．﹣6 D．65．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．07266．已知函数f（x）=，则f（0）+f（log32）=（）2A．19 B．17 C．15 D．137．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：，则cosC=（）A．B．C．D．8．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形”的面积是（）A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．29．已知e为自然对数的底数，曲线y=ae x+x在点（1，ae+1）处的切线与直线2ex﹣y﹣1=0平行，则实数a=（）A．B．C．D．10．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．8π+2B ．10π+2C ．6π+2D ．12π+212．已知函数f （x ）=cosωx﹣sinωx （ω＞0）在（﹣，）上单调递减，则ω的取值不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知x ，y 满足，则z=x+2y 的最大值为_______．14．已知函数f （x ）是奇函数，且x ≥0时，f （x ）=log 2（x+2）+a ，则f （﹣2）的值为_______． 15．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BC=2，AA 1=1，点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，则三棱锥C 1﹣MNP 的体积为_______．16．若圆C ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）的周长被直线（1﹣t 2）x+2ty ﹣（1+t 2）=0（t ∈R ）分为1：3两部分，则r 的值是_______．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =4﹣4a n ，求数列{b n }的前n 项和．18．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．19．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°． （1）求证：平面PBC 丄平面PAC（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，求BC 的长．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（1，），过右焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得弦长是1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过点（1，0）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M ，N 与A ，B 不重合），证明：直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值． 21．设函数f （x ）=x 2﹣lnx ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若g （x ）=f （x ）+ax 在区间（1，+∞）上没有零点，求实数a 的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知点P是圆O外的一点，过P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B，过P作一割线交圆O于点E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．（1）求证：O，A，P，B四点共圆；（2）求证：PB2=2AD•DH．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F 1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点，直线l过点A，F1．（1）求圆锥曲线C及直线l的普通方程；（2）设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．（1）当a=1，解不等式f（x）＜5；（2）对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，求实数a的取值范围．广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣1，0}，集合B={0，1，2}，则A∪B的子集个数是（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】并集及其运算；子集与真子集．【分析】由集合A={﹣1，0}，集合B={0，1，2}，则A∪B={﹣1，0，1，2}，由此能求出集合A∪B的子集个数．【解答】解：集合A={﹣1，0}，集合B={0，1，2}，则A∪B={﹣1，0，1，2}，∴集合A∪B的子集个数为24=16．故选C．2．已知i是虚数单位，则复数z=i（1﹣i）的实部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的实部为1．故选：A．3．命题“∃x∈R，x2是无理数”的否定是（）A．∃x∉R，x2不是无理数B．∃x∈R，x2不是无理数C．∀x∉R，x2不是无理数D．∀x∈R，x2不是无理数【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2是无理数”的否定是：∀x∈R，x2不是无理数．故选：D．4．已知向量=（﹣2，1），与=（m，3）平行，则m=（）A．﹣ B．C．﹣6 D．6【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的平行列出方程求解即可．【解答】解：向量=（﹣2，1），与=（m，3）平行，可得m=﹣6．故选：C．5．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．0726【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为1000÷200=5，因为122÷5=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，故选：B．6．已知函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=（）A．19 B．17 C．15 D．13【考点】分段函数的应用．【分析】利用函数的解析式，真假求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=log24+1+=2+1+=19．故选：A．7．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：，则cosC=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】根据正弦定理得到a：b：c=2：3：，设出相应的长度，利用余弦定理进行求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：，∴在△ABC中，a：b：c=2：3：，设a=2x，b=3x，c=x，则cosC====，故选：D8．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形”的面积是（）A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：由x2﹣y2=4得﹣=1，则a2=b2=4，则a=2，b=2，c=2，则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0），（2，0），（0，2），故所求“黄金三角形”的面积S=（2﹣2）×2=2﹣2，故选：B9．已知e为自然对数的底数，曲线y=ae x+x在点（1，ae+1）处的切线与直线2ex﹣y﹣1=0平行，则实数a=（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a．【解答】解：y=ae x+x的导数为y′=ae x+1，可得曲线y=ae x+x在点（1，ae+1）处的切线斜率为ae+1，由切线与直线2ex﹣y﹣1=0平行，可得ae+1=2e，解得a=．故选：B．10．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．11．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的表面积S=+π×1×3+π×1×2+π×12+2×1=8π+2，故选：A．12．已知函数f（x）=cosωx﹣sinωx（ω＞0）在（﹣，）上单调递减，则ω的取值不可能为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（x）的减区间，结合条件可得，﹣≤﹣，且≥，由此求得ω的范围，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+）（ω＞0）在（﹣，）上单调递减，∴2kπ≤ωx+＜≤2kπ+π，求得﹣+≤x≤+（k∈Z）．∵f（x）在（﹣，）上单调递减，∴﹣≤﹣，且≥，求得 0＜ω≤，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知x，y满足，则z=x+2y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），z=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，=1+2=3．∴z最大值故答案为：3．14．已知函数f （x ）是奇函数，且x ≥0时，f （x ）=log 2（x+2）+a ，则f （﹣2）的值为﹣1． 【考点】函数的值．【分析】根据函数的奇偶性求出a 的值，求出x ＜0时f （x ）的表达式，从而求出f （﹣2）的值即可． 【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数， ∴f （﹣x ）=﹣f （x ），且x ≥0时，f （x ）=log 2（x+2）+a ， 设x ＜0，则﹣x ＞0， 故f （﹣x ）=+a=﹣f （x ），∴x ＜0时：f （x ）=﹣﹣a ，而f （0）=1+a=0，故a=﹣1， ∴f （﹣2）=﹣﹣a=﹣2+1=﹣1，故答案为：﹣1．15．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BC=2，AA 1=1，点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，则三棱锥C 1﹣MNP 的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】V=V=．【解答】解：∵M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点， ∴S===．∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴V=V===．故答案为：．16．若圆C ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）的周长被直线（1﹣t 2）x+2ty ﹣（1+t 2）=0（t ∈R ）分为1：3两部分，则r 的值是．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】确定圆心角为90°，可得圆心到直线的距离为=r ，即可求出r 的值．【解答】解：∵圆C ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）的周长被直线（1﹣t 2）x+2ty ﹣（1+t 2）=0（t ∈R ）分为1：3两部分，∴圆心角为90°， ∴圆心到直线的距离为=r ，∴r=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =4﹣4a n ，求数列{b n }的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．利用递推关系即可得出．（2）b n =4﹣4a n =2n+1﹣2（n+1），利用等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．∴n=1时，a 1=S 1=1．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=．n=1时也成立．∴a n =．（2）b n =4﹣4a n =2n+1﹣2（n+1），∴数列{b n }的前n 项和=（22+23+…+2n+1）﹣2（2+3+…+n+1） =﹣2×=2n+2﹣4﹣n 2﹣3n ．18．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可由样本容量=，得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，90）之间的频数，结合频率分布直方图中矩形的高==，得到频率分布直方图中[80，90]间的矩形的高；（2）先对分数在[80，100]之间的分数进行编号，并统计出从中任取两份的所有基本事件个数，及至少有一份分数在[90，100]之间的所有基本事件个数，代入古典概型概率计算公式可得答案． 【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08， ∴全班人数为=25人．又∵分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为=0.016．（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90，100]之间的频率是=．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求证：平面PBC丄平面PAC（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，求BC的长．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直即可；（2）根据棱锥的体积公式，构造函数，通过求函数的最大值，求得三棱锥的体积的最大值及最大值时的条件．【解答】解：（1）证明：∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA，又PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．（2）由（1）知：PA⊥平面ABC，BC⊥CA，设BC=x（0＜x＜2），AC===，VP﹣ABC =×S△ABC×PA=x=≤×=．当且仅当x=时，取“=”，故三棱锥P﹣ABC的体积最大为，此时BC=．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（1，），过右焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得弦长是1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过点（1，0）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M ，N 与A ，B 不重合），证明：直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）令x=c 代入椭圆方程，可得弦长为=1，点（1，）代入椭圆方程，解方程可得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为x=my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将直线的方程代入椭圆方程x 2+4y 2=4，消去x ，可得y 的二次方程，运用韦达定理，求出直线AM ，BN 的方程，求交点的横坐标，代入韦达定理，化简整理可得定值4．【解答】解：（1）设椭圆C ：+=1的右焦点为（c ，0），令x=c ，可得y=±b =±，即有=1，又+=1，解方程组可得a=2，b=1， 则椭圆C 的标准方程为+y 2=1；（2）证明：由椭圆方程可得A （﹣2，0），B （2，0）， 设直线l 的方程为x=my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 将直线的方程代入椭圆方程x 2+4y 2=4，可得 （4+m 2）y 2+2my ﹣3=0， y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，直线AM ：y=（x+2），BN ：y=（x ﹣2），联立直线AM ，BN 方程，消去y ，可得 x==，由韦达定理可得， =，即2my 1y 2=3y 1+3y 2， 可得x==4．即有直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值4．21．设函数f （x ）=x 2﹣lnx ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若g （x ）=f （x ）+ax 在区间（1，+∞）上没有零点，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的定义域，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g （x ）的表达式，单调函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，由g （x ）≥0得a ≥﹣x ，令y=﹣x ，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（1）函数f （x ）的定义域是（0，+∞）， f′（x ）=，令f′（x ）＞0，解得：x ＞， 令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜，故f （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增； （2）g （x ）=x 2﹣lnx+ax ， 由g′（x ）=＞0，解得：x ＞，由g′（x ）=＜0，解得：x ＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，又g（x）在（1，+∞）上没有零点，∴g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，由g（x）≥0得a≥﹣x，令y=﹣x，则y′=，当x≥1时，y′＜0，∴y=﹣x在[1，+∞）递减，∴x=1时，y=﹣1，max∴a≥﹣1，即a∈[﹣2，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知点P是圆O外的一点，过P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B，过P作一割线交圆O于点E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．（1）求证：O，A，P，B四点共圆；（2）求证：PB2=2AD•DH．【考点】平行截割定理；圆周角定理．【分析】（1）利用对角互补，证明O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理证明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，即可证明：PB2=2AD•DH．【解答】证明：（1）连接OA，OB，∵PA，PB为圆O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO+∠PBO=180°，∴O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理可得PA2=PE•PF，∵PF=2PA，∴PA2=PE•2PA，∴PA=2PE，∴PE=ED=PA，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，∴AD•DH=PA2，∵PB=PA，∴PB2=2AD•DH．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F 1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点，直线l过点A，F1．（1）求圆锥曲线C及直线l的普通方程；（2）设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得普通方程．可得椭圆的左焦点F1（﹣，0），又直线l还经过点，可得直线l的截距式方程．（2）直线l的方程与椭圆方程联立化为+8=0，利用|EF|=即可得出．【解答】解：（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得普通方程： =1．可得椭圆的左焦点F1（﹣，0），又直线l还经过点，可得直线ld的方程为： +=1，即x+y+=0．（2）联立，化为+8=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴|EF|===．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．（1）当a=1，解不等式f（x）＜5；（2）对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把不等式f（x）≤5等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得函数f（x）的图象不能在y=3a﹣2的图象的下方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣l|+|x+|=，f（x）＜5，可得2x+＜5（x≥1）或3＜5（﹣2＜x＜1）或﹣2x﹣1＜5（x≤﹣2）解得﹣3＜x＜2．不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜2}．（2）若不等式f（x）≥|x﹣a=x﹣2|=|a+2|，由题意，对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，可得：|a+2|≥3a﹣2．在坐标系中画出y=|a+2|与y=3a﹣2的图象如图．可得得：a≤2．2016年9月8日。
2019年广西高考数学适应性试卷(文科)
2019年广西高考数学适应性试卷（文科）一、选择题1．已知集合，,则A. B. C. D.2．从1,2,3,4中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一个数的2倍的概率为A. B. C. D.3．复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是 A. B. C. D. 4．已知向量，且∥，则 A. B.45 C.5 D.255．若椭圆C ：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A. B. C. D.6．在中，，，则内角的正弦值为 A.B. C. D.7．执行如图所示的程序框图，输出的的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 558．若以函数的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为A.1B. 2C.D.{}|310A x x =+<{}2|610B x x x =--≤=B A 11[,]32-Φ1(,)3-∞1{}31513124511ia +(R)a ∈a 0<a 10<<a 1>a 1-<a ),2,(),1,2(m =-=ab 2a b +=5312222=+b y a x )0(>>b a 21332242ABC ∆53cos =B 65==AB AC ，C 25242516259257S ()0sin >=ωωx A y ωππ2（第7题图）9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4,是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C. D.10．若,则,则的值为A ．B ．C ．D ． 11. 若直线是函数图像的一条切线，则A. B. C. D.12．过动点作圆:的切线,其中为切点.若(为坐标原点)，则的最小值为A.B. C. D.二、填空题 13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为 ．14．函数f （x ）=lnx ﹣x 2的单调增区间是 ．15．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，数列{a n }的通项公式a n = ．16．已知奇函数f （x ）满足对任意x ∈R 都有f （x +6）=f （x ）+f （3）成立，且f （1）=1，则f= ．三、解答题17．如图，ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB=2CD=2，CD=BC ，E 是AB 的中点，DE ⊥AB ，F 是AC 与DE 的交点． （Ⅰ）求sin ∠CAD 的值； （Ⅱ）求△ADF 的面积．ABCD P -E PB AD CE 122,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 2α118118-17181718-1+=kx y x x f ln )(==k 21e 1ee 2e M 22221x y -+-=（）（）MN N ||||MO MN =O ||MN 423827282918．某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．19．如图ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE ⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥CE；．（Ⅱ）若BE=CE=，求三棱锥B﹣ADE的体积V B﹣ADE20．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）求椭圆方程；（2）求证：OA⊥OB．21．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆C及内部的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣1|．（1）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．2019年广西高考数学适应性试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．B 2．B 3．A 4．A5．C 6．A 7．C 8．C9．A 10．D 11. A 12．B二、填空题13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为4800．【分析】求出抽样比，然后求解即可．【解答】解：样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，可得抽样比为：=，该批次产品总数为：=4800．故答案为：4800；14．函数f（x）=lnx﹣x2的单调增区间是（0，1] ．【分析】先求出其导函数，再求出导函数大于等于0的区间即可得到其单调递增区间．（注意是在定义域内找增减区间，避免出错）【解答】解：由题得：x＞0∵；∴f′（x）=﹣x=；所以：f′（x）≥0⇒≥0⇒0＜x≤1．∴函数的单调递增区间是：（0，1]．故答案为：（0，1]．15．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列，数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，由已知列式求得a1，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，且公差为2，由S1，S2，S4成等比数列，得，解得：a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．16．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=﹣1．【分析】根据奇函数的性质可得f（0）=0，由条件可得f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，f（x）=f（x+6），函数为周期函数，进而求出结果．【解答】解：奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，∴f（0）=0，f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，∴f（x）=f（x+6），函数为周期函数，∴f=f（5）+f（0）=f（5）=f（﹣1）+f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．故答案为﹣1．三、解答题17．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．【分析】（Ⅰ）由题意分别在RT△ABC和RT△ADE由三角函数定义∠DAE和∠CAB的正余弦值，由和差角的三角函数公式可得；（Ⅱ）由中位线可得DF=EF=BC=，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得在四边形BCDE为边长为1的正方形，在RT△ABC中sin∠CAB==，cos∠CAB==，同理RT△ADE中sin∠DAE=cos∠CAB=∴sin∠CAD=sin（∠DAE﹣∠CAB）=×﹣×=；（Ⅱ）由题意可得DF=EF=BC=，∴△ADF的面积S=×DF×AE=××1=18．某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．【分析】（1）设这100名学生参加初赛成绩的中位数为x，由频率分布直方图的性质能求出这100名学生参加初赛成绩的中位数．（2）由频率分布直方图得该校初赛分数在[110，130）的人数为4人，分数在[130，150]的人数为2人，由此能求出选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．【解答】解：（1）设这100名学生参加初赛成绩的中位数为x，由频率分布直方图，得：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x﹣70）=0.5，解得x=81．∴这100名学生参加初赛成绩的中位数为81．（2）由频率分布直方图得该校初赛分数在[110，130）的人数为：0.002×20×100=4人，分数在[130，150]的人数为0.001×20×100=2人，该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，基本事件总数n==20，选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组包含的基本事件个数m==4，∴选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率p==．19．如图ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥CE；．（Ⅱ）若BE=CE=，求三棱锥B﹣ADE的体积V B﹣ADE【分析】（I ）根据勾股定理的逆定理可证BD ⊥BC ，由面面垂直的性质可得BD ⊥平面EBC ，故BD ⊥CE ；（II ）取BC 中点F ，连接EF ，DF ，AF ．则EF ⊥平面ABCD ，利用勾股定理求出EF ，AF ，DF ，AE ，DE ，利用V E ﹣ABD ，计算三棱锥B ﹣ADE 的体积V B ﹣ADE ． 【解答】（I ）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB=4，∵BC=2，BD=2， ∴BD 2+BC 2=CD 2，∴BD ⊥BC ，又平面BCE ⊥平面ABCD ，平面BCE∩平面ABCD=BC ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面BCE ，∵CE ⊂平面BCE ， ∴BD ⊥CE ．（II ）解：取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，AF ． ∵EB=EC ，∴EF ⊥BC ，∵平面EBC ⊥平面ABCD ，平面EBC∩平面ABCD=BC ， ∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BE=CE=，BC=2， ∴EF==3，DF==，AF=，∴DE==，AE==． ∴V B ﹣ADE =V E ﹣ABD ==2．20．已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）求椭圆方程； （2）求证：OA ⊥OB ．【分析】（1）由题意可得：a +c ﹣（a ﹣c ）=，b=，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出．（2）单位圆的方程为：x2+y2=1．对切线的斜率分类讨论：设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得=1，即m2=1+k2．与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可证明．圆的切线斜率不存在时直接求出验证即可得出．【解答】（1）解：∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），∴a+c﹣（a﹣c）=，b=，又a2=b2+c2，联立解得，b=，a2=4．∴椭圆的标准方程为： +=1．（2）证明：单位圆的方程为：x2+y2=1．设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得=1，即m2=1+k2．联立，化为：（1+3k2）x2+6kmy+3m2﹣4=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=．∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）﹣+m2==0．∴，∴OA⊥OB．当圆的切线斜率不存在时方程为：x=±1，代入椭圆方程可得：1+3y2=4，解得y=±1，∴A（1，1），B（1，﹣1）；A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1）．满足OA⊥OB．综上可得：OA⊥OB．21．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f （1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．则f（x）=lnx﹣ax+，∴，则f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）证明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），则=＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1时，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．当a=0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0．则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0；当x∈（）时，f′（x）＞0．设，则x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又，∴存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三个不同的零点．综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．[选修4-4：坐标系与参数方程选]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆C及内部的公共点，求x+y的取值范围．【分析】（1）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，化极坐标方程为普通方程；（2）由点P在圆内，代入圆的方程，可得t的范围，再由不等式的性质，即可得到x+y的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=4sin（θ﹣）=2sinθ﹣2cosθ．∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ．∴x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣）2=4，所以曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣）2=4，（Ⅱ）∵x+y=（﹣1﹣t）++t=﹣t，由P在圆内，可得（﹣1﹣t+1）2+（+t﹣）2＜1，即t2+t2＜1，即t2＜1，解得﹣1＜t＜1，∴﹣1＜﹣t＜1，即x+y的范围是（﹣1，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣1|．（1）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．【分析】（1）当a=﹣2时，根据否定即可解不等式f（x）＞5，（2）利用参数分离法，转化为求值函数的最值问题．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=|x+1|+2|x﹣1|，则不等式f（x）＞5等价为|x+1|+2|x﹣1|＞5；若x≥1，则不等式等价为x+1+2（x﹣1）＞5，即3x＞6，得x＞2，此时x＞2，若﹣1＜x＜1，则不等式等价为x+1﹣2（x﹣1）＞5，即﹣x＞2，得x＜﹣2，此时﹣1＜x＜1，若x≤﹣1，则不等式等价为﹣（x+1）﹣2（x﹣1）＞5，即﹣3x＞4，得x＜﹣，此时x＜﹣，综上不等式的解为x＞2或﹣1＜x＜1或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞2或﹣1＜x＜1或x＜﹣}．（2）若f（x）≤a|x+3|，则|x+1|﹣a|x﹣1|≤a|x+3|，即|x+1|≤a（|x﹣1|+|x+3|），即a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|∴=，当且仅当x≥1或x≤﹣3时，取等号，即a≥，则a的取值范围a≥．。
最新最新题库广西桂林市高考数学模拟试卷及参考答案(文科)(3月份)
C ）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（
）
（单位：°
A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B ．全年中 2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C．全年中各月最低气温平均值不高于 10℃的月份有 5 个 D ．从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 7．（5 分）某几何体的三视图如图所示 （图中小正方形网格的边长为 1），则该几何体的体积
（ ），则函数 f（ x）取得最大值时 x 的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知等比数列 { an} 的前 n 项和 Sn＝ λ?3n﹣1﹣ 1（ λ∈R），则
＝（
）
A．
B．3
C． 6
D．9
12．（ 5 分）已知 A，B，C 为椭圆 +y2＝ 1 上三个不同的点， O 为坐标原点， 若
20．（ 12 分）已知抛物线 y2＝ 2x，过点 A（﹣ 2， 4）的直线 l 交抛物线于 B、C 两点，设 O 为坐标原点，点 P（ ， 0）．
（ 1）求 tan∠PAO 的值； （ 2）若△ PAB，△ PBC，△ PAC 的面积成等比数列，求直线 l 的方程． 21．（ 12 分）已知函数 f（x）＝ x+ ﹣ alnx（ a∈R）． （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）讨论 f（ x）在 [1， e] 上的零点个数． （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分 .[选修 4-4：极坐标系与参数方程 ]
＝ ，则△ ABC 的面积为（
）
A．
B．
C．
2019年广西省南宁市高考模拟考试文科数学试题及答案
2019年广西省南宁市高考模拟考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，，（D ）{12}，（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A ）12π（B ）323π（C ）8π（D ）4π (5) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12（B ）1 （C ）32（D ）2 (6) 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a = （A ）−43（B ）−34（C ）3（D ）2 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为学.科网 （A ）710（B ）58（C ）38（D ）310(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）1y x=(11) 函数π()cos26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4（B ）5（C ）6 （D ）7(12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二．填空题：共4小题，每小题5分.(13) 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.(14) 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________（15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. （16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 学.科网甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=（I ）求{n a }的通项公式； (II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2（18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：学科.网随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
2019年广西南宁市、梧州市等八市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
2019年广西南宁市、梧州市等八市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（3分）复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．l B．C．2D．43．（3分）若向量＝（2，3），＝（﹣1，2），则•（）＝（）A．5B．6C．7D．84．（3分）去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中丙县人口为70万，则去年年底甲县的人口为（）A．162万B．176万C．182万D．186万5．（3分）已知双曲线C：＝1（a＞0）的一个焦点为（2，0），则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x6．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3B．4C．5D．67．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝3a n﹣2，则a6＝（）A．0B．1C．2D．68．（3分）已知将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g（x）的图象．若g（x）是偶函数，则f（）＝（）A．B．C．D．19．（3分）已知x，y满足条件，若z＝x+2y的最小值为0，则m＝（）A．1B．2C．3D．410．（3分）函数y＝2sin x cos x﹣cos 2x的单调增区间是（）A．[kπ﹣，k]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ，kπ+]（k∈Z）D．[k，kπ+]（k∈Z）11．（3分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y＝2x﹣5上，若||＝2，则△ABC面积的最小值为（）A．5B．4C．D．112．（3分）设过点P（﹣2，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的两个交点为A，B，若8＝5，则|AB|＝（）A．B．C．D．二、填空题（将答案填在答题纸上）13．（3分）曲线y＝xe x﹣2x2+1在点（0，1）处的切线方程为．14．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝7，则S9＝．15．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的T＝．16．（3分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a2有3个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2﹣c2＝8，△ABC的面积为2．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，求sin A+sin B的值．18．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料利用散点图可知x，y线性相关（1）求出y关于x的线性回归方程＝x；（2）若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y（辆）的值．参考公式：＝＝，＝19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC，M是侧面AA1C1C的对角线的交点，D，E分别是AB，BC中点（1）求证：MD∥平面A1BC1；（2）求证：平面MAE⊥平面BCC1B120．已知曲线C上动点M与定点F（）的距离和它到定直线l1：x＝﹣2的距离的比是常数，若过P （0，1）的动直线l与曲线C相交于A，B两点（1）说明曲线C的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由21．已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣2lnx（a∈R）．（1）若函数f（x）的一个极值点为x＝1，求函数f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设P（2，1），直线l与曲线交于点A，B，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．2019年广西南宁市、梧州市等八市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：A＝{x|0＜x＜4}；∴A∩B＝{1，2}．故选：C．2．【解答】解：∵复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），∴﹣i2z＝﹣i（1+i），化为z＝1﹣i．∴|z|＝．故选：B．3．【解答】解：∵向量＝（2，3），＝（﹣1，2），∴＝（2，3）﹣（﹣2，4）＝（4，﹣1），∴•（）＝8﹣3＝5故选：A．4．【解答】解：由统计图可得，丙县人口占四个县总人口20%，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为＝350万，又因为甲县人口占四个县总人口的52%，所以甲县的人口为350×52%＝182万．故选：C．5．【解答】解：因为双曲线C：＝1（a＞0）的一个焦点为（2，0），所以a2+3＝4，故a2＝1，因此双曲线的方程为：x2＝1，所以其渐近线方程为：y＝±x．故选：C．6．【解答】解：由已知三视图得到几何体如图：由团长时间得到体积为＝5；故选：C．7．【解答】解：因为a1＝1，a n+1＝3a n﹣2，所以a2＝3﹣2＝1，以此类推可得a3＝3a2﹣2＝1，a4＝3a3﹣2＝1，a5＝3a4﹣2＝1，a6＝3a5﹣2＝1．故选：B．8．【解答】解：由题意可得：g（x）＝sin（2x+3φ），因为g（x）是偶函数，所以3φ＝，k∈Z，即φ＝，k∈Z，又0＜φ＜，所以0，解得，所以k＝0，故φ＝；所以f（）＝．故选：A．9．【解答】解：由x，y满足条件，作出可行域，又目标函数z＝x+2y表示直线y＝﹣x+在y轴截距的二倍，因此截距越小，z就越小；由图象可得，当直线y＝﹣x+过点A时，在y轴截距最小；由解得A（m，1﹣m），所以z min＝m+2（1﹣m），又z＝x+2y的最小值为0，所以2﹣m＝0，解得m＝2．故选：B．10．【解答】解：∵函数y＝2sin x cos x﹣cos 2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故选：D．11．【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，抛物线方程为x2＝4y；又||＝2，所以||＝2，设点A到直线BC的距离为d，故△ABC面积为，因为A在抛物线上，设A（x，），则d＝＝＝＝，故≥1．故选：D．12．【解答】解：根据题意，直线l过点P（﹣2，0），设直线l的参数方程为（t为参数），又由直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的两个交点为A，B，设A的坐标为（﹣2+t1cosθ，t1sinθ），B的坐标为（﹣2+t2cosθ，t2sinθ），则有（﹣2+t cosθ）2+（t sinθ）2﹣4（﹣2+t cosθ）﹣2t sinθ+1＝0，变形可得t2﹣（8cosθ+2sinθ）t+13＝0，又由直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的两个交点为A，B，若8＝5，则＝，即t2＝t1，又由t1t2＝13，则有t12＝13，解可得t1＝±，则|AB|＝|t1﹣t2|＝|t1﹣t1|＝；故选：A．二、填空题（将答案填在答题纸上）13．【解答】解：求导函数可得，y′＝（1+x）e x﹣4x当x＝0时，y′＝1∴曲线y＝xe x﹣2x2+1在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即y＝x+1．故答案为：y＝x+1．14．【解答】解：因为a5＝7，所以＝9a5＝63．故答案为：63．15．【解答】解：执行程序框图，T＝0，a＝﹣1，i＝1，满足条件i≤5，执行循环，T＝0，a＝﹣1，i＝1；满足条件i≤5，执行循环，T＝1，a＝0，i＝2；满足条件i≤5，执行循环，T＝1，a＝1，i＝3；满足条件i≤5，执行循环，T＝4，a＝2，i＝4；满足条件i≤5，执行循环，T＝20，a＝3，i＝5；满足条件i≤5，执行循环，T＝65，a＝4，i＝6；此时，不满足条件i≤5，退出循环输出T的值为65．故答案为：65．16．【解答】解：由题意，作出函数函数f（x）＝，的图象如下，因为函数y＝f（x）﹣a2有3个零点，所以关于x的方程f（x）﹣a2＝0有三个不等实根；即函数f（x）的图象与直线y＝a2有三个交点，由图象可得：0＜a2≤1，解得﹣1≤a＜0或0＜a≤1．故答案为[﹣1，0）∪（0，1]．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）由△ABC的面积为2，可得：，由a2+b2﹣c2＝8，及余弦定理可得：2ab cos C＝8，故：tan C＝，可得：C＝；（2）∵C＝，2ab cos C＝8，∴解得：ab＝8，又a2+b2﹣c2＝8，c＝2，可得a+b＝6，由正弦定理，，得：sin A+sin B＝＝（a+b）＝．18．【解答】解：（1）由题中数据可得x＝×（10+11+13+12）＝11.5，＝×（22+24+31+27）＝26，x i y i＝10×22+11×24+13×31+12×27＝1211，＝102+112+132+122＝534；∴＝＝＝＝3；故＝﹣＝26﹣3×11.5＝﹣8.5，∴＝3x﹣8.5；（2）由（1）得，当x＝8.5时，＝3×8.5﹣8.5＝17，∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．19．【解答】证明：（1）∵M是棱柱的侧面AA1C1C对角线的交点，∴M是AC1中点．∵D是AB中点，∴MD∥BC1，∵MD⊄平面A1BC1，BC⊂平面A1BC1∴MD∥平面A1BC1．（2）∵AB＝AC，E是BC中点，∴AE⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AA1⊥AE．∵在棱柱中BB1∥AA1，∴BB1⊥AE．∵BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，∴AE⊥平面BCC1B1．∵AE⊂平面MAE，∴平面MAE⊥平面BCC1B1．20．【解答】解：（1）设动点M坐标为M（x，y）点M到直线l1：x＝﹣2的距离为d．依题意可知＝，则＝，化简得+＝1，所以曲线C是椭圆，它的标准方程为+＝1，（2）①当直线l与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知|P A|＝|PB|，又因为得＝，则|QA|＝|QB|，从而点Q必在y轴上．②当直线l与x轴垂直时，则A（0，），B（0，﹣），由①可设Q（0，y0），（y0≠1），由＝得＝，解得y0＝1（舍去），或y0＝2．则点Q的坐标只可能是Q（0，2）．下面只需证明直线l斜率存在且Q（0，2）时均有由＝即可．设直线l的方程为y＝kx+1，代入+＝1得（2k2+1）x2+4kx﹣2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴+＝＝2k，设点B关于y轴对称的点坐标B′（﹣x2，y2），因为直线QA的斜率k QA＝＝＝k﹣，同理得直线QB′的斜率k QB′＝＝＝﹣k+，∴k QA﹣k QB′＝2k﹣（+）＝2k﹣2k＝0，∴k QA＝k QB′，三点Q，A，B′共线．故由＝＝＝．所以存在点Q（0，2）满足题意．21．【解答】解：（1）f′（x）＝2ax﹣1﹣（x＞0），∵x＝1是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）＝2a﹣1﹣2＝0，∴a＝．∴f（x）＝x2﹣x﹣2lnx，f′（x）＝3x﹣1﹣＝＝．∴0＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调减区间为（0，1]，单调增区间为（1，+∞），∴f（x）的极小值为f（1）＝﹣1＝，没有极大值，（2）f′（x）＝2ax﹣1﹣＝（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0，∴x∈（0，+∞），f（x）是减函数，当a＞0，由f′（x）＝0，得x1＝，x2＝，显然得x1＜0，x2＞0，且当x∈（0，x2）时，f′（x2）＜0，f（x）是减函数；x∈（x2，+∞）时，f′（x2）＞0，f（x）是增函数，综上，a≤时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），没有增区间，a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解（1）由ρ＝4cos（θ﹣）得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ，∴ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2+y2＝4x+4y即曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．（2）将代入C的直角坐标方程，得t2+（﹣t﹣1）2＝8，∴t2+t﹣7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝﹣7．则|P A||PB|＝|t1t2|＝7．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）由f（x）＜|x﹣1|，可得|x+3|﹣2＜|x﹣1|，当x≥1时，x+3﹣2＜x﹣1不成立，当﹣3＜x＜1时，x+3﹣2＜1﹣x，∴﹣3＜x＜0，当x≤﹣3时，﹣x﹣3﹣2＜1﹣x，﹣5＜1成立，∴不等式f（x）＜|x﹣1|的解集为{x|x＜0}．（2）依题意，|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2≥b，令g（x）＝|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2＝，易知g（x）max＝g（）＝，则有≥b，即实数b的取值范围是（﹣∞，]．。
2019届广西南宁市、玉林市、贵港市等高三毕业班摸底考试数学(文)试题(解析版)
广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，∴A∩B={x|＜x≤4}=（]．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】===﹣3﹣i．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．3.已知角A满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边平方，判断出cosA小于0，sinA大于0，且sinA的绝对值大于cosA的绝对值，利用完全平方公式求出sinA﹣cosA的值，与已知等式联立求出sinA与cosA的值，即可确定出的值.【详解】∵A为三角形内角，且sinA+cosA=，∴将sinA+cosA=两边平方得：2sinAcosA=﹣，∴A为钝角，即sinA＞0，cosA＜0，且|sinA|＞|cosA|，∴1﹣2sinAcosA=，即（sinA﹣cosA）2=，∵sinA﹣cosA＞0，∴sinA﹣cosA=，联立得：，解得：sinA=，cosA=﹣，则sin2A=故选：D【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．4.执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据循环语句得S变化规律（周期），再根据规律确定输出值.详解：因为所以,所以当时选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.若直线与圆相交，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径.【详解】直线化为一般式为：，直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径，即，∴∴故选：D【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.6.已知x、y满足，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 12D. 16【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），令z=3x﹣y，化为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=的图象变换规律，得出结论．【详解】由函数f（x）=的部分图象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），将代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到的图象，故选：B．【点睛】由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.8.如图，棱长为的正方体中，为中点，这直线与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先作出直线D1M与平面ABCD所成角，然后求解即可【详解】连接DM，因为几何体是正方体，所以∠D1MD就是直线D1M与平面ABCD所成角，tan∠D1MD=故选：C【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，再利用单调性（或特殊点）判断即可．【详解】函数是偶函数，排除选项B，C；当x＞0时，，∴在上单调递增，排除D故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.在中，的对边分别为，已知，则的周长是（）A. B. C. D.【解析】【分析】由sinB=2sinA，利用正弦定理得b=2a，由此利用余弦定理能求出a，b，从而得到的周长.【详解】∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，又c=，解得a=1，b=2．∴的周长是故选：C【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.11.如图，已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【详解】由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入，b＞0），可得x=±，y=±•，∴=c2，∴4a2b2=（b2﹣3a2）c2，∴4a2（c2﹣a2）=（c2﹣4a2）c2，∴e4﹣8e2+4=0，∵e＞1，∴e2=4+2，∴e=+1．故选：C．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．12.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】几何体复原后为正方体的内接四面体，其外接球即正方体外接球.【详解】几何体复原后如图所示:四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，外接球的直径2R=∴此几何体的外接球表面积为故选：B【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量与的夹角为，且，若，则__________．【答案】 1【解析】【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）•=0，展开后得答案．【详解】∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）•=，解得m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．14.某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为__________．【答案】60【解析】【分析】先求出高级教师与初级教师的人数之和，然后根据分层抽样的定义，即可得到结论．【详解】∵学校共有教师300人，其中中级教师有120人，∴高级教师与初级教师的人数为300﹣120=180人，∵抽取的样本中有中级教师72人，∴设样本人数为n，则，解得n=180，则抽取的高级教师与初级教师的人数为180﹣72=108，∵高级教师与初级教师的人数比为5：4．∴该样本中的高级教师人数为．故答案为：60【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：（1）；（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15.抛物线的准线方程是________．【答案】【解析】分析：根据抛物线标准方程求性质：的准线方程为详解：因为的准线方程为所以抛物线的准线方程是.点睛：的准线方程为焦点坐标为16.已知，点的坐标为，则当时，且满足的概率为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，满足|x|≤2且|y|≤2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其外部运动．因此，所求概率等于阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．【详解】如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其外部∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的概率为P1===．故答案为：【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设是公比不为1的等比数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）设.若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，，利用裂项相消法求和即可.【详解】(1) 设等比数列的公比为，则.因为，所以.解得（舍去），..（2）由（1）得，所以数列的前项和.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.(参考数据: ，计算结果保留小数点后两位）【答案】（1）；（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.【解析】【分析】（1）求得样本中心点（，），利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）由（1）可知：将t=8代入线性回归方程，即可求得该地区2019年该农产品的产量估计值为7.72万吨．【详解】（1）由题意可知：，，，∴，又，∴关于的线性回归方程为.（2）由（1)可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.【点睛】求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.（1）求证：平面；（2）求几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 判断PA⊥BC，且，从而得证PA⊥平面ABCD；（2）由运算求解即可．【详解】（1）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴.同理，∴平面.（2）∵为中点，.【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.20.设椭圆，右顶点是，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆右顶点的坐标为A（2，0），离心率，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；（2）当直线斜率不存在时，设，易得，当直线斜率存在时，直线，与椭圆方程联立，得，由可得，从而得证.【详解】（1）右顶点是，离心率为，所以，∴，则，∴椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，设，与椭圆方程联立得：，，设直线与轴交于点，，即，∴或(舍），∴直线过定点；当直线斜率存在时，设直线斜率为，，则直线，与椭圆方程联立，得，，，，，，则，即，∴，∴或，∴直线或，∴直线过定点或舍去；综上知直线过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．21.已知函数.（1）当图象过点时，求函数在点处的的切线方程；（其中为自然对数的底数，）（2）当时，求证：对任意，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由图象过点可得，求出，从而得到切线方程；(2)欲证：，注意到，只要即可.【详解】（1）当图象过点时，所以，所以，由得，切点为，斜率为，所求切线方程为：，即；（2）证明：当时，，欲证：，注意到，只要即可，，令，则，知在上递增，有，所以，可知在上递增，于是有.综上，当时，对任意的恒成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于原点，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程；（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|4sinα﹣4cosα|=4|sin（）|=4，进而sin（）=±1，由此能求出结果．【详解】（1）由消去参数可得普通方程为，∵，∴，由，得曲线的直角坐标方程为；（2）由（1）得曲线，其极坐标方程为，由题意设，则，∴，∴，∵，∴.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.已知函数.（1）解不等式；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意化简，分段解不等式，最后取并集即可；（2）的不等式有解等价于.【详解】（1）由题意化简，∵，所以或或，解得不等式的解集为：.（2）依题意，求的最小值，的最小值为 9，∴.【点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．。
2019年桂林、百色、崇左五市高考数学文科模拟试卷
2019年桂林、百色、崇左五市高考数学文科模拟试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩∁U B等于（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}2．复数=（）A．﹣i B．i C．i D．﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣4．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．15．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx6．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣ D．﹣7．如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．159．函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）10．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（）A．B．13 C．6 D．11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=ax﹣lnx，当x∈（0，e]（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a的值为（）A ．eB ．e 2C ．2eD ．2e 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若向量()1,a x =-r 与向量(),16b x =-r方向相反，则x = ． 14．若正方体的外接球的表面积为6π，则该正方体的表面积为 ． 15．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ= ．16．若直线y kx =是曲线()43f x x =+的一条切线，则k 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 6sin a C c B =. （1）求ab的值；（2）若1b =，c =cos C 及ABC V 的面积.18．在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，AB CD ∥，CD AD ==44AB =，且AC PA ⊥，M 为线段CP 上一点. （1）求证：平面ACD ⊥平面PAM ；（2）若14PM P C =且12AP AD =，求证：MB ∥平面PAD ，并求四棱锥M ABCD-的体积.19．宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以为都是育婴中的一个重要话题.为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销量前5名的五个品牌奶粉的销量（单位：罐），绘制出如下的管状图：（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名；（2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比（百分数精确到个位），并将数据填入如下饼状图中的括号内；（3）已知该超市2014年飞鹤奶粉的销量为1650（单位：罐），试以2014，2015，2016这3年的销量得出销量y 关于年份x 的线性回归方程，并据此预测2017年该超市飞鹤奶粉的销量.相关公式：()()()121ˆ==--=-∑∑n iii nii x x y y bx x 1221==-=-∑∑ni ii ni i x y nx yx nx，ˆˆ=-ay bx . 20．设椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>）的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点()0,1M -为椭圆上一点.抛物线N ：22y px =（0p >）的焦点F 与点M 关于直线y x =-对称.（1）求椭圆W 及抛物线N 的方程；（2）过原点O 的直线l 与椭圆交于A 、B ，与抛物线N 交于D （异于原点），若AB =，求ABF V 的面积. 21．已知函数()f x （()f x ）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x ，当()f x 时，()f x 恒成立，求()f x 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的参数方程为曲线2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u r u u u r. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =--+. （1）解不等式()4f x ≥；（2）若关于x 的不等式22a a ++()1x f x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2019年桂林、百色、崇左五市高考数学文科模拟试卷参考答案一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩∁U B等于（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，∴A∩∁U B={x|1≤x≤3}∩{x|x≤2}={x|1≤x≤2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．复数=（）A．﹣i B．i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：===．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．4．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．1【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．【点评】本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”．5．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．【解答】解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，A：y=lgx是非奇非偶函数，错误B：y=cosx为偶函数，图象关于y轴对称，错误C：y=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误D：y=sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确故选D【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验f（﹣x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验．6．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），则cos（+2α）=cos（+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣=﹣═=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．7．如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图得此几何体的几何特征：上球、下圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体：上球、下圆柱组成，且球的底面半径是2，圆柱的底面半径是2、高是6，所以几何体的体积V==，故选：D．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征及测度．8．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．15【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】根据所给s、i的值先执行T=2i﹣1，s=s×T，i=i+1，然后判断i与4的关系，满足条件算法结束，不满足条件继续执行循环体，从而到结论．【解答】解：因为s=1，i=1，执行T=2×1﹣1=1，s=1×1=1，i=1+1=2；判断2＜4，执行T=2×2﹣1=3，s=1×3=3，i=2+1=3；判断3＜4，执行T=2×3﹣1=5，s=3×5=15，i=3+1=4；此时4≥4，满足条件，输出s的值为15．故选D．【点评】本题考查了循环结构中的直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件进入循环，满足条件算法结束．9．函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】由题意可得f（2）＜0，f（3）＞0，满足f（2）f（3）＜0，由零点的存在性定理可判．【解答】解：∵函数，∴f（2）==＜0，f（3）==＞0，∴f（2）f（3）＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为（2，3）故选B【点评】本题考查函数零点的判定，涉及对数的运算，属基础题．10．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（）A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0，用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解：∵=+，且⊥，∴•=（+）•（）===0．∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c= a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．已知函数f（x）=ax﹣lnx，当x∈（0，e]（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a的值为（）A．e B．e2C．2e D．2e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；分类讨论；转化法；导数的概念及应用．【分析】先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；②当a＞0时，f′（x）=0的根为当时，，解得a=e2，③当时，f′（x ）＜0，f （x ）在x ∈（0，e ）上单调递减f （e ）＜0，与题意不符；综上所述a=e 2， 故选：B【点评】本题主要考查导数的应用．利用函数单调性最值和导数的关系，利用分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键．二、填空题13．4- 14．12 15 16．4± 三、解答题17．解：（1）sin 6sin a C c B =Q ，6ac bc ∴=，6a b ∴=，6ab ∴=.（2）6ab=Q ，1b =，6a ∴=.222cos 2a b c C ab +-∴==361261126112+-=⨯⨯，sin C ∴=1sin 2ABC S ab C ∴=V =18．证明：（1）因为CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，又AC PA ⊥，且CD AC C =I ，所以PA ⊥平面ACD . 因为PA ⊂平面PAM ，所以平面ACD ⊥平面PAM . （2）在PD 上取一点E ，使得14PE PD =， 因为14PM PC =，所以14ME CD ∥. 又14AB CD ∥，所以ME AB ∥，所以四边形ABME 为平行四边形，所以MB AE ∥，又AE ⊂平面PAD ，MB ⊄平面PAD ， 所以MB ∥平面PAD .因为PA ⊥平面ACD ，所以PA AD ⊥.因为4AD =，12AP AD =，即点P 到AD 的距离为122AD =， 即得点P 到平面ACD 的距离为2，14PM PC =，所以点M 到平面ACD 的距离为33242⨯=， 所以131322M ABCD V -=⨯⨯()1445⨯+⨯=.19．解：（1）该超市这两年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利奶粉，完达山奶粉. （2）（3）2015x =1850y =，()22120001250ˆ22511b -⨯-++⨯==+，ˆ185********a =-⨯451525=-，则销量y 关于年份x 的线性回归方程为ˆ225451525y x =-，当2017x =，ˆ2300y =，故预测2017年该超市飞鹤奶粉的销量为2300. 20．解：（1）由题可知1b =，又1442ab ⨯=，2ab ∴=，2a ∴=，∴椭圆W 的方程为2214x y +=.由题可知()1,0F ，∴抛物线N 的方程为24y x =.（2）易知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，联立2214x y +=，得()22144k x+=，x ∴=，AB ∴=联立24y kx y x =⎧⎨=⎩，得224k x x =，设()00,D x y ，则024x k =，0OD x ∴=24k=.∴由AB =25k=， ()()225110k k ∴+-=，解得1k =±，故直线l 的方程为y x =±.()1,0F Q 到l 的距离为2，且AB =，122ABF S ∴=⨯V =. 21．解：（1）()1axx xϕ-'=（0x >）， 当0a ≤时，()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在()0,+∞上递增. 当0a >时，令()0x ϕ'>得，10x a <<，则()x ϕ在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增. 令()0x ϕ'<得，1x a >，则()x ϕ在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减. （2）当0x >时，()0f x <恒成立，则31ln 02x ax x --<即2ln 12x a x x >-对()0,x ∈+∞恒成立. 设()2ln 12x g x x x =-（0x >），()321l n x x g x x --'=，设()31ln h x x x =--（0x >），()2130h x x x'=--<，()h x ∴在()0,+∞上递减，又()10h =，则当01x <<时，()0h x >，()0g x '>；当1x >时，()0h x <，()0g x '<.()()max 112g x g ∴==-.12a ∴>-，即a 的取值范围为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 22．解：（1）依题意，4cos ρθ=⇔24cos ρρθ=，故曲线1C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即()2224x y -+=，故曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；因为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故)cos sin 2ρθρθ-= 即曲线2C 的直角坐标方程为40x y --=.（2）由2240,40x y x x y ⎧+-=⎨--=⎩解得4,0x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y =⎧⎨=-⎩故42OM ON ⋅=⨯u u u r u u u r()028+⨯-=.23．解：（1）()4f x ≥可化为2114x x --+≥，即2114,1x x x -+++≥⎧⎨<-⎩或2114,112x x x -+--≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2114,12x x x ---≥⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得2x ≤-或6x ≥，所以不等式()4f x ≥的解集为(],2-∞-U [)6,+∞. （2）22a a ++()1x f x +>恒成立22a a ⇔+>()max 1222x x --+， 1222x x --+≤Q 12223x x -++=（当1x ≤-时取等号）， ()max 12223x x ∴--+=；由223a a +>，解得3a <-或1a >，即a 的取值范围是(),3-∞-U ()1,+∞.。
广西桂林、崇左市2019届高三5月联合模拟数学文科试题(含精品解析)
设直线 与平面
所成角为 ，
则
.
故选 B
【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的正弦值，灵活掌握向量的方法求解即可，属于常考题型.
10.将函数 ）
的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法中不正确的是（
A. 的周期为
B. 是 的一条对称轴
C. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意得到
D. 为奇函数 的解析式，再根据正弦函数的性质，即可求出结果.
（ 为参数），以原点为极点， 轴的非
（2）过点 倾斜角为 的直线 与曲线 交于
【答案】（1）
;（2）8.
【解析】
【分析】
两点，求
的值.
（1）先求出曲线 的普通方程为
，再化成极坐标方程；（2）先写出直线的参数方程
（ 为参数），再将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程 t 的几何意义解答.
【详解】（1）依题意，曲线 的普通方程为
【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求 的估计值即可，属于常考题型.
19.已知四棱锥
的底面 是菱形，
， 底面 ， 是 上的任意一点.
（1）求证：平面
平面 ；
（2）设
，求点 到平面
【答案】（1）见解析；
的距离.
（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理先证明
平面 ，即可得出平面
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，再求出直线
向量夹角余弦值，进而可求出结果.
【详解】以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，
2019年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)含答案解析
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．设a＞0且a≠0，函数 ．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率；
则A∩B=[﹣2，0）∪（ ，1]，
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
200
150
50
（Ⅰ）为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
200
150
50
抽取人数
6
（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，C两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．
（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．
A． B． C． D．
10．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的6个顶点都在球O的球面上，若 ，AB⊥AC， ，则球O的直径为（ ）
A．2B． C． D．4
11．已知F1，F2是双曲线 的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）
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2019年广西高考文科数学模拟试题与答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面是关于复数2z i =-的四个命题：1:||5p z =；2:p z 的共轭复数为2+i ；23:34p z i =-；4121:33p i z =+.其中真命题为 A. 12p p ， B. 23p p ， C. 24p p ， D. 34p p ， 2. 已知平面向量(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,则实数x 的值是A. 1-B. 1C. 2D. 1-或23.“2a =”是“直线20x y -+=与圆22(2)()2x y a -+-=相切”的 A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性相同的函数是A.y =ln y x = C.tan y x = D.x x y e e -=-5．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱 表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的 路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．26．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a = A ．2- B ．21-C ．21D ．27． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()52log 42 3 04xax x x f x x x +>⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩，，，若()()52f f -<，则a 的取值范围为 A.() 1-∞，B.() 2-∞，C.()2 -+∞，D.()2 +∞，8．在直角坐标系中，若角α的终边经过点()22sin ,cos sin 33P πππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则A ．12B ．2C ．12-D ．2-9．已知数列{}n a 满足11255,,n n a a a a a +-=，且成等比数列，则该数列的前六项和6S =A. 60B. 75C. 90D. 10510．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的s 的值是A ．1B ．2C ．4D ．711．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若线段AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为A B ．4 C D12．设函数f （x ）=2sin （2x+），将f （x ）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g （x ），则g （x ）的图象的一条对称轴方程为A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ． 14．直线L 过P )1,3(与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，则PB PA ∙=15．若,x y 满足约束条件0,20,230,x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最小值是 ．16． 已知等比数列{a n }的公比不为-1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则84S S = ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17- -21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222sin sin sin sin A C B A C +-=⋅.（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，()cos 5A C -=，求线段DC 的长.18.(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 所在的平面与等腰ABE ∆所在的平面互相垂直，其中顶120BAE ∠=，4AE AB ==，F 为线段AE 的中点．（1）若H 是线段BD 上的中点，求证：//FH 平面CDE ；（2）若H 是线段BD 上的一个动点，设直线FH 与平面ABCD 所成角的大小为θ，求θtan 最大时三棱锥AFB H -的体积.19.（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）20.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点A 、B 和点C 、D ，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N.(Ⅰ)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(Ⅱ)过M 、N 的直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-. （1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最 小值.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求AOB ∆的面积．23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a =-+-∈R ． （1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围。
参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2. D3. A4.D5.B6.D7.B8.C9.C 10.C 11.C 12.D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 80 14. 9 15. －11 6. 3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17- -21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a cb +-=所以cos B =. 因为()0,B π∈，所以6B π=..............................................6分（Ⅱ）由条件.由()()cos sin A C A C -=⇒-=。
设A D x =，则C D x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠.5125xx =⇒=.所以5AD DC ==...................12分 18．（本小题满分12分）(1)连接AC ，∵ABCD 是正方形，∴H 是AC 的中点，有F 是AE 的中点，∴FH 是ACE ∆的中位线，∴CE FH //，而⊄FH 面CDE ，⊂CE 面CDE ，∴//FH 面CDE ……4 (2)∵面⊥ABCE 面ABE ，交线为AB ，而AB DA ⊥，∴⊥DA 面ABE ，作FI AB ⊥垂足为I ，有FIAD ⊥，得FI ⊥面ABCD ，∴FIH ∠是直线FH 与平面ABCD 所成的角， (6)sin 603FI AF ==tan FI FHI IH ∠==，当BD IH ⊥时，IH 取到最小值 …8 此时求得IH335=V . …12 19.（共12分）（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， 故所求概率为500.0252000=. （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372.故所求概率估计为37210.8142000-=. 方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部.由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==. （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 20.(本小题满分12分)(Ⅰ)由题设条件得焦点坐标为F(1，0)， 设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，k ≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y 2＝4x，得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 2k 2＝16(1＋k 2)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则xM ＝12(x 1＋x 2)＝1＋2k 2，y M ＝k(x M －1)＝2k ，∴x M ＝1＋12y 2M∴线段AB 的中点M 的轨迹方程为：y 2＝2(x －1)(x>1).5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝x 1＋x 22＝2＋k 2k2y M ＝2k.7分同理，设N(x N ，y N )，则⎩⎪⎨⎪⎧x N ＝2k 2＋1y N＝－2k .8分当k≠±1时，可知直线l 的斜率为：k′＝k1－k2， 所以直线l 的方程为：y ＋2k ＝k 1－k2(x －2k 2－1)，即yk 2＋(x －3)k －y ＝0 ①当x ＝3，y ＝0时方程①对任意的k(k≠±1)均成立，即直线l 过点(3，0)11分 当k ＝±1时，直线l 的方程为：x ＝3，综合所述，过M 、N 的直线l 必过定点(3，0).12分 21. (本小题满分12分)（1）(1)3f =-Q 且(2)2()f x f x =-(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分 22(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分33(2)3(2)f ∴=-⋅-………1分 44(16)(2)3(2)48f f ∴==-⋅-=-……1分（2）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-，(1,2]x ∈时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，()(1,2]f x ∈……………1分 (2,4]x ∈时，221()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---，……………1分()[4,2)f x ∈--……………1分(4,8]x ∈时，2211()2()2[(2)2](4)42224x x f x f x =-=----=-+，……………1分()(4,8]f x ∈……………1分得：222(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ⎧⎪-+∈⎪⎪=---∈⎨⎪⎪-+∈⎪⎩，值域为[4,2)12](4,8]--（，……………1分（3）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-当(1,2]x ∈时，3()2f x x =--得：当2(2,2]x ∈时，()2()32x f x f x =-=-……1分当1(2,2]n nx -∈时，1(1,2]2n x -∈，21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222n n n n n n x x x x f x f f f x -----=-=-=-=---=--⋅L ……………2分当1(2,2]n nx -∈，n 为奇数时，22()32[,0]4nn f x x -=--⋅∈-当1(2,2]n n x -∈，n 为偶数时，22()32[0,]4n n f x x -=-⋅∈综上：1n =时，()f x 在(1,2]上最大值为0，最小值为12-……………1分2n ≥，n 为偶数时，()f x 在(1,2]n上最大值为24n ，最小值为28n -……………1分3n ≥，n 为奇数时，()f x 在(1,2]n上最大值为28n ，最小值为24n-……………1分(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.解：（1）由题1C ：24y x =，22sin 4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=，2C ：225x y x +=．（2）联立24y x =和225x y x +=，得1A x =，2A y =，设2(,)4m B m ，由OA OB ⊥，2124m m =-，得8m =-，(16,8)B -，11||||2022AOB S OA OB ∆=⋅=． 23．（1）|1||4|5x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩，解得0x ≤或5x ≥。