02-2.3解析函数的充要条件教学课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
注2:函数在区域解析的一个充分条件:
(1) ������(������, ������), ������(������, ������)在������内具有一阶连续偏导数; ������������ ������������
2 ������ ������, ������ , ������ ������, ������ 在������内满足柯西 − 黎曼方程: ������������ = ������������ ,
于是������(������, ������), ������(������, ������)在(������, ������)处可微,且������������ = ������������ = ������, ������������ = − ������������ = −������.
������������ ������������
������������ ������������ 根据柯西 − 黎曼条件: ������������ = ������������ ,
������������ ������������
=
−
������������ ������������
=
������2
������������ ������������
������������ ������������
������������ ������������
= (������������ + ������ ������������)Δ������ + (������������ + ������ ������������)Δ������ +������1 ( ∆������ ) + ������������2( ∆������ )
)
������′(������)
=
lim
∆������→0
������(������
+
∆������) Δ������
−
������(������)
=
������������ ������������
+
������
������������ ������������
即������ ������ 在������ = ������ + ������������处可导.
Δ������→0
设������(������ + Δ������) − ������(������) = Δ������ + ������Δ������,������′ ������ = ������ + ������������, ������(Δ������) = ������1 + ������������2
2. 函数在区域内解析的充要条件
定理:������ ������ = ������ ������, ������ + ������������ ������, ������ 在区域������内解析的充要条件是: ������(������, ������), ������(������, ������)在区域������内可微且满足柯西 − 黎曼方程 . 注1:若函数������ ������ = ������ ������, ������ + ������������ ������, ������ 在������内不满足柯西 − 黎曼方程 或不满足可微条件其中的一个条件,则������(������)在������内不解析.
)
������′(������)
=
lim
∆������→0
������(������
+
∆������) Δ������
−
������(������)
=
������������ ������������
+
������
������������ ������������
即������ ������ 在������ = ������ + ������������处可导.
⇒
������(������
+
∆������) Δ������
−
������(������)
=
������������ ������������
+
������
������������ ������������
+
������1(
∆������
)
+ ������������2( ∆������
∆������
������(������+Δ������)−������(������) − ������′(������) < ������
������
成立
其中 lim ������ (Δ������) = 0,������(������ + Δ������) − ������(������) = ������′(������)Δ������ + ������(Δ������)Δ������
函数������ ������ = ������ ������, ������ + ������������ ������, ������ 在点������ = ������ + ������������处的导数公式
f ' (z) = u + i v = 1 u + v x x i y y
由
lim
Δ������→0
������ (������)
=
0,得(Δ������,lΔim������)→(0,0)
������1
=
0,
(Δ������,lΔim������)→(0,0) ������2 = 0
因此������1Δ������ − ������2Δ������ = ������( (Δ������)2 + (Δ������)2),
wenku.baidu.com
从而Δ������ = ������Δ������ − ������Δ������ + ������1Δ������ − ������2Δ������,
������ = ������������ + ������������ + ������2������ + ������1������,
������2������ + ������1������ = ������( (������)2 + (������)2)
有Δ������ = ������Δ������ − ������Δ������ + ������( (Δ������)2 + (Δ������)2),
������ = ������������ + ������������ + ������( (������)2 + (������)2)
所以 ������ ������ + Δ������ − ������ ������
������������ ������������ = (������������ + ������ ������������)(Δ������ + ������Δ������) +������1 ( ∆������ ) + ������������2( ∆������ )
注:函数������ ������ = ������ ������, ������ + ������������ ������, ������ 在一点可导的一个充分条件:
(1) ������(������, ������), ������(������, ������)在一点具有一阶连续偏导数;
2
������
其中 (Δ������,lΔim������)→(0,0) ������������( ∆������ ) = 0, ������ = 1,2
因此
������ ������ + Δ������ − ������ ������
������������ ������������
������������
������������
������������
充分性
由于������ ������ + Δ������ − ������ ������
= ������(������ + Δ������, ������ + Δ������) − ������(������, ������) + ������[������(������ + Δ������, ������ + Δ������) − ������(������, ������)] = Δ������ + ������Δ������ 由������(������, ������), ������(������, ������)在点(������, ������)可微,可知
⇒
������(������
+
∆������) Δ������
−
������(������)
=
������������ ������������
+
������
������������ ������������
+
������1(
∆������
)
+ ������������2( ∆������
∆������
所以Δ������ + ������Δ������ = (������ + ������������)(Δ������ + ������Δ������) + (������1 + ������������2)(Δ������ + ������Δ������)
= ������Δ������ − ������Δ������ + ������1Δ������ − ������2Δ������ +������(������Δ������ + ������Δ������ + ������2Δ������ + ������1Δ������)
������������ ������������
������������
������������
Δ������ = ������������ Δ������ + ������������ Δ������ + ������1( ∆������ ); Δ������ = ������������ Δ������ + ������������ Δ������ + ������2( ∆������ )
证明:必要性
������(������)在������
=
������
+
������������处可导,
⇒
������′(������)
=
lim
Δ������→0
������(������
+
������) ������
−
������(������)
存在
∀������ > 0, ∃������ ������ > 0, 当0 < Δ������ < ������时,有
������������
= ������������ Δ������ + ������������ Δ������ + ������1( ∆������ ) + ������ ������������ Δ������ + ������������ Δ������ + ������2( ∆������ )
������, ������
, ������
������, ������
在一点满足柯西
−
黎曼方程:
������������ ������������
=
������������ ������������ ,
������������ ������������ ������������ = − ������������ .
复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
第一节 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、解析函数的充要条件
三、函数解析的充要条件
1. 函数在一点处可导的充要条件 定理:函数������ ������ = ������ ������, ������ + ������������ ������, ������ 在定义域中的点������ = ������ + ������������处可导 的充要条件是:������(������, ������)与������(������, ������)在点(������, ������)可微,且在该点满足 柯西— 黎曼 ������������������������ℎ������ − ������������������������������������������ 方程: ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������������ , ������������ = − ������������ .