代数运算的同态和同构
5.3 代数系统的同态与同构
授课时间十一周第 2 次课更广泛的同态映射定义定义设V1=<S1,∘, ∙ >和V2=<S2,*, ◊>是代数系统，其中∘和*是二元运算. f: S1→S2, 且∀x,y∈S1f (x ∘y) = f(x) *f(y) , f (x ∙ y) = f(x) ◊f(y)则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.设V1=<S1, ∘,∙, ∆>和V2=<S2,*, ◊, ∇>是代数系统，其中∘和*是二元运算. ∆ 和∇是一元运算，f: S1→S2, 且∀x,y∈S1f (x∘y)=f(x)*f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x)则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态.例V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n则f 是V1到V2 的同态.∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)例V1=<R,+>，V2=<R＋, ∙ >f ：R → R＋, f(x)=ex例题例1 V=<R*,⋅>, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？(1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2(4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1解(2) , (5), (6) 不是自同态.(1) 是同态，f(x⋅y) = |x⋅y| = |x| ⋅|y| = f(x) ⋅f(y)(3) 是同态，f(x⋅y) = (x⋅y)2 = x2 ⋅y2 = f(x) ⋅f(y)(4) 是同态，f(x⋅y) = 1/(x⋅y) =1/x ⋅1/y = f(x) ⋅f(y)特殊同态映射的分类f 为V1=<S1,∘>到V2=<S2,*>的同态，则1. < f (S1),*>是V1在f下的同态像，2.同态映射f如果是单射，则称为单同态；3.如果f是满射，则称为满同态，记作V1~V2；4. 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1 同构于V2，记作V1≅V2 .5. 对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.同态映射的实例例2 设V=<Z,+>，∀a∈Z，令fa：Z→Z，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.因为∀x,y∈Z，有fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y)当a = 0 时称f0为零同态；当a=±1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa 都是单自同态.例3 设V1=<Q,+>, V2= <Q*,⋅>，其中Q*= Q-{0}，令f ：Q→Q*, f(x)=ex那么f 是V1到V2的同态映射，因为∀x, y∈Q有f(x+y) = ex+y = ex⋅ey = f(x) ⋅ f(y).不难看出f 是单同态.例4 V1=<Z,+>，V2=<Zn,⊕ >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n则f 是V1到V2 的满同态. ∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)同态映射的实例（续）例5 设V=<Zn,⊕>，可以证明恰有n 个G 的自同态，fp：Zn→Zn,fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, … , n-1例如n = 6, 那么f0为零同态,同态像是<{ 0, ⊕} > ；f1与f5为同构；f2 与f4的同态像是<{ 0, 2, 4 }, ⊕ > ；f3 的同态像是<{ 0, 3, ⊕} > .定义：设V1=<S1,∘,k1>和V2=<S2,*,k2 >是代数系统，其中∘和*是二元运算. k1是S1的代数常数，k2是S2的代数常数，f: S1→S2, 如果满足（1）∀x,y∈S1, f (x∘y) = f(x) *f( y),（2）f(k1)＝k2则称f 为V1到V2 的同态例V1=<Z,+,0>，V2=<Zn,⊕,0 >，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n∀x, y∈Z有f(x+y) = (x+y)mod n= (x)mod n ⊕ (y)mod n= f(x) ⊕ f(y)同时，f(0)= 0同态映射保持运算的算律设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是V2上对应的二元运算，如果f：V1→V2是同态，那么(1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o’运算也是可交换的（可结合、幂等的）.(2) 若o运算对∗运算是可分配的，则o’运算对∗’运算也是可分配的；若o 和∗运算是可吸收的，则o’和∗’运算也是可吸收的。
同构及同态在代数中的应用论文
同构及同态在代数中的应用论文同构及同态在代数中的应用摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。
在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。
关键词：同态；同构；群；环1 代数系统的同态与同构1.1同态映射及同态的定义一个A到A的映射φ，叫做一个对于代数运算和来说的，A到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a和b是A的哪两个元，只要→→，b ba a就有a b a b→定义1：假如对于代数运算和来说，就有一个A到A的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与A同态。
定义2: 我们说，一个A与A间的一一映射φ是一个对于代数运算与来说的，A与A间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a，b是A的哪两个元，只要→a a→，b b就有a b a b→1.2同态与同构的联系1）从定义上看2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构关于代数系统的同态有以下定理：定理1 :假定，对于代数运算和来说，A与A同态。
那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律。
定理2:假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。
那么，（1）若?，⊕适合第一分配律，?，⊕也适合第一分配律；(2)若?，⊕适合第二分配律，?，⊕也适合第二分配律。
2群的同态与同构2.1群的同态与同构定义定义3：给定群(),G 和群(),G ?称集G 到集G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=? 当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ?）；当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ'=，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。
代数系统间的同构与同态
例3 < I, ＋,×> 和< 2X,∩,∪>是两个同类型的代数系统，因为 这两个代数系统都具有两个运算，且＋和∩都是二元运算， ×和∪也都是二元运算。
定义2 设< X，f >和< Y，g >是两个代数系统，f 和 g 分别是 X 和 Y 上的 n 元运算。若存在一个函数 h：X→Y，使得 ( x1,x2,…,x n ) X n ，有 h (f(x1,x2,…,x n ))=g(h(x1),h(x2),…,h(x n)) ①
则称函数 h 对 f 和 g 保持运算，同时称①式为同态公式。
❖ h对 f 和 g保持运算的含义是指在 h 的作用下，元素运算结 果的象等于元素象的运算结果。
❖ 当 h 对 f 和 g 保持运算时，也称 h 满足同态公式。
2.2 代数系统间的同构关系
定义3 设 A= < X,f1,f2,···,fm > 和 B= < Y,g1,g2, ···,g m > 是两个 同类型的代数系统。若存在一双射函数 h：X→Y，对于A 和B 中的每一对相应的运算fi和gi(i=1,2,…,m)满足同态公式， 则称 h 是从 A 到 B 的同构函数，同时称 A 和 B 同构。
定理1 代数系统间的同构关系R是X上的等价关系, 其中 X=｛A | A是代数系统}。 由等价关系的定义知要证R是 1）自反的； 2定义4 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同 类型的代数系统。若存在函数h：XY，对A1 和A2 中每一对 相应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数， 并称< h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。
400浅谈代数系统上的同态与同构
400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西 汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算 和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算 及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若 适合结合律, 也适合结合律;（2）若 适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算 为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明 记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射. )()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群. 证明 因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明 必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射.定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明 设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明 首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b fa f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f''=''---.因此1-f 是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立. 性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明 假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1） 若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2） 若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /. 定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明 设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核. 定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明 设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类. 证明 因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R . 证明 设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A 对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ.事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Hom T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明 必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A Tentative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。
4.2 代数系统的同构与同态
4
第四章 例 设V1=<S1,o>,V2=<S2,*>,其中S1={a,b,c,d}, S2={0,1,2,3},二 元运算o和*的运算表如下
o a b c d a a b c d b c d d d d d * 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 1 2 3
2
第四章 定义3 设h是V1=<S1,o>,V2=<S2,*>的同态，如果 h是满射的,单射的，双射的，则称h是V1到V2的满同 态，单同态，同构. 例 设V=<Z,+>,给定a∈Z,令 h:Z →Z, h(x)=ax, 任意x∈Z 则h是否是V到自身的同态?如果是，称为自同态.
3
二.同态，同构定理
b c b d d c d d
定义同态h:S1→S2,且 h(a)=0,h(b)=1,h(c)=0,h(d)=1 则h是满，单，双同态？V1在h下的同态像为？ 非单非满同态，<{0,1},*>
5
第四章
作业： P129 1(6,8) P130 7,12,15
6
第四章
定理1 设V1=<S1,f1,f2,..,fm>和V2=<S2,g1,g2,..,gm>是两个同 类型的代数系统，h是从V1到V2的同态函数，那么V1的同态 像<h(S1),g1,g2,..,gm>是V2的子代数系统. 定理2 设V1=<S1,o>和V2=<S2,*>是两个代数系统，o和*是二 元运算，h是从V1到V2的满同态函数，那么 (1) e, θ，x-1分别是o的单位元，零元和x的逆元，则 h(e), h(θ)，h(x-1)分别是关于*的单位元，零元和h(x)的逆元.
64 代数结构的同态与同构
定理6.4.3 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同 定理 1 2 构, 则 ( A , o, ) 满足关于运算 o (或 ) 的交换 或 1 律、结合律以及 对 o (或 o 对 ) 的分配律等 或 运算性质的充要条件是 ( A ,∗, ⊗)满足关于运算 ∗ 2 (或 ⊗) 相对应的性质。 相对应的性质。 或 定理6.4.2 设 f 为从 ( A , o, ) 到 ( A ,∗, ⊗) 的一个同 定理 1 2 构, 则 ( A , o, )有特异元的充要条件是 ( A ,∗, ⊗) 1 2 有相应的特异元， 有相应的特异元，且
例. 代数 代数(A, ◦), 其中 A={a, b, c}, 运算◦由右表给出, 为单位元 为单位元; 运算◦由右表给出 c为单位元 但 (B, ◦)其中 B={a, b}, a为单位元。 为单位元。 其中 为单位元
定义6.4.3 设 f 为从 1, ◦)到(A2, *)的一个同态，如 为从(A 的一个同态， 定义 到 的一个同态 单射(满射 双射)， 满射， 果是 f 单射 满射，双射 ，则称 f 为从 (A1, ◦) 到 (A2, *) 的单同态 满同态，同构 。 的单同态(满同态 同构) 满同态， 是同构时， 当 f 是同构时，也称 (A1, ◦)与 (A2, *)是同构的， 与 是同构的， 并记作： 并记作：(A1, ◦) ≅(A2, *) 。
定义6.4.2 设(A1,◦,⊙)和 (A2,*,⊗) 是二个代数 定义 ◦⊙ 和 *⊗ 结构，若存在映射f 结构，若存在映射 : A1→A2，满足
f ( x o y) = f ( x)∗ f ( y) 和 f ( x y) = f ( x) ⊗ f ( y),
Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数 (1)
9
同态像是映到代数系统的子代数
定理15.7 设V1 =< A,o1 ,o2 ,...,or > 与V2 =< B,o1',o2 ',...,or '>是同 定理 是同 类型的代数系统， 类型的代数系统，oi与oi′是ki 元运算 (i=1,2,…,r), 是 元运算, f : A→B是V1到V2的同态，则f(A)关于 2的运算构成代数系统， 的同态， 关于V 是 关于 的运算构成代数系统， 且是V 的子代数， 下的同态像 同态像. 且是 2的子代数，称f(A)为V1在f 下的同态像 为 f(A)是 的非空子集.证明 证明f(A) 中的所有运算封闭. 证 f(A)是B 的非空子集.证明f(A) 对V2中的所有运算封闭. (1) 若V2有0元运算 则V1存在 元运算 f(a)=a′. 即a′∈f(A). 元运算a′, 存在0元运算 元运算a, 元运算 ∈ (2) 任意 2中非 元运算 k元运算 ∀ y1, y2, …, yk∈ f(A)， 任意V 中非0元运算 元运算o′( 元运算 元运算), ， 存在x 存在 1, x2,…, xk ∈ A, 令 f(xi) = yi, i=1,2,…,k, 则 o'(y1, y2,..., yk ) = o‘( f (x1), f (x2),..., f (xk ))= f (o(x1, x2,..., xk )) ∈ f(A) .
第三编 代数结构
6
同态映射的实例
(1) V = <Z,+>, fc:Z→Z, fc(x) = cx, c为给定整数 为给定整数 c = 0, 零同态 (∀ x∈A, f (x)=0 ) ∈ c = ±1，自同构 其它 单自同态 ，自同构; 其它c, (2) V = <Z6,⊕>, fp:Z6→Z6, fp(x) = (px) mod 6, p = 0,1, …, 5, ⊕ p = 0, f0 零同态 p = 1, f1 恒等映射，自同构 零同态; 恒等映射， p = 2, f2 = {<0,0>,<1,2>,<2,4>,<3,0>,<4,2>,<5,4>}, p = 3, f3 = {<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>} p = 4, f4 = {<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>} p = 5, f5 = {<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同构 自同构 (3) 推广到 V = <Zn,⊕>, fp(x) = (px) mod n, p = 0,1, …,n-1, ⊕ fp(x⊕y) = (p(x⊕y)) mod n ⊕ ⊕ = (px) mod n ⊕ (py) mod n = fp(x)⊕fp(y) ⊕
第3讲 8-9节同态与同构
因此，只有 1，3是自同构 注： 两个代数体系如果同构，它们之间的同构映射 不一定唯一. (Q, )
1 : x x
2 : x x
3 : x 2x
N {0,1,2,3,}, N {1,2,3,} 设
证明： N , )与( , ) 不同构. ( N 证明：（反证法）如果 N N 设 (0) n N , (1) m,
例5设 F 为数域，
A {( a1 , a2 , a3 , a4 ) ai F} F
x1 A x 3 x2 xi F M 2 ( F ) x4
4
证明： A, )与(A, ) 是同构的。 (
a1 分析：令 : (a1 , a2 , a3 , a4 ) a3 a2 a4
因此：同构的代数体系由于完全相同的代数结构。
就是确定所有互不同构的代数体系以 及它们的代数结构。 而为了确定一个代数体系的代数结构， 只须让它与一个代数结构已经清楚的代数 体系同构则可。
定义 对于○与○来说的一个A与A间的同构映射，
叫做一个关于○的A的自同构。 例5
○
A={1，2，3}.代数运算○由下表给定:
则 A A.
·
1
1
1 1
1 1
1 1
偶 奇
偶
奇
偶 奇 奇 偶
1 -1 分析：令 ： 偶， 奇，则是双射且 11）（ ）偶=偶 偶= 1） 1）； （ = 1 = （ （ 1（-1））（-1）奇=偶 奇= 1） -1）； （ = = （ （ -1） -1））（ ）偶=奇 奇= -1） -1） （（ （ = 1 = （ （
离散数学 ch5.3同态与同构
下面看看同构的两个代数系统运算表的相同性：
+4
0 1
2
3
S R A L
0 1 2 3
0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2
S S R R R A A A L L L S
A L S R
L S R A
+4
f N4 X 0 S 1 R 2 A 3 L
f是双射
下面是含有两个运算的代数系统的同构的性质的保持问 题。
定义：令(X,+,×）和（Y, ,）是含有两个运算的代数 系统，其中+、×、 、都是二元运算，如果存在双射 f:XY, 使得对任何x1 , x2∈X，满足 f(x1+x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：+与对应) f(x1×x2) = f(x1) f(x2)。 (注意：×与对应) 则称这两个代数系统同构。 6. (保持分配律)如果运算+对×可分配, 则对也可分配。 证明：任取y1 ,y2 , y3 ∈Y 因 f :XY是满射,x1 ,x2 , x3∈X, 使得 y1=f(x1) , y2=f(x2) , y3=f(x3) y1 ( y2 y3 )=f(x1)(f(x2)f(x3)) = f(x1) f(x2×x3) = f(x1+(x2×x3)) = f((x1+ x2)×(x1+ x3)) (因+对×可分配) = f(x1+x2) f(x1+x3) = (f(x1)f(x2)) (f(x1)f(x3)) = (y1y2) (y1y3) 所以对 也可分配。
例2：设有两个代数（{0，1}， ∨ ）,（{a,b}, ） 其运算表如下： 表1 代数系统 表2 代数系统
5.8同态与同构
=f(x*(y*z))
=f((x*y)*z)=f(x*y)*’f(z) =(f(x)*’f(y))*’f(z)=(a*’b)*’c 。
<f(A),*’>是半群。
同态像的性质
2)若<A,*>是独异点,则<f(A),*’>也是独异点. 证:af(A),则x,有a=f(x),eA,f(e)f(A)， a*’f(e)=f(x)*’f(e)=f(x*e)=f(x)=a， f(e)*’a=f(e)*’f(x)=f(e*x)=f(x)=a。 f(e)是<f(A),*’>的幺元, <f(A),*’>是独异点。 3)若<A,*>是一个群,则<f(A),*’>也是一个群.
<R+,>同构于<R,+>。
同态与同构
例2.证明<R-｛0｝,×>和<R,+>不同构。
证:（反证法）设h是<R,+>到<R-｛0｝,×>的一个同构映射, b∈R-｛0｝,必存在a∈R,使得h(a)=b,
则:b=h(a)=h(0+a)=h(0)×h(a)=h(0)×b
b=h(a)=h(a+0)=h(a)×h(0)=b×h(0),所以h(0)=1。 对于-1∈R-｛0｝,必存在c∈R,使得h(c)=-1, 且h(c+c)=h(c)×h(c)=-1×-1=1,故有c+c=0,即c=0, h(0)=-1, 这与h(0)=1是矛盾,所以h不是双射。 <R-｛0｝,×>和<R,+> 不同构。
同态核
1.定义5-8.4:设f是由群<G,*>到群<G’,*>的同态,e’是
离散数学-同态和同构
一、同态与同构
例1(c)：证明代数< N, +>和< I+,·>是不同构的。
证明：使用反证法。假设h是从<N, +>到<I+, ·>的一个同构。因为h
是从N到I+的一个满函数, 必有x∈N( x≥2) 和某质数p(p≥3), 使h(x)=p
(h(x1)*′h(x2))*′h(x3)=h(x1*x2)*′h(x3)=h((x1*x2)*x3) =h(x1*(x2*x3))=h(x1)*′h(x2*x3) =h(x1)*′(h(x2)*′h(x3))
所以, *′是可交换(或可结合的)。证毕。
二、同态代数的性质
例2：设S = {a, b, c, d}, S′={0, 1, 2, 3}, 代数A=<S, *>和B=<S′,* >由下表
· f0 f1 f2 f3 f0 f0 f1 f2 f3 f1 f1 f2 f3 f0 f2 f2 f3 f0 f1 f3 f3 f0 f1 f2
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
一、同态与同构
例1(b)证明：<F, ·, f 0>，F={f 0, f 1, f 2, f 3};< N4, +4, 0>，N4={0, 1, 2, 3}
作映射h∶F→N4, h(f i) = i (i=0, 1, 2, 3) (1) h∶F → N4双射； (2) h(f 0) =0； (3)任取f i， f j∈F， i， j∈ N4, 因为h(f i) = i ， h(f j) = j ,所以 h(f i·f j) = h(f i+j) = h(f (i+j) mod 4) = (i+j) mod 4 = i +4 j = h(f i) +4h(f j)。
1-2运算律,同态同构
( a1 o a 2 ) o ( a 3 o a 4 )
……… 加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？ 加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？
Modern Algebra Qinqin Gu
定义2 定义2 设 A 中的代数运算为 o ，任取 n ( n > 2) 个元素 a1 , a 2 ,L, a n，如果所有加括号的步骤 最后算出的结果是一样的， 最后算出的结果是一样的，那么这个结果就记为 a1 o a2 o L o an . 注意：从定义2可知， 1 o a 2 可知， 注意：从定义 可知 a 也可能是有意义的. 也可能是有意义的
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研究代数体系的首要目的 就是确定所有互不同构的代数体系以 及它们的代数结构。 及它们的代数结构。 而为了确定一个代数体系的代数结构， 而为了确定一个代数体系的代数结构， 只须让它与一个代数结构已经清楚的代数 体系同构则可。 体系同构则可。
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o L o an
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定理1 定理1： 满足结合律， 如果 A 的代数运算 o 满足结合律， 有意义。 那么 a1 o a 2 o L o a n 有意义。 [论证思路 因n是有限数，所以加括号 论证思路] 是有限数， 论证思路 是有限数 的步骤必是有限的，任取一种加括号的步骤 的步骤必是有限的， 必是有限的
∗
{Q ,+}与{Q ∗ ,⋅} 不同构. ） （3） 不同构 （其中 Q ∗ 为非零有理数集）. 为非零有理数集）
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为数域， （4）设 F 为数域， ）
代数结构同态与同构
代数结构同态与同构代数结构同态与同构是抽象代数学中的两个重要概念。
它们描述了两个代数结构之间的关系，并在代数学的研究中发挥着重要作用。
本文将介绍代数结构同态与同构的概念、定义以及性质，并讨论它们的应用和意义。
一、代数结构同态的概念与性质1. 同态的定义在抽象代数学中，如果存在两个代数结构A和B，其中A的运算是由集合和运算规则所确定的，B也是类似的，那么我们称映射f：A → B为从A到B的同态，如果对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)，其中*表示A中的运算，*表示B中的运算，即f保持运算的性质。
2. 同态的性质同态具有以下性质：（1）同态保持单位元：即f(单位元A) = 单位元B；（2）同态保持逆元：即对于A中的任意元素x，有f(x的逆元A) = f(x)的逆元B；（3）同态保持运算：即对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)。
二、代数结构同构的概念与性质1. 同构的定义在抽象代数学中，如果从A到B的同态f：A → B是双射（即一一对应）且保持运算的性质，则称A与B是同构的，记作A ≅ B。
同构表示两个代数结构在结构上完全相同，可以通过一一对应的方式进行映射。
2. 同构的性质同构具有以下性质：（1）同构保持单位元；（2）同构保持逆元；（3）同构保持运算。
三、同态与同构的应用1. 结构的研究与刻画同态与同构可用于研究和刻画代数结构的结构和性质。
通过同态与同构的关系，我们可以将复杂的代数结构简化为更易于理解和研究的形式。
例如，通过同构关系，我们可以将一个群与一个矩阵代数的子群作为同构来描述，从而简化问题的分析和求解。
2. 等价关系的建立同态与同构也可用于建立代数结构之间的等价关系。
如果两个代数结构之间存在同构关系，则可以将它们看作是等价的。
这种等价关系在代数学中非常有用，可以帮助我们分类、比较甚至证明不同的代数结构。
3. 结构的构造与研究同态与同构的概念在代数结构的构造与研究中起着重要的作用。
第5-5讲 同态与同构
1、例子（3）
f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=-1, *(- )=0 β ⊗ ζ= ε ; 1*(-1)=0 f(β )=f( f(ε *(f(β)*f(ζ f(β ⊗ ζ)=f(ε)= 0 =1*(-1)= f(β)*f(ζ)
9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5、同态核
定义4 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，eH是<H,*> 的幺元,令Ker(f)={x|x∈G且f(x)=eH}。称Ker(f)是同态映 射f的核，简称同态核。 定理3 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，则f的同态 核K是G的子群。(<K,⊗>是<G,⊗>的子群) 证明：对任意k1,k2∈K,有 对任意k K,有 对任意 )=e f(k1⊗k2)=f(k1)*f(k2)= H*eH=eH k 所以k k K,所以 运算在K 封闭。进而可知⊗运算在 所以⊗运算在 所以k1⊗k2∈K,所以 运算在K上封闭。进而可知 运算在 可结合。 K上可结合。 又因f是群<G, 到群<H,*>的同态，根据定理1 <G,⊗ <H,*>的同态 又因f是群<G,⊗>到群<H,*>的同态，根据定理1， eH=f(e)，这说明e∈K，e也是K的幺元。 这说明e 也是K 幺元。 这说明 对任意k f(k)=e =(e 对任意k∈K, f(k)= H。 f(k-1)=(f(k))-1=( H)-1= eH 所以k K,即 中任意元素有逆元 从而K 逆元。 的子群。 所以k-1∈K,即K中任意元素有逆元。从而K是G的子群。
代数系统的同态和同构
第二节 代数系统的同态和同构设S 是一个非空集合，12,,...,k f f f 分别是S 上的12,,...,k n n n 元运算。
由S 和12,,...,k f f f 组成的系统称作一个代数系统，简称代数，记作12,,,...,k S f f f <>。
例如，<R,＋>,<R,－>,<R,×>，<R +,+,×>等都是代数系统，而,R <÷>，,R +<−>都不是代数系统。
定义2.1 设1S 和2S 是两个非空集合，f 和g 分别是1S 和2S 上的n 元运算。
如果映射12:S S ϕ→满足121,,...,n x x x S ∀∈：1212((,,...,))((),(),...,())n n f x x x g x x x ϕϕϕϕ=则称ϕ关于f 和g 是保持运算的，简称是保持运算的，特别地，当f 和g 分别为二元运算*和o 时，上式为1,x y S ∀∈，ϕϕϕ=o (*)()()x y x y如果12,,...,k f f f 分别与12,,...,k g g g 同是12,,...,k n n n 元运算，则称代数系统1112,,,...,k V S f f f =<>和2212,,,...,k V S g g g =<>是同类型的，如果映射12:S S ϕ→关于每一个i f 和(1,2,...,)i g i k =都是保持运算的，则称ϕ是1V 到2V 同态映射，简称同态(homomorphism)。
称112(,,,...,)k S g g g ϕ<>是1V 在ϕ下的同态象。
当ϕ是单射，满射和双射时，分别称作单射同态(injective homomorphism)，满同态(surjective homomorphism)和同构(isomorphism)。
离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构
0 = 0⋅ n ∈nZ,
6
三. 代数系统的积代数
定义5－ 定义 －14 其中 ∗ 和 设代数系统 V =< S1,∗> 和 1
V2 =< S2 , >
积代数是一个代数系统 都是二元运算 。V和 V2 的积代数是一个代数系统 1
其中 V ×V2 即 V1 ×V2 =< S , ⊕> ,其中 1
S = S1 × S2 ={(x1, y1)| x1 ∈S1, y1 ∈S2} 是二元运算， ⊕是二元运算，定义为对任意的 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ∈ S
1
, 2 ,⋯,
k
满足B S,则称 则称V >满足B⊂S,则称V’是
5
例1. 设 V =< Z , +,0 >, 令
nZ = {nz z ∈Z} , n 为自然数, 为自然数,
证明: nZ是 的子代数. 证明: nZ是V的子代数. 证明: 证明: 任取nZ中的两个元素 任取nZ中的两个元素nz1, nz2 (z1, z2 ∈Z), 则有
.
11
3个代数系统的积代数: 个代数系统的积代数:
例如 V
=< Z, +,0 >, 那么有
V ×V ×V =< Z × Z × Z,∗, 0,0,0 >, 并且对任意的 < x1, y1, z1 >, < x2 , y2 , z2 >∈Z × Z × Z, 有
< x1, y1, z1 >∗< x2 , y2 , z2 >=< x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 >
< Z , +, 0 >
153代数系统的同态与同构
f(θ)是V2中零元，θ为V1中相应运算零元
f(a-1)是 f(a)的逆元
10
几点说明
1. 满同态条件重要. 如果不是满同态，有关性质只能在同
态像中成立. 例如
V =< A,⋅ >
A
=
a 0
0 b
|
a,
b
∈
R,
f : A → A,
推论 代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质. 8
同态像是映到代数系统的子代数
定理1 设 V1 =< A,o1 ,o2 ,..., or > 与V2 =< B,o1', o2',..., or '>
是同类型的代数系统，对于 i=1,2,…,r，oi与oi′是ki 元运算, f:A→B是V1到V2的同态，则 f(A)关于V2中的运算构成代 数系统，且是V2的子代数，称为V1在 f 下的同态像.
oi (a 1 , a 2 ,..., a ki ) ∼ oi (b1 , b2 ,..., bki ) ∼关于oi运算具有置换性质，根据oi的任意性，定理得证. 19
实例
例2 V=<Z4,⊕>, fi : Z4→Z4, fi(x) = (ix) mod 4，i = 0,1,2,3
函数
f0(x)=0, x=0,1,2,3
统的下述性质：
交换、结合、幂等、分配、吸收 单位元、零元、逆元 消去律不一定保持
7
同态的合成仍旧是同态
命题 若 f:V1→V2, g:V2→V3为同态映射，则 g∘f:V1→V3也 为同态映射.
证 根据集合论的定理，g∘f: V1→V3为映射. 任取V1,V2,V3中一组对应的运算 o1,o2,o3, 设为 k 元运算. ∀x1, x2, … , xk∈V1,
高等工程数学课件--2.1 代数运算,同态与同构
(1) 若 对 适合左分配律，则 对 适合左分配律；
定理2.1.4 设 A, B, C 是三个非空集合， ，，
分别是A, B, C 上的代数运算。 如果是A到B 的同构映射， 是B到C的同构映射， 则 (1) 是B到A的同构映射；
a b b a e,
则称 b 为 a 的逆元， 记为 b a 1 。 半群G上的代数运算 一般用通常的乘法符号“ . ”表示，并且 通常省略。
定理2.2.1 设G是一个半群，则
（1）如果G有单位元，则单位元是唯一的； （2）如果 a G有逆元a ，则 a 是唯一的，并且 (a 1 ) 1 a ； （3）如果 a, b G 是可逆的，则 ab 也是可逆的，并且
(2) Ker ( )是G的子群； (3) 是一个单映射 Ker ( ) {e}.
定理2.2.11 设 G , G, G是三个群，如果是G到
G的同构映射， 是G到G的同构映射， 则 (1) 是G到G的同构映射； (2) 是G到G的同构映射 。
－1
2.2.4
(2)
A A到C的映射称为A到C的代数运算；
A对代数运算是封闭的。
(3) A A 到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合
一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A 与B到C的一个代数运算记为“ ”, 则由定义，对 任意 A, b B ，经过代数运算 得唯一的 C ， c a 即 :(a,b)→c，记为c=a b . 例2.1.1 R
第2章 代数结构与线性空间
2.1 代数运算，同态与同构
2.2 群 2.3 环与域 2.4 线性空间
2.5 模
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定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z ∈S 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x ∈ S 有 x ∘ x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律.
1
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2. 集合 Z, Q, R Mn(R) P(B) 运算 普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法 并 交 相对补 对称差 AA 函数符合 交换律 有 有 有 无 有 有 无 有 无 结合律 有 有 有 有 有 有 无 有 有 幂等律 无 无 无 无 有 有 无 无 无
假如A上的代数运算 适合 结合律,而且A B到A的代数运 对于 适合第二(右)分配律,那么 b B, a1，， （ A, 都有 a2 ， a n n 2） ( a1 a 2 a n) b (a n b). ( a1 b ) ( a 2 b )
解:1)m n时,可能存在单射； m=n时,单射个数为m ！ n!; m＜n时,单射个数为C n m!; 3)m＞n时,可能存在满射； m=n时,满射个数为m ！ n ！; m n时,满射个数为C mn!.
n m
目录
复习代数运算及运算律 1.8 同态、同构
1.9同态、同构
代数 <Z,+> <Z, ×> <R,+> <R, ×>
2 第一(左)分配律
已知 是B A到A的代数运算, 是一个集合A上的代数运算.如果 b B, a1， a 2 A, 都有 b (a1 a 2) (b a1) (b a 2), 则称代数运算 对于 适合第一 (左)分配律.
例题
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集 合，n2；P(S)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 .
+ 对 不分配 P(B) 并 与交 交 与对称差 对 可分配 对 可分配 对 可分配 对 不分配
4
补充题
1.设 S m, T n,问从S到T的映射、满射、单射、 一一映射各有多少个？ 2.设 S m，问S 上的变换、满变换、单变换、一 一变换各有多少个？
S 0 1
恒等变换
<S(A), >
练习题
判断下列定义在有理数集合上的代数运算 是否适合结合律、交换律？
a b (a b) ; a b a;
2
a b a b ab；
a bb .
3
1.6 与两种代数运算发生关系的运算律 ——分配律
1 问题的提出
结合律和交换律是只同一种代 数运算发生关系,而分配律是同两种 代数运算发生关系的一种规律.
集合
Z,Q,R Mn(R)
运算
普通加法+与乘法 矩阵加法+与乘法 并∪与交∩
分配律
对+可分配 +对不分配 对+可分配 +对不分配 ∪对∩可分配 ∩对∪可分配
P(S)
交∩与对称差
∩对可分配
定理1 假如 适合结合律，而且 ， 适合第左分配律， 那么对于B的任何b，A的任何a1，a 2， a n 来说， b （a1 a n）（ b a1） （b a n）
与代数运算发生关系的映射 —同态映射（8-9节）
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
1.最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 A 和 A . 第一,我们需要一个映射 f : A A; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 f (a b) 和 f (a) f (b) 都有意 A 的两个元,那么 b 是 a 和 体的说,假如 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
证明：我们用归纳法。 当n 1， 2的时候，定理是对的。 假定，当a1， a 2 的个数只有n 1个的时候，定理是对的 ，现在我们看有 n个a i时的 情形。这时 b （a1 a n）
a1 a n-1） b （ an
（b a1） （b a n）
2
二元运算的性质（续）
定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律.
3
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2. 集合 Z,Q,R Mn(R) 运算 分配律 普通加法 + 与乘法 对 + 可分配 + 对 不分配 矩阵加法 + 与乘法 对 + 可分配
b （a1 a n-1） （b a n）
证完
b a 1） （ （b a n -1） （b a n）
3 第二(右)分配律 已知 是A B到A的代数运算,
是一个集合A上的代数运算.如果 b B, a1， a 2 A, 都有 ( a1 a 2 ) b ( a 1 b ) ( a 2 b ) 则称代数运算 对于 适合第二 (右)分配律.
<Mn(R),+> <Mn(R),*> <P(S), ∪ > <P(S), ∩ >
<{0,1, …,n-1}, > <{0,1, …,n-1}, ⊙ >
交换律 结合律 单位元 逆元 0 1 0 1 × 0 E
x 1 = x 1，-1可逆 x 1 = x x1 是x的倒数 (0无逆元 x 1 = x x可逆时 的逆元为 S的逆元为S 01 =0, x1 =nx