质点运动学综合例题

b
A
G vA
=uiˆ
x
8
vM
=
u [(l − b)iˆ − b tanα
l
ˆj]
加速度
G aM
G = dvM
dt
= − ub 1
l cos2 α
dα
dt
ˆj
= − u2b
l 2 cos3 α
ˆj
当α
=θ
，
K aM
= − u2b
l 2 cos3 θ
ˆj
9
例：灯罩上有一孔，灯光从孔射到墙上，若灯以ω匀
r0
0
5
G r
=
∫0t [v0
G
cosαi
+
(v0
sinα
−
gt )
G j ]dt
=
v0t
G
cos α i
+
(v0 t
sin α
−
g 2
t2
)
G j
即 x = v0t cosα
消去t得
y
=
v0t
sin α
−
g 2
t2
y
=
x
tan α
−
gx2 2v02 cos2
α
(抛物线)
6
例：长为l的细杆AB，A端靠在水平面上，B 端靠在竖 直墙壁上，现令A端以恒定速率vA=u沿水平面运动，求
当杆与竖直方向夹角α =θ 时，杆上距 A 端为b的一点
M 的速度和加速度。
解：如图，
xA = lsinα,
dxA = u dt
y B
αl
∴ dxA = l cosα dα = u yM
dt
dt
M b
dα = u dt l cosα
A
xM
G vA
=uiˆ
x
7
xM = (l −b)sinα, yM = bcosα
v′
= 0.55 4000 = 2000(m ) 1.1
B
或者：
BC = vx ⋅ t
G
vG′
θ
v水G v
=
v水
⋅
l v′
=
AB
⋅
v水 v′
A
vG′
G v
θ
G
v水
C
4000m
16
例2 在一光滑平面上，物体A沿斜面下滑，当A到达
某位置时，其相对B物体的速度为vr=10√3m/s，B物 体相对地面的速度为2m/s，求A对地面的速度。
(1 − e −kt )
11
例：一人能在静水中以1.1m·s-1的速率划船前进， 今欲横渡一宽度为4000m、水流速度为0.55m·s-1的 大河。
(1) 若要到达河正对岸的一点，应如何确定划行方 向？需要多少时间？
(2) 如希望用最短的时间过河，应如何确定划行方 向？船到达对岸的位置在何处？
B
0.55m·s-1
3 1 − ω0 3t
1 − ω0 3t
两式消去t 得：ω = ω0e 3ϕ
解法2：
β = 3ω2
⇒ dω = dω dϕ = dω ω = 3ω2 dt dϕ dt dϕ
⇒ dω = ω
3dϕ ⇒ ω = ω0e 3ϕ
4
例：求抛体运动物体的运动方程和速度。
已知：
G rG0 a
= =
0 ,G − gj
l
4000m
A
12
解：（1）相对运动问题，岸和水分别为静止和运
动参考系，则船的绝对速度
G v
=
vG′
+
G v水
vx = v水 − v′cosα
根据题意， vx = 0
vy = v′sin α
∴ cosα = v水 = 0.55 = 0.5
v′ 1.1
α = 60°
vG′
y
G v
B 1.1m·s-1
2) 坐标分量法：
y y′ G A
G u
u
αG
o′ B
v A地
ox
vry '
G vr θ
θ
x′ vA地y
vrx' G vr
β vA地x
G vA地
19
G G G GG v A地 = v AB + vB地 = vr + u
vA地x = vrx′ + ux vA地y = vry′ + u y
θ
vrx'
vry '
vG0求=：v0rK，cosvGα
G i
+
v0
sin
α
G j，
GG 解： 对dv = adt 两边积分：
yK v0
G v
G
tG
∫G v0
∴
dv = ∫0GadtG
G v
⇒
= v0
v − v0G cos αi
=
+
G at
(v0
sin α
−
O
G gt) j
α
y x
x
G dr
=
G vdt
G r
G
tG
∫ ∫ G dr = vdt
G vr
vA地x = vr cosθ − u
= 10 3 cos 30D − 2 = 13(m/s)
v A地y
β vA地x G v A地
vA地y = −vr sinθ = −10
3 ⋅ 1 = −5 2
3(m/s)
20
vA地 =
v2 A地 x
+ v2A地 y
= 15 ⋅ 6m/s
β = arctan v A地 y
质点运动学综合例题
1
例：长为l 的细绳，一端系一小球，另一端固定。小
球由水平位置处自由下摆，求小球速率v与摆角θ 的
关系。 解：采用自然坐标系
•θ
• M0
aτ
=
dv dt
=
dv ds
ds dt
=
v dv ds
=
vdv
ldθ
aτ = g cosθ
⇒ vdv = g cosθ ldθ
∫v
0
vdv
=
∫0θ gl
G vM
= dxM dt
iˆ + dyM dt
ˆj
= [(l − b) cosα iˆ − bsinα ˆj] dα
dt y
= u [(l − b)iˆ − b tanα ˆj]
l
B
α
yM
当α =θ ，
vM
=
u [(l l
− b)iˆ − b tanθ
ˆj]
dα = u dt l cosα
l M
xM
解：
aτ an
=
rβ rω 2
= tan 60° =
3
⇒ β = 3ω2 = dω
dt
∫ ∫ ω dω = t
ω ω0 2
0
3dt，ω = ω0 1 − ω0
3t
ω0
G
60° a
O
∫ ∫ dϕ = ω = ω0 , ϕ dϕ = ω ω0 dt
dt
1 − ω0 3t 0
ω0 1 − 3ω0t
3
ϕ = 3 ln( 1 ) ω = ω0
v A地 x
= arctan −5 3 13
= − 33 ⋅ 7 D
v A地y
β vA地x
G v A地
21
α Gx v水
α
A
0.55m·s-1
4000m
13
v = vy = v′sinα
s = l = 4000m
所需时间：
vG′
G v
α
G v水
t
=
l v
=
l
v′sinα
= 4000 1.1× 3 / 2
≈ 4199(s)
≈ 70(min)
B
1.1m·s-1
0.55m·s-1
4000m
α
A
14
（2）
根据（1）的推导，到达对岸的时间
t= l = l
vG′
G v
vy v′sinα
当α = 90°，所需时间为最短。
t
=
l vy
=
l v′
=
4000 1.1
≈ 3636.36(s)
≈
60.6(min)
α
G v水
vG′
y
G v
B
α Gx v水
0.55m·s-1
A
4000m
15
利用几何关系：tanθ = v水
v′
BC = AB ⋅ tanθ = AB ⋅ v水
速旋转一周。求旋转时光点A的速度、加速度。设灯 到墙的垂直距离为R。
解：t时刻，A点与
x轴的夹角为ωt，
所以
y
G r
=
Riˆ
+
R
tan
ωtˆj
G v
=
G dr
=
ωR sec2
ωtˆj
Z
G ωt r
A
o
R
X
dt
G a
=
G dv
=
2ω2R sec2
ωt
⋅
tan ωtˆj
dt
10
例：一质点沿直线运动，其速度为v = v0e-kt （k,v0为 常量），当t = 0时，质点的坐标为 x = 0，则此质点 的运动方程为 选项[C ]
cos θdθ
ls
•M
•
M1
aτ g
t = 0, v0 = 0,
s0 = 0,θ0 = 0
v2 = l g sinθ ⇒ v = 2gl sinθ
2
s = lθ , ds = ldθ
2
例：如图，飞轮绕固定轴O 转动，其轮沿上任一点
的加速度与轮半径的交角恒为60°。开始时，其转
角ϕ0 = 0，角速度为ω0。求飞轮的转动方程以及角 速度ω 与转角ϕ 之间的关系。
= (10 3)2 + 22 + 2×10 3 ×2cos30D =15.6(m/s)
由正弦定理
u = vA地
sinα sinθ
y y′
G u
GA u
α
G
G vr θ
o′ B
vA地 θ
x′
ox
18
α = arcsin u sinθ = arcsin n 30D = 3.7D
v A地
15.6
即与水平成(30+3.7)° θ
已知：
G
vAB = vr = 10 3m/s
u
G
A
vr
vB地 = u = 2m/s
B
θ = 30D
θ = 30°
G 求：vA地 = ?
y y′
G u
GA u
G
G
vr
o′ B
vA地 θ
x′
ox
17
解：1) 矢量法
G G G GG vA地 = vAB + vB地 = vr + u
∴vA地 = v2r + u 2 − 2vru cosθ
[A] x = v0 e−kt ; k
[C] x = v0 (1 − e−kt ); k
解：
dx dt
=
v
=
v0 e − kt
[B] x = − v0 e−kt； k
[D] x = − v0 (1 − e−kt ) k
dx = v0 e−kt dt
∫ ∫ x
dx =
0
t 0
v0e−
kt
dt
⇒
x=
v0 k