小学奥数：同余问题.专项练习
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. 19992000÷7的余数是多少？解析：0.9.……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313——2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .因数与倍数：两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。
六年级奥数专题训练-同余问题
六年级奥数专题训练－同余问题1.若a为自然数，证明10│（a 2005－a1949）．2.给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．4.设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．参考答案：1.提示：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．2.提示：有两个数的差能被11整除3.1734.分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<a，且1≢a≢n，1≢b≢n），它们的平方a2，b2被2n＋1除余数相同．那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B 中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。
例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余数不为0。
5.证明：∵质数中仅有一个偶数2，∴不小于5的质数是奇数．又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1，∴（不小于5的质数）2－1＝（6n±1）2－1＝36n2±12n＝12n（3n±1），这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴结论成立．说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．-。
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题同余问题是一个数学中的问题，它涉及到整数除以某个数后的余数的性质和关系。
具体来说，给定一个整数n和一个正整数m，同余问题就是研究关于a 的同余方程a ≡b (mod m) 的性质和解的情况。
其中，a是被除数，b是余数，"≡"表示同余关系，即a除以m的余数等于b，而mod表示取模运算。
这个问题可以进一步扩展为求解满足特定条件的整数解的数量或者找到所有满足条件的整数解等。
以下是一些常见的同余问题奥数题：1. 一个数除以5的余数是4，除以6的余数是3，除以7的余数是2，求这个数是多少？解答：我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
首先，我们设这个数为x，则有x ≡4 (mod 5)，x ≡3 (mod 6) 和x ≡2 (mod 7)。
根据中国剩余定理，我们有：x = 5 * k1 + 6 * k2 + 7 * k3，其中k1、k2、k3是整数。
由于5、6和7互质，所以可以分别求解得到：k1 = (4 - 2) / 5 = 0k2 = (3 - 0) / 6 = 1/2k3 = (2 - 0) / 7 = 2/7将k1、k2和k3代入x的表达式中，得到x = 5 * 0 + 6 * (1/2) + 7 * (2/7) = 19。
所以这个数是19。
2. 求方程x^2 - y^2 = 1999的所有正整数解。
解答：我们可以使用费马小定理来解决这个问题。
根据费马小定理，如果p 是一个素数且a是模p的一个原根，那么a^(p-1) ≡1 (mod p)。
在本题中，我们考虑模p=n，即要求满足x^2 - y^2 = n的正整数解的数量。
根据费马小定理，有：当n是完全平方数时，若n的质因数分解形式为p^2，且存在整数a使得a^((p-1)/2) ≡±1 (mod p)，则n有一个非平凡的正整数解；当n不是完全平方数时，不存在满足条件的正整数解。
对于本题中的n=1999，它是一个完全平方数，因为1999 = 13 * 153。
小学奥数同余定理单选题100道及答案
小学奥数同余定理单选题100道及答案1. 下列算式中，余数相同的是（）A. 24÷5 35÷6B. 39÷5 27÷4C. 48÷7 45÷6答案：B解析：39÷5 = 7......4，27÷4 = 6......3，余数都是4。
2. 一个数除以8 余5，除以9 余6，这个数最小是（）A. 69B. 72C. 77答案：C解析：这个数加上3 就能被8 和9 整除，8 和9 的最小公倍数是72，所以这个数是72 - 3 = 69。
3. 11÷4 = 2......3，如果被除数和除数都扩大10 倍，那么余数是（）A. 3B. 30C. 0.3答案：B解析：被除数和除数都扩大10 倍，商不变，余数扩大10 倍，3×10 = 30。
4. 有一个数，除以5 余数是2，除以7 余数是3，这个数最小是（）A. 22B. 23C. 27答案：B解析：通过列举，可得23 除以5 余数是2，除以7 余数是3。
5. 47 除以一个数，余数是7，这个数最小是（）A. 8B. 9C. 10答案：B解析：除数要大于余数，所以这个数最小是9。
6. 一个数除以6 余4，除以8 余6，这个数最小是（）A. 22B. 20C. 26答案：A解析：这个数加上2 就能被 6 和8 整除，6 和8 的最小公倍数是24，所以这个数是24 - 2 = 22。
7. 35÷（）= 4......3，括号里应填（）A. 8B. 7C. 9答案：A解析：（35 - 3）÷4 = 8。
8. 下列算式中，余数最大的是（）A. 38÷5B. 47÷8C. 59÷9答案：C解析：38÷5 = 7......3，47÷8 = 5......7，59÷9 = 6......5，5 < 7 < 9。
六年级奥数专题训练-同余问题
同余问题1、求437×309×1993被7除的余数。
2、求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．3、分别求满足下列条件的最小自然数（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。
（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。
（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。
4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几?5、今天是星期四，过14389天后是星期几？7千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？6.试一试：粮库有717、数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.8、用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.9、若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？10、有三个不同的三位数，它们分别除以 a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？11、某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？12、希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？14、试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字，输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数，求五位数X679Y。
20181213小学奥数练习卷(知识点：同余定理)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：同余定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共6小题）1．一个自然数被3、5、7除的余数分别为1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以11的余数是（）A．2B．4C．6D．82．已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（）A．5B．7C．8D．93．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（）A．12B．15C．18D．214．某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是（）A．53B．37C．71D．415．学校买来了200多本《汉语词典》，若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本，这批《汉语词典》共有多少本？（）A．252B．251C．250D．616．有写着5、9、17的卡片各8张，现在从中任意抽出5张，这5张卡片上的数字之和可能是（）A．31B．39C．55D．41第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共37小题）7．被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是．8．若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是．9．S（n）表示自然数n的数码和，比如S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数m、n，满足，那么我们就称m、n构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有对．10．有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里．11．对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为．12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．13．如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12！，读作12的阶乘）被13除所得的余数．14．420×814×1616除以13的余数为．15．86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是．16．一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是．17．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是．18．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有个．19．393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有个，它们是．20．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有个．21．1﹣﹣﹣2009之间同时能被3、5、7除都余2的数有个．22．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩人．23．三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是．24．一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是．25．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是人．26．一个数除以2余1，除以3余1，除以5也余1，这个数最小是．27．三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，．28．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是．29．在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是．30．22002与20022的和除以15的余数是．31．三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是．32．妈妈有些糖，若5块5块的分，最后余1块，若4块4块的分，也余1块，妈妈至少有块糖．33．有一类自然数除112所得的余数都是7，那么，这类自然数共有个．34．71427和19的积被7除，余数是．35．270和213对于除数19同余．（判断对错）36．（1）10106÷7余；（2）1245÷7余．37．111…111（1003个1）÷7余．38．123456789101112…483484÷9余，商的末3位是．39．用一个大于0的自然数，分别去除35、59和123，所得的余数相同．这个数是．40．自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2851被这个自然数除的余数是．41．某校有13个课外兴趣小组，各组人数如下表．一天下午学校同时举办语文、数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座．其中听语文的人数是听数学讲座人数的6倍，还有一个小组在教室里讨论问题，这一组是第组．42．一个数除以3余2，除以5余1，除以7余2，这个数最小是．43．某班同学决定分组去看望动车事故受伤的病人，按7人一组还剩1人，按6人一组也还剩1人，已知这个班人数不超过50人，则这个班级有人．三．解答题（共7小题）44．如果两个自然数的积被9除余1，那么我们称这两个自然数互为“模9的倒数”．比如，2×5=10，被9除余1，则2和5互为“模9的倒数”：1×1=1，则1的“模9的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模9的倒数”，则它的倒数并不是唯一的，比如，10就是1的另一个“模9的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8是否有“模9的倒数”，并将存在“模9的倒数”的数．以及它们相对应的最小的“模9的倒数”分别写出来．45．小林在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来小3，但余数恰好相同．这道题的除数是多少？余数应该是几？46．传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头．就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头．如果把龙的头都砍光了，龙就死了．问：龙会死吗？请说明理由．47．学校买来101个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓网．如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的数量相同．学校应有个班．48．一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是．49．求l﹣2001的所有自然数中，有多少个整数x使2x与x2被7除余数相同？50．有一个整数，除300、262、205得到相同的余数．问这个整数是几？参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．一个自然数被3、5、7除的余数分别为1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以11的余数是（）A．2B．4C．6D．8【分析】先根据除以3、5、7的余数是1，2，4得出最小数，再确定出3，5，7的最小公倍数，即可得出结论．【解答】解：假设这个数为A，根据分别除以3，5，7的余数是1，2，4，所以这个最小的数是67，而三个商的和为257，所以67还不够，而[]+[]+[]=44，3，5，7的最小公倍数为105，所以（257﹣44）÷（[]+[]+[]=3，所以A=67+105×3=383，383÷11余8．故选：D．【点评】此题是同余定理，主要考查了除以3，5，7的余数是1，2，4的特征，最小公倍数的确定，确定出除3，5，7的余数是1，2，4的最小的数是67是解本题的关键．2．已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（）A．5B．7C．8D．9【分析】根据据同余定理，283，352，444这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数进一步解答即可．【解答】解：352﹣283=69=3×23，444﹣352=92=2×2×23，444﹣283=161=7×23；所以这个整数为三个差的公有因数23；283÷23=12 (7)答：相同的余数是7．故选：B．【点评】本题解答的依据是同余定理之一：a、b对于模n同余的充要条件是：a 与b的差能被n整除．3．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（）A．12B．15C．18D．21【分析】由题意，这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除，经试算可知这个整数是37，即可得出结论．【解答】解：由题意，这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除，经试算可知这个整数是37，（151+197+238﹣31）÷37=3×5=15，所以三个商的和是15．故选：B．【点评】本题考查同余定理，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除．4．某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是（）A．53B．37C．71D．41【分析】如果这个自然数减去1就是2、4、5的公倍数，所以先求出2、4、5的最小公倍数，然后试算是否符合除以3余2，再进一步解答即可．【解答】解：2、4、5的最小公倍数是：4×5=2020+1=2121÷3=7不符合，除以3余2，20×2+1=4141÷3=13 (2)符合，除以3余2，所以，这个数最小是41．故选：D．【点评】解答本题关键是结合余数的几种情况，转化为求2、4、5的最小公倍数．5．学校买来了200多本《汉语词典》，若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本，这批《汉语词典》共有多少本？（）A．252B．251C．250D．61【分析】″若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本″可以考虑用同余的概念，也就是这批《汉语词典》的本书除7余5，除9余7，然后再注意书的本书要多于200即可．这种题目的一个技巧是：这个数加2，既是7的倍数，也是9的倍数．【解答】解：法一：先分别算出大于200的除7余5，除9余7的数，并从小到大排列：因为200÷7=28…4，所以最小的大于200的除7余5的数为：7×28+5=201所以除7余5的数有：201，208，215，222，229，236，243，250，257，263，270，277，284，291，298，305同理200÷9=22…2，所以最小的大于200的被9除余7的数为：9×22+7=205所以除9余7的数有：205，214，223，232，241，250，259，268，277，286，295，304很容易观察大于200的满足题意的只有250，法二：这个数加2，既是7的倍数，也是9的倍数，所以这个数+2后是63的倍数，63的倍数有：63、126、189、252、305又因为是200多页，所以是252，减去2为250．答：本题答案选C．【点评】本题考查的是用同余法解题，抓住同余的概念即可．另外，把A、B、C 选项直接代入检验会更简便．6．有写着5、9、17的卡片各8张，现在从中任意抽出5张，这5张卡片上的数字之和可能是（）A．31B．39C．55D．41【分析】5、9、17三个数除以4都是余1的，任取5张，余数的和是5，也是5张卡片上的数字之和除以4余1的数，据此判断即可【解答】解：5÷4=1…1，9÷4=2…1，17÷4=4…1，所以，三个数除以4都是余1的，任取5张，也是5张卡片上的数字的和除以4余1的数，所以只有D符合要求；故选：D．【点评】本题关键是转化思维的角度，结合已知的三的数的特点明确除以4余数是1是解答的关键．二．填空题（共37小题）7．被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是61．【分析】求出3、4、5的最小公倍数加1，即可得出结论．【解答】解：3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，加1，即60+1=61，故答案为61．【点评】本题考查同余定理，考查学生的计算能力，求出3、4、5的最小公倍数是关键．8．若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是35．【分析】根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，不难得出，三个数的最大公因数是76，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）；然后分别用725除以d的可能值，求出d﹣r的值，选取d﹣r的最大值即可．【解答】解：根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，988=2×2×19×131292=2×2×19×17304=2×2×2×2×19所以三个数的最大公因数是：2×2×19=76，d为76的因数，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0），当d=76时，此时：725÷76=9…41，即r=41，即此时d﹣r=76﹣41=35；当d=38时，此时：725÷38=19…3，即r=3，即此时d﹣r=38﹣3=35；当d=19时，此时：725÷19=38…3，即r=3，即此时d﹣r=19﹣3=16；当d=4时，此时：725÷4=182…1，即r=1，即此时d﹣r=4﹣1=3；当d=2时，此时：725÷2=362…1，即r=1，即此时d﹣r=2﹣1=1；当d=1时，此时：725÷1=725，即r=0，即此时d﹣r=1﹣0=1；则，d﹣r的最大值是35．故答案为：35．【点评】本题考查了同余定理的灵活应用，关键是求出除数d的取值范围．9．S（n）表示自然数n的数码和，比如S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数m、n，满足，那么我们就称m、n构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有99对．【分析】先判断出m是9的倍数，进而确定出m的取值情况，再代值逐一计算．【解答】解：∵一个数与其数字之和mod9的余数相同，即：n=S（n）（mod9），则n﹣S（n）=0（mod9），由m+S（n）=n+2S（m），得S（m）=（n﹣S（n）﹣（m﹣S（m））=0（mod9），故m=0（mod9），即m是9的倍数，因为m＜100且m为正整数，所以，m=9，18，27， (99)代入n﹣S（n）=m﹣2S（m）中逐一计算，并设n=10a+b，所以S（n）=a+b，n﹣S（n）=9a，即：9a=m﹣2S（m），当m=9时，S（m）=9，9a=9﹣9×2，a=﹣1舍，当m=18时，S（m）=1+8=9，9a=18﹣9×2，a=0，n=0～9，有9对；当m=27时，S（m）=2+7=9，9a=27﹣9×2，a=1，n=10～19，有10对；当m=36时，S（m）=3+6=9，9a=36﹣9×2，a=2，n=20～29，有10对；当m=45时，S（m）=4+5=9，9a=45﹣9×2，a=3，n=30～39，有10对；当m=54时，S（m）=5+4=9，9a=54﹣9×2，a=4，n=40～49，有10对；当m=63时，S（m）=6+3=9，9a=63﹣9×2，a=5，n=50～59，有10对；当m=72时，S（m）=7+2=9，9a=72﹣9×2，a=6，n=60～69，有10对；当m=81时，S（m）=8+1=9，9a=81﹣9×2，a=7，n=70～79，有10对；当m=90时，S（m）=9+0=9，9a=90﹣9×2，a=9，n=80～89，有10对；当m=99时，S（m）=9+9=18，9a=99﹣18×2，a=7，n=70～79，有10对；综上所述，数对＜m，n＞共有9+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10═99对，故答案为99．【点评】此题是同余定理，主要考查了新定义的理解，整除的判断，确定出9a=m ﹣2S（m）是解本题的关键．10．有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里31，94．【分析】这个自然数用7除余3，用9除余4，考虑用同余的方法分别算出被7除余3的数，被9除余4的数，然后再对比找相同的数．【解答】解：易求得：被7除余3的数有：10，17，24，31，38，45，52，59，66，73，80，87，94被9除余4的数有：13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103答：本题的答案为：31，94．【点评】本题考查的是同余的概念，计算时认真一点就可以了．11．对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为120．【分析】如果m≡1（mod2），那么m除以4，6，8，10的余数不可能为0，此时的余数的和超过4了，所以m≡0（mod2），由于余数的和为4，对于一个偶数来说，它除以8的余数只能是0，2或4（如果是6就超过4了）．分类讨论即可得出结论．【解答】解：如果m≡1（mod2），那么m除以4，6，8，10的余数不可能为0，此时的余数的和超过4了，所以m≡0（mod2），由于余数的和为4，对于一个偶数来说，它除以8的余数只能是0，2或4（如果是6就超过4了）．①如果这个数除以8的余数是4，则它必须为3，5，7，9，10的公倍数，由于[3，5，7，9，10]=630，为了满足除以8的余数是4，这个数至少为630×2=1260；②如果这个数除以8的余数是2，则它除以4的余数也为2，所以它还是3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为630×3=1890；③如果这个数除以8的余数是0，则m≡0（mod2），m≡0（mod4），m≡0（mod8），我们要进一步分析．如果m除以3的余数不是0，那么它除以6，9的余数也不会为0，由于m为偶数，所以m除以6的余数至少为2．为了使得余数的和为4，则只能是m≡1（mod3），m≡2（mod6），m≡1（mod9），但是m≡2（mod6），可得m≡2（mod3），矛盾，所以这个数诱导是3的倍数．由于这是一个偶数，而且它有事3的倍数，所以必定是6的倍数，所以m≡0（mod3），m≡0（mod6），至此，我们得出m≡0（mod1），m≡0（mod2），m≡0（mod3），m≡0（mod4），接下来对m除以9的余数进行讨论：如果m≡3（mod9），只剩下1个余数了，考虑到m≡1（mod5），所以m≡1或6（mod10），m≡1（mod10），所以m≡1（mod5），所以剩下的余数应该给7，也就是说m≡0（mod5），m≡1（mod7），m≡3（mod9），m≡0（mod10），此m最小为120；如果m≡0（mod9），剩下4个余数，考虑到m≡0（mod8），m≡0（mod9），此时m已经是[8，9]=72的倍数了，显然72不满足我们的要求，而72×2已经超过120了，综上所述，m最小为120．故答案为120．【点评】本题考查最大与最小问题，考查同余定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里157．【分析】可以用同余的方法分别求出用″2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4″的数，然后把它们按照从小到大的顺序排列，再进行比较，就可以求得满足条件的最小自然数．【解答】解：先考虑从较大的除数开始：被9除余4的数：4，13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103，112，121，130，139，148，157，166除2余1，排除偶数；除5余2，尾数必须是7，所以先看67，用7除不余3，再看157，用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，满足题意，所以最小的自然数是157．答：满足条件的最小自然数是157．【点评】本题在算同余时，一个技巧就是先从除数最大的开始，这样可以最快找到我们要求的自然数．另一个技巧是，除2余1，排除偶数；除5余2，尾数必须是7．这样可以减少运算，使解答变得简便．13．如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12！，读作12的阶乘）被13除所得的余数12．【分析】判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”只需从定义出发判断即可；计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数需要用同余的性质2来简化运算．【解答】解：观察1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12易发现：2×7=14 14÷13=1 (1)3×9=27 27÷13=2 (1)4×10=40 40÷13=3 (1)5×8=40 40÷13=3 (1)6×11=66 66÷13=5 (1)12×12=144 144÷13=11 (1)所以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12都有“模13的倒数”．由同余的性质2可知：对于同一个除数，两个数的乘积与他们的余数的乘积同余，则：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12=1×2×7×3×9×4×10×5×8×6×11×12=14×27×40×40×66×1214×27×40×40×66×12≡12（mod13）所以，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．答：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12有“模13的倒数”；1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．【点评】本题主要考察同余的性质2，但在运用同余性质2时，需要观察并找到2×7，3×9，…，6×11，刚好都是1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12的因式这一规律，方可解题．14．420×814×1616除以13的余数为11．【分析】根据同余定理“积除以模的余数，等于各个因数除以模的余数的积”据此解答即可．【解答】解：420×814×1616≡4×8×4≡128≡11（mod13）故答案为：11．【点评】解答本题关键是明确同余定理，利用定理解决问题．15．86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是0．【分析】若算86×87×88×89×90×91×92的值然后再除7这样很麻烦，可以考虑同余的性质2：对于同一个除数两个数的乘积与他们余数的乘积同余．这样可以大大简化运算．【解答】解：法一：先算86，87，88，89，90，91，92除7的余数：86÷7=12...2 87÷7=12...3 88÷7=12 (4)89÷7=12...5 90÷7=12...6 91÷7=13 092÷7=13 (1)则由同余性质2可得：86×87×88×89×90×91×92≡2×3×4×5×6×0×1（mod7）又因为：2×3×4×5×6×0×1÷7=0÷7=0所以，86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是0．法二：容易观察91÷7=13，则86×87×88×89×90×91×92÷7=86×87×88×89×90×13×92，显然可以除尽，所以余数为0．故答案为：0．【点评】本题主要考察同余的性质二，但考虑本题的特殊性，法二更为简便．16．一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是4．【分析】先找出2013至2156之间同时是5、11、13倍数的数，5×11×13=715，715×3=2145，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4，此时这个数是2145+4=2149．【解答】解：因为5×11×13=715，715×3=2145，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4．答：这个余数最大是4．故答案为：4．【点评】此题也可根据它除以5有余数，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4．17．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是78．【分析】由除以7余1、除以11也余1，可知：这个大于1的最小自然数是7和11的最小公倍数加1，因为7和11是互质数，所以它们的最小公倍数是77，然后加上1即可．【解答】解：7×11+1=78；答：这个数最小是78；故答案为：78．【点评】明确求这个数即7和11的最小公倍数加1，是解答此题的关键．18．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有142个．【分析】可以看做4个4个地数，少2个；6个6个地数，少2个；8个8个地数，也是少2个．也就是4、6、8的公倍数减2．[4、6、8]=24．可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，x=6．这筐桃子共有24×6﹣2，计算即可．【解答】解：[4、6、8]=24．这筐桃子的数量可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，所以x=6，这筐桃子共有：24×6﹣2=142（个）．答：这筐桃子共有142个．故答案为：142．【点评】关键是通过把原题转化，运用了求最小公倍数以及解不等式的方法解决问题．19．393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有4个，它们是1135 5577．【分析】首先把393﹣8=385，分解质因数，再进一步分析质因数以及他们的乘积解决问题．【解答】解：393减8，那么差一定能被两位数整除．因为393﹣8=385，385=5×7×11=（5×7）×11=（5×11）×7=（7×11）×5．所以385能被两位数11，35，55，77整除．故答案为：4，11，35，55，77．【点评】此题属于同余问题，考察了学生分解质因数的有关知识．20．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有11个．【分析】这些自然数一定整除1998（2008﹣10），其中1998=2×3×3×3×37，又因为余数大于10 所以该数必须大于10，求出1998所有的因数，去掉小于10的因数解决问题．【解答】解：2008﹣10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因素有16﹣5=11个．即这些自然数共有11个．故答案为：11．【点评】此题考查了整除以及分解质因数的相关知识．21．1﹣﹣﹣2009之间同时能被3、5、7除都余2的数有20个．【分析】一个数能同时被3、5、7除都余2，则只需求出3、5、7的倍数，然后再加2在1﹣﹣﹣2009之间的个数即可．【解答】解：先看3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105，再看1﹣﹣﹣2009之间有多少个105的倍数：2009÷105=19…4，观察105×19=1995，1995+2=1997比2009小，又因为2同时能被3、5、7除都余2，所以共有：19+1=20．故答案为：20．【点评】本题把求能被3、5、7除都余2的数转化为求3、5、7的公倍数然后再加2即可；另外，本题容易忽略2这个数，2不是105的倍数，但它同样能被3、5、7除都余2．22．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．【分析】如果几个数关于某一数同余，那么这个数就是原来几个数对应差的公约数，由此求得即可．【解答】解：因为85﹣69=16，93﹣85=8，93﹣69=24，16、8、24的公约数有8、4、2、1，所以A=8或4或2，若A=2，99÷2=48…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩1人；若A=4，99÷4=24…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人；若A=8，99÷8=12…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人；综上所述丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．答：丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．故答案为：3．【点评】此题考查同余定理，利用同余定理解决问题．23．三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是7．【分析】因为72﹣51=21，51﹣23=28，又23，51，72同余，所以除数必是两两之差的最大公因数，两两的差有21，28，它们的最大公因数是7，所以这个除数是7．【解答】解：72﹣51=21，51﹣23=28；又（28，21）=7．所以这个除数是7．故答案为：7．【点评】本题考查了学生根据同余定律解决问题的能力．24．一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是7563．【分析】一个四位数被7，8，9，10除都余3，即这个四位数减3能被7，8，9，10整除，求出7，8，9，10的最小公倍数，再求出符合要求的四位数即可．【解答】解：这个四位数减3能被7，8，9，10整除，8=2×2×2，9=3×3，10=2×57，8，9，10的最小公倍数为：2×2×2×3×3×5×7=2520，因为是4位数，所以，2520+3=2523，2520×2+3=5043，2520×3+3=7563，2520×4+3=10083（不符合要求），即2523，5043，7563，其中最大的是7563．故答案为：7563．【点评】解答本题关键是理解这个数减去3就是7，8，9，10的公倍数，要求这个数最小就是求7，8，9，10的公倍数的最小公倍数加上3．25．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是127人．【分析】此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7最终符合题意的是127．答：该年级的人数是127．故答案为：127．【点评】此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键．26．一个数除以2余1，除以3余1，除以5也余1，这个数最小是31．【分析】这个数除以2、3、5都余1，这个数最小是2、3和5的最小公倍数加上1，即可得解．【解答】解：2、3、5互质，所以2、3、5的最小公倍数是2×3×5=30，30+1=31；故答案为：31．【点评】此题考查了同余问题，根据题目特点，先求3个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．27．三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是523，631，847．【分析】本题考察同余定理．把除数和商用字母表示出来后列式化简，根据倍数特征可以确定出除数和商的数值，进而求解．【解答】解：设所得的商为a，除数为b．19a+b+23a+b+31a+b=2001，化简可得73a+3b=2001，由b＜19，可求得a=27，b=10．所以，这三个数分别是19a+b=523，23a+b=631，31a+b=847．故填：523、631、847．【点评】本题题型常规，难度较低，细心解答即可．28．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是2，7，14．【分析】根据同余定理知：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．据此进行解答．【解答】解：101﹣45=56101﹣59=4259﹣45=1456、42和14的最大公约数是14，14的约数有1，2，7，14，所以这个数可能为2，7，14．答：这个数可能是2，7，14．故答案为：2，7，14．【点评】本题主要考查了学生对同余定理的掌握情况．29．在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是98．【分析】要求在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是多少，用13903减去13511，14589减去13903得到的两个数，求这两个数的最大公约数，即可得解．【解答】解：13903﹣13511=392，14589﹣13903=686，392=2×2×2×7×7，686=2×7×7×7，392、686的最大公约数为：2×7×7=98，因此最大为98时，该数除13511.13903.14589时能剩下相同的余数；13511÷98=137…85，13903÷98=141…85，14589÷98=148…85．答：在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是98．故答案为：98．【点评】此题考查了同余除法，已知余数相同，求除数，先求出三者间的对应差值，再求两个差值的最大公约数即可．30．22002与20022的和除以15的余数是8．【分析】除以15的余数，对于2的2002次方来说，可以通过指数的性质，化为16为底（也就是15+1）的指数形式的关系式．【解答】解：22002=22000×22=（24）500×4=16500×4．因为16除以15余1，所以16500除以15也余1，推知22002除以15余4．2002除以15余7，所以20022与72除以15的余数相同，都是4．（22002+20022）除以15的余数是4+4=8．故答案为：8【点评】熟练运用指数形式和平方和形式的同余定理的运用，对于求解复杂算式除以某数的余数很重要．31．三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是11．【分析】可设57=x+a，a是余数，96=y+a，148=z+a，x，y，z能被这个自然数整除，两两相减之后，比如96﹣57=y﹣x能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时整除它们的差，然后求出公约数即可解答．【解答】解：96﹣57=39=3×13148﹣96=52=2×2×13148﹣57=91=7×1339，52，91能同时被这个数整除，它们的公约数为13，284÷13=21 (11)。
小学奥数 数论 余数问题 同余问题.题库版
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数训练题余数与同余_通用版(无答案)
余数与同余1、两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？2、两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被 13除余几？3、用108除一个数余100，假设改用36除这个数，那么余数是几？4、 1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。
5、用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数这个100位数除以9余几？6、把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。
问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？7、求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。
8、求以下各数除以11的余数：9、将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。
10、大小两数之和是789，大数去掉个位数字后等于小数。
求大数。
11、分别求满足以下条件的最小自然数：(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。
12、一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。
求这个自然数。
13、 A，B，C三人绕校园一周的时间分别为6分、7分、11分。
由开始点A出发后，B 比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C初次同时通过开始出发的地点是在A出发后多少分钟？14、有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。
问：这类自然数中最小的是几？15、有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。
请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。
16、在一个四位数除以19的竖式中，每商一次后的余数都是8。
满足条件的四位数有哪些？17、一个自然数，减去它除以7所得余数的5倍，结果是100，求原来的自然数。
18、两数相除商9余4。
假设被除数、除数都扩大到原来的3倍，那么被除数、除数、商、余数之和等于2583。
求原来的被除数和除数。
19、甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
六年级奥数同余问题附答案.docx
六年级奥数同余问题附答案1、求 437×309×1993 被 7 除的余数。
思路分析：如果将 437×309×1993 算出以后，再除以 7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7 除的余数1。
但是能否找更的法呢 ?437≡3(mod7)309≡1(mod7)由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)又因 1993≡5(mod7)所以： 437×309×1993≡3×5(mod7)≡15(mod7)≡1(mod7)即： 437×309×1993 被 7 除余 1。
2、70 个数排成一行，除了两的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两两个数的和，个行最左的几个数是的：0，1，3，8，21，⋯⋯，个行数最右的一个数被 6 除的余数是几 ?思路分析：如果将 70 个数一一列出，得到第 70 个数后，再用它去除以 6 得余数，是能的，但算量太大。
即然 70 个数中：中的一个数的 3 倍是它两的数的和，那么它被 6除以后的余数是否有似的律呢 ?0，1，3，8，21，55，144，⋯⋯被 6 除的余数依次是0，1，3，2，3，1，0，⋯⋯果余数有似的律，察，能得到：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，⋯⋯能看出余数前12 个数一段，将重复出。
70÷2=5⋯⋯ 10，第六段的第十个数 4，便是原来数中第 70 个数被 6 除的余数。
思路分析：我被直接用除法算式，果如何。
六年级奥数习题精选——同余
六年级奥数习题精选——同余[学法点拨]同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.（你们知道2008年是什么日子吗？）解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上"相同"，你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后面的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成：2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6.答：2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除.1.试一试：求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即2001-1000=1001=7×11×131000-967=33=3×112001-967=1034=2×11×47这个整数是这三个差的公约数11.答：这个整数是11.你们想一想，只求出两个差行不行呢？2.试一试：有一个整数，用它去除300、262、205，得到的余数相同.这个数是多少？3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即2232-2001=231=3×7×11由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.答：n是7或11或21或33或77.3.试一试：有141、206、271分别除以m，余数相同并且都是奇数.m最大是几？4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.答：这个数是47.此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.4.试一试：某个大于1的整数，除1975，2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？解：根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得：4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为（1746，582，1358）=194，所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194，5164÷194=26……120（此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？）余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97，经检验，余数都是23，除数+余数=97+23=120.答：除数与余数的和是120.5.试一试：有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最大的两位偶数，我们马上意识到余数是98，既然余数为98，a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是1×99+98=197，另外的两个三位数分别为296和395.（仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99）于是得到此题结果为197+396+395=1188.答：三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.6.试一试：已知四个四位数分别去除以y，所得的余数相同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？解：此题我们不可能将求出来，然后去除以10，求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：3 除以10的余数是3；32除以10的余数是9；33除以10的余数是7；34除以10的余数是1；35除以10的余数是3；36除以10的余数是9；37除以10的余数是7；38除以10的余数是1；……这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18……3即375除以10的余数与33除以10所得余数相同，得7.答：每箱装10千克最后余下7千克.7.试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？解：因为16与40的最小公倍数是80，1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有：1，2，3，4……15，共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件，500个自然中有的个数为：500÷80=6……20，在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15，所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.列式：[16，40]=80500÷80=6 (20)（6+1）×15=105答：在1~500的自然数中，除以16，40余数相同的数共有105个.8.试一试：在小于1000的自然数中，除以15及33而余数（0除外）相同的数有多少个？9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？解：解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20（36-16=20）人去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320（根据乘法原理16×20=320）张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.列式：36-16=20（人）16×20=320（张）320÷36=8 (32)36 - 32 = 4（张）答：最后一个胶卷还剩4张.9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？分析：从表面上看，这道题目问的是"剩余"人数，但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关键是求"每组有几人"（即求除数）这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互"抵消"了）.懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是：93-69=2485-69=1693-85=8不难看出，它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".验证如下：69÷8=8……5（分成8组，剩下5人）85÷8=10……5（分成10组，剩下5人）93÷8=11……5（分成11组，乘下5人）最后来推算丁校分组情况：97÷8=12 (1)答：丁校分组后剩下1人.10.试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1. 6.2. 1或19.3. 65.4. 3.仿例4.5. 60.提示：这个整数为38，余数为22.6. 39368.提示：y为102，余数为101.这四个数分别是9995，9893，9791，9689.7. 43千克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7，49，43，1，7，49，43，……8. 93.仿例89. 15张.仿例910. 19个。
小学奥数 小学二年级奥数竞赛班 同余(一)
十、一、届、华、杯、赛”所代表的 7 个数字的和等于
。
将从 1 开始的到 103 的连续奇数依次写成一个多位数：a＝13579111315171921……9799101103。则数 a 共 有_____位，数 a 除以 9 的余数是___。
1
算式12007 + 22007 + 32007 + + 20062007 结果的个位数字是多少？
14389 除以 7 的余数是多少？
(2006 年第十一届“华罗庚金杯赛”初赛)在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表
1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则“第、
同余（一）
鱼”除法（凑整除） 3．“三文鱼”性质
和的余数等于余数和 差的余数等于余数差 积的余数等于余数积 同余式： 若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模 m 同余，用“同余式”表示为 a≡b(mod m) 意味着(我们假设 a≧b)a－b 是 m 的倍数，即 m︱(a－b) 。
小学五年级奥数余数同余练习题
小学五年级奥数余数同余练习题1、一个两位数去除251，得到的余数是41、求这个两位数2、用一个自然数去除另一个整数，商是40，余数是16。
被除数,除数，商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？3、某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？4、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），得1993天是星期几5、一个数除以三余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数6、一个数除以5余三，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数7、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合此条件的最小自然数8、一个布袋中装有小球若干个，如果每次取出3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。
布袋中至少有小球多少个？9、69、90和125倍某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
10、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是11被除数、除数、余数这四个数的和是463，求除数12、某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，求这个数最小是多少？13、某数除以除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？14、用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋。
这批贷至少有多少袋15、57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零。
求284被这个自然数除的余数16、判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？17、求乘积418×814×1616除以13所的得余数。
18、求14389除以7的余数19、四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且没0秒钟的定的颜色改变一次，每一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，，每三次又上下两灯互换颜色…、,这样一直进行下去。
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？ 20、用弃九法检验下边的计算是否正确：23372458÷7312=354421、求自然数2100+3101+4102的个位数字22、1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？23、求33335555+55553333被7除的余数。
小学奥数五年级同余问题
同余问题【模块一：带余除法的定义和性质】1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【模块二：三大余数定理的应用】5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与22003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组．7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．9、(2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多少？【模块三：余数综合应用】10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？答案1、本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
六年级奥数习题：同余问题
六年级奥数习题：同余问题同余问题是六年级奥数的常见题型，大家知道这类题目的解题思路么?下面就是小编为大家整理的同余问题的奥数习题，希望对大家有所帮助!一求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。
但是能否寻找更为简变的办法呢?437≡3(mod7)309≡1(mod7)由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)又因为1993≡5(mod7)所以：437×309×1993≡3×5(mod7)≡15(mod7)≡1(mod7)即：437×309×1993被7除余1。
二70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是0，1，3，2，3，1，0，……结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。
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1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数
同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除
例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）
能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．
⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
模块一、两个数的同余问题
【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-5-3.同余问题
【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.
【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
【例 4】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？
【例 5】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b
⨯．
>，求ab ba
【例 6】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
余下的糖果、饼干和桔子的
数量的比是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼
干_____块，桔子_____个。
模块二、三个数的同余问题
【例 7】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【巩固】有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。
问这个整数是几?
【巩固】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
【巩固】140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .
【巩固】三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。
【例 8】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【例 9】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．
【例 10】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2
a+，则这
a+，5
个自然数是多少？
【巩固】有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
【例 11】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5
a+、2a、a，求这个自然数和a的值.
【例 12】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【例 13】已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是1
a-，求该自
a-，2a，31然数的值．
【例 14】有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商(＞1)与余数(＞0)之和都相等，
【例 15】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
模块三、运用同余进行论证
【例 16】在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。
将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。
问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变
为相同的数吗？为什么？
【例 17】一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数
是多少？
【例 18】从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
【例 19】设21
n+除所得的余数各不相同．n+是质数，证明：21，22，…，2n被21。