专题2.2 函数的基本性质-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(解析版)

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§2.2 函数的基本性质(1)

C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
答案 A 本题考查指数函数的奇偶性和单调性.
易知函数f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=3-x-
1 3
x
=
1 3
x
-3x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
又∵y=3x在R上是增函数,y=-
1 3
x
在R上是增函数,
∴f(x)=3x-
∴f(x)的最小正周期为4. 由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2, 故令x=1,得f(0)=f(2)=0, 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, 令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.
+
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。11:25:0711:25:0711:259/13/2021 11:25:07 AM
+
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1311:25:0711:25Sep-2113-Sep-21
方法总结若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有 (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期. (2)f(x+a)= 1 (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.

2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-6函数的性质及图像精品

[函数的周期性、对称性] (1)(2016·马鞍山质检)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝1，其对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则 f(2 015)＋f(2 016) ＝________．
【解析】令 x＝－3，故 f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又 f(－ 3)＝－f(3)，故 f(3)＝0，故 f(x＋6)＝f(x)，故 f(2 015)＝f(5)＝f(－ 1)＝－f(1)＝－1，f(2 016)＝f(0)＝0，故 f(2 015)＋f(2 016)＝－1.
【答案】 C
(5)(2016·郑州质检)已知函数 f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1
∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围
为( )
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【审题】对∀x1，∃x2 使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
【解析】由题意知，mx2－6mx＋m＋8≠0 对一切实数 x 都成立，即 mx2－6mx＋m＋8＝0 在实数集上无解．当 m＝0 时，定义域为 R，满足题意；当 m≠0 时，由 Δ＝(－6m)2－4m(m＋8)<0，解得 0<m<1.综上，实数 m 的取值范围是[0，1)．
【答案】 [0，1)
【答案】 A
【回顾】 (1)①若 f(x＋T)＝f(x)，则 T 为周期；②若 f(x＋ a)＝－f(x)，则 T＝2a；③若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a；④若 f(x ＋a)＝－f（1x），则 T＝2a.
(2)①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，即 f(x)＋f(2a －x)＝2b，则 y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称；②若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)成轴对称；③若 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称，若 y＝f(x＋a)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．

专题04 函数的性质、函数的图象基础篇-2018年高考数学

专题四函数的性质、函数的图象函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示. 求定义域的基本原则有以下几条： 1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：0x 及()n x n N -*∈中底数0x ≠；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于1；5.三角函数：正弦函数sin y x =的定义域为R ，余弦函数cos y x =的定义域为R ，正切函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．典型例题例1【2018届全国名校大联考高三第四次联考】函数()f x = ）A. (]0,1000B. []3,1000C. 10,1000⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,31000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【练一练趁热打铁】1. 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（）A. )21,0( B. ),2(+∞ C. ),2()21,0(+∞ D. ),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C .2. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)【答案】B【解析】因为()f x 的定义域为[0，2]，所以对()g x ，022x ≤≤但1x ≠，故[0,1)x ∈.故选B ．分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如(){}{}f f f f a ⎡⎤⎣⎦的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．（5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．典型例题例1【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】已知函数()1212,0{ ,0x x f x x x -≤=>，则()()1f f -=__________．【解析】由题()()()111122ff f f -⎛⎫-=-==⎪⎝⎭. 例2【2018届河南省南阳市第一中学高三第七次考】已知函数()()2142,1{1log ,1a x a x f x x x -+-<=+≥，若()fx 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. (]1,2B. (],2-∞C. (]0,2D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】因为当1x ≥时2101log 1{121421a x a a a ->+≥∴⇒<≤-+-≥ ，选A.【练一练趁热打铁】1.已知函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，且()3-=a f ，则()6f a -= .【答案】32-2.【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断】函数()()()()132{log 12x e x f x x x -<=--≥，则不等式()1f x >的解集为( ) A. ()1,2 B. 4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】分类讨论：当2x <时，不等式为： 11,10,1x ex x ->∴->>，此时12x <<；当2x ≥时，不等式为： ()314log 11,01,133x x x -->∴<-<<<，此时不等式无解；综上可得，不等式的解集为： 12x <<，表示为区间形式即： ()1,2. 本题选择A 选项.函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数.3.基本初等函数的单调性：【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．例2【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【练一练趁热打铁】1.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B 【解析】2.32-，123，2log 5三个数中最大数的是．【答案】2log 5【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>2log 5最大.函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -=()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）；2.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论；3.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数.【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．4．函数的奇偶性和周期性是函数在其定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.5.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f (0)=0”“偶函数一定有f (|x|)=f (x )”在解题中的应用. 典型例题例1【2018届北京市东城区高三上学期期末】下列函数中为偶函数的是 A. ()22y x =- B. ln y x = C. cos y x x =⋅ D. xy e -=【答案】D例2【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月】奇函数()f x 在()-∞+∞，单调递增，若()11f =，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是A. []2,2-B. []1,1-C. []0,4D. []1,3 【答案】D【解析】根据奇函数的性质有()()111f f -=-=-，故原不等式等价与121x -≤-≤，解得13x ≤≤.【练一练趁热打铁】1.下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y = 【答案】C【解析】对于A 选项，结合二次函数2y x =的图象可知，函数2y x =为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增；对于B 选项，函数3y x =-为奇函数，230y x '=-<在()0,+∞上恒成立，则函数3y x =-在区间()0,+∞上单调递减；对于C 选项，函数lg y x =-的定义域为()(),00,-∞+∞，且lg lg xx --=-，故函数lg y x =-为偶函数；对于D 选项，结合对数函数2xy =的图象可知，函数2xy =为非奇非偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增.故选C.2.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B.()()13f f f ππ⎛⎫>->-⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由于函数()y f x =为偶函数，故()()f x f x -=，因此()()11f f -=，()()f f ππ-=，由于函数()f x 在区间[]0,4上单调递减，且0143ππ<<<<，所以()()143f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即()1f ->()3f f ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故选C.函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．关于函数周期性常用的结论（1）若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；（2）若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；（3）若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．（5）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（7）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． 2.典型例题例1【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= . 【答案】6 【解析】例2. 【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+错误！未找到引用源。

高考数学一轮复习：第二章函数 2.2 函数的基本性质

换元法:若f(x+2)=f(x-2),令x+2=t,则x=t-2,
∴f(t)=f(t-4),∴周期T=4.
例4 (1)(2016江苏泰州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3
≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)等
在(0,1)上递减;∵2>1,∴y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
答案 ②③
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
10
方法 2 函数单调性的应用
函数的单调性有如下几个方面的基本应用:
(1)利用函数的单调性解不等式;
(2)在已知函数单调性的条件下,求参数的取值范围.
例2
已知函数f(x)=
ax (a
(x 0), 3)x
4a(
x

0)
满足对任意x1≠x2,都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,则a的取值范围是
.
x1 x2
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
11
解析
由对任意x1≠x2都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,知f(x)是减函数,于是
(5)利用导数判断单调性.
1
例1 给定函数①y= x 2 ,②y=lo g1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,
2
1)上单调递减的函数序号是
.
2019年5月18日

高常考题—函数的性质(含解析)

函数的性质一、题型选讲题型一、函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

高考数学专题二函数 2 函数的基本性质课件文

答案 D
方法总结复合函数的单调性符合同增异减的原则.
12/10/2021
考向二单调性的应用
例2 (1)(2019河南郑州第一次质量预测,8)设函数f(x)=2ln(x+ x)+2 3x13
(-2<x<2),则使得f(2x)+f(4x-3)>0成立的x的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.
1 2
x
(-∞,0)和(0,+∞),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞).
12/10/2021
的单调减区间为
2.函数的最值
前提条件
结论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; 存在x0∈I,使得f(x0)=M
对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; 存在x0∈I,使得f(x0)=M
对于B, f(x)=ln e - x的定义域为(-e,e),关于原点对称,且f(-x)=ln e=-lxn e - x
e x
e -x
e x
=-f(x),故为奇函数,
设t= e - x=-1+ ,2xe∈(-e,e),在(-e,e)上为减函数,而y=ln t为增函数,则f(x)=
e x
xe
ln e - x在(-e,e)上为减函数,不符合题意;
12/10/2021
考向基础 1.函数的奇偶性
奇偶性偶函数
考点二函数的奇偶性
定义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f (x),那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特点关于y轴对称
奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f (x),那么函数f(x)就叫做奇函数

函数的概念和性质高考真题

函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。

1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。

2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。

4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。

2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。

函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。

若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。

2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。

2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。

2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。

2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。

2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。

2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。

2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。

高中数学专题：函数的基本性质

1 / 11高中数学专题：函数的基本性质探考情悟真题【考情探究】分析解读 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的常考内容,例如判断或证明函数的单调性,求单调区间,利用单调性求参数的取值范围,利用单调性解不等式.考题既有选择题与填空题,又有解答题,既有容易题和中等难度题,也有难题.2.函数的奇偶性在高考中也时有出现,主要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目,这类题目常常结合函数的图象进行考查.3.函数的周期性,单独考查较少,一般与奇偶性综合在一起考查,主要考查函数的求值问题,以及三角函数的最小正周期等.4.预计高考试题中,仍会对函数的性质进行重点考查,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一函数的单调性与最值1.下列函数中,在(0,+∞)上是增函数的是( )A.y=(12)|x|B.y=|ln x|C.y=x 2+2|x|D.y=|x -1x |答案 C2 / 112.若函数f(x)=lo g 12(x 2+ax+6)在[-2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( ) A.[4,+∞) B.[4,5) C.[4,8) D.[8,+∞)答案 B3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x答案 A考点二函数的奇偶性与周期性1.已知函数y=f(x)+cos x 是奇函数,且f (π3)=1,则f (-π3)=( )A.-2B.-1C.1D.2答案 A2.已知a,b ∈R,则“a>|b|”是“a ·2a -12a +1>b ·2b -12b +1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A炼技法提能力【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2-x 1)·[f(x 2)-f(x 1)]>0.则当n ∈N *时,有()A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)答案C2.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数,若f(x)=ln x+x 是k倍值函数,则实数k的取值范围是.答案(1,1+1)e方法2判断函数奇偶性的方法1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=√1+x2B.y=x+1xD.y=x+e xC.y=2x+12x答案D2.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中,错误的是()A.y=g(f(x)+1)为偶函数B.y=g(f(x))为奇函数C.函数y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D.y=f(g(x+1))为偶函数答案B3 / 113.设函数f(x)=2+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性()a-1A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关C.与a有关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案D方法3函数周期性的解题方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)且f(1)=2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=()A.-2B.0C.2D.2018答案C2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-x),当x∈(-1,1)时,f(x)=x2+1,则f(2020)=()A.-1B.0C.1D.2答案A【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组已知a∈R,函数f(x)=|x+4-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.x答案(-∞,9]2B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性与最值4 / 111.下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案A2.设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.f(log314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(log314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f(log314)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log314)答案C3.设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.答案-1;(-∞,0]4.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.5 / 11答案(12,3 2 )考点二函数的奇偶性与周期性1.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案D2.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C3.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12),则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D4.下列函数为奇函数的是()A.y=√xB.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x-e-x答案D5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.6 / 116.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x+a,-1≤x<0,|25-x|,0≤x<1,其中a∈R.若f(-52)=f(92),则f(5a)的值是.答案-25C组教师专用题组1.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C3.已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-24.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案125.若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=.7 / 116.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共32分)1.设不为1的实数a,b,c满足a>b>c>0,则()A.log c b>log a bB.log a b>log a cC.b a>b cD.a b>c b答案D2.下列函数中,既是奇函数又在R上具有单调性的是()A.y=x3B.y=cos xC.y=2|x|D.y=1x答案A3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则有()A.f(x)是偶函数,递增区间为(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间为(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间为(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间为(-∞,0)8 / 119 / 114.若∀m,n ∈N,有g(m+n)=g(m)+g(n)-3,则f(x)=x √1−x 2x 2+1+g(x)的最大值与最小值之和是( )A.4B.6C.8D.10答案 B5.函数f(x)=3x-x 3在区间(a 2-12,a)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,√11)B.(-1,2]C.(-1,4)D.(-1,4]答案 B6.设f(x)=2x 2x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0),若对任意x 1∈[0,1],总存在x 0∈[0,1],使得g(x 0)=f(x 1)成立,则a 的取值范围是( )A.[52,4]B.[4,+∞)C.(0,52]D.[52,+∞)答案 A7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足如下条件:(1)对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0;(2)对一切x>0,有f(x)+1x >0;(3)对任意的x ∈(0,+∞),有f(x)·f (f(x)+1x )=1.则f(1)的值是( )10 / 11A.1+√52B.1−√52C.1±√52D.-1+√52答案 B8.函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,且对任意x,y ∈(-1,1)均有f(x)-f(y)=f (x -y 1−xy ),f (12)=-1,且对任意x>0均有f(x)<0,则下列选项正确的是( )A.存在x 1x 2<0,使得f(x 1)f(x 2)>0B.f(x)为偶函数C.f (-18)>14D.对任意的ε>0,总存在x ∈(-1,1)使得|f(x)|>ε答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)9.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x 2+x 为奇函数,则a= .答案 210.若函数f(x)=x (x+2)(x -a)为奇函数,则实数a 的值为 ;且当x ≥4时, f(x)的最大值为 .答案 2;1311.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f (0)= ; 若当x>0时,f(x)=x 3+5,则f(-2)= . 答案 0;-1312.已知f(x)=ax x -x+1,若对任意的x ∈R,都有f(x)≤1恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案[-3,1]13.已知函数f(x)=|√1−x2-ax-b|(a,b∈R),当x∈[0,1]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为.答案√2-1211 / 11。

2018年高考数学总动员：2-2函数的基本性质精品

f(x)在区间D上是增函数
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
求函数值把待求值或自变量x利用奇偶性转化为已知区间
或解析式的函数值或解析式求解.
利用待定系数法求解.根据f(－x)＝±f(x)得到关于
求参数值待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的
值.
解决有关函数图象的问题
利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出另一半对称区间上的图象.
【例 1】函数 f(x)＝log12(x2－x－2)的单调递增区间为(
)
A.－∞，12 C.(－∞，－1)
B.12，＋∞ D.(2，＋∞)
解析由 x2－x－2＞0 得 x＜－1 或 x＞2，又 u＝x2－x－2 在
(－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log1u 为
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 1
函数的单调性解题方法
求函数的单调性或单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义. (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. (5)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在

2018高考数学复习：第2章函数第3节二次函数与幂函数

第二章函数第2节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性1. （2013山东文3）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（）.A. 2B. 1C. 0D. 2-1.分析利用奇函数的性质()()f x f x -=-求解.解析当0x 时，()21f x x x=+，所以()211121f =+=.因为()f x 为奇函数，所以()()112f f -=-=-.故选A.2. (2013浙江文11）已知函数()f x =，若()3f a =，则实数a =____________.2.分析直接代入求解.解析因为()3f a ==，所以19a -=，即10a =. 3. （2014广东文5）下列函数为奇函数的是（）. A.122x x y =-B.3sin y x x =C.2cos 1y x =+D.22x y x =+ 4.（2014重庆文4）下列函数为偶函数的是（）.A.()1f x x =- 2B.()f x x x =+C.()22x x f x -=-D.()22x x f x -=+5.（2014新课标Ⅰ文5）设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A.()()f x g x 是偶函数 B. ()()f x g x 是奇函数C.()()f x g x 是奇函数 D. ()()f xg x 是奇函数6.（2014湖南文15）若()()3ln e1xf x ax =++是偶函数，则=a.7.（2015安徽文4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）. A ． ln y x = B ．21yx =+ C ．sin y x = D ．cos y x =7. 解析选项A ：ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性.故A 错误；选项B ：21yx =+是偶函数，但210x +=无解，即不存在零点.故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数.故C 错误；选项D ：cos y x =是偶函数，且由cos 0y x ==，可得()ππ2x k k =+∈Z .故D 正确. 故选D.评注 1. 考查函数的奇偶性；2. 考查零点.8.（2015北京文3）下列函数中为偶函数的是（）. A.2sin y xx = B. 2cos y x x = C. ln y x = D. 2x y -=8. 解析函数2sin y x x =为奇函数，2cos y x x =为偶函数，ln y x =与2x y -=为非奇非偶函数.故选B.9.（2015福建文3）下列函数为奇函数的是（）.A ．y =B ．e x y =C ．cos y x =D ．e e x x y -=-9.解析函数y =e x y =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；e e x xy -=-是奇函数.故选D.评注考查函数的奇偶性．10.（2015广东文3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）. A ．sin 2y x x =+ B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．2sin y x x =+ 10. 解析函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称.因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.故选D.评注 1.考查函数的奇偶性；2. 特殊值法的应用． 11.（2015湖南文8）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数B. 奇函数，且在()0,1上是减函数C.偶函数，且在()0,1上是增函数 D. 偶函数，且在()0,1上是减函数11. 解析由已知()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称.又因为()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，所以()f x 为奇函数.()2112'111f x x x x =+=+--，当()0,1x ∈时，()'0f x >，即()f x 在()0,1上为增函数. 故选A.12.（2015陕西文9）设()sin f x x x =-，则()f x （）.A. 既是奇函数又是减函数B. 既是奇函数又是增函数C. 是有零点的减函数D. 是没有零点的奇函数 12. 解析因为()sin f x x x =-，()sin f x x x -=-+，所以()()f x f x =--，又()f x 的定义域为R ，关于原点对称，所以()f x 是奇函数；因为()()1cos 0f x x f x '=-⇒是增函数.因为()00f =，所以()f x 有零点.故选B.13.（2015湖北文21）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.(1)求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；(2)设0a，1b ，证明：当0x >时，()()()()()11f x ag x a bg x b x+-<<+-. 13. 解析 (1)由()f x ，()g x 的奇偶性及条件()()e x f x g x += ① 得()()e x f x g x --+= ②联立式①式②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0f x >. ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即()1g x >. ④(2)由(1)得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由式⑤式⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ，由式③式④，得()0h x '>，故()h x 在[0)+∞，上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故式⑦成立. （2）若1c ，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0)+∞，上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故式⑧成立. 综合式⑦式⑧，得()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 14.（2016山东文9）已知函数()f x 的定义域为R . 当0x <时，()31f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-； 12x >时， 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（）.A.2-B.1-C.0D.214. D 解析由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，当12x >时， )(x f 的周期为1，所以(6)(1)f f =.又当11x -时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =--.于是3(6)(1)(1)[(1)1]2f f f ==--=---=.故选D.15.（2016全国丙文16）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是____________.15. 2y x = 解析当0x ≥时，0x -≤，又因为()f x 为偶函数，所以()1()e x f x f x x -=-=+，()1'e 1x f x -=+，()'12f =，所以曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程2y x =.16.（2017全国2文14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0x ∈-∞，时，()322f x x x =+,则()2f = .16.解析因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.题型16 函数的单调性1.（2014北京文2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）.A.e xy -= B.3y x = C.ln y x = D.y x=1. 解析e x y -=在R 上为减函数；3y x =是定义域为R 的增函数；ln y x =的定义域为()0,+∞；y x=在R 上不单调，故选B.2.（2014陕西文7）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（）.A. ()3f x x = B. ()3xf x = C. ()12f x x = D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.（2014湖南文4）下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（）. A.21()f x x =B. 2()1f x x =+C. 3()f x x =D. ()2x f x -=4.（2014新课标Ⅱ文11）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）. A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞5.（2014天津文12）函数()2lg f x x =的单调递减区间是________.6.（2015福建文15）若函数()()2x af x a -=∈R 满足()()11f x f x +=-，且()f x 在[),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于_______．6.解析由()()11f x f x +=-，得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则()12x f x -=.由复合函数单调性得()f x 在[)1,+∞上单调递增，故1m ，所以实数m 的最小值等于1．评注考查函数的图像与性质． 7.（2016北京文4）下列函数中，在区间()1,1-上为减函数的是（）.A.11y x=- B.cos y x = C.()ln 1y x =+ D.2x y -= 7. D 解析选项A 错误：因为11y x=-在区间()1,1-上为增函数；选项B 错误：cos y x =在()1,1-上不单调，如11cos cos 22⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；选项C 错误：函数()ln1y x =+在区间()1,1-上为增函数；选项D 正确：指数函数122xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上为减函数. 故选D.8.（2016浙江文7）已知函数()f x 满足：()f x x且()2,x f x x ∈R ，下列选项正确的是（）. A.若()f a b ，则a b B.若()2b f a ，则a b C.若()f a b，则ab D.若()2b f a ，则a b8. B 解析若()2b f a ，由条件知()2a f a ≤，则22ab ，所以ab .故选项B 正确，其他3个选项可选特殊的函数()2,02,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩≥逐一进行排除.故选B.9.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间.9. 解析（1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==.依题意ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由πππ2π22π242k x k -++，得3ππππ88k x k -+. 所以()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 10.（2016全国丙文21）设函数()ln 1f x x x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<；（3）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.10.解析 (1)()111xf x x x-'=-=，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时， ()0f x '<，所以()f x 在(]0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）由（1）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以1x ≠时，ln 1x x <-.故当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln 1xx<-，即11ln x x x-<<.(3)由题设1c >，设()()11x g x c x c =+--，则()1ln x g x c c x =--，令，()0g x '=，解得01lnln ln c c x c-=.当0x x <时，()0g x '>， ()g x 单调递增；当0x x >时，()0g x '<，()g x 单调递减.由（2）知，11ln c c c-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0gx >.所以当()0,1x ∈时， ()11x c x c +->.11.（2017全国2文8）函数()()2ln 28f x x x =-- 的单调递增区间是（）. A.(),2-∞- B.(),1-∞- C.()1+∞， D.()4+∞，11.解析若使函数有意义，则2280x x -->，解得2x <-或4x >，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为()4,+∞.故选D.题型17 函数的周期性1.（2016江苏11）设()f x 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 . 1. 11， 25-解析由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得35a =，则()()()531f a f f ==-215a =-+=-.2.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间.2. 解析（1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==.依题意ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由πππ2π22π242k x k -++，得3ππππ88k x k -+. 所以()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 题型18 函数性质的综合1.(2013重庆文9) 已知函数()()2sin 4f x ax b x a b =++∈R ，，()()2lg log 105f =，则()()lg lg2f =（）.A. 5-B.1- C. 3 D. 41.分析运用奇函数性质，整体换元求解.解析因为2log 10与lg 2（即10log 2）互为倒数，所以()2lg log 10与()lg lg2互为相反数. 不妨令()2lglog 10x =，则()lg lg2x =-，而()()()3sin 4f x f x ax b x +-=++()()3sin 48a x b x ⎡⎤+-+-+=⎣⎦，故()()8853f x f x -=-=-=，故选C.2. (2013天津文7）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f f a f a +，则a 的取值范围是( ).A.[]1,2B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,22.分析根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式求解.解析因为()()1222log log log ,f a f a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以原不等式可化为()()2log 1.f a f ≤又因为()f x 在区间[)0+∞，上单调递增，所以20log 1,a ≤≤即1 2.a ≤≤因为()f x 是偶函数，所以()()2log 1.f a f -≤又()f x 在区间(]0∞-，上单调递减，所以21log 0,a -≤≤所以1 1.2a ≤≤综上可知12.2a ≤≤故选C. 3. (2013天津文8)设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数, a b 满足()0,()0f a g b ==，则( ). A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<3.分析首先确定a b ,的范围，再根据函数的单调性求解. 解析因为()e 10,x f x '=+>所以()f x 是增函数.因为()g x 的定义域是(0)+∞，，所以()120,g x x x'=+>所以()g x 是()0+∞，上的增函数. 因为()()0101e 10f f =-<=->，，所以0 1.a <<因为()()1202ln210gg =-<=+>，，所以12b <<，所以()()0,0.f b g a ><故选A. 4. (2013湖南文4）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（）.A.4B.3C.2D.1 4.分析根据奇、偶函数的性质，将()1f -和()1g -转化为()()1,1f g -列方程组求解.解析 ()f x 是奇函数，所以()()11f f -=-.又()g x 是偶函数，所以()()11g g -=.因为()()112f g -+=，所以()()112g f -=. ①又()()114f g +-=，所以()()114f g +=. ②由①②，得()13g=.故选B.5. (2013福建文13）已知函数()32,0,ππ4tan ,0,2x x f x f f x x ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-<⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 . 5.分析分步求函数值，先内后外.解析因为ππ0,42⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ππtan 144f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()()3π12124f f f ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6．(2013福建文16）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（i ）{}();T f x x S =∈（ii ）对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()(),f x f x <那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ①,;A B *==N N ②}{}{}13,810;A x xB x x=-=-③{}01,.A x xB ==R其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）. 6.分析举例说明有符合条件的函数即可. 解析 ①取()1f x x =+，符合题意.②取()9722f x x =-，符合题意. ③取()1tan π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，符合题意.答案：①②③.7. （2014浙江文7）已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-，则（）.A.3cB.36c <C.69c <D. 9c > 8.（2014大纲文12）奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1 9.（2014山东文9）对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()()2f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）.A. ()f x =B.()2f x x =C.()tan f x x =D.()()cos 1f x x =+10. （2014安徽文14）若函数()f x ()x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()1,01sin ,12x x x f x x x -⎧=⎨π<⎩≤≤≤，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 解析依题意得29333313844444416f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 417777ππ18sin sin 6666662f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，29413154616216f f ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.（2014新课标Ⅱ文15）已知偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= .12.（2014四川文13）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,,01,x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________. 13.（2014浙江文15）设函数()2222, 0, 0x x x f x x x ⎧++⎪=⎨->⎪⎩，若()()2f f a =，则a =_________.14. （2014安徽文15）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00Px y ，处与曲线C 相切；（2）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是 . （写出所有正确命题的编号） ① 直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y =； ② 直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ； ③ 直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =； ④ 直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =； ⑤ 直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =. 14. 解析 ①直线:0l y =在()0,0P处与曲线3:C y x =相切，且曲线C 位于直线l 的两侧，①对；②直线3:1l x =-不是曲线()2:1C y x =+在()1,0P-处的切线，②错；③中cos y x '=，cos01=，因此曲线:sin C y x =在()0,0P 处的切线为:l y x=，设()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-，即()f x 是增函数，又()00f =，从而当0x <时，()0sin f x x x <⇒<，当0x >时，()0sin f x x x >⇒>，即曲线:sin C y x =在()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；④中2sin 1cos cos x y x x '⎛⎫'==⎪⎝⎭，211cos 0=，因此曲线:tan C y x =在()0,0P 处的切线为:l y x =，设()tan g x x x=-，则()21ππ10cos 22g x x x⎛⎫'=--<< ⎪⎝⎭，即()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，且()00g =，同③得④正确；⑤中1y x '=，111=，因此曲线:ln C y x =在()1,0P 处的切线为:1l y x =-，设()()1ln 0h x x x x =-->，则()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，因此当1x =时，()()min 10h x h ==，因此曲线C 在()1,0P 附近位于直线l 的一侧，故⑤错误.因此答案为①③④.评注本题考查导数的几何意义及导数在函数中的应用，解题时结合图像可简化运算和推理的过程15.（2014四川文15）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.现有如下命题： ①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”；②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数()()2ln 21xf x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有____________（写出所有真命题的序号）.16.（2016天津文6）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（）.A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16. C 解析由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<.故选C. 17.（2016上海文18）设()()(),,f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于下列命题：①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则()()(),,f x g x h x 中均为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T为周期的函数，则()()(),,f x g x h x 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）. A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题17.解析 ①不成立，可举反例.增函数加增函数必为增函数，增函数加减函数未必单调递减，这跟速度有关，因此可以举分段一次函数的形式，从速度快慢上控制.如：()11,23,x x x f x x +=>⎩-⎧⎨，()3,01223,1,0x x x g x x x x -+<+⎧=⎪⎩<⎪⎨， ()02,,0x x x x h x >-⎧=⎨⎩.故①错误. ②由题意()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++，()()()()g x h x g x T h x T +=+++，前两式求和后与第三式作差得()()f x f x T =+，同理可得()()gx g x T =+，()()h x h x T =+，故②正确.故选D.评注按照②的逻辑，得到()f x 有一步是将增函数减去增函数，初想其未必就一定是增函数.18.（2016四川文14）若函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则()522f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.18.2- 解析因为函数()f x 是定义在R上的周期为2的奇函数，所以()()()2020=0f f f =+=，1251112422222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5222f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭. 19.（2016浙江文12）设函数()3231f x x x =++.已知0a ≠，且()()()()2–––f x f a x b x a =，x ∈R ，则实数a =_____，b =______.19.2-；1 解析解法一：()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，()()()()2322222x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩.解法二：()()()()()2F x f x f a x b x a =-=-- ，所以()0F a '=，由()()()32323232313133Fx f x f a x x a a x x a a =-=++---=+--，所以()236F x x x '=+，将a 带入，解得2a =-或0（舍去）.即()()()2323412F x x x x x =+-=-+，所以1b =.20.（2016上海文23）已知a ∈R ，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若关于x 的方程()()22log 0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设0a>，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.20.解析（1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得()0,1x ∈.（2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于211a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解.当0a =时，1x =，符合题意；当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-. 综上所述，0a =或14-. （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减.因此()f x 在[],1t t +上单调递减，故只需满足()()11f x f t -+，即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以1121a a t t ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，即()12111t at t t t --=++，设1t r -=，则10,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2111232t r rt t r r r r -==+---+.当0r=时，2032rr r =-+ ；当102r <时，212323r r r r r=-++-，又函数2y x x=+在(单调递减，所以219422r r++=.故112293332r r=+--.故a 的取值范围为23a . 评注第（3）问还可从二次函数的角度考查，由1121a a t t ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭整理得()2110at a t ++-对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，函数()211y at a t =++-的对称轴()0102a t a-+=<，故函数在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.所以当12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -，得23a.故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 21.（2017全国1文9）已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（）.A.()f x 在()0,2上单调递增 B.()f x 在()0,2上单调递减C.()y f x =的图像关于直线1x =对称 D.()y f x =的图像关于点()1,0对称21.解析由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，选项C 正确，选项D 错误，又()112(1)(02)2(2)x f x x x x x x -'=-=<<--，在(0,1)上单调递增，在[)1,2上单调递减，选项A ，B 错误.故选C.22.（2017北京文5）已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）. A.是偶函数，且在R 上是增函数 B.是奇函数，且在R 上是增函数 C.是偶函数，且在R 上是减函数 D.是奇函数，且在R 上是减函数 22.解析解法一：()f x 的定义域为R，关于原点对称，由()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()f x 为奇函数．由3xy =在R 上是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，易知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是增函数．故选B ．解法二：作为选择题，也可以代特殊值进去，由()()11f f -=-，可猜()f x 是奇函数，()f x 的定义域为R ，由(0)0f =，8(1)3f =，可猜()f x 是增函数.故选B ．解法三：由()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()f x 为奇函数．由()330x x f x -'=+>，所以()f x 在R 上为增函数.故选B ．解法四：令12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()121212113333x x x x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()2112121212113333333333x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫-+-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212133+33x xx x ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭1. 因为12x x <，所以1233x x <，所以12330x x -<. 又因为121+033x x >⋅1，所以12()()0f x f x -<，所以12()()f x f x <.所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 在R 上为奇函数，且()00f =，所以()f x 在R 上为增函数.故选B ． 23.（2017天津文6）已知奇函数()f x 在R上是增函数.若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（）.A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b << 23.解析因为()f x 在R 上是奇函数，所以()22211log log log 555a ff f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 在R上是增函数，且0.8222022log 4log 4.1log 5<<=<<，所以()()0.82212log 4.1log 5f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即c b a <<.故选C ．24.（2017山东文14）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()42f x f x +=-.若当[]3,0x ∈-时，()6x f x -=，则()919f = .24.解析因为()()()()()()62422f x f x f x f x +=++=+-=，所以6T =，又因为()f x 是偶函数，所以(919)(1)(1)6f f f ==-=.25.（2017江苏11）已知函数()312e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+，则实数a 的取值范围是．25.解析易知()f x 的定义域为R ，因为()()()312e e x x f x x x ---=---+-()312e exxx x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e 02x xf x x x +'=-+，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+，所以()()()22122f a f a f a --=-，于是212a a --，即2210a a +-，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．感谢您的下载! 快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

专题02 函数的概念与基本初等函数(解析版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之数学(理)

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津理科06】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52，c＝0.50.2．而log25＞log24＝2，∴．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．2．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立，令g（x）（1﹣x2）≤﹣（22）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立，令h（x），则h′（x），当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．3．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．故选：B．5．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1og a（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y，y＝1og a（x），当a＞1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．故选：C．8．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．9．【2018年新课标2理科11】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．10．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．11．【2018年上海16】设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．12．【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．13．【2018年天津理科05】已知a＝log2e，b＝ln2，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a＝log2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c log23＞log2e＝a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．14．【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．15．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴3y，2x，5z．∵，．∴lg0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴1，可得2x＞3y，1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．16．【2017年浙江05】若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x为对称轴的抛物线，①当1或0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m＝f（0）﹣f（），故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m＝f（1）﹣f（）＝1+a，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．17．【2017年北京理科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：A．18．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．19．【2017年天津理科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b ＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，∴a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选：C．20．【2017年天津理科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3a≤x2﹣x+3，即有﹣x2x﹣3≤a≤x2x+3，由y＝﹣x2x﹣3的对称轴为x1，可得x处取得最大值；由y＝x2x+3的对称轴为x1，可得x处取得最小值，则a①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣（x）a≤x，即有﹣（x）≤a，由y＝﹣（x）≤﹣22（当且仅当x1）取得最大值﹣2；由y x22（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2a≤2②由①②可得，a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|a|当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1，可得x，切点为（，）代入y a，解得a；当x＞1时，y＝x的导数为y′＝1，由1，可得x＝2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y a，解得a＝2．由图象平移可得，a≤2．故选：A．21．【2019年全国新课标2理科14】已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e ax．若f（ln2）＝8，则a＝．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣e ax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣322．【2019年江苏04】函数y的定义域是．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．23．【2019年江苏14】设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x），g（x）其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k，∴k．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．24．【2018年江苏05】函数f（x）的定义域为．【解答】解：由题意得：log2x≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．25．【2018年江苏09】函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x），则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）＝f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）＝f（16﹣1）＝f（﹣1）＝|﹣1|，f（）＝cos（）＝cos，即f（f（15）），故答案为：26．【2018年浙江11】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z＝81时，x＝，y＝．【解答】解：，当z＝81时，化为：，解得x＝8，y＝11．故答案为：8；11．27．【2018年浙江15】已知λ∈R，函数f（x），当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ＝2时函数f（x），显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．28．【2018年上海04】设常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）＝1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）＝3，解得a＝7．故答案为：7．29．【2018年上海07】已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．30．【2018年上海11】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝．【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：1，解得：2p+q＝a2pq，由于：2p+q＝36pq，所以：a2＝36，由于a＞0，故：a＝6．故答案为：631．【2018年北京理科13】能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【解答】解：例如f（x）＝sin x，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）＝sin x．32．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a，设g（x），则g′（x），由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a设h（x），则h′（x），由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）33．【2017年江苏14】设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x），其中集合D＝{x|x，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x），第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x），此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，故答案为：834．【2017年新课标3理科15】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．35．【2017年浙江17】已知a∈R，函数f（x）＝|x a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．【解答】解：由题可知|x a|+a≤5，即|x a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x5，又因为1≤x≤4，4≤x5，所以2a﹣5≤4，解得a，故答案为：（﹣∞，]．36．【2017年上海08】定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若g（x）为奇函数，则f﹣1（x）＝2的解为．【解答】解：若g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）＝3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）＝f（x）＝1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），且f﹣1（x）＝2，可由f（2）＝1﹣3﹣2，可得f﹣1（x）＝2的解为x．故答案为：．37．【2017年上海09】已知四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【解答】解：给出四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从四个函数中任选2个，基本事件总数n，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）．故答案为：．38．【2019年江苏18】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB （AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•1，解得x2，Q（，0），由﹣17＜﹣8，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．39．【2018年上海19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f （x ）＝2x90＞40，即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40；当30＜x ＜100时，g （x ）＝（2x 90）•x %+40（1﹣x %）x +58；∴g （x ）；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（） A ．2 B ．4C ．2±D ．4±【答案】C 【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(()ln g x ax =也为奇函数.而(()ln g x ax -=-+，故((()()ln ln 0g x g x ax ax -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴()()22f log 3?f log 3-= ∵320log 21,log 31,< f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴()()()23f log 3f log 2f 0<<，即()()()23f log 3f log 2f 0-<<故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】A【解析】1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -【答案】B 【解析】因为()()()()22222213log log log 42222x xf x f x x x -++-=+==--- 故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】由题意知：()()()()()()222222122111x x x x x x xf x x x x ----'===---当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误；当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；()()()22221x f x f x x --=≠--，则()f x 不关于1x =对称，C 错误； ()()()()2211114x x f x f x xx+-++-=+=-，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4 又()f x 为奇函数()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==即：()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()()()1232019505123440f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅=⨯+++-=⎡⎤⎣⎦本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,4【答案】D 【解析】解：y 211111111x x x x x x x -+-⎧==⎨----⎩，＞或＜，＜＜，画出函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4，①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4. 故选：D ．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立，若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

函数的基本性质(含答案)

定义域为（0，＋∞）.
x＋ ≥2 ＝（当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知是定义上的奇函数，且在上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年级：高一辅导科目：数学课时数：3
课题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.