3.4生活中的优化问题举例(1)

方形美味蛋糕店
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用边长为60cm的正方形包装纸的四角切去相等的正方 形，再把它的边沿虚线折起，做成一个装蛋糕的容器，
思考：如何设计容器的高和底边长，使得容器能装蛋糕 的体积最大？最大体积是多少？
如何来表示海报的空白面积
2dm
转化：把求海报空白面积的最小值转
x + 4
128dm2
128 化为求函数 S ( x 4)( 2) 128, x 0 x 的最小值问题。 128 S ( x 4)( 2) 128, x 0 x 512 128 2 x 8 128 x
2dm
128dm2
x + 4
下面的问题能够帮助你思考问题： 1，版心面积为128dm，那么版心的高 和宽的关系是什么？ 2，整个海报的高和宽与版心的高和 宽有什么关系？ 3，空白面积与整个海报的面积和版 心的面积的关系是什么？
1dm
128 dm 设版心的高为xdm,则宽为 x
四周空白面积为：
128 S ( x 4)( 2) 128, x x的范围是： x 0
30
30
如何求容器的体积的最大值
1，体积的计算公式是什么？
体积＝底面积 高
x 30－2x x
30
2，高与底面边长的关系是什么？ 高+底面边长+高＝30
30
3，设高为x,则与底面边长的关系是什么？ 高为x,则底面边长为30－2x; 4，容器的体积表达式是什么？
x
30－2x
V(x)＝(30－2x)2·x 5，表达式中自变量x范围是什么？
知识回顾：导数在研究函数中的作用 2，求下列函数在给定区间的最值： 1）求函数 f ( x) 4x3 120x2 900x, x (0,15) 的最大值。
512 8, x (0, ) 的最小值。 2）求函数 f ( x) 2 x x
1）求函数 f ( x) 4x3 120x2 900x, x (0,15) 的最大值。 解：f (x)＝4x3－120x2＋900x ， (0<x<15)
练习：一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方 形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度 分 别是多少？ 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l 则两个正方形面积和为：
x 2 lx 2 S S1 S2 ( ) ( ) 4 4 1 (2 x 2 2lx l 2 ) 16 l 1 1 0, 得x S (4 x 2l ) (2 x l ) 令S 2 16 8
0<x<15
如何求容器的体积的最大值
转化：把求容器的体积最大值的问题
0<x<15 转化为求函数V(x)＝(30－2x)2·x，
的最大值问题。
30
x
30－2x
x
30
V(x)＝(30－2x)2·x
(0<x<15)
＝ (900－120x+4x2)·x
x
30－2x
＝4x3－120x2＋900x. (0<x<15)
S '( x) 2
512 , 2 x
512 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 2 x 128 128 于是宽为 8 x 16 当x (0,16)时, s '( x) 0; 当x (16, )时, s '( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 答：当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
∴当x＝5时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．
答：当容器的高为5cm，底面边长为20cm时，所做的容器 能装最多的蛋糕。
由上述例子，你能归纳出解决优化问题的基本思路吗？
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决Biblioteka Baidu学模型
优化问题的答案
按实际问题作答
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。
l l 当x ( , l )时, s '( x) 0; 当x (0, )时, s '( x) 0; 2 2 l2 l 所以，当x 时, S取最小值, 最小值为 . 32 2
l 此时两段铁丝的长度都为 . 2
回顾总结: 1.利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
例2，学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣 传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，因为内 容已经确定，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左 右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
思考：如何来表示空白面积？
2dm
1dm
128dm2
128dm2
如何来表示海报的空白面积
x 52 1 x
当堂训练：
某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边 可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时， 才能使砌墙所用的材料最省？
x 52 1 x
课后作业：
课本P104，A组，T5，T3
回顾总结:
2，解决优化问题的步骤： (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结 论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知 识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的 数学方法求解； (4)作答：把得到数学答案转化为实际问题的答案．
解决数学模型 按实际问题作答
优化问题的答案
用导数解决数学问题
当堂训练：
1，一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方 形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度 分 别是多少？ （选做）2，某工厂需要建一个面积为512 m2的矩 形堆 料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的 长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？
解：设容器高为xcm，则底面边长为(30－2x)cm， 则得容器的容积V是x的函数， V(x)＝(30－2x)2·x (0<x<15)
＝4x3－120x2＋900x. ∴V′(x)＝12x2－240x＋900， 令V′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，V′(x)>0，当5<x<15时，V′(x)<0.
∴f ′(x)＝12x2－240x＋900， 令f ′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，f ′(x)>0， 当5<x<15时，f ′(x)<0.
∴当x＝5时，f (x)取极大值，这个极大值就是f (x)的
最大值． 注意：区间（0，30）为开区间，f (x)无最小值．
512 8, x (0, ) 的最小值。 2）求函数 f ( x) 2 x x 512 8, x (0, ) 解: f ( x) 2 x x 512 令f '( x) 2 2 0, 得:x 16( x 0) x
3.4生活中的优化问题举例
（导数在实际生活中的应用）
数学组：朱大伟 2013.3.14
知识回顾：导数在研究函数中的作用 1）判断函数的单调性： 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x)为增函数 f(x)为减函数
2）求函数的极值： 步骤： （1）确定定义域；（2）求导数f’(x)； （3）求f’(x)=0的根；4）列表；（5）判断。 3）求函数的最值： 开区间（a,b） 要考虑最值是 求闭[a,b]上最值的步骤： 否存在。 (1)求f(x)在区间[a,b]内极值， (2) 将y=f(x)的各极值和两区间端点f(a)、f(b）比较, 从而确定函数的最值。
1dm
512 2x 8, x 0 x
128 解：设版心的高为xcm,则宽为 x dm,
2dm
此时四周空白面积为：
128 s ( x) ( x 4)( 2) 128 x 512 2x 8, x 0 x
128dm2
1dm
x + 4
求导数，有
令s '( x) 2
当x (0,16)时, f '( x) 0;
当x (16, )时, f '( x) 0;
∴当x＝16时，f (x)取极小值，这个极小值就是f (x)的
最小值．
即：f ( x)min f (16) 72
生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最 高等问题，这些问题通常称为优化问题。 优化问题的本质即为解有关函数的最大值最小值 的实际问题。 导数是求函数最大（小）值的有力工具，可以运 用导数，解决一些生活中的优化问题。