高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件
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O B
C D 图 5
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
A.125 12
棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
球与棱柱的组合体问题 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
五、构造直角三角形 例13、求棱长为1的正四面体外接 球的体积．
解：S设 O 1是正四S面 A体 BC的 D高，外接球 O在的 SO 1上 球， 心设外接球 R,A半 O 1径 r, 为
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
二、构造法 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
B.125 9
C .125 6
D.125 3
D
AO
C
图4 B
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
四、公式法
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
D. 1: 8: 27
A
D1 A1
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B
Βιβλιοθήκη Baidu
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。 S乙 4 R22 =2
D
B. 6 2
C
C. 6 8
D. 6 24
P
A
E
B
D
C
E
图3
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
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2、构造长方体 已知A 点BA、6,BA 、C = C2 、1 D3 在,A 同D 一=8个，球则面B上、，CA 两B点间平 的面 A 球BC 面D距离B是C34 D C.
D C
求正方体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
2、在等腰梯形ABCD中，A B 2D C 2, DA 6B 0， 0 E为AB的中点，将AD与 EBEC 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ C ）
A. 4 3 27
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， D 平 A A， 面 B A C B B ,D C A A B B C 3 则球O的体积等于
9
2
D
A
O
A
B
图4 C
O C
P
B
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8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
66x433,x2h,hx
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 Rr2d21, V 2球43 .
d
3 2
小结 本题是运用公式 R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D
C 求正多面体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 1 4 ，故球的表面积为1 4 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 1 6 B. 2 0 C. 2 4 D. 3 2
一、 球体的体积与表面积
二、球与①多V面球体的43接、R切3
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 2 7 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
球与多面体的内切、外接
球的半径r 的棱长a有什么关系？
.r
a
如果一个多面体的各个顶点都在同一个
球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球.有关多 面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用.
C D 图 5
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三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
A.125 12
棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
球与棱柱的组合体问题 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
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五、构造直角三角形 例13、求棱长为1的正四面体外接 球的体积．
解：S设 O 1是正四S面 A体 BC的 D高，外接球 O在的 SO 1上 球， 心设外接球 R,A半 O 1径 r, 为
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
二、构造法 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
B.125 9
C .125 6
D.125 3
D
AO
C
图4 B
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四、公式法
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
D. 1: 8: 27
A
D1 A1
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中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。 S乙 4 R22 =2
D
B. 6 2
C
C. 6 8
D. 6 24
P
A
E
B
D
C
E
图3
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
2、构造长方体 已知A 点BA、6,BA 、C = C2 、1 D3 在,A 同D 一=8个，球则面B上、，CA 两B点间平 的面 A 球BC 面D距离B是C34 D C.
D C
求正方体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
2、在等腰梯形ABCD中，A B 2D C 2, DA 6B 0， 0 E为AB的中点，将AD与 EBEC 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ C ）
A. 4 3 27
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， D 平 A A， 面 B A C B B ,D C A A B B C 3 则球O的体积等于
9
2
D
A
O
A
B
图4 C
O C
P
B
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8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
66x433,x2h,hx
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 Rr2d21, V 2球43 .
d
3 2
小结 本题是运用公式 R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D
C 求正多面体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 1 4 ，故球的表面积为1 4 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 1 6 B. 2 0 C. 2 4 D. 3 2
一、 球体的体积与表面积
二、球与①多V面球体的43接、R切3
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 2 7 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
球与多面体的内切、外接
球的半径r 的棱长a有什么关系？
.r
a
如果一个多面体的各个顶点都在同一个
球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球.有关多 面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用.