高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件
8.3.2球的内接与外切类型总结课件(人教版)
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
球的接、切、截问题课件-2024届高考数学一轮复习
四面体放入一个长、宽、高分别为 x ， y ， z 的长方体中，并且 x 2＋ y 2
＝3， x 2＋ z 2＝5， y 2＋ z 2＝4.设四面体 A － BCD 的外接球的半径为 R ，
即长方体的外接球的半径为 R ，所以（2 R ）2＝ x 2＋ y 2＋ z 2＝6，即4 R 2
＝6.所以四面体 A － BCD 的外接球的表面积为4π R 2＝6π.
外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与
该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
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[对点训练]
（2023·长春一模）如图，两个全等的矩形 ABCD 与 ABEF 所在的平面互
相垂直， AB ＝2， BC ＝1， P 为线段 CD 上的动点，则三棱锥 P － ABE
的外接球体积的最小值为（
＝12，所以 r ＝
.所以截面的面积为π×
＝ .
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[拓展探究]
2. 已知直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1的棱长均为2，∠ BAD ＝60°，则
π .
以 D 1为球心、 5 为半径的球面与侧面 BCC 1 B 1的交线长为
总结提炼
与球截面有关的解题策略
（1） 定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如
则三棱锥 M － PAD 的外接球的表面积为（ C ）
A. 12π
B. 34π
C. 68π
D. 126π
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总结提炼
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方
法有如下几种：
（1） 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的
球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章 §7.2 球的切、接问题[培优课]
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思维升华
(1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果 是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. (2)正四面体的外接球的半径 R＝ 46a，内切球的半径 r＝126a，其半径 之比 R∶r＝3∶1(a 为该正四面体的棱长).
题型二 补形法
例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的
中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，
EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外
接球半径R与内切球半径r的比值为
A.2 3
√C.2 6
B.4 3 D. 6
跟踪训练 2 (1)在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ABC，
△ACD，△ADB 的面积分别为 22， 23， 26，则三棱锥 A－BCD 的外接球
的体积为
√A. 6π
B.2 6π
C.3 6π
D.4 6π
在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体， 两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径. 设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c， 由题意得 ab＝ 6，ac＝ 3，bc＝ 2， 解得 a＝ 3，b＝ 2，c＝1， 所以球的直径为 32＋ 22＋1＝ 6， 它的半径为 26，球的体积为43π× 263＝ 6π.
3 3和 4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
√A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为
与球有关的切、接问题教学课件(共19张PPT)——2022届高三数学一轮复习专题
2．与球的常见组合结论 1 正方体的内切球：R=___a____
（1）正方体与球：
②与正方体各棱相切的球：R＝
2
2a
2
③正方体的外接球：R＝
3a
2
(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
补形为长方体（正方体），利用体对角线长=外接球直径
a2 b2 c2 2R,即R a2 b2 c2 2
： 补 形 正 方 体
3
3
4
A
目的：通过作截面，转化为平面几何求解
三【高考考向】 考点1：多面体外接球 例1（ 2019年全国1卷理12） 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E,F分别
是PA,AB的中点，CEF 90 ,如图所示，则球O 的体积为（D ）
C.20
补形为长方体，求外接球 P
D.24
直接找球心
P
P
O
2
2
B
A
4
C
2
2
A
2
4
2
B
jB
A
4
C
C
考点2：旋转体内切球 已例知2圆（ 锥20的20底全面国半卷径III理为115，）母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___32___
分析：易知半径最大球为圆锥的内切球，
A
找球与圆锥内切时的轴截面。
正方体）
3.加强空间想象力，作图是关键。
注意 分析 探索 图形 特征及 特征 量转 化。
作业： 《多面体与球专项训练》 （十八）
谢谢
性质三：球心到截面的距离 d
与球的半径R
截面的半径r,
P
有以下关系：
高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件
)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面
高考数学一轮总复习第七章立体几何专题突破13球的切接问题课件
2
足 = +
ℎ2
.
4
考点一 长（正）方体的外接球
2 6
例1 正四面体的所有顶点都在表面积为36π 的球面上，则该正四面体的棱长为_____．
解：如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，正四面体为 − 1 1 .设
球的半径为，则4π2 = 36π ，解得 = 3.所以1 = 6,则正方体的
2
+ 4 +1− 2
4
3
1−
3
=
4
3
2
棱长为2 3.所以正四面体的棱长为1 = 2 6.故填2 6.
【点拨】①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线
长的一半．②可以补成长方体的一些特殊三棱锥如下,上面讲到的“共斜边直角三角形
所成三棱锥”也可算作其中1种，据此可确定球心.
图形特征
图示
三棱锥的三条侧棱两两
三棱锥的四个面均是直
[2 2, 2 3]
正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是___________．
解：设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每
个顶点，所求球的半径最大.外接球直径
2′ = 1 = 42 + 42 + 42 = 4 3，则′ = 2 3，故max = 2 3.
sin ∠
=
3
3
2
= 2 3，
可得 = 3.
设三棱锥 − 的外接球球心为，连接,1 ，则 = 2,
1 =
1
.由2
2
=
12
+ 1
2 ，得4
=
1
2
4
+ 3，解得 = 2.故填2.
球的内切与外接问题讲课
综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆 半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结 合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半 径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆 的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等， 且每条边与内切圆相切。由此可推导出内 切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其 外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造 一个包含该正四面体的正方体来求解 。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之 和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的 正方体，则该正方体的体对角线长等 于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的 外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。
高考数学一轮复习-第三板块-立体几何-层级(二)球的切、接问题与动态问题(动点、截面)【课件】
针对训练
1．(2022·韶关测试)(多选)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AB，
CC1 的中点，则下列说法正确的是
命题点(二) 几何体的外接球
空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一
般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题.
[例 1] (2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球
面上．若该球的体积为 36π，且 3≤l≤3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
由题意及图可得l2＝h2＋ 22a2， R2＝h－R2＋ 22a2，
解得
h＝2lR2 ＝l62， a2＝2l2－1l48，
所以正四棱锥的体积
V
＝13a2h
＝13
2l2－1l48×
l62＝
l4 18
2－1l28(3≤l≤3 3)，所以 V′＝49l3－5l54＝19l34－l62(3≤l≤3 3)，令 V′＝0，得 l＝2 6，所以当 3≤l＜2 6时，V′＞0；当 2 6＜l≤3 3时，V′＜0，所以函数 V＝1l482－1l28(3≤l≤3 3)在[3,2 6)上单调递增，在(2 6，3 3]上单调递减，又当
1．已知△ABC 中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以 AC 为轴旋转一周得到一个旋
转体，则该旋转体的内切球的表面积为
()
A.4396π B．54796π C.52756π D．32455π 解析：旋转体的轴截面如图所示，其中 O 为内切球的球心，过
O 作 AB，BC 的垂线，垂足分别为 E，F，则 OE＝OF＝r(r
[答案] AD
方法技巧 1．动点问题的解题关键 在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹， 探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化． 2．截面形状及相应面积的求法 (1)结合线面平行的判定定理与性质定理求截面问题． (2)结合线面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题． (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征动中找 静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等． (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值．
高中数学高三一轮复习立体几何中球的内切和外接问题共48页PPT
高中数学高三一轮复习立体 几何中球的内切和外接问题
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
与球有关的切接问题课件-2025届高三数学一轮复习
&2
A． 12
&2
C． 4
&3
B． 12
&3
D． 4
答案：A
2．[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别
为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A．100π B．128π C．144π D．192π
答案：A
解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆
答案：A
(2) 如 图 ， 在 四 棱 锥 E-ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， CE⊥ 平 面 ABCD ， AB ＝ 6 ， BC ＝ CE ＝ 4 ， 该 四 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 ________．
答案：68π
题后师说 补形法的解题策略
巩固训练1
专题培优课 与球有关的切、接问题
【考情分析】 与球有关的切、接问题是高考命题的热点之一，经 常以客观题出现．一般围绕球与柱、锥、台体的内切、外接命题，考 查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．
关键能力·题型剖析 题型一 几何体的外接球 角度一 补形法 例1 (1)[2024·山东济宁模拟]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点 E，F分别为AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE， EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则三棱锥A′-DEF的外接 球体积为( ) A．8 6π B．6 6π C．4 6π D．2 6π
a2 + b2 = 3
设长方体中FA＝a，FB＝b，FC＝c，则 a2 + c2 = 4 ，
b2 + c2 = 5 三式相加得2(a2＋b2＋c2)＝12，故a2＋b2＋c2＝6，
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.3 空间几何体外接球和内切球(解析版)
9.3 空间几何外接球和内切球一．公式1.球的表面积：S ＝4πR 22.球的体积：V ＝43πR 3二．概念1.2.考向一 长（正）方体外接球【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________． 【答案】29π【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线l ==为球的直径，所以球的表面积为24292l S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故填29π.【举一反三】1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．【答案】92π【解析】设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【答案】48π【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：其中，三角形ABC 是腰长为4的直角三角形，侧面ACC A ''是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为2=∴该几何体的外接球的表面积为(2448ππ⨯=.故答案为48π.考向二 棱柱的外接球【例2】直三棱柱ABC −A ′B ′C ′的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．28π D ．36π【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为2√3，得底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径r =2， 又由直三棱柱的侧棱长为2√3，则球心到圆O 的球心距d =√3，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：R 2＝r 2+d 2=7，∴外接球的表面积S ＝4πR 2=28π．故选：C ．【举一反三】1. 设直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA 1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】设三角形BAC 边长为a ，则三角形BAC外接圆半径为12sin 3a =，因为2244010R R ππ=∴=所以22210,2a R a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭即直三棱柱的高是.2.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】50π【解析】ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥AC ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A 1C 是球的直径，∴R =A 1C 2；∵AB ⊥BC ，∴AC =√32+42=5 ，∴A 1C 2=52+52=50 ；故该球的表面积为S =4πR 2=4π(A 1C 2)2=πA 1C 2=50π考向三 棱锥的外接球类型一：正棱锥型【例3-1】已知正四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一球面上，体积为2，则此球的体积为 （ ）A.1243π B. 62581π C. 50081π D. 2569π【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCD V PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=3OO PO PO R ∴-'=='-在 Rt OO D '中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭球故选C【举一反三】1.已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π 【答案】C【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则12,2AO AC PA PO ==''=⊥平面ABCD,故PO =='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径,故外接球的表面积为248,S R ππ==故选C.2．如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为则球O 的表面积是( )A ．4πB ．323πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】如图，设OM x =，OB OD r ==，3AB =，BM ∴=DB =3DM ∴=，在Rt OMB ∆中，22(3)3x x -=+，得：1x =，2r ∴=，16O S π∴=球，故选：C ．类型二：侧棱垂直底面型【例3-2】在三棱锥P ABC -中， 2AP =， AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C=-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 20π C. 12π D.203π【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边）. ∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=.∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵()0,C π∈∴3C π= ∴由正弦定理，2sin3r =，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC∴()()()22222PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.214π3B.127π3C.115π3D.124π3【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A −BCD 其中AD =DC =2，BD =4且AD ⊥底面ABC ，∠BDC =120° 根据余弦定理可知：BC 2−BD 2+DC 2−2BD ∙DC ∙cos 120°=42+22−2×4×2×(−12)=28可知BC =2√7根据正弦定理可知∆BCD 外接圆直径2r =BC sin ∠BDC=2√7sin 120°=√7√3∴r =2√213，如图，设三棱锥外接球的半径为R ，球心为O ，过球心O 向AD 作垂线，则垂足H 为AD 的中点 DH =1，在Rt∆ODH 中，R 2=OD 2=(2√213)2+1=313∴外接球的表面积S =4πR 3=4π×313=124π3故选D2.已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒， 223.1AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13138π B. 13π C. 136π D. 13136π 【答案】D【解析】∵30ACB ∠=︒， 2AC AB ==ABC 是以AC 为斜边的直角三角形其外接圆半径2ACr ==，则三棱锥外接球即为以ABC C 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径R 满足R ==故三棱锥外接球的体积34.3V R π== 故选D. 类型三：侧面垂直与底面型【例3】已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P −ABCD 外接球的表面积是（ ）A. 20πB. 101π5C. 25πD. 22π【答案】B【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD 是矩形，侧面ABE ⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD 的中心为M,球心为O,F 为BE 中点，OG ⊥AF.设OM=x, 由题得ME =√5,在直角△OME 中，x 2+5=R 2(1)，又MF=OG=1,AF=√32−22=√5, AG =√R 2−1,GF =x,∴√R 2−1+x =√5(2)，解（1）（2）得R 2=10120,∴S =4πR 2=1015π.故选B.【举一反三】1.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A. 81πB. 33πC. 56πD. 41π 【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P −ABCD ，其中ABCD 是边长为4的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ．设F 为AB 的中点，E 为正方形ABCD 的中心，O 为四棱锥外接球的球心，O 1为ΔPAB 外接圆的圆心，则球心O 为过点E 且与平面ABCD 垂直的直线与过O 1且与平面PAB 垂直的直线的交点．由于ΔPAB 为钝角三角形，故O 1在ΔPAB 的外部，从而球心O 与点P 在平面ABCD 的两侧． 由题意得PF =1,OE =O 1F,OO 1=EF ，设球半径为R ，则R 2=OE 2+OB 2=EF 2+O 1P 2, 即OE 2+(2√2)2=22+(1+OE)2，解得OE =32， ∴R 2=(32)2+(2√2)2=414，∴S 球表=4πR 2=41π．选D ．2．已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3AB =，AC =BC CD BD ===O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】3AB =，AC =BC =222AB AC BC ∴+=，AC AB ∴⊥，ABC ∴∆ ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，∴球心在BC 边的高上，设球心到平面ABC 的距离为h ，则2223()2h R h +==， 1h ∴=，2R =，∴球O 的表面积为2416R ππ=．故选：C ．3．三棱锥P ABC -的底面是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A ．12π B ．20πC ．32πD ．100π【答案】B【解析】 如图， 在等腰三角形ABC 中， 由120C ∠=︒，得30ABC ∠=︒， 又2AC =，设G 为三角形ABC 外接圆的圆心， 则22sin sin 30AC CG ABC ==∠︒，2CG ∴=．再设CG 交AB 于D ，可得1CD =，AB =1DG =． 在等边三角形PAB 中， 设其外心为H ， 则223BH PH PD ===． 过G 作平面ABC 的垂线， 过H 作平面PAB 的垂线， 两垂线相交于O ，则O 为该三棱锥的外接球的球心， 则半径R OB ===∴该三棱锥的外接球的表面积为2420ππ⨯=．故选：B ．类型四：棱长即为直径【例3-4】已知底面边长为√2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P−ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）π D. 4πA. 3πB. 2πC. 43【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱)2=3π．选A．锥外接球，所以球的直径为√1+1+1=√3，故其表面积为S=4×π×(√32【举一反三】1．已知三棱锥P ABC-的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PCA⊥平面PCB，PA AC =，PB BC =，三棱锥P ABC -的体积为a ，则球O 的体积为( )A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π【答案】B【解析】如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则PAC ∠和PBC ∠都是直角，由于PA AC =，PB BC =，所以，PAC ∆和PBC ∆是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形， 且PBC ∆的面积为212PBC S PC OB R ∆==， PA AC =，O 为PC 的中点，则OA PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ⋂平面PBC PC =，OA ⊂平面PAC ，所以，OA ⊥平面PBC ， 所以，三棱锥P ABC -的体积为23111333PBC OA S R R R a ∆⨯⨯=⨯==，因此，球O 的体积为33414433R R a πππ=⨯=，故选：B ．考向四 墙角型【例4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B ．2 C ．3π D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径22r ==，则：34322V π⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B ．【举一反三】1.已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，AB =BD =CD =2，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．3π B ．2√3πC ．4√3πD ．12π【答案】D【解析】∵BD =CD =2且ΔBCD 为直角三角形 ∴BD ⊥CD 又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ∴CD ⊥AB ∴CD ⊥平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即R =12⋅√22+22+22=√3∴球O 的表面积：S =4πR 2=12π本题正确选项：D2．已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是( )A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π【答案】D【解析】该几何体是把正方体1AC 截去两个四面体111AA B D 与111CC B D ， 其外接球即为正方体1AC 的外接球，由1AC ==∴外接球的半径R =∴该几何体外接球的表面积是2412ππ⨯=．故选：D ．3．在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．12π B ．6πC ．4πD ．3π【答案】A 【解析】在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，∴以PA 、PB 、PC 为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径2r ==∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为：2412S r ππ==．故选：A ．考向五 内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球，33)26(3434-==ππR V 球．∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球．【举一反三】1．球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是( ) A ．1:1 B ．2:1C ．3:2D ．4:3【答案】C【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，222226S R R R R πππ∴=⨯+⨯=圆柱，24S R π=球．∴此圆柱的全面积与球表面积之比是：226342S R S R ππ==圆柱球．故选：C ．2．若三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为 ．【答案】6316π【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为164122⨯⨯=． 设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积14163ABC V S r r ∆==， 取CD 的中点O ，连接AO ，BO ，则CD ⊥平面AOB ，4AO BO ∴==，162AOB S ∆=⨯=12233A BCD C AOB V V --∴==⨯⨯=，16r ∴=，解得r =． ∴内切球的表面积为263416S r ππ==． 故答案为：6316π．3．一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为( )A ．32+ BC ．2D ．12+ 【答案】A【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，内切球的半径为r ，可得：21111222(322)3232r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得r ==故选：A ．考向六 最值问题【例6】已知球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，2AB =，若四棱锥O ABCD -的体积为2，则当球O 的表面积最小时，球的半径为( )A．B ．2 CD ．1【答案】B【解析】由题意，球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，球心O 在T 对角线交点上， 可得：四棱锥O ABCD -的高为1(2h h 是长方体的高）， 长方体的边长2AB =，设BC a =，高为h ， 可得：112223a h ⨯⨯⨯⨯=，即6ah =，6h a∴=那么：3614222R ==+=，（当且仅当a =故选：B ． 【举一反三】1．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=， 故选：C ．1．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A ．4B ．2C D ．2【答案】D【解析】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：03,2sin 60r r r =⇒=外接球表面积为16π242R R π=⇒=外接球的球心在上下两个底面的外心MN 的连线的中点上，记为O 点，如图所示在三角形1OMB 中，22211112MB r OB R MB OM OB ===+=解得1,2OM MN h ===故棱柱的体积为：133222V Sh ==⨯⨯⨯= 故答案为：D. 2．已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A B C ．D ．16π【答案】A【解析】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC == ∴四边形ADCE 为平行四边形AE DC ∴=，又12DC BC =12DE BC ∴=AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE == 设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x = R ∴==∴球O 的体积：343V R π==本题正确选项：A3．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，球的体积与三棱锥体积之比是4π，AC = （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【解析】由于OA OB OC OS ===，且SO ⊥平面ABC ，所以π2ACB ∠=，设球的半径为R ，根据题目所给体积比有34π114π332R R =⋅⋅，解得1R =，故球的表面积为4π.4．某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．163π B ．283πC ．11πD ．323π【答案】B【解析】根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：3，所以：外接球的半径为：R =故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=．故选：B ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C ．193πD ．223π【答案】A的四棱锥，且侧面PAB 垂直底面ABCD ，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1设四棱锥的外接球的球心为O ，则过O 作OM 垂直平面PAB ，M 为三角形PAB 的外心，作ON 垂直平面ABCD ，则N 为矩形ABCD 的对角线交点，11,233OM ON ===所以外接球的半径2222219((3212R ON AN R =+=+=∴=所以外接球的体积343V R π== 故选A 6．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．√6πB ．6πC ．9πD ．24π【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P −ABCD ．底面ABCD 为矩形，其中PD ⊥底面ABCD ．AB =1，AD =2，PD =1．则该阳马的外接球的直径为PB =√1+1+4=√6． ∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π．故选：B ．7．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将ΔADE ，ΔBEF ，ΔCDF 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EDF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．5πB ．6πC ．8πD ．11π【答案】B【解析】由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF ． 三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：√1+1+4=√6． ∴球的半径为√62，∴球的表面积为4π·(√62)2=6π．故选：B ．8．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积是：（ ）A ．8πB ．12√3πC ．12πD ．48π【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2． 把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为√22+22+22．∴该三棱柱外接球的半径为：√3．则球O 的表面积是：4π×(√3)2=12π．故选：C ．9．已知三棱锥O −ABC 的底面ΔABC 的顶点都在球O 的表面上，且AB =6，BC =2√3，AC =4√3，且三棱锥O −ABC 的体积为4√3，则球O 的体积为（ ） A ．32π3B ．64π3C ．128π3D ．256π3【答案】D【解析】由O 为球心，OA ＝OB ＝OC ＝R ，可得O 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心，AB ＝6，BC =2√3，AC =4√3，可得△ABC 为AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，可得13•OM •12AB •BC =16OM •12√3=4√3，解得OM ＝2， R 2＝OM 2+AM 2＝4+12＝16，即R ＝4，球O 的体积为43πR 3=43π•64=2563π．故选：D ．10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A B ．8πC D ．43π【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为AC BC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径22r AB ==， 又由12AA =，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径2R ==所以R =，所以外接球的体积为3344333V R ππ==⨯=，故选C. 11．在三棱锥P ABC -中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC =则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．163π C ．43π D．27【答案】B【解析】因为1,AB AC BC ===，由余弦定理可求得23BAC π∠=， 再由正弦定理可求得ABC ∆的外接圆的半径122sin3BCr π==， 因为2PA PB PC ===，所以P 在底面上的射影为ABC ∆的外心D，且PD =，设其外接球的半径为R，则有2221)R R =+，解得R =24164433S R πππ==⨯=，故选B.12．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12πC ．32πD ．48π【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA ⊥平面ABC,BC ⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以SC =设SC 中点为O,则在直角三角形SAC 中，在直角三角形SBC 中，OB=12SC =所以,所以点O所以四面体外接球的表面积为4=12ππ.故选：B13．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2B C ．2π D ．3π【答案】D【解析】根据题意, AC 为截面圆的直径, AC =设球心到平面ABC 的距离为d ,球的半径为R 。
2025年高考数学一轮复习 第八章 -球的切、接、截面问题【课件】
素能培优（九）球的切、接、截面问题
一、梳理提炼
1.几何体外接球问题
（1）解题关键是确定球心和半径,解题思维流程如下:
（2）求多面体的外接球的半径,常用方法:
①当三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,
求出球的半径；
②直棱柱的外接球的球心为其上、下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理
外接圆的圆心.设点为外接球的球心,由球的性质可知 ⊥ 平面,作
⊥ ,垂足为,所以四边形为矩形, = = .设 = , = = ,
则 + −
= =
= + , 解得 = ,所以 = + = ,所以球的体积
三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( C )
A.125π
B.144π
C.169π
D.244π
[解析] ∵ 三棱柱 − 的侧棱垂直于底面, = , = ,∠ = ∘ ,
= ,
∴ 可将三棱柱 − 补成长方体,且长方体的长，宽，高分别为3,4,12.
③作延长线找交点法:若直线相交但在立体几何中未体现,则可通过作延长线的方法先
找到交点,然后借助交点找到截面形成的交线.
④辅助平面法:若三个点两两都不在一个侧面或者底面中,则在作截面时需要作一个辅
助平面.
（2）作截面的步骤
①找截点:（方式1）延长截面上的一条直线,与几何体的棱、面（或其延长部分）相交,
交点即截点;（方式2）过一截点作另外两截点连线的平行线,交几何体的棱于截点.
②连截线:连接同一平面内的两个截点,形成截线.
③围截面:将各截线首尾相连,围成截面.
高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
C.
1变变:2式式则 :3题 题：：在 一已A个知正各B方顶中 BC 体点. 的都各在， 顶一点个用 均球在面同上解 一的球正直 的四球棱面柱角 上高识 ，为三 若4，该得 体角 正积方r为， 体形 1的6，3表3则知 面,这从 积个为球2而 S的4，表O 则1面该积球为S的（体A2积为）AO 12 .
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
二、构造法
1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， D 平 A A， 面 B A C B B ,D C A A B B C 3 则球O的体积等于
高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h
A. 1 6 B. C. 2 4 D. 2 0 3 2 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。
66x433,x2h,hx
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 Rr2d21, V 2球43 .
d
3 2
小结 本题是运用公式 R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．
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一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 2 7 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
D
B. 6 2
C
C. 6 8
D. 6 24
P
A
E
B
D
C
E
图3
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
2、构造长方体 已知A 点BA、6,BA 、C = C2 、1 D3 在,A 同D 一=8个，球则面B上、，CA 两B点间平 的面 A 球BC 面D距离B是C34 D C.
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， D 平 A A， 面 B A C B B ,D C A A B B C 3 则球O的体积等于
9
2
D
A
O
A
B
图4 C
O C
P
B
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
二、构造法 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
D C
求正方体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
2、在等腰梯形ABCD中，A B 2D C 2, DA 6B 0， 0 E为AB的中点，将AD与 EBEC 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ C ）
A. 4 3 27
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 1 4 ，故球的表面积为1 4 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 1 6 B. 2 0 C. 2 4 D. 3 2
一、 球体的体积与表面积
B.125 9
C .125 6
D.125 3
D
AO
C
图4 B
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高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
四、公式法
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
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五、构造直角三角形 例13、求棱长为1的正四面体外接 球的体积．
解：S设 O 1是正四S面 A体 BC的 D高，外接球 O在的 SO 1上 球， 心设外接球 R,A半 O 1径 r, 为
球与多面体的内切、外接
球的半径r 的棱长a有什么关系？
.r
a
如果一个多面体的各个顶点都在同一个
球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球.有关多 面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用.
D. 1: 8: 27
A
D1 A1
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B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。 S乙 4 R22 =2
棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
球与棱柱的组合体问题 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
O B
C D 图 5
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
三、确定球位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
A.125 12
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D
C 求正多面体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
二、球与①多V面球体的43接、R切3
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
66x433,x2h,hx
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 Rr2d21, V 2球43 .
d
3 2
小结 本题是运用公式 R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．