3_多因子方差分析
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多因素方差分析
i =1 j =1
r k
k
r
A
SSB = ∑∑ nij ( xi − x) 2
i =1 j =1
B
SST = ∑∑ ( xij − x) 2
i =1 j =1
k
ni
By Laura
多 因 素 方 差 分 析
作业：（发送到 作业：（发送到 493076045@ ） ：（
根据数据：“广告形式、地区与销售额数据.sav” 根据数据 判 断： 销售额是否受广告形式不同的影响？ 销售额是否受地区不同的影响？ 广告形式与地区的最佳组合是什么？ 要 求： spss操作结果截图，具体分析（结论）
多 因 素 方 差 分 析 今天要解决的问题
1. 什么叫多因素方差分析，和单因素有什么区别？ • • 什么叫做主效应、交互效应，如何判断是否存在？ 根据是否有交互效应， 分别建立饱和模型和非饱和模型。
终极目标： 根据数据“包装与柜台对销售额影像数据”
判断：销售额是否受包装不同的影响？ 判断 销售额是否受柜台不同的影响？ 包装与柜台的最佳组合是什么？
FA =
SSA / (k − 1) MSA = SSAB / (k − 1)( r − 1) MSAB
SSB / (r − 1) MSB FB = = SSAB / (k − 1)(r − 1) MSAB
FAB SSAB / (k − 1)(r − 1) MSAB = = SSE / kr (l − 1) MSE
By Laura
多 因 素 方 差 分 析
固定效应模型： 固定效应模型： 控制变量的水平可以严格控制， 控制变量的水平可以严格控制，对观测变量的影响是 固定的，如温度， 固定的，如温度，品种
SSA / (k − 1) MSA FA = = SSE / kr (l − 1) MSE
r k
k
r
A
SSB = ∑∑ nij ( xi − x) 2
i =1 j =1
B
SST = ∑∑ ( xij − x) 2
i =1 j =1
k
ni
By Laura
多 因 素 方 差 分 析
作业：（发送到 作业：（发送到 493076045@ ） ：（
根据数据：“广告形式、地区与销售额数据.sav” 根据数据 判 断： 销售额是否受广告形式不同的影响？ 销售额是否受地区不同的影响？ 广告形式与地区的最佳组合是什么？ 要 求： spss操作结果截图，具体分析（结论）
多 因 素 方 差 分 析 今天要解决的问题
1. 什么叫多因素方差分析，和单因素有什么区别？ • • 什么叫做主效应、交互效应，如何判断是否存在？ 根据是否有交互效应， 分别建立饱和模型和非饱和模型。
终极目标： 根据数据“包装与柜台对销售额影像数据”
判断：销售额是否受包装不同的影响？ 判断 销售额是否受柜台不同的影响？ 包装与柜台的最佳组合是什么？
FA =
SSA / (k − 1) MSA = SSAB / (k − 1)( r − 1) MSAB
SSB / (r − 1) MSB FB = = SSAB / (k − 1)(r − 1) MSAB
FAB SSAB / (k − 1)(r − 1) MSAB = = SSE / kr (l − 1) MSE
By Laura
多 因 素 方 差 分 析
固定效应模型： 固定效应模型： 控制变量的水平可以严格控制， 控制变量的水平可以严格控制，对观测变量的影响是 固定的，如温度， 固定的，如温度，品种
SSA / (k − 1) MSA FA = = SSE / kr (l − 1) MSE
多因素方差分析
它基于方差分析的基本原理，通过比较不同组之间的方差来评估变量的显著性。 多因素方差分析可以揭示多个因素之间的交互作用，以及单独对连续变量的影响。 通过多因素方差分析，可以得出关于因素对结果影响的更全面的理解。
目的：比较多个因素对因变量 的影响程度，确定显著因素
应用场景：如心理学、经济学、 社会学等领域的实验数据分析 和调查数据分析
数据清洗：去除 异常值、缺失值 和重复值
数据转换：对数 据进行标准化、 归一化或中心化 处理
描述性统计：计 算各因素的平均 值、标准差、偏 度、峰度等统计 指标
数据可视化：制 作箱线图、直方 图等图表，直观 展示数据分布情 况
构建模型：根据研究目的和数据特征，选择合适的方差分析模型，包括单因素方 差分析、多因素方差分析和协方差分析等。
检验各因素间的交互作用
检验模型假设是否满足
进行方差分析并解释结果
描述统计：对各组数据的均值、方差等统计指标进行描述。 检验假设：检验各组数据之间是否存在显著性差异。 因素分析：分析各因素对数据的影响程度。 结论：根据分析结果得出结论，并给出相应的建议或策略。
PART FOUR
正态性检验：确保数据符合正态分布，可以使用图形或统计检验方法进行验证。
考虑交互效应：在多因素方差分析中，需要考虑交互效应对结果的影响，这可以通过在模型中添加交互项来实现。
控制其他因素：在多因素方差分析中，需要注意控制其他潜在因素的影响，以确保结果的准确性和可靠性。
结果解释：正 确理解各因素 对结果的影响 程度和显著性
结果解释：注 意结果的稳健
性和可靠性
报告撰写：清 晰明了地呈现 分析过程和结
检验假设：在模型构建后，需要检验各组之间是否存在显著差异，即检验假设是 否成立。常用的检验方法有F检验和Welch's F检验等。
目的：比较多个因素对因变量 的影响程度，确定显著因素
应用场景：如心理学、经济学、 社会学等领域的实验数据分析 和调查数据分析
数据清洗：去除 异常值、缺失值 和重复值
数据转换：对数 据进行标准化、 归一化或中心化 处理
描述性统计：计 算各因素的平均 值、标准差、偏 度、峰度等统计 指标
数据可视化：制 作箱线图、直方 图等图表，直观 展示数据分布情 况
构建模型：根据研究目的和数据特征，选择合适的方差分析模型，包括单因素方 差分析、多因素方差分析和协方差分析等。
检验各因素间的交互作用
检验模型假设是否满足
进行方差分析并解释结果
描述统计：对各组数据的均值、方差等统计指标进行描述。 检验假设：检验各组数据之间是否存在显著性差异。 因素分析：分析各因素对数据的影响程度。 结论：根据分析结果得出结论，并给出相应的建议或策略。
PART FOUR
正态性检验：确保数据符合正态分布，可以使用图形或统计检验方法进行验证。
考虑交互效应：在多因素方差分析中，需要考虑交互效应对结果的影响，这可以通过在模型中添加交互项来实现。
控制其他因素：在多因素方差分析中，需要注意控制其他潜在因素的影响，以确保结果的准确性和可靠性。
结果解释：正 确理解各因素 对结果的影响 程度和显著性
结果解释：注 意结果的稳健
性和可靠性
报告撰写：清 晰明了地呈现 分析过程和结
检验假设：在模型构建后，需要检验各组之间是否存在显著差异，即检验假设是 否成立。常用的检验方法有F检验和Welch's F检验等。
多因素方差分析意义
• 根据分析结果评估药物疗效的差异
• 为临床治疗提供指导意见
多因素方差分析在教育研究中的应用
案例：教学方法研究
• 考虑教学方法、学生能力和课程类型三个因素对学习成果的影响
• 分析各因素及其交互作用对学习成果的影响
结果解释与应用
• 根据分析结果评估不同教学方法的优劣
• 为教育改革提供建议
多因素方差分析在市场营销研究中的应用
图形展示
• 制作条形图、散点图等图形，展示因素效应和交互效应
• 使用颜色和形状编码因素和交互作用
结果解释
• 利用图形直观地观察因素效应和交互效应的大小和方向
• 分析因素和交互作用对结果变量的影响趋势
多因素方差分析结果的评估及决策应用
结果评估
决策应用
• 综合表格和图形的结果，评估因素效应和交互效应的显
• 根据分析结果制定决策策略
著性
• 优化实验设计，改进研究方法
• 评估因素和交互作用对结果变量的影响程度和趋势
04
多因素方差分析在实际应用中的案例举例
多因素方差分析在医学研究中的应用
案例：药物疗效研究
• 考虑药物类型、剂量和患者年龄三个因素对疗效的影响
• 分析各因素及其交互作用对疗效的影响
结果解释与应用
• 确定模型中的因素和交互作用
• 计算F统计量和P值
• 根据P值进行决策
03
多因素方差分析结果的解释与评估
多因素方差分析结果的表格展示及解释
表格展示
结果解释
• 呈现因素效应、交互效应和误差项的均方
• 分析因素效应和交互效应是否显著
• 呈现F统计量和P值
• 评估因素和交互作用对结果变量的影响程度
多因素方差分析结果的图形展示及解释
• 为临床治疗提供指导意见
多因素方差分析在教育研究中的应用
案例：教学方法研究
• 考虑教学方法、学生能力和课程类型三个因素对学习成果的影响
• 分析各因素及其交互作用对学习成果的影响
结果解释与应用
• 根据分析结果评估不同教学方法的优劣
• 为教育改革提供建议
多因素方差分析在市场营销研究中的应用
图形展示
• 制作条形图、散点图等图形，展示因素效应和交互效应
• 使用颜色和形状编码因素和交互作用
结果解释
• 利用图形直观地观察因素效应和交互效应的大小和方向
• 分析因素和交互作用对结果变量的影响趋势
多因素方差分析结果的评估及决策应用
结果评估
决策应用
• 综合表格和图形的结果，评估因素效应和交互效应的显
• 根据分析结果制定决策策略
著性
• 优化实验设计，改进研究方法
• 评估因素和交互作用对结果变量的影响程度和趋势
04
多因素方差分析在实际应用中的案例举例
多因素方差分析在医学研究中的应用
案例：药物疗效研究
• 考虑药物类型、剂量和患者年龄三个因素对疗效的影响
• 分析各因素及其交互作用对疗效的影响
结果解释与应用
• 确定模型中的因素和交互作用
• 计算F统计量和P值
• 根据P值进行决策
03
多因素方差分析结果的解释与评估
多因素方差分析结果的表格展示及解释
表格展示
结果解释
• 呈现因素效应、交互效应和误差项的均方
• 分析因素效应和交互效应是否显著
• 呈现F统计量和P值
• 评估因素和交互作用对结果变量的影响程度
多因素方差分析结果的图形展示及解释
多因素方差分析
多因素方差分析多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
[例子]研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。
分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。
表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表数据保存在“DATA5-2.SAV”文件中，变量格式如图5-1。
1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。
然后输入对应的数值，如图5-6所示。
或者打开已存在的数据文件“DATA5-2.SAV”。
图5-6 数据输入格式2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。
图5-7 多因素方差分析窗口3）设置分析变量设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。
设置因素变量:在左边变量列表中选“a”和“b”变量，用向右拉按钮移到“Fixed Factor(s):”框中。
可以选择多个因素变量。
多因素方差分析原理共18页
多因素方差分析原理
• 方差分析的基本思想 • 方差分析的基本假设 • 方差分析的步骤
方差分析的基本思想
• 方差分析（ANOVA）是由英国统计学家 R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推 断多个总体均数有无差异。是一种典型的 还原论思想。
方差分析的基本思想
• 方差分析与t检验的区别 t检验只适宜检验两个平均数之间是否存在 差异。对于一个复杂的问题，t检验只能进 行多组平均数两两之间的差异检验。而方 差分析可以同时检验两个或多个平均数之 间的差异以及几个因素水平之间的交互作 用。
• 方差分析的主要功能是分析因变量的总变 异中不同来源的变异。
F=MSB/MSw（组间均方/组内均方） 只有当F值大于1，即组间均方大于组 内均方且落入F分布的的临界区域时，表明 不同的实验处理之间存在着显著差异；如 果F小于1，说明数据的总变异中由不同实 验处理所造成的变异只占很小的比例；如 果F=1，说明不同实验处理之间的差异不够 大。
方差分析的步骤
• 五、查F值表进行F检验并作出判断 如果拒绝虚无假设的p值定为p=0.05，
• 各实验处理之间的方差一致—即实验处理 内的方差彼此间无显著差异。
方差分析的几个概念和符号
• 离均差 • 离均差之和 • 离均差平方和（SS） • 方差（2 S2 ）也叫均方（MS） • 标准差：S • 自由度： df • 关系： MS= SS/ df
方差分析的步骤
• 一、求平方和 总平方和(SST) 组间平方和(SSB) 组内平方和(SSW) SST= SSW+ SSB
• 备择假设也称为研究假设，是对虚无假设的否定 H1 ： μ1 ≠ μ2 ≠ μ3
• 方差分析的基本思想 • 方差分析的基本假设 • 方差分析的步骤
方差分析的基本思想
• 方差分析（ANOVA）是由英国统计学家 R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推 断多个总体均数有无差异。是一种典型的 还原论思想。
方差分析的基本思想
• 方差分析与t检验的区别 t检验只适宜检验两个平均数之间是否存在 差异。对于一个复杂的问题，t检验只能进 行多组平均数两两之间的差异检验。而方 差分析可以同时检验两个或多个平均数之 间的差异以及几个因素水平之间的交互作 用。
• 方差分析的主要功能是分析因变量的总变 异中不同来源的变异。
F=MSB/MSw（组间均方/组内均方） 只有当F值大于1，即组间均方大于组 内均方且落入F分布的的临界区域时，表明 不同的实验处理之间存在着显著差异；如 果F小于1，说明数据的总变异中由不同实 验处理所造成的变异只占很小的比例；如 果F=1，说明不同实验处理之间的差异不够 大。
方差分析的步骤
• 五、查F值表进行F检验并作出判断 如果拒绝虚无假设的p值定为p=0.05，
• 各实验处理之间的方差一致—即实验处理 内的方差彼此间无显著差异。
方差分析的几个概念和符号
• 离均差 • 离均差之和 • 离均差平方和（SS） • 方差（2 S2 ）也叫均方（MS） • 标准差：S • 自由度： df • 关系： MS= SS/ df
方差分析的步骤
• 一、求平方和 总平方和(SST) 组间平方和(SSB) 组内平方和(SSW) SST= SSW+ SSB
• 备择假设也称为研究假设，是对虚无假设的否定 H1 ： μ1 ≠ μ2 ≠ μ3
多因素方差分析
多因素方差分析多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
[例子]研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。
分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。
表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表相对湿度（%）温度℃重复1 2 3 4100 25 91.2 95.0 93.8 93.027 87.6 84.7 81.2 82.429 79.2 67.0 75.7 70.631 65.2 63.3 63.6 63.380 25 93.2 89.3 95.1 95.527 85.8 81.6 81.0 84.429 79.0 70.8 67.7 78.831 70.7 86.5 66.9 64.940 25 100.2 103.3 98.3 103.827 90.6 91.7 94.5 92.229 77.2 85.8 81.7 79.731 73.6 73.2 76.4 72.51）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。
然后输入对应的数值，如图5-6所示。
《多因素方差分析》课件
结果解释
可解释总变差中各因素的影响以及交互作 用对变差的贡献，从而找到变量间的优化 组合。
多因素方差分析的重要概念和术语
变量 因素水平 均值 方差
影响响应变量的因素，可以是控制因素， 也可以是研究因素。
在研究因素中不同取值，表示因素强度的 划分。
所有观察到的响应变量的总和除以观测次 数。
对每个数据点和均值之差的平方进行求和， 并除以总数据点数。
度。
多因素方差分析的应用领域和价值
农业领域
分析环境因素，评估不同土壤处理和种子品种 的影响。
医学领域
对患者实验结果进行分析，探究不同药物以及 人群之间的药效差异。
生产领域
通过分析产品或者过程中因素之间的影响，提 高流程效率和产品质量。
社会科学领域
对大量数据进行因素分析，找到不同因素对人 们偏好的影响关系。
多因素方差分析的实例分析
1 问题
比较三种不同芯片的型号,不同周期下 的工作温度变化是否存在显著差别。
2 实验方案
三种芯片型号、五种不同周期下，两家 不同公司的生产环境，共计30组试验。
3 数据分析
4 结论
统计数据分析结果表明不同的芯片型号 和不同的周期都对工作温度产生了显著 的影响，且不同芯片型号和周期的交互 作用也有重要影响。
多因素方差分析
探究多因素方差分析的背景与基本概念，了解其实用价值并且学会如何应用 它来解决问题。
多因素方差分析的定义
研究对象
比较两个或两个以上的因素对一个或多个 响应变量的影响。
数据前提
需要每种因素的不同水平和每个响应变量 的各自取值。
分析方法
计算变异的贡献以及因素之间的差异，同 时考虑到因素交互作用的效应。
可解释总变差中各因素的影响以及交互作 用对变差的贡献，从而找到变量间的优化 组合。
多因素方差分析的重要概念和术语
变量 因素水平 均值 方差
影响响应变量的因素，可以是控制因素， 也可以是研究因素。
在研究因素中不同取值，表示因素强度的 划分。
所有观察到的响应变量的总和除以观测次 数。
对每个数据点和均值之差的平方进行求和， 并除以总数据点数。
度。
多因素方差分析的应用领域和价值
农业领域
分析环境因素，评估不同土壤处理和种子品种 的影响。
医学领域
对患者实验结果进行分析，探究不同药物以及 人群之间的药效差异。
生产领域
通过分析产品或者过程中因素之间的影响，提 高流程效率和产品质量。
社会科学领域
对大量数据进行因素分析，找到不同因素对人 们偏好的影响关系。
多因素方差分析的实例分析
1 问题
比较三种不同芯片的型号,不同周期下 的工作温度变化是否存在显著差别。
2 实验方案
三种芯片型号、五种不同周期下，两家 不同公司的生产环境，共计30组试验。
3 数据分析
4 结论
统计数据分析结果表明不同的芯片型号 和不同的周期都对工作温度产生了显著 的影响，且不同芯片型号和周期的交互 作用也有重要影响。
多因素方差分析
探究多因素方差分析的背景与基本概念，了解其实用价值并且学会如何应用 它来解决问题。
多因素方差分析的定义
研究对象
比较两个或两个以上的因素对一个或多个 响应变量的影响。
数据前提
需要每种因素的不同水平和每个响应变量 的各自取值。
分析方法
计算变异的贡献以及因素之间的差异，同 时考虑到因素交互作用的效应。
多因素方差分析简介
SSw SSt SSb 579.8333 331.3333 248.5000
于是A因素组间平方和为：
2 2 （X a） （X a） SSA na na K a
7082 6962 7182 21222 30.3333 8 8 3
B因素平方和为：
所以 A因素F=1.10<3.55= B因素F=0.77<4.41=
F( 2， )0。 6.01 18 01
F(1， )0。 8.29 18 01
F( 2， ) 0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F(1， )0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F( 2， )0。 ，p<0.01，拒绝零假设 18 01
MS B 10.6666 F 0.7726 MSW 13.8056
MS AB 145.1667 F 10.5151 MSW 13.8056
第三步：统计决断
根据分子自由度、分母自由度查附表3，找到各 个临界值，即
F( 2， )0。 3.55 18 05
F(1， )0。 4.41 18 05
解：第一步：提出假设
首先，提出关于A因素的假设：
H 0 a a a
1 2
3
H1
A因素至少有两个水平的总体平均数不相等 然后，提出关于B因素的假设：
1
2
最后，提出关于A、B两个因素交互作用是否显著 的假设：
H0
A、B两个因素交互作用不显著 A、B两个因素交互作用显著
MS B F MSW
对于A因素与B因素的交互作用，检验统计量的计算 公式为：
MS AB F MSW
第三步：统计决断 根据分子和分母自由度及=0.05和=0.01两个 显著性水平查附表3寻找F临界值。然后，将实际计 算出的F值与这两个临界值相比较，若实际计算出的
多因素方差分析原理
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8
方差分析的步骤
• 三、计算均方
组间均方：MSB=SSB/dfB 组间均方：MSW=SSW/dfW
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9
方差分析的步骤
• 四、计算F值
F=MSB/MSw（组间均方/组内均方） 只有当F值大于1，即组间均方大于组 内均方且落入F分布的的临界区域时，表明 不同的实验处理之间存在着显著差异；如 果F小于1，说明数据的总变异中由不同实 验处理所造成的变异只占很小的比例；如 果F=1，说明不同实验处理之间的差异不够 大。
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10
方差分析的步骤
• 五、查F值表进行F检验并作出判断 如果拒绝虚无假设的p值定为p=0.05，
计算的F值远小于所确定的显著性水平的临 界值，就可拒绝虚无假设，说明不同组的 平均数之间至少有一对差异显著。
如果F值大于所确定的临界值，就不能 拒绝虚无假设。
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11
方差分析的步骤
可编辑ppt
4
方差分析的基本假设
• 虚无假设与备择假设
虚无假设有综合虚无假设与部分虚无假设
综合虚无假设一般是指样本所属的所有总体的平均
数都相等，如某实验设计中有三个实验组,综合虚无 假设可表述为：
H0 ： μ1=μ2=μ3 ，组间虚无假设相应地称为部分虚 无假设。检验综合虚无假设是方差分析的主要任务。
如果综合虚无假设被拒绝，紧接着要确定要确定哪
两个组之间存在着差异，要运用事后比较的方法来 确定。
• 备择假设也称为研究假设，是对虚无假设的否定
H1 ： μ1 ≠ μ2 ≠ μ3
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5
方差分析的应用条件
• 总体正态分布—一般方差分析时并不要求 检验分布的正态性，但有证据表明总体分 布不是正态时，要将数据做正态转化或采 用非参数检验方法。
方差分析包括三因素(ppt)
五、各水平下试验次数不等时的方差分析 设第 i个水平试验次数为ni, 则有
式中：
m
n ni
i1
Qim 1jn i1(XijX)2im 1jn i1Xi2jT n 2
ni
Ti X ij
j 1
Q Eim 1jn i1(X i jX i)2im 1jn i1X i2jim 1T n ii2
2、若每组观测数据不相等，可用GLM过程 处理以上四种情形的方差分析。
均衡数据的方差分析（ANOVA过程）
过程说明： 1、PROC ANOVA； 2、CLASS 变量表；
可以是数值型和字符 型
CLASS和MODEL是必需 的，
3、MODEL 因变量表=效应；CLAS输S出必因须变的量M均OD数E，L之对主效应均数间的检
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
61 7 2 07 3 13 1 .7 2 1 6
4
Q A1 6i 3 1T i23 T 2 61 6 27 3 6 1 3 0 8 2 8 44 2 .317
Q Q E Q A 11 .7 1 44 2 .3 1 57 332
计算出F值：
QA
4217.3
(31) 2 28.38
一般形式：
结果
水平
A1 A2
。 。
医学统计学课件-第十一章多因素试验的方差分析
方差分析的可视化
箱线图
箱线图用于可视化不同组之间的 数据差异和离群值。
散点图
散点图可帮助观察不同因素之间 的关联性和趋势。
条形图
条形图可以形象地展示不同组之 间的差异。
总结
方差分析的优点和不足
方差分析可以有效比较多个组之间的差异，但对样本的分布和方差的要求较高。
方差分析在医学领域的应用情况
方差分析在医学研究中被广泛应用于比较不同治疗方案、药物疗效等。
医学统计学课件-第十一 章多因素试验的方差分析
在这一章节中，我们将深入探讨多因素试验的方差分析，了解其优点、缺点 以及在医学领域的应用。
多因素试验简介
什么是多因素试验
多因素试验是指在同一实验中考察两个或两个以上的因素对试验结果的影响。
多因素试验的优点和缺点
多因素试验能够揭示多个因素之间的交互作用，但实施上需要考虑实验设计和样本量的增加。
方两个或多个 样本均值之间的差异。
ANOVA表的构造
ANOVA表用于展示方差分析的结果，包括组间平 方和、组内平方和、总平方和和F值。
方差分析的假设
方差分析的假设包括各组样本来自正态分布总体、 各组方差相等、观测值的独立性。
方差分析的限制条件
方差分析的未来发展趋势
随着统计学和数据分析方法的发展，方差分析也将不断提升其效能和应用范围。
多因素方差分析
二因素方差分析及交互作用检验
二因素方差分析用于研究两个因素对观测结果的影响，并检验它们之间是否存在交互作用。
三因素方差分析及其它多因素方差分析方法
除了二因素方差分析外，还有三因素方差分析及其他多因素方差分析方法，可以应用于复杂 实验设计。
多因素方差分析的主要应用场景
多因子方差分析与正交试验设计原理
CH3. 多因子方差分析与正交试验设计原理3.1多因子方差分析在前两章中我们讨论了单因子方差分析模型和完全平衡的（包括有、无重复）双因子方差分析模型。
在这两种模型中，试验数据的统计分析有以下两大优点：1） 因子水平（或水平组合）参数的估计有简单的表达形式；2） 因子效应（包括主效应和交互效应）和随机误差效应可以用平方和分解的方法进行分离，进而用F统计量进行检验。
在此我们要指出两种模型的一个重要区别：对单因子方差分析模型，我们不要求在每个水平上的试验次数相同；而对双因子方差分析模型，在每对因子水平组合上，试验的平衡性（即等重复性）是一个重要条件，不然的话，平方和分解公式就不成立，这样在方差分析时就会产生一定的困难。
在多因子试验中也有同样的问题。
因此，我们只考虑平衡的多因子试验。
双因子试验的方差分析模型中所包含的统计思想和方法可以一般地推广到多因子试验的场合。
以三因子模型为例，设有三个因子对响应变量有影响，分别记为A、B、C，它们的水平数分别为I、J、K。
全面地考虑，这三个因子对响应变量的影响可以分成以下三种：1） 各因子的主效应，即单个因子的不同水平对响应变量产生的影响；2） 一阶交互效应（双因子交互效应），即在扣除主效应的影响之后，任意两个因子的不同水平组合（AB、AC、BC）对响应变量产生的联合影响；3） 二阶交互效应（三因子交互效应），即在扣除主效应和一阶交互效应的影响之后，三个因子的不同水平组合（ABC）对响应变量产生的联合影响。
与双因子的情况类似，如果在三个因子的每个水平组合上作相同的L次试验，则当L>1（有重复）时，可以用全模型（即包含全部上述三种效应的模型）进行方差分析；而当L=1（无重复）时，二阶交互效应无法分析，而只能分析主效应和一阶交互效应。
读者可以仿照上一节中的作法，对这两种情况下三个因子方差分析的全部过程列出结果（模型、平方和分解、自由度、F统计量，等等）。
进而可以考虑四因子、五因子、乃至一般m个因子的情况。
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程序】 【SAS 程序】 data eg3_1 ； do b=1 to 8； ； do a =1 to 4 ； input x @@ ； output ； end ； end ； cards； ； 8.4 9.4 9.8 12.2 …… 7.9 8.1 8.2 10.0 run ； proc anova； ； 模型包含b因子 class a b ； model x = a b； ； -----校正个体差异的影响 means a / snk； ； run； ；
① 模型总体检验结果： p=0.0001，R2=0.596。 说明模型有统计意义。
Mean Square 37.24625000 3.20611111
F Value 11.62
Pr > F 0.0001
Root MSE 1.7905617
X Mean 5.1583333
② Source PLACE TREAT PLACE*TREAT DF 2 2 4 Type I SS 21.31750000 185.85583333 90.79666667 Mean Square 10.65875000 92.92791667 22.69916667 F Value 3.32 28.98 7.08 Pr > F 0.0424 0.0001 0.0001
(3) H0: 所有γij 都相同 H1: 所有γij 不完全相同 (交互效应)
有交互效应的双因子方差分析表: 有交互效应的双因子方差分析表
什么是交互效应？ 什么是交互效应？
Y
无交互效应模型： Y=A+B 有交互效应模型： Y=A+B+AB Y
例如： Y= 舒张压 A=药物： A=1 (对照药)， A=2 (试验药) B=性别： B=1 (男性) ， B=2 (女性)
程序】 【SAS程序】 程序 data eg3_2； ； do place=1 to 3；do treat=1 to 3；do id=1 to 8； ； ； ； input x @@； output； ； ； end； end；end； ； ； ； cards； ； 4.0 2.3 …… 6.3 10.2 2.4 5.4 …… 6.4 9.0 1.0 1.3 …… 6.8 5.2 run； ； proc glm； ； class place treat； ； model x=place | treat； ； lsmeans place | treat / pdiff adjust=bon； ； run； ；
R-Square 0.869787 ② Source A B DF 3 7
C.V. 8.103786
Root MSE 0.8098721
X Mean 9.9937500
Anova SS 13.01625000 78.98875000
Mean Square 4.33875000 11.28410714
无交互效应的双因子方差分析表: 无交互效应的双因子方差分析表
Source A B Model Error Corrected Total DF 3 7 10 21 31 Anova SS 13.01625000 78.98875000 92.00500000 13.77375000 105.77875000 Mean Square 4.33875000 11.28410714 9.20050000 0.65589286 F Value 6.62 17.20 14.03 Pr > F 0.0025 0.0001 0.0001
F Value 6.62 17.20
Pr > F 0.0025 0.0001
③ Student-NewmanStudent-Newman-Keuls test for variable: X NOTE: This test controls the type I experimentwise error rate under the complete null hypothesis but not under partial null hypotheses. Alpha= 0.05 df= 21 MSE= 0.655893 Number of Means 2 3 4
【例3-2】某药物研究所作抗哮喘病药物实验，目的是比较两 】某药物研究所作抗哮喘病药物实验， 种剂量的抗哮喘病药物和一个对照药物在三个临床研究地点 的效能差异。 的效能差异。研究设计是在每一个地点用每一种处理方法处 个病人， 理8个病人，因变量采用的是哮喘病人体能测试得分的增加量。 个病人 因变量采用的是哮喘病人体能测试得分的增加量。 测试结果列在表3-4中 测试结果列在表 中。 表3-4 哮喘病人体能测试得分增加量数据
Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: X Source Model Error Corrected Total DF 3 28 31 Sum of Squares 13.01625000 92.76250000 105.77875000 F Value 1.31 Pr > F 0.2909
数据： 数据： 每个交叉点上一个观测值
方差分析原理------变异分解： 变异分解： 方差分析原理 变异分解
SST = SSA + SSB + SSE
总变异=因子A+ 因子B + 随机误差 统计假设： 统计假设：
无交互效应的双因子方差分析表: 无交互效应的双因子方差分析表
名患者， 【例3-1】用四种不同方法治疗 名患者，其血浆凝固时间的 】用四种不同方法治疗8名患者 资料列在表3-2中 试分析治疗方法对血浆凝固时间的影响。 资料列在表 中。试分析治疗方法对血浆凝固时间的影响。 表3-2 治疗方法与浆凝固时间的资料
输出结果】 【SAS 输出结果】 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: X ① Source Model Error Corrected Total DF 10 21 31 Sum of Squares 92.00500000 13.77375000 105.77875000 Mean Square 9.20050000 0.65589286 F Value 14.03 Pr > F 0.0001
输出结果】 【SAS输出结果】 输出结果 General Linear Models Procedure Class Level Information Class Levels Values PLACE 3 123 TREAT 3 123 Number of observations in data set = 72 ① Dependent Variable: X Sum of Source DF Squares Model 8 297.97000000 Error 63 201.98500000 Corrected Total 71 499.95500000 R-Square 0.595994 C.V. 34.71202
R-Square 0.123052
C.V. 18.21288
X Mean 9.99375000
Source A
DF 3
Anova SS 13.01625000
F Value 1.31
Pr > F 0.2909
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
完全随机设计的单因素方差分析结果: 完全随机设计的单因素方差分析结果
Source F A 0.2909 Error Corrected Total DF 3 28 31 Sum of Squares 13.01625000 92.76250000 105.77875000 Anova SS 13.01625000 78.98875000 13.77375000 105.77875000 Mean Square 4.33875000 3.31294643 F Value 1.31 Pr >
第二节 有交互效应的二因子方差分析
数据：每个交叉点上有 数据：每个交叉点上有r (>1) 个重复观测值
方差分析原理------变异分解： 变异分解： 方差分析原理 变异分解
SST = SSA + SSB + SSAB + SSE
总变异=因子A+ 因子B + 交互效应AB + 随机误差 统计假设： 统计假设： (1) H0: µ1 =…=µa (2) H0: ν1 =…=νb H1: µi ≠µj H1: νi ≠νj (A效应) (B效应)
2）根据效应因子的随机性： ）根据效应因子的随机性： 固定模型(fixed model)：效应因子是专门指定的。 固定模型 随机模型(random model)：效应因子是从很多因子中随机 随机模型 抽取出来的。 混合模型(mixed model)：效应因子包含两种类型因子。 混合模型
第一节 无交互效应的二因子方差分析
程序】 【SAS 程序】 模型不包含b因子 模型不包含 因子 data eg3_1 ； -----不校正个体差异的影响 不校正个体差异的影响 do b=1 to 8； ； do a =1 to 4 ； input x @@ ； output ； end ； end ； cards； ； 8.4 9.4 9.8 12.2 …… 7.9 8.1 8.2 10.0 run ； proc anova； ； class a ； model x = a ； means a / snk； ； run； ；
Source PLACE TREAT PLACE*TREAT
DF 2 2 4
Type III SS 21.31750000 185.85583333 90.79666667
Mean Square 10.65875000 92.92791667 22.69916667