高中数学椭圆的参数方程 (1)

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2．已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的动弦 BC 平行于虚轴， M，N 是双曲线的左、右顶点，求直线 MB，CN 的交点 P 的轨迹方程．
解 设点 Bcosa φ，btan θ，则 Ccosa φ，－btan θ，
又 M(－a，0)，N(a，0)．
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解 在以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴的直角坐标系中，弹道方
x＝v0tcos α， 程是y＝v0tsin α－12gt2(t 为参数)
它经过最高点(3 000，1 200)和点 B(6 000，0)的时间分别为 t0
3 000＝v0t0cos α， 和 2t0，代入参数方程得1 200＝v0t0sin α－12gt20，
弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
由xa22＋yb22＝1，
可得直线 AP 与椭圆的交点的横坐
标，x1＝－a，x2＝abb22＋－aa23kk22.
直线 AP 与椭圆交点的纵坐标为 y1＝0，y2＝b22＋aba22kk2
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即点 P 的坐标为abb22＋－aa23kk22，b22＋aba2k2k2. ∵点 P 是椭圆任意的不同于 A 的点， ∴xy＝＝abb2b22＋2a＋－baa2ak22k3kk222，(k 为参数)，
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题型二 双曲线的参数方程
与椭圆类似，双曲线的参数方程x＝cosa φ， (φ 为参数)中 y＝btan φ
φ 的几何意义也是双曲线上一点 M 的离心角． 【例2】直线 AB 过双曲线xa22－by22＝1 的中心 O，与双曲线交于
A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA， PB 的斜率的乘积为定值．
解 由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为
(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点
A(6，0)，B(0，3)．
由重心坐标公式可知xy＝＝06＋＋30＋＋3336scions
θ
＝2＋2cos
θ，
θ
＝1＋sin
θ.
由此消去 θ 得到（x－42）2＋(y－1)2＝1 即为所求．
m/s2)
(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．
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解 (1)令 y＝20tsin π6 －12gt2＝0，即 4.9t2－10t＝0.解得 t ＝0 或 t≈2. 所以炮弹从发射到落地所需时间约为 2 秒． (2)由 y＝10t－4.9t2， 得 y＝－4.9t2－14090t＝－4.9t－54092＋24590.
2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程
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1. 椭圆的参数方程
(1)椭圆xa22＋by22＝1
的参数方程为
x＝acos φ， __y_＝__b_s_in___φ__ (φ 为参数)，
参数的几何意义是以___a_为__半__径__所__作___圆__上__一__点__和__椭___圆__中__心_ _的__连__线___与__x_轴__正__半__轴___的__夹__角___．
(2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos θ， 3sin θ)，
线段 F1P 的中点坐标为(x，y)，
则 x＝2cos 2θ－1，y＝ 3sin2θ＋0， 所以 x＋12＝cos θ， 2y3＝sin θ.
消去 θ，得x＋122＋43y2＝1，这就是线段 F1P 的中点的轨迹 方程．
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当 cosθ＋π4 ＝－1 时，dmax＝152(2＋ 2)；
当 cosθ＋π4 ＝1 时，dmin＝152(2－ 2)．
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x＝20tcos 3．已 知 弹 道 曲 线 的 参 数 方 程 为
y＝20tsin
π
6， π6 －12gt2
(g
＝
9.8
为参数)的方法，
y＝12＋krk2
给出椭圆另一种形式的参数方程(如图)．
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x2 y2 答 设椭圆的方程为a2＋b2＝1 其中 a＞b＞0，则点 A 的
坐标为(－a，0)，设 AP 的斜率为 k. 直线 AP 的方程为 y＝k(x＋a)
y＝k（x＋a），
(2)中心在
C(x0，y0)的椭圆的参数方程是xy＝＝yx00＋＋bascions
φ， φ
(φ 为参数)．
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2．双曲线的参数方程 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参数方程
x＝cosa φ (φ 为参数) 为___y＝ ___b_ta_n___φ_________ ，规定 φ 的取值范围为 φ__∈__[_0_，__2_π__)_且_____φ_≠__π2__，__φ_≠__32_π____．
∴a≥ 2－1.
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2．点 P 在椭圆1x62＋y92＝1 上，求点 P 到直线 3x－4y＝24 的最 大距离和最小距离．
解 设 P(4cos θ，3sin θ)，
则
d＝|12cos
θ－12sin
5
θ－24|
.
即 d＝12 2cosθ5＋π4 －24，
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)设圆的参数方程为xy＝＝1co＋s sθin ，θ，
2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝ 5sin(θ＋φ)＋1，
∴－ 5＋1≤2x＋y≤ 5＋1.
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0. ∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－ 2sinθ＋π4 －1，
0＝2v0t0sin α－2gt20，
消去
t0，得vv2020ssiinn2αα＝co2s
α＝3
400 g.
000
g，
解得：α＝arctan45，v0＝7 1 230(米/秒)．
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1． 已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点， (1)求2x＋y的取值范围；
x＝v0t， y＝588－12gt2
(g＝9.8 m/s2)，即xy＝＝518580－t，4.9t2，
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这是炸弹飞行曲线的参数方程． (2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0， 即 588－4.9t2＝0，解得 t0＝2 30. 由此得 x0＝150×2 30＝300 30≈1 643 (m)．
上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程．其中参 数k表示直线AP的斜率．也由此可以看出，由于参数的选 取不同，参数方程也不同．
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[P37 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ考交流]
1．双曲线的参数方程x＝cosa φ，中，参数的几何意 y＝btan φ
1 cos
α，tan
α
.d1
＝
1 cos
α－tan
α
2
，
d2
＝
1 cos
α＋tan
α，
2
d1·d2＝cos12α－2 tan2α＝12，
故 d1 与 d2 的乘积是常数．
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[P36 思考交流]
参照求圆的参数方程
x＝（11－＋kk22）r，
(k
φ， φ 中的参数
φ
是椭圆
上点 M 的离心角．
2．椭
圆
（x－m）2 a2
＋
（y－n）2 b2
＝
1
(a>b>0) 的 参 数 方 程 为
x＝m＋acos y＝n＋bsin
φ， φ (φ
为参数)．
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【例1】已知 A、B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的 普通方程．
所以当 t＝5409时，ymax＝24590≈5.1. 所以炮弹在运动中达到的最大高度为 5.1 米．
4 ．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘 积是常数．
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证明 设d1为M点到渐近线y＝x的距离，d2为M点到渐近 线y＝－x的距离， 因为M点在双曲线x2－y2＝1上，则可设M点坐标为
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证明 如图所示，
设 Pcosa α，btan α，Acosa θ，btan θ.
∵AB 过原点 O， ∴A，B 的坐标关于原点对称，
于是有 B－cosa θ，－btan θ，从而：
kPA·kPB＝b（atcaons1
α－tan α－cos1
θθ）·ba（ctoasn1
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【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解 决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更 简便．
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1．设 F1、F2 分别为椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点． (1)若椭圆 C 上的点 A1，32到 F1、F2 距离之和等于 4，写 出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方 程． 解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4， 得2a＝4，即a＝2.
又点 A1，32在椭圆上，
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因此14＋32b22＝1，得 b2＝3， 于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1， 焦点坐标为 F1(－1，0)，F2(1，0)．
∴直线 MB 的方程为 y＝cobstaanφ＋θa(x＋a)
直线 CN 的方程为 y＝－cosbataφn－θa(x－a)．
将以上两式相乘，得点 P 的轨迹方程为xa22＋by22＝1.
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题型三 参数方程的应用
若曲线的参数方程xy＝＝22pptt2， (t 为参数)，由于xy＝1t ，因此 t
即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目 标． 【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选 择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题．利 用抛物线的参数方程解决．
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3．若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A 与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6 000米，炮弹 运行的最大高度为1 200米，求炮弹的发射角α和发射初速 度v0(重力加速度g＝9.8米/秒)．
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【思维导图】
【知能要点】 1．椭圆的参数方程． 2．双曲线的参数方程．
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题型一 椭圆的参数方程
1． 和圆的参数方程yx＝＝rrscions
θ， θ 中的参数
θ
是半径
OM
的旋
转角不同，椭圆参数方程xy＝＝bascions
α＋tan θ）
α＋cos1
θ
＝b2a（2tcaons122
α－tan2 α－cos12
θ）＝ba22为定值． θ
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【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方 程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用 参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用 三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效 果．
的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜 率的倒数．
【例3】 设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h
＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目
标．
分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸