求函数值域的题型和方法

求函数值域的7类题型和16种方法一、函数值域基本知识1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域：1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.， 3.反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。

若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 当其 定义域为R 时，其值域为()()224 044 04ac b y a aac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2bx a=-与区间[],m n 的位置关系 （1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，()2bf a-是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者；当0a <时，()2bf a-是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。

（2）若[],2bm n a-∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。

特别提醒：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域；③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：已知 ()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。

例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为 ()1,17 。

题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx dy ax b+=+的值域：（1）若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时，其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭（2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d byx ay c-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便可求出函数的值域。

例3：函数23321x xy -=-的值域为 [)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ；若[]1,2x ∈时，其值域为11,511⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

例4：当(]3,1x ∈--时，函数1321xy x -=+的值域 34,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭。

（2）已知()312x f x x-+=-，且[)3,2x ∈-，则()f x 的值域为 6,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

例5：函数2sin 13sin 2x y x -=+的值域为[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ ；若3,22x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其值域为 12,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。

题型四：二次分式函数22dx ex c y ax bx c++=++的值域 一般情况下，都可以用判别式法求其值域。

但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

例6：2216x x y x x +-=+-； ()21,,7⎛⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝⎦例7：2221x x y x +-=-； {}1y R y ∈≠ 例8：432+=x x y ； 33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例9：求函数()211,21x y x x x -=∈-+∞++的值域解：由原函数变形、整理可得：()22110yx y x y +-++=求原函数在区间()1,-+∞上的值域，即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围当0y =时，解得：()11,x =∈-+∞ 也就是说，0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时，上述方程要在区间()1,-+∞上有解，即要满足()10f -<或02112y y ≥⎧⎪-⎨->-⎪⎩解得：108y <≤ ……②综合①②得：原函数的值域为：10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型五：形如y ax b =+ 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。

例10： 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。

如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。

例11： 21++-=x x y [)3,+∞ 例12： 241y x x =-++ (],5-∞ 题型七：复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。

例13： )11y x =-≤≤ []0,2例14：y =50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

即从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

注意此法关键是定义域。

例1：已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

{}1,0,3-例2：求函数1y =的值域。

[1,)+∞例3：求函数()1y x =≥的值域。

)+∞例4：求函数y =[)1,+∞（2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数322+--=x x y 的值域。

分析与解答：因为0322≥+--x x ，即13≤≤-x ，4)1(2++-=x y ，于是：44)1(02≤++-≤x ，20≤≤y 。

例2．求函数x x x y 422++=在区间]4,41[∈x 的值域。

分析与解答：由x x x y 422++=配方得：62242+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++=x x x x y ，当241≤≤x 时，函数24++=x x y 是单调减函数，所以41186≤≤y ； 当42≤≤x 时，函数24++=xx y 是单调增函数，所以76≤≤y 。

所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是41186≤≤y 。

（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。

例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。

解：由3-2x -x 2≥0，解出定义域为［-3，1］。

函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］例2：求函数2xy =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3：求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

即通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围。

对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1：求函数1212xxy -=+的值域。

解：由1212x xy -=+解得121xy y -=+，∵20x>，∴101yy->+，∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。

（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d cx c adb c a y ≠+-+=，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125xy x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。

当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如()1y f x =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =；的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦. 例1：求函数2y x =解：令t =0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+ ∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。