求函数值域的题型和方法

求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则

①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；

②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；

③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域：

1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

2.二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢

⎣⎭

，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤

--∞ ⎥⎝

⎦.， 3.反比例函数()0k

y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x

y a

a a =>≠且的值域为{}0y y >.

5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型

题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）

1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；

2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）

1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 当其 定义域为R 时，其值域为

()()22

4 044 04ac b y a a

ac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩

2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b

x a

=-

与区间[],m n 的位置关系 （1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，()2b

f a

-是函数的最小值，最大值为(),()

f m f n 中较大者；当0a <时，()2b

f a

-是函数的最大值，最大值为

(),()f m f n 中较小者。

（2）若[],2b

m n a

-

∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒：

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域；

③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：已知 ()

22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。 例2：已知()2

11f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为 ()1,17 。

题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k x

k

y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d

y ax b

+=

+的值域：

（1）若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭

时，其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠

⎨⎬⎩⎭

（2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by

x ay c

-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的

有界性），便可求出函数的值域。

例3：函数23

321x x

y -=-的值域为 [)1,3,3⎛

⎤-∞+∞ ⎥⎝

⎦ ；若[]1,2x ∈时，其值域为

11,511⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

。 例4：当(]3,1x ∈--时，函数1321

x

y x -=

+的值域 34,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭

。 （2）已知()3

12x f x x

-+=

-，且[)3,2x ∈-，则()f x 的值域为 6,5⎛

⎤-∞- ⎥⎝⎦

。 例5：函数2sin 1

3sin 2

x y x -=

+的值域为

[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ ；若3,22x ππ⎡⎫

∈⎪⎢⎣

⎭

，其值域为 12,23⎡⎫

-⎪⎢⎣⎭

。 题型四：二次分式函数22

dx ex c y ax bx c

++=++的值域 一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

例6：2216x x y x x +-=+-； ()21,,7⎛

⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝

⎦

例7：22

2

1x x y x +-=-； {}1y R y ∈≠ 例8：432+=x x y ； 33,44⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

例9：求函数()21

1,21

x y x x x -=∈-+∞++的值域

解：由原函数变形、整理可得：()2

2110yx y x y +-++=

求原函数在区间()1,-+∞上的值域，即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围

当0y =时，解得：()11,x =∈-+∞ 也就是说，0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时，上述方程要在区间()1,-+∞上有解，

即要满足()10f -<或0

211

2y y ≥⎧⎪

-⎨->-⎪⎩

解得：108y <≤ ……②

综合①②得：原函数的值域为：10,8

⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

题型五：形如y ax b =+ 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某

区间上求值域问题，然后求其值域。

例10： 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六：分段函数的值域：