求轨迹方程的常用方法例题及变式
求与圆有关的轨迹方程的方法及例题
求与圆有关的轨迹方程［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M （x, y），已知曲线上的点为N （x o, y o）,求出用x，y表示x o, y o的关系式，将（x o，y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
［讲解设计］重点和难点例1 已知定点A (4, 0)，点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2: 1，求点P的轨迹方程例2自A (4, 0)引圆x2+y2=4的割线ABC ,求弦BC中点P的轨迹方程例3 已知直角坐标平面上的点Q （2, 0）和圆C :x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数・c 0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
（1994年全国高考文科题）例4 如图，已知两条直线l i：2x-3y+2=0，I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l i，I2都相交，并且l i与I2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。
（1983年全国高考题）练习与作业1．已知圆C1：（x+1）2 + y2=1 和C2：（x-1）2 + （y-3）2=10，过原点O的直线与C i交于P，与C2交于Q,求PQ线段的中点M的轨迹方程。
2 •已知点A (-1 , 0)与点B (1 , 0) , C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D，使|CD|=|BC| ，求AC 与OD(O 为坐标原点)的交点P 的轨迹方程。
高中解析几何求轨迹方程的常用方法(精华-例题和练习)
sin B sin A
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4
【变式】 ：已知圆
的圆心为 M1，圆
的圆心为 M2，一动圆与
这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2： 一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动， 且 BM=a， AM=b， 求 AB 中点 M 的轨迹方程？
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4 5 5 【解析】由 sin B sin A sin C , 可知 b a c 10 ，即 | AC | | BC | 10 ，满足椭 4 4 sin B sin A
圆的定义。令椭圆方程为
x2 a
'2
y2 b
'2
1 ，则 a ' 5, c ' 4 b ' 3 ，则轨迹方程为
新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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特级教师 王新敞
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y
B
Q R A
o
P
x
五、用交轨法求轨迹方程 例 5.已知椭圆
x2 y 2 1（a＞b＞o）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直 a 2 b2
x 2 y 2 a, x 2 y 2 a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM=
1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下 2
列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】 : 动点 P （x,y） 到两定点 A （－3， 0） 和B （3， 0） 的距离的比等于 2 （即 求动点 P 的轨迹方程？ 【解答】∵|PA|= ( x 3) y , | PB |
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有1直接法；2定义法；3待定系数法4参数法5交轨法；6相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1：点P－3,0是圆x2+y2－6x－55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程;例2、如图所示,已知P 4,0是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ,坐标为x ,y ,则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理：在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－x 2+y 2 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有x －42+y 2=36－x 2+y 2,即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Qx ,y ,Rx 1,y 1,因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 错误!, |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点;依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点;设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ,其中x A,x B 分别为A ,B 的横坐标,P=|MN|;)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22=+-=++==-A A A A px px px px AN AM p N p M 得由所以 由①,②两式联立解得p x A 4=;再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形,所以Ax p >2,故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,x A =1由点B 在曲线段C 上,得42||=-=pBN x B ;综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二：如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设Ax A , y A 、Bx B , y B 、Nx N , 0 依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A , 则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ,得.082222=+-+-y x y x当t =－2,或t =－1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4pxp ＞0上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一：设Mx ,y ,直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ,得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+2kb －4px +b 2=0 所以x 1x 2=22kb , y 1y 2=kpb 4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb , b =－4kp故y =kx +b =kx －4p , 得x 2+y 2－4px =0x ≠0故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0,它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二：设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,Mx ,y依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x yx y px y px y①－②得y 1－y 2y 1+y 2=4px 1－x 2 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2⑦⑥代入④,得yxy y p -=+214 ⑧ ⑥代入⑤,得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=yy 1+y 2－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2－4px =0x ≠0 当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M 4p ,0仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.① ②③ ④ ⑤|轨 迹 方 程练习11．08、山东文22已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为 45,曲线1C 的内切圆半径为253,记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．1求椭圆2C 的标准方程； 2设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦,L 是线段AB 的 垂直平分线,M 是L 上异于椭圆中心的点．①若||MO ＝λ||OA O 为坐标原点,当点A 在椭圆2C 上运动时,求点M 的轨迹方程；②若M 是L 与椭圆2C 的交点,求AMB ∆的面积的最小值．解：1由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1．2若AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为y ＝kxk≠0,A A A y x ，．①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++， ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k+=+=+． 设Mx,y,由|MO|＝λ|OA|λ≠0⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y k λ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线,所以直线L 的方程为y ＝1x k -⇒k ＝x y-,代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯,由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=, 当k ＝0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为22245x y λ+=,λ≠0．②当k 存在且k ≠0时,2222220204545AA k x y k k ==++，⇒|OA|2＝222220(1)45A A k x y k ++=+． 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++，⇒22220(1)||54k OM k +=+． ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++＝209． 222119||||20OA OB OA OM≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940．||||21OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆＝||||OB OA ⨯≥40,当且仅当4＋5k 2＝5＋4k 2时,即k ＝±1时等号成立．当1400229AMB k S ∆==⨯=>，； 当k 不存在时,140429AMB S ∆==>．综上所述,AMB ∆的面积的最小值为409．2．07、江西理21设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．1证明：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程；2过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ，两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．解：1在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<常数,点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点,实轴长221a λ=-的双曲线,方程为：2211x y λλ-=-． 2设11()M x y ，,22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ，,(11)N -，在双曲线上．即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-, 因为01λ<<,所以512λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得： 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x kλλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 由OM ·ON ＝0,且M N ，在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知32215<≤-λ．3．09、海南已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．1求椭圆C 的方程；2若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,2OP e OMe 为椭圆C 的离心率,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．解：Ⅰ设椭圆长半轴长及分别为a,c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a ＝4,c ＝3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． 2设Mx,y,P 0x ,0y ． 其中0x ∈－4,4,0x ＝x ．有22001167x y +=……① 由OP e OM=得：2240022x y e x y +=+＝169． 故22220016()9()x y x y +=+下面是寻找关系式0x ＝fx,y,0y ＝gx,y 的过程又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①：22001167x y +=并整理得：47(44)3y x =±-≤≤,所以点M 的轨迹是两条平行于x 轴的线段．轨 迹 方 程练习24．09、重庆理已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =,离心率32e =,M 是椭圆上的动点． 1若C 、D 的坐标分别是0,√3、0,－√3,求||MC ·||MD 的最大值；2如图,点A 的坐标为1,0,点B 是圆221x y +=上的点,点N 是点M 椭圆上的点在x 轴上的射影,点Q 满足条件：OQ ＝OM ＋ON ,QA ·BA ＝0．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．解：1设椭圆方程为：22221x y a b +=a ＞b ＞0．准线方程3y =＝c a 2,2e =＝ac ⇒2=a ,32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为：2214y x +=．所以：C 、D 是椭圆2214y x +=的两个焦点⇒||MC ＋||MD ＝4．||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ,当且仅当||MC ＝||MD ,即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4．2设M(,),(,)m m B B x y B x y ,(,)Q Q Q x y ,N 0，m x ⇒4422=+m m y x ,122=+B B y x ． 由OQ ＝OM ＋ON⇒m Q x x 2=,m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………①由QA ·BA ＝0 ⇒Q Q y x --，1·B B y x --，1＝Q x -1B x -1＋B Q y y ＝0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为P x ,P y ,因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2,B Q P y y y +=2⇒2222)2()2(BQ B Q P P y y x x y x +++=+＝)22(412222B Q B Q B Q B Q y y x x y y x x +++++ ＝)]1(25[41-++B Q x x ＝)245(41-+P x ⇒P P P x y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为：1)21(22=+-y x ．5．09、安徽已知椭圆22a x ＋22by ＝1a ＞b ＞0的离心率为33．以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．1求a 与b 的值；2设该椭圆的左,右焦点分别为1F 和2F ,直线1L 过2F 且与x 轴垂直,动直线2L 与y 轴垂直,2L 交1L 于点p.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型解：1e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心0,0到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+, ∴2b ＝2,2a ＝3．12322=+y x 21F －1,0、2F 1,0,由题意可设P 1,tt ≠0.那么线段1PF 的中点为N0,2t ． 2L 的方程为：y ＝t,设M M M y x ,是所求轨迹上的任意点.下面求直线MN 的方程,然后与直线2L 的方程联立,求交点M 的轨迹方程直线1PF 的斜率k ＝2t ,∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2． 所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t 2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42, 消去参数t 得：M M x y 42-=,即： x y 42-=,其轨迹为抛物线除原点．又解：由于MN ＝－x,2t －y,1PF ＝－x,2t －y ．∵MN ·1PF ＝0, ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，,消参数t 得：x y 42-=x ≠0,其轨迹为抛物线除原点．6．07湖南理20已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．直接法求轨迹1若动点M 满足1111F M F A F B FO =++其中O 为坐标原点,求点M 的轨迹方程；2在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数 若存在,求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1由条件知1(20)F -，,2(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，．设()M x y ，,则1(2)F M x y =+，,111(2)F A x y =+，,1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，, 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩ ⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时,1212024822y y y y x x x x --==----, 即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 2假设在x 轴上存在定点(0)C m ，,使CA ·CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA ·CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA ·CB ＝－1．当AB 与x 轴垂直时,点A B ，的坐标可分别设为(2,(2,此时CA ·CB ＝1,√2·1,－√2＝－1．故在x 轴上存在定点(10)C ，,使CA ·CB 为常数．。
求轨迹的几种求法
15
M
10
N
5
P
-30
-20
点P的 轨 迹 方 x2 程 y2 为 1
16 7
-10
A
B
10
-5
-10
【练习3】第3题-----变式
已知A圆 的方程 (x为 3)2 y2 1166,B(3,0)为一定 , 点 15 M为圆 A上的一个 ,线动段 M点的 B 中垂线A和M直
求轨迹的几种求法
三、定义法
分析题设几何条件，根据所学曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程.
圆的定义：
|PC|=r (r>0)
椭圆的定义： |PF1| + |PF2| = 2a (2a > |F1F2|)
双曲线的定义： ||PF1| - |PF2|| = 2a (0 < 2a < |F1F2|)
的交点 P,N为 为垂,求 足动P的 点轨迹.方程 10
5
M
N
-20
-10
A
B
P
-5
【练习3】第3题-----变式
已知A圆 的方程 (x为 3)2 y2 1166,B(3,0)为一定 , 点 M为圆 A上的一个 ,线动段 M点的 B 中垂线A和M直 的交点 P,N为 为垂,求 足动P的 点轨迹.方程
问题1：一动圆与圆O1：(x+3)2+y2=4外切， 同时与圆O2：(x-3)2+y2=9内切，求动圆圆心 的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线．
想一想:
在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件 使动圆圆心形成新的轨迹？
【例题3】
已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0）， 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）△PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.
求点的轨迹方程的六种常见方法讲解
变式：外切改为相切呢？
相关点法
• 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q （u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、 v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程， 间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
• 以下举一个例子说明：
6.几何法
【例8】已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0，求过点A(3, 5)的直线 交圆的弦的中点的轨迹.
解：圆的方程为(x 3)2 ( y 3)2 4，则圆心C的坐标为(3,3).
设过点A的直线交圆于P、Q两点，M (x, y)是PQ的中点，连CM，则CM PQ，故有：
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G
A
O
Bx
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法1.直线轨迹方程的求解方法：直线的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
1.1斜率截距法：当直线已知斜率m和截距b时，可以使用斜率截距法求解。
直线的轨迹方程为：y = mx + b。
1.2点斜式方法：当直线已知斜率m和通过的一点（x1，y1）时，可以使用点斜式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)=m(x-x1)。
1.3两点式方法：当直线已知通过的两点（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用两点式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
1.4截距式方法：当直线已知x轴和y轴上的截距时，可以使用截距式方法求解。
直线的轨迹方程为：x/a+y/b=1，其中a和b分别为x轴和y轴上的截距。
1.5法向量法：当直线已知法向量n和通过的一点（x1，y1）时，可以使用法向量法求解。
直线的轨迹方程为：n·(r-r1)=0，其中n为法向量，r为直线上的任意一点的位置矢量，r1为通过的一点的位置矢量。
2.圆轨迹方程的求解方法：圆的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
2.1一般式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用一般式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2标准式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用标准式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.3参数方程方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用参数方程方法求解。
圆的轨迹方程为：x = h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中θ为参数。
2.4三点定圆方法：当圆已知经过三点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）时，可以使用三点定圆方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y-y1)(y-y2)(y-y3)-r²(x+y+h)=0，其中h为x平方项和y平方项的系数之和。
求轨迹方程的常见方法
求轨迹方程的常见方法由运动轨迹求方程是解析几何的一类重要问题，下面谈谈求轨迹方程的几种常用方法。
一、直接法建立适当的座标系后，设动点为，根据几何条件寻求之间的关係式。
例1 已知动点m到椭圆的右焦点的距离与到直线x=6的距离相等，求点m的轨迹方程。
变式：已知点m与椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为，求点m的轨迹方程。
变式2：在三角形abc中，b（-6，0）, c（-6，0）,直线ab,ac斜率乘积为，求顶点a的轨迹。
说明：求轨迹需要说明是什幺曲线并指出曲线的位置与大小，求轨迹方程怎不必说明。
二、定义法由题设所给动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程。
例2 已知圆的圆心为m1，圆的圆心为m2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心p的轨迹方程。
解：设动圆的半径为r，由两圆外切的条件可得：，。
∴动圆圆心p的轨迹是以m1、m2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为。
三、待定係数法由题意可知曲线型别，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定係数，进而求得轨迹方程。
例3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为f（，0），直线y=x－1与其相交于m、n两点，mn中点的横座标为，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为。
将y=x－1代入方程整理得。
由韦达定理得。
又有，联立方程组，解得。
∴此双曲线的方程为。
四、引数法选取适当的引数，分别用参数列示动点座标，得到动点轨迹的引数方程，再消去引数，从而得到动点轨迹的普通方程。
例4 过原点作直线l和抛物线交于a、b两点，求线段ab的中点m的轨迹方程。
解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。
把它代入抛物线方程，得。
因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。
设a（），b（），m（x，y），由韦达定理得。
由消去k得。
又，所以。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
与圆有关的轨迹问题
设M(x,y)是轨迹上的任意一
点,A(x0,y0),则
x
4x0 2y3y0 2x0 y0
2x 2y
4 6
(2 x 4 1 )2 (2 y 6 )2 4
故
即
变式：△ABC中，B（－3，-2）、
C（－1，－6），另一个顶点A在
抛物线
上移动，求此三角
形重心G的轨迹方程 重 心 公 式 （ x1x2x3,y 1+ y 2y3)
.
3
3
三.定义法:
动点运动符合已知曲线的定义，根据 定义求出曲线方程的方法称为定义法。
例3: 动点M到A（-1,0）的距离与它到B （3，0）的距离相等，求动点M的轨迹方程。
已知直线l:y=k(x- a)及 圆O:x2+y2=r2
与圆O相交于A、B两点，求当k变动时，弦 AB中点M的轨迹方程。 变式：y=kx+1与圆C：（ x-1)2(y1)223
提示：l恒过定点C（a，0），又 OM⊥AB，
故点M为以OC为直径的圆上点。
答案：
(x- a)2+y2=a2(x2+y2<r2)
2
4
四.参数法求轨迹 已知方程 x2y22ax2 3ay3a20
(a0)
表示圆，求圆心的轨迹方程
设圆心C（x，y）则
x a
y 3 a
故 x 3 y 3
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与圆有关的轨迹问题
一.直接法求轨迹
1.步骤：建系-设点-限制条件-代入化简
例1求与点O（0,0），A（3,0）距离之比是 1
的点M的轨迹方程。
2
分析: 建系
轨迹方程求法及经典例题汇总
轨迹方程求法及经典例题汇总一、轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论）2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。
（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。
（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为22，求圆P 的方程。
如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x－4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。
解析几何题型方法归纳(配例题)
解析几何解题方法归纳一．求轨迹方程（常出现在小题或大题第一问）： 1.【待定系数法】（1）已知焦点在x 轴上的椭圆两个顶点的坐标为（4,0±），离心率为12，其方程为 ．2211612x y += 提示：2a c =，且24,2,12a c b =∴==.（2）已知椭圆中心在原点，焦距为2倍，则该椭圆的标准方程是 ．提示：已知2222242,16b a b c a a b c⎧⎧===⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩221164x y +=与221416x y +=为所求. (3)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； 解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2. 【定义法】由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为 ．解：设(,)P x y ，连结OP ,则90,30PAO APO ∠=︒∠=︒, 所以22OP OA ==. 3.【几何性质代数化】与圆2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________．y 2=8x （x >0）或y =0（x <0） 提示：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴．4.【相关点法】P 是抛物线2210x y -+=上的动点，点A 的坐标为（0,1-），点M 在直线PA 上，且2PM MA =，则点M 的轨迹方程为解：设点(,)M x y ，由2PM MA =，()3,32P x y ∴+，代入2210x y -+=得22(3)3210x y --+=即218310x y --=5.【参数法】一元二次函数22()(21)1()f x x m x m m R =+++-∈的图象的顶点的轨迹方程是提示：设22(21)1()y x m x m m R =+++-∈顶点坐标为(,)x y ，则22211224(1)(21)544m x m m m y m +⎧=-=--⎪⎪⎨--+⎪==--⎪⎩，消去m ，得顶点的轨迹方程34x y -= 二．常见几何关系转化与常见问题类型 （1）中点问题：韦达定理、点差法变式：A 、B 、C 、D 共线且AB ＝CD 问题，可以转化为共中点问题，或者弦长相等； 例1:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·，求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =．将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
轨迹方程的求法
又 AM 4, AB 6 PA PM PA PB 8 AB
点P的轨迹是以 A, B为焦点的椭圆
x2 y2 设 椭 圆 的 方 程 为 2 ＋ 2 1(a b 0) a b
15
M
10
N
5
由题意得 : 2a 8,2c 6 b 4 3 7
2 2
3 2 则|PM|· |PN|＝|t1t2|＝ . 1＋11sin2α 所以当 sin2α＝0 时，即 α＝0，|PM|· |PN|的最小值为 .
(2011· 课标高考 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 x ＝2cosα ， C1 的参数方程为 y＝2＋ 2sin α (α 为参数)．M 是 C1 上的动
因此其方程为
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
2 x（y≠0） y2 1 . 9 5
5 5
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支， 1 且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ， 15 2 2 因此其方程为 2
4y 1 4x 1(x ) 15 2
y
o
x
复习1：
求动点轨迹方程的基本步骤是什么？
(1)建系: 建立直角坐标系； (2)设点: 设所求动点P(x,y); (3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式; (4)化简: 化简方程； (5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。
复习2：
求动点轨迹方程的基本方法有哪些？
B x
?
过点
P
常见求轨迹方程的四种方法
一．几何法方法：1. 设点P 为轨迹上任意一点；2. 表达几何关系（只能有P 一未知字母）3. 转化为代数关系4. 化简5. 检验1、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。
解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立直角坐标系如右图：则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y),∠PAB = α , 则∠PBA =2α 3-x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2)(1)(2xy x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0<x<3) 或31-x = 222yx x -- 即y = 0 (0<x<3) 或（x －1）2－32y = 1 (x ≥2)二．相关点法方法：1. 已知点Q 方程，P 和Q 有关，求P 方程时使用2. 注意范围2.定点A(3,0)为圆x 2 + y 2= 1外一定点，P 为圆上任一点，（除出圆与x 轴的交点）, ∠POA 的平分线交PA 于点Q, 求出Q点的轨迹方程。
解：如右图：设Q(x,y) , P(x o ,y o )由于OQ 平分∠POA ,则有：λ=QP AQ =OPOA =3 ，即Q 分AP 的比为3 由定比分点公式得： {313331300++=+=x x y y 解得{x x y y 343400== 代入x 2 + y 2= 1（x －43）2 + y 2 = 169三．定义法不需要检验，注意如何书写3、已知圆O ：x 2 + y 2= 16及点A(2, 0)，求过A 且与圆O 相切的诸圆圆心P 的轨迹方程。
解：如右图：过A 且与圆O 相切的圆，只能与圆O 相内切，根据两圆相内切的性质：连心线必过其切点，设切点为M ，则O 、P 、M 共线， ∴OM = OP + PM 。
又因为A 在圆P 上∴PM = PA 。
求轨迹方程的常用方法(例题及变式)
求轨迹方程的常用方法：题型一 直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。
例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。
解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈AN AM ⊥∴1-=⋅AN AM k k ∴120322230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)23,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。
变式1已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。
（1） 求动点M 的轨迹C 的方程；（2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。
若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率。
题型二 定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。
例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:22=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。
42=a∴2=a ，4=c ∴1222=-=a c b 故动圆圆心M 的轨迹方程为112422=-y x 变式2在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠ 题型三 相关点法此法的特点是动点),(y x M 的坐标取决于已知曲线C 上的点)','(y x 的坐标，可先用y x ,来表示','y x ，再代入曲线C 的方程0),(=y x f ，即得点M 的轨迹方程。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程 •uur uuu 例1 :已知点A( 2,0, B(3,0)，动点P(x, y)满足PA-PB x 2，则点P 的轨迹是()A •圆B.椭圆C •双曲线D •抛物线uuu uuu uun UUJI 2222解析：由题知 PA ( 2 x, y) , PB (3 x, y)，由 PA PB x ,得(2 x)(3 x) y x ,即 y x 6,••• P 点轨迹为抛物线•故选 D . 二、 定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2 :在厶ABC 中，BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为39，求△ ABC 的重心的轨迹方程.解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为2 BM | |CM 39 26 . 3• M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆，其中 c 12, a 13 . • b . a 2—』5.y 轴建立直角坐标系，如图 1 , M 为重心，则有、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3 :已知A ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y又••• A(x ), y °)在抛物线 y x 2上, •四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量与AP 的交点M 的轨迹方程.解：如图2，以线段AA 所在直线为x 轴，以线段AA 的中垂线为y 轴建立直角坐•所求△ ABC 的重心的轨迹方程为169251(y0) •解：设G(x, y) , A(x 0, y °)，由重心公式,3 1 x3 Y Q 3x 0 y。
3x 3y ・2,将①，②代入③，得3y (3x 2)2(y0)，即所求曲线方程是3x 24x 3(y0)•例4 :已知线段AA 2a ，直线I 垂直平分AA 于O ,在I 上取两点P, P ,使其满足uuur , OP-OP 4 ,求直线AP UUU D上运动，求△ ABC 的重心G 的轨迹方程.y 0把x , y 联系起来标系.设点 P(0, t)(t 0), 则由题意，得P 0,,-t 4由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y —(x a), y — (x a). a ta 两式相乘，消去t ，得4x 2a 2y 24a 2(y 0) •这就是所求点 M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变五、待定系数法： 当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决(1 )求E 点轨迹方程;与E 点的轨迹相切，求椭圆方程.uuu 1 uur uuir解：(1 )设 E(x, y)，由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点，易知 D(2x 2,2y) • 2例5 :已知A ， B ， D 三点不在一条直线上，且uurA( 2,0)，B(2,0)， AD uuu i uuu uuir 2， AE -(AB AD) •(2 )过A 作直线交以A B 为焦点的椭圆于 M ，N 两点，线段MN的中点到y 轴的距离为 4-，且直线MN5nnr 又AD 2 22，贝U (2x 2 2) (2 y) 即E 点轨迹方程为 i(y 0)；(2 )设 M (X i, yj, N(X 2，y 2)，中点(心y 。
求轨迹方程的常用方法及试
求轨迹方程的常用方法及试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律， 即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通 方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以 该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）。
出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。
检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。
二、常用方法及例题1.用定义法求曲线轨迹（也叫待定系数法）如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （4） 抛物线：到定点与定直线距离相等例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为12'22'2=+by ax ，则34,5'''=⇒==b c a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
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求轨迹方程的常用方法:
题型一直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法，
根据所满足的几何条件， 将几何条件｛M | P(M )｝直接翻
译成x, y 的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯
粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，
也就是说曲线上所有的点适合这个条件
而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。
例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线
AM 和AN ，分别交x,y 轴于点M , N ，求线段
MN 中点P 的轨迹方程。
解：设P 点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N 在轴上得M (0,2y)，
AM AN
k AM k AN
所以中点P 的轨迹方程为4x 6y 13 0。
变式1
已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点 (1) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点。
若A 是PB 的中点，求直线 m 的斜
率。
题型二定义法
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定
义法求轨迹方程。
2 2
例2 动圆M 过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。
解：根据题意|| MC | |MP || 4，说明点M 到定点C 、P 的距离之差的绝对值为定值,
N(2x,0)(x,y
R)
0 3 2y 2x 2 0 2
3
1 (x 1)，化简得 4x 6y 13 0 (x 1)
当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN 的中点
P(1,|)它也满足方程4x 6y 13 0，
N (1,0)的距离的2倍。
故点M的轨迹是双曲线。
2a 4
a 2, c 4
b c2 a212
2 2
故动圆圆心M的轨迹方程为-y1
4 12
变式2
在厶ABC中，BC 24, AC, AB上的两条中线长度之和为39,求厶ABC的重心的轨迹方程.
解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标
2
系，如图1, M为重心，则有|BM| |CM 39 26 .
3
••• M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，
国1 其中 c 12, a 13 . • b a2 c2 5 .
2 2
•所求△ ABC的重心的轨迹方程为 - »1(y 0)
169 25
题型三相关点法
此法的特点是动点M (x, y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x', y')的坐标，可先用x, y来
表示x',y'，再代入曲线C的方程f(x,y) 0,即得点M的轨迹方程。
2 2
例3如图，从双曲线x y 1上一点Q引直线x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN 的中点P的轨迹方程
分析：从题意看动点P的相关点是Q , Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。
解：设动点P的坐标为(x, y)，点Q的坐标为(x^yj，则点N的坐标为(2x x「2y y1) N在直线x y 2 上,
2x x1 2y y1 2 …①
又P Q垂直于直线x y 2 ,
y—吐 1，即x y y1 X1 0…②
x x-i
2
变式3已知△ ABC 的顶点B( 3,0), C(1,0)，顶点A 在抛物线y x 上运动，求 △ ABC 的重 心G 的轨迹方程.
••• A(x o, y o )在抛物线y x 2上, ••• y o 2
x o 将①，②代入③，得3y (3x 2)2(y
0), 即所求曲线方程是 y 3x
2
4x
4 3
(y
0).
题型四参数法
普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，
然后在选取合适的参数， 因
为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。
例4已知线段AA 2a ，直线I 垂直平分AA 于O ，在I 上取两点P , P ,使有向线段OP,OP luu uujr
满足OP ・OP 4，求直线 AP 与AP 的交点M 的轨迹方程. 解：如图2，以线段AA 所在直线为x 轴, 直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 0),
4
则由题意，得P 0,
4
.
t
由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y
3 1 彳
x -y 1
2 2
••1 3 彳 x y 1 2 2
X i
由①②解得
y i
又点Q 在双曲线x 2 y 2
1上,
2 2
X i y i 1…④
③代入④，得动点
P 的轨迹方程为2x 2 2y 2
2x 2y 1
解：设G(x , y) , A(X o, y o )，由重心公式，得 3 1 x
x
3
x ° 3x 2, ① 又
y 。
y
§
， y 。
3y ・
②
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标
x, y ，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其
以线段AA 的中垂线为y 轴建立
两式相乘，消去t ，得4x 2 a 2y 2 4a 2(y
0).
这就是所求点M 的轨迹方程.
2
变式4设椭圆方程为x 2 -
1，过点M (0,1)的直线I 交椭圆于点A , B , O 是坐标原点,
4
1 1 1
I 上的动点P 满足OP -(OA OB)，点N 的坐标为(-,-)，当I 绕点N 旋转时，求：
(1)动点P 的轨迹方程；(2)| NP |的最小值与最大值.
分析：(1)设出直线I 的方程，与椭圆方程联立，求出 冷 X 2,y 1 y 2，进而表示出点P 坐 标，用消参法求轨迹方程； (2)将| NP |表示成变量x 的二次函数。
(1)法一：直线I 过点M (0,1)，当I 的斜率存在时，设其斜率为 k ，则I 的方程为
kx 1
2
① 红1
4
②
_k_ 4 k 2 4 4 k 2
当直线I 的斜率不存在时, A ， B 的中点坐标为原
点
(0,0)，也满足方程③,
所以点P 的轨迹方程为4x 2 y 2 y 0。
消去参数k 得4x 2 y 2
y 0…③
解:
kx 1。
设 A( X 1, y 1)， B(x 2,y 2)，由题设可列方程为
x 2 将①代入②并化简得：(4
2 2
k )x
2kx 3
所以
设点 X 1 y 1 OP 2k 4 k 2 8 y 2
2
4 k
X 2
2(OA OB) 2
(为 X 2
2
y 1 y 2) 2
(
4
P 的坐标为(x, y)，则
法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x i，yj , B(X2, y?)在椭圆上，所以
2
2
y i 彳
X i i
4④
2
2y2 i
X2i
4
⑤
④一
⑤;得：X i2
2
X2
i 2 2
-(Y i2 V22) 0
4
所以(x i X2)(x i x?) (y i y2)(y i y) 0
4
1 y1y2
当 & X2时，有X i X2 (y i y?) - - 0 …⑥
4 x1 x2
X-| x2
X
2
并且y 上密…⑦
2
y i y i y2
X X-I x2
将⑦代入⑥并整理得4x2y2y 0…⑧
当X i X2时，点A, B的坐标分别为(0,2)、(0, 2),
x 2 x 2
(y 3) 这时点P的坐标为(0,0)，也满足⑧，所以点P的轨迹方程为—一合i o
4
2i i i
(2)由点P的轨迹方程知X2，即X -
i6 4 4
—■ 2i 2i 2i 2i 2i 27 所以|NP|2(x -)2(y -)2(x -) -4x23(x -)2
2 2 2 4 6i2
i —i
故当x —时，| NP |取得最小值，最小值为一；
4 4
故当x 丄时，|NP|取得最小值，最小值为
6。