实数大小进行比较的常用方法全

实数大小进行比较的常用方法

实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

方法一.运用方根定义法

例1、比较5m 和34m 的大小

解：根据平方根的定义可知：

m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m <0，又因为5m ≥0，由此可得：5m >34m ．

小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较．

方法二：差值比较法

差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。

例1：（1）比较5

13

与51的大小。（2）比较1-2与1-3的大小。解∵513

－51

＝523

＜0 ，∴513

＜51

。

解∵（1-2）-（1-3）=23＞0 ，∴1-2＞1-3。

方法三：商值比较法

商值比较法的基本思路是设

a ，

b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b

a

=1时，a=b 。来比较a 与b 的大小。例2：比较513

与51

的大小。

解：∵513

÷51=13＜1 ∴513

＜5

1

方法四：倒数法

倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。

例3：比较2004-2003与2005-2004的大小。

解∵200320041=2004+2003，2004

20051=2005+2004

又∵2004+2003＜2005+2004

∴2004-2003＞2005-2004

方法五：平方法

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a

＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5：比较62与53的大小

解：1228)62(2，2)53(=8+215。

又∵8+212＜8+215∴62＜53。

方法六：估算法

估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，

再进行比较。

例4：比较8313

与81

的大小

解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴8313

＜8

1

方法七：移动因式法

移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例6：比较2

7与33的大小解：∵27=722=28，33=33

2=27。又∵28＞27，∴2

7＞33。方法八：取特值验证法

比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例7：当10x 时，2

x ，x ，x

1的大小顺序是______________。解：取x =21，则：2x =41，x 1=2。∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x 1。除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。

方法九.放缩法

例2、比较26

和257的大小解：因为362，8577

，所以有26<3+2=5，又因257>7－2=5，于是就有26<257．

小结：在通过放（缩）能够确定两个代数式的值一个比某个数小，而另一个恰好比另一个数大时，可选用该法．

跟踪练习：

1、比较m 3和35m 的大小．

2、比较3

14和19的大小．3、比较 4.17和

110的大小．4、比较25和

259的大小．5、比较5－

3与3+3大小．6、比较

67和32的大小．7、比较73

与25的大小．答案：1、

m 3>35m ．2、314<19．3、4.17>110．4、25<259．5、5－3<3+3．6、

67<32．7、73>25．

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