因子分析 PPT课件
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效度分析与因子分析ppt课件
5
.162
-.333 -.450 .207 .402
.235 -.157 -.221 .577
因子分析 ——输出—— 转轴后因子矩阵
您 的孩 子 喜 欢与 同 学 、 好 友一 起 参 加旅 游
您 的孩 子 喜 欢将 同 学 们 、 好 友曾 去 过 的景 点 作为 旅 游 目的 地
您 的孩 子 喜 欢把 教 科 书 上曾 提 到 过的 地 方 作 为旅 游 目 的地
% of Cumulative
% of Cumulative
Component Total Variance
%
Total Variance
%
Total Variance
%
1
3.579 25.563
25.563 3.579 25.563
25.563 2.461 17.577
17.577
2
2.289 16.348
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Extraction Method: Principal Component A nalysis.
显示
非旋转因子解
碎石图
特征值
因子分析——转轴
方差最大正交旋转法
旋转解
因子分析——分数
Score 分数项默认
因子分析——选项
删除含有缺失值的个案
系数显示格式
系统按数值大小排列 不显示绝对值小于0.1的载荷系数，以突出因子载荷较大的变量
因子分析ppt课件
（2）因子提取 研究如何在样本数据的基础上提取综合因子。
（3）因子旋转
通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解 释性。
（4）计算因子得分
通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进 一步分析奠定基础。
❖ 2、因子分析前提条件——相关性分析：
分析方法主要有：
（1）计算相关系数矩阵(correlation coefficients matrix)
1 2 为p的特0 征根，
标准化特征向量，则
为u对1 , 应u2 的,, up
1
Σ = U
2
U AA + D
p
u1 u2
up
1
0
1u1u1 2u2u2
0
u1 u2
p
up
mumum m1um1um1
1u1
2u2
pu p
1u1
2
u2
p
因子分析的基本理论 ❖ 3、因子分析的目的：
因子分析的目的之一，简化变量维数。即要使因素结 构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能 对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好， 但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。
在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最 大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的 特征值最小，通常会接近0。
（3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释； 而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。
因子分析的基本理论
❖ 5、因子分析模型： 设 Xi (i 1,2,个,变p)量p，如果表示为
X i i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 1 11 12
或
X
2
（3）因子旋转
通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解 释性。
（4）计算因子得分
通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进 一步分析奠定基础。
❖ 2、因子分析前提条件——相关性分析：
分析方法主要有：
（1）计算相关系数矩阵(correlation coefficients matrix)
1 2 为p的特0 征根，
标准化特征向量，则
为u对1 , 应u2 的,, up
1
Σ = U
2
U AA + D
p
u1 u2
up
1
0
1u1u1 2u2u2
0
u1 u2
p
up
mumum m1um1um1
1u1
2u2
pu p
1u1
2
u2
p
因子分析的基本理论 ❖ 3、因子分析的目的：
因子分析的目的之一，简化变量维数。即要使因素结 构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能 对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好， 但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。
在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最 大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的 特征值最小，通常会接近0。
（3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释； 而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。
因子分析的基本理论
❖ 5、因子分析模型： 设 Xi (i 1,2,个,变p)量p，如果表示为
X i i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 1 11 12
或
X
2
因子分析 ppt课件
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（1）计算相关系数矩阵
计算原有变量的简单相关系数矩阵。观察相关系数矩阵，如果相关系数 矩阵中的大部分相关系数值小于 0.3，则各个变量之间大多为弱相关，这就 不适合做因子分析。如果一个变量与其他变量间相关度很低，则在下一分析 步骤中可考虑剔除此变量。
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（2）进行统计检验
因子分析
—SPSS操作及其原理
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陶鑫 2008-4-23
1
在科学研究中，往往希望尽可能多地收集反映研究对象的 多个变量，以期能对问题有比较全面、完整的把握与认识。多 变量的大样本虽然能为科学研究提供大量的信息，但是在一定 程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下， 许多变量之间可能存在相关性，这意味着表面上看来彼此不同 的变量并不能从各个侧面反映事物的不同属性，而恰恰是事物 同一种属性的不同表现。
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Байду номын сангаас
主成分分析的数学模型
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主成分分析与因子分析的公式上的区别
因子分析(m<p)
y1 a11x1 a12 x2 a1p xp y2 a21x1 a22 x2 a2 p xp
主成分分析 因子得分
y p ap1x1 ap2 x2
app xp
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5.计算因子得分
计算因子得分是因子分析的最后一步。因子变量确定后，便可计 算各因子在每个样本上的具体数值，这些数值就是因子的得分，形成 的新变量称为因子变量，它和原变量的得分相对应。有了因子得分， 在以后的分析中就可以因子变量代替原有变量进行数据建模，或利用 因子变量对样本进行分类或评价等研究，进而实现降维和简化的目标。
因子分析方法ppt课件
2、变量共同度（共同性）
总之，变量的共同度刻画了因子全体对变量信息解释的 程度，是评价变量信息丢失程度的重要指标。
如果大多数原有变量的变量共同度均较高（如高于0.8）， 则说明提取的因子能够反映原有变量的大部分信息（80 ％以上）信息，仅有较少的信息丢失，因子分析的效果 较好。因子，变量共同度是衡量因子分析效果的重要依 据。
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因子分析数学模型中几个相关概念
举例说明：
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因子分析的五大基本步骤
第一步：因子分析的前提条件
由于因子分析的主要任务之一是对原有变量进行浓缩，即将
原有变量中的信息重叠部分提取和综合成因子，进而最终实
现减少变量个数的目的。因此它要求原有变量之间应存在较
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用矩阵的形式表示为Z=AF+U
F称为因子，由于它们出现在每个原始变量的线性表达式 （原始变量可以用Xj表示，这里模型中实际上是以F线性表 示各个原始变量的标准化分数Zj），因此又称为公共因子.
A称为因子载荷矩阵， aji称为因子载荷，是第j个原始变 量在第i个因子上的负荷。
U称为特殊因子，表示了原有变量不能被因子解释的部分， 其均值为0，相当于多元线性回归模型中的残差。
当要判断一个因子的意义时，需要查看哪些变量的负荷达
到了0.3或0.3以上
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因子分析数学模型中几个相关概念
2、变量共同度（共同性） 一个因子解释的是相关矩阵的方差，变量的方差由共同因 子和唯一因子组成，可以表示成h+u2=1(h表示共同度，u2 表示特殊因子的平方)。 变量共同度就是指每个原始变量在每个共同因子的负荷量 的平方和，是全部因子对变量方差解释说明的比例。变量共 同度h越接近1，说明因子全体解释说明了变量Zj的较大部分 方差，如果用因子全体刻画变量，则变量的信息丢失较少； 共同性的意义在于说明如果用共同因子替代原始变量后，原 始变量的信息被保留的程度。 特殊因子U的平方，反应了变Pag量e 8方差中不能由因8 子全体解
《因子分析数学模型》课件
总结与展望
因子分析数学模型是一种强大的数据分析工具，可以揭示变量间的潜在结构和关系，帮助决策者做出准确和可靠的 决策。 未来，随着数据科学和人工智能的发展，因子分析将在更多领域得到应用，成为决策支持和问题解决的重要手段。
参考文献
• 附录1：相关数学知识 • 附录2：实例数据和代码 • 附录3：常见因子分析软件介绍
3
最似然法（MLE）
MLE基于概率统计理论，通过最大化观测数 据与模型之间的似然函数来估计因子载荷。
主因子法（PAF）
PAF基于向量之间的相关系数，寻找具有最 大因子载荷的主要因子，从中提取对观测变 量具有最大解释力的因子。
因子分析的实例分析
数据准备及预 处理
根据特定问题的需求， 选择合适的数据集，并 对数据进行清理、转换 和标准化，以满足因子 分析的假设。
因子数的确定 和选择
根据特征值、解释度方 差贡献率、Scree图等 指标，确定最合适的因 子数，以提取最重要的 信息。
因子旋转和解 释度分析
使用旋转方法（如 Varimax、Promax等）， 优化因子结构，同时通 过解释度判断模型的质 量和合理性。
结果分析和解读
对提取的因子模式进行 解释，结合领域知识和 实际情境，解读因子的 含义和影响，提出相关 建议和决策。
特征值和特征向量
特征值用于衡量因子的重要性， 而特征向量表示因子的方向和 权重。
旋转和解释度
旋转可以优化因子的解释度， 使其更易理解和解释，用以提 高模型的可解释性和可靠度。
因子分析的模型方法
1
主成分分析法（PCA）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
PCA通过线性变换将观测变量转化为无关变
量的线性组合，从中提取主要特征，以解释
《因子分析法预测》课件
因子提取
因子提取是因子分析的关键步骤，通过数学方法将多个变量提取成少数几个因子，这些因子能够反映 原始变量的主要信息。
常用的因子提取方法有主成分分析、最大似然法等。
因子解释
因子解释是对提取出的因子进行解释 ，通过旋转矩阵等方法将因子与原始 变量建立联系，明确因子的含义。
解释时需要结合专业知识，对因子的 含义进行合理的解释和命名。
感谢您的观看
THANKS
信息浓缩
通过提取公因子，可以浓缩信息，反映原始 变量之间的相关关系。
稳健性高
在处理异常值或缺失值时，因子分析法的稳 健性较高。
缺点
依赖原始变量
因子分析法的结果很大程度上依赖于原始变 量的选择和数量。
因子解释的主观性
对因子的解释可能存在主观性，不同的人可 能对同一组数据得出不同的解释。
无法处理高度相关变量
因子得分计算
因子得分计算是根据因子的权重和原始变量的值计算出每个样本的因子得分，为后续的分析和预测提供依据。
可以通过回归分析、加权平均等方法计算因子得分。
04 因子分析法的优缺点
优点
降维性
因子分析法可以将多个变量通过少数几个因 子表示，简化数据结构。
解释性强
因子分析法能够提供清晰的因子结构，有助 于理解数据背后的驱动因素。
高消费者的满意度和忠诚度。
案例四：产品组合优化
总结词
因子分析法可以帮助企业优化产品组合，提 高产品线的协同效应和市场竞争力。
详细描述
产品组合优化是企业提高市场竞争力的重要 手段。通过因子分析法，企业可以对现有产 品线进行全面分析，了解各产品之间的关联 度和差异性。在此基础上，企业可以优化产 品组合，提高产品线的协同效应和市场竞争 力。同时，企业还可以发现新的产品机会，
因子分析PPT课件
3. 公共因子的方差贡献:是某公共因子对所有原变量载荷的平方和, 它
反映该公共因子对所有原始总变异的解释能力，等于因子载荷矩阵中某 一列载荷的平方和。一个因子的方差贡献越大，说明该因子就越重要。
2024/6/2
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★ 确定公因子数目的准则
1）因素的特征值（Eigenvalues）大于或等于1；
2）因素必须符合陡阶检验（Screen Test）,陡阶检
仅仅是为了化简、浓缩数据，则采用正交旋转（保持
直角90度，不允许公因子相关）。如果研究的目的是
为了得到理论上有意义的研究结果，则采用斜交旋转。
（不呈90度，允许公因子相关；有证据表明公因子之
间是相关的才用）
旋转之后，特征值发生变化，但共同度不变
2024/6/2
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第六步：单击Scores按纽,弹出对话框
输出旋转后的 因子载荷矩阵
2024/6/2
输出载荷散点图17
★ 因子旋转
为了更好地解释因子分析解的结果，常常需要将
因子载荷转换为比较容易解释的形式（相当于相机的
调焦，使看得更清楚；一般会使各因子对应的载荷尽
可能地向0和1两极分化）。
常用的方法有正交旋转（varimax procedure）
和斜交旋转（oblique rotation），如果研究的目的
2024/6/2
1
二、因子分析思想与方法的由来
● 英国统计学家Scott 1961年对英国157个 城镇发展水平进行调查时，原始测量的变量有57 个，而通过因子分析发现，只需要用5个新的综 合变量（它们是原始变量的线性组合），就可以 解释95%的原始信息。
● 美国统计学家Stone在1947年研究国民经
因子分析ppt课件
因子分析的类型：
1、探索性因子分析 （exploratory)
2、验证性因子分析 （confirmatory）
EFA：事先对观测数 据背后的因子个数一 无所知，用于探索因 子的维度；
CFA：研究者根据某 种理论或先验知识对 因子个数或结构提出Hale Waihona Puke 假设，研究是作为检 验假设的工具；
一、因子分析原理
1、因子分析模型
因子抽取方法的选择一般考虑因子分 析的目的和对变量方差的了解程度:
如果因子分析的目的是用最少的因子 最大程度地解释原始数据中的方差,或特 殊因子、误差带来的方差很小，则用主 成分分析法。
如果目的是确定数据结构，但不了解 变量方差的情况，则用公因子分析法。
五、解释因子(rotation)
初始因子很难解释，大多数因子都和很多变 量有关，因子的实际意义难以理解和把握。 因子旋转使因子结构更简单、更易于理解。
了变量之间的相关分。析中最重要的统计量，相当于回归系
数，是连接观测变量与公因子的纽带，
如果公因子间不相关（常作为假设），
它反映了因子与变量间线性相关程度。
公因子方差(communality)也称共同度，指 观测变量方差中由公因子决定的比例，它说明 了如果以公因子替代观测变量，原来每个变量 的信息被保留的程度。
因子分析的应用：主要目的是浓缩数据
1、寻求基本结构（summarization) 2、数据化简（data reduction）
观测变量很多且 相互存在高相关时， 描述和分析问题存 在困难，进一步统 计分析受到限制；
将大量的观测变量 化为少数的几个因 子，建立简洁的概 念系统，并可用因 子值进行进一步的 统计分析；
当公因子间不相关时，某变量 xi 的公因子方差
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之因子分析
SPSS软件
• 因子分析（Factor Analysis）是多元统计 分析中处理降维问题的一种重要方法。变 量的共线性很多是都对分析结果具有显著 的影响。所谓降维，就是独钓共线性，剩 下的，或者合并的都是线性无关的，或者 正交的，或者垂直的。
一、什么是主成分分析和因子分析？
• 主成分分析（Principal Components Analysis）也是多元统计分析中简化数据 结构（降维问题）的一种重要方法。简化 数据结构是指将某些较复杂的数据结构通 过变量变换等方法使相互依赖的变量变成 互不相关的；或把高维空间的数据投影到 低维空间，使问题得到简化而损失的信息 又不太多。
• 再如在医学上，测得若干人的5个生理指标： 血压的收缩压、舒张压、心脏间隔、呼吸 间隔和舌下温度，由生理学知道这5个变量 是受植物神经支配的,植物神经又分为交感 神经和副交感神经，所以这两个因素应是 前面5个变量的主要因素或公共因素。 • 而主要因素不可测。
• 因子分析问题的一个特点是，虽然这些公 共因素和独特因素是客观存在的，但是又 不能直接被测量到。这种分析方法最早是 由心理学家提出来的，并且用于心理测验 和分析上。
其中： ei ei 1(i 1, 2,
, p) ， Y1 是一切 Yi eiX 中方差最大者， Y 2 是一切
Yi eiX 中方差次大者，……， Yp 是一切 Yi eiX 中方差最小者； Y1 、
Y 2 、…、 Yp 互不相关。
三、因子分析模型
, 方 差 阵 为 Cov( X ) ；且设 F ( F1, F2 , , Fm )(m p) 是不可观测的随机变量，
• 因子分析的基本目的是，用少数几个因子 去描述许多变量之间的关系。被描述的变 量是可以观测的随机变量，即显在变量。 而这些因子是不可观测的潜在变量。
• 在社会科学、经济科学、管理科学、心理 学、行为科学、教育学等领域中，许多基 本特征例如“态度”、“认识”、“爱 好”、“能力”、“智力”等等实际上是 不可能直接观测的，我们把它们看成是潜 在变量。而对人的测量例如“教育水平”、 “收看电视频度”、“是否喜欢某种节 目”、“考试成绩”、“平均收入”等等 是显在的，可以观测的。对人的测量可以 看成是一些潜在变量（不可观测的基本特 征）的表现。
• 换句话说，因子分析把每个原始变量分解 为两部分因素，一部分是由所有变量共同 具有的少数几个因子构成的，即所谓公共 因素部分，另一部分是每个变量独自具有 的因素，即所谓独特因素部分或单一因素 部分。所以因子分析注意的是因子分解的 具体形式，而不注意各自的变差贡献大小。
• 把学生的语文、数学、物理、化学和外语 的成绩分别看作一个变量，那么大家都会 想象到这些变量必定受一些共同因素影响。 比如全面智力，或者细分一点，逻辑思维 能力、形象思维能力和记忆力就是影响这 些功课成绩的主要因素或公共因素。另外， 每门功课成绩还可能受自己特点的因素影 响，如语文的写作能力，化学的动手实验 能力等。
• 英国统计学家斯格特（M.Scott）在1961 年对157个英国城镇发展水平进行调查时， 原始测量的变量有57个。而通过主成分分 析发现，只需5个新的综合变量（它们是原 变量的线性组合），就可以以95%的精度 表示原始数据的变异情况。这样，对问题 的研究一下子从57维降到5维。可以想象， 在5维空间对系统进行任何分析，都比在57 维中更加快捷、有效。
• 因子分析正是利用这些潜在变量或本质因 子（基本特征）去解释可观测的变量的一 种工具。
二、主成分分析模型
设 X ( X1 , X 2 ,
, X p ) 是 p 维随机向量，它的主成分为：
X e11 X 1 e21 X 2 e p1 X p Y1 e1 X e12 X 1 e22 X 2 e p 2 X p Y2 e2 Y e X e X e X e X p 1p 1 2p 2 pp p p
• 请利用因子分析过程分析各个城市的实证 设施建设情况。
同时假定随机向量 X 满足以下模型： X 1 a11F1 a12 F2 a1m Fm 1 X a F a F a F 2 12 1 22 2 2m m 2 X p a p1 F1 a p 2 F2 a pm Fm P 则称模型(3.1)为正交因子模型。
案例1
• 中国统计年鉴，2005，各地区城市市政设施数据。 变量有： • City—城市名称； • X1—年末实有道路长度（公里）； • X2—年末实有道路面积（万平方公里）； • X3—城市桥梁（座）； • X4—城市排水管道长度（公里）； • X5—城市污水日处理能力（万立方米）； • X6—城市路灯（盏）；
• 因子分析是主成分分析的推广和发展。它 是通过研究相关阵或协方差阵的内部关系， 它将多个变量综合为少数几个因子，以再 现原始变量与因子之间的相关关系。在多 元统计分析中，目前很多人将主成分分析 看做因子分析提取公因子的一种方法。 SPSS软件中也是这么处理的。
• 具体来说，主成分分析的基本目标是从尽 可能多的地占有原始矩阵的总变差出发来 构造少数线性组合变量；而因子分析的基 本目标在于研究原始变量的内部关系，通 过寻找众多变量的共同因素来化简和分析 变量中存在的复杂关系。
设 X ( X1 , X 2 ,
E( F ) 0 ， Cov( F ) I m （即 F 的各分量方差为 1，且互不相关） 。又设 (1, 2 , , p ) 与 F 互不相关，且
2 E ( ) 0 ， Cov( ) diag(12 ,2 , 2 , p )。
SPSS软件
• 因子分析（Factor Analysis）是多元统计 分析中处理降维问题的一种重要方法。变 量的共线性很多是都对分析结果具有显著 的影响。所谓降维，就是独钓共线性，剩 下的，或者合并的都是线性无关的，或者 正交的，或者垂直的。
一、什么是主成分分析和因子分析？
• 主成分分析（Principal Components Analysis）也是多元统计分析中简化数据 结构（降维问题）的一种重要方法。简化 数据结构是指将某些较复杂的数据结构通 过变量变换等方法使相互依赖的变量变成 互不相关的；或把高维空间的数据投影到 低维空间，使问题得到简化而损失的信息 又不太多。
• 再如在医学上，测得若干人的5个生理指标： 血压的收缩压、舒张压、心脏间隔、呼吸 间隔和舌下温度，由生理学知道这5个变量 是受植物神经支配的,植物神经又分为交感 神经和副交感神经，所以这两个因素应是 前面5个变量的主要因素或公共因素。 • 而主要因素不可测。
• 因子分析问题的一个特点是，虽然这些公 共因素和独特因素是客观存在的，但是又 不能直接被测量到。这种分析方法最早是 由心理学家提出来的，并且用于心理测验 和分析上。
其中： ei ei 1(i 1, 2,
, p) ， Y1 是一切 Yi eiX 中方差最大者， Y 2 是一切
Yi eiX 中方差次大者，……， Yp 是一切 Yi eiX 中方差最小者； Y1 、
Y 2 、…、 Yp 互不相关。
三、因子分析模型
, 方 差 阵 为 Cov( X ) ；且设 F ( F1, F2 , , Fm )(m p) 是不可观测的随机变量，
• 因子分析的基本目的是，用少数几个因子 去描述许多变量之间的关系。被描述的变 量是可以观测的随机变量，即显在变量。 而这些因子是不可观测的潜在变量。
• 在社会科学、经济科学、管理科学、心理 学、行为科学、教育学等领域中，许多基 本特征例如“态度”、“认识”、“爱 好”、“能力”、“智力”等等实际上是 不可能直接观测的，我们把它们看成是潜 在变量。而对人的测量例如“教育水平”、 “收看电视频度”、“是否喜欢某种节 目”、“考试成绩”、“平均收入”等等 是显在的，可以观测的。对人的测量可以 看成是一些潜在变量（不可观测的基本特 征）的表现。
• 换句话说，因子分析把每个原始变量分解 为两部分因素，一部分是由所有变量共同 具有的少数几个因子构成的，即所谓公共 因素部分，另一部分是每个变量独自具有 的因素，即所谓独特因素部分或单一因素 部分。所以因子分析注意的是因子分解的 具体形式，而不注意各自的变差贡献大小。
• 把学生的语文、数学、物理、化学和外语 的成绩分别看作一个变量，那么大家都会 想象到这些变量必定受一些共同因素影响。 比如全面智力，或者细分一点，逻辑思维 能力、形象思维能力和记忆力就是影响这 些功课成绩的主要因素或公共因素。另外， 每门功课成绩还可能受自己特点的因素影 响，如语文的写作能力，化学的动手实验 能力等。
• 英国统计学家斯格特（M.Scott）在1961 年对157个英国城镇发展水平进行调查时， 原始测量的变量有57个。而通过主成分分 析发现，只需5个新的综合变量（它们是原 变量的线性组合），就可以以95%的精度 表示原始数据的变异情况。这样，对问题 的研究一下子从57维降到5维。可以想象， 在5维空间对系统进行任何分析，都比在57 维中更加快捷、有效。
• 因子分析正是利用这些潜在变量或本质因 子（基本特征）去解释可观测的变量的一 种工具。
二、主成分分析模型
设 X ( X1 , X 2 ,
, X p ) 是 p 维随机向量，它的主成分为：
X e11 X 1 e21 X 2 e p1 X p Y1 e1 X e12 X 1 e22 X 2 e p 2 X p Y2 e2 Y e X e X e X e X p 1p 1 2p 2 pp p p
• 请利用因子分析过程分析各个城市的实证 设施建设情况。
同时假定随机向量 X 满足以下模型： X 1 a11F1 a12 F2 a1m Fm 1 X a F a F a F 2 12 1 22 2 2m m 2 X p a p1 F1 a p 2 F2 a pm Fm P 则称模型(3.1)为正交因子模型。
案例1
• 中国统计年鉴，2005，各地区城市市政设施数据。 变量有： • City—城市名称； • X1—年末实有道路长度（公里）； • X2—年末实有道路面积（万平方公里）； • X3—城市桥梁（座）； • X4—城市排水管道长度（公里）； • X5—城市污水日处理能力（万立方米）； • X6—城市路灯（盏）；
• 因子分析是主成分分析的推广和发展。它 是通过研究相关阵或协方差阵的内部关系， 它将多个变量综合为少数几个因子，以再 现原始变量与因子之间的相关关系。在多 元统计分析中，目前很多人将主成分分析 看做因子分析提取公因子的一种方法。 SPSS软件中也是这么处理的。
• 具体来说，主成分分析的基本目标是从尽 可能多的地占有原始矩阵的总变差出发来 构造少数线性组合变量；而因子分析的基 本目标在于研究原始变量的内部关系，通 过寻找众多变量的共同因素来化简和分析 变量中存在的复杂关系。
设 X ( X1 , X 2 ,
E( F ) 0 ， Cov( F ) I m （即 F 的各分量方差为 1，且互不相关） 。又设 (1, 2 , , p ) 与 F 互不相关，且
2 E ( ) 0 ， Cov( ) diag(12 ,2 , 2 , p )。