静定拱受力分析

NK QK0 sin K FH cosK 6kN 0.447 12kN 0.894= 13.41kN
三铰拱的内力图 ----采用描点法绘制内力图
M M 0 FH y Q Q0cos FHsin N Q0sin FHcos
例 作图示三铰拱的内力图。已知：跨度l=16m，拱高f=4m，
4f l2
(lx x2 )
解：（3）求三铰拱K截面弯矩、 剪力、轴力
yK
4 4m (16m)2
[16m 4m (4m)2 ] 3m
FH
dy tan 4 f (l 2x)
y
A
FAy
2kN/m
K
K
x
C
yK 4m
4m 4m 4m
8kN B
4m FBy
FH
dx
l2
2kN/m
8kN
B
tanK 0.5
AK C
F0 Ay
F0 By
K 26.565o cosK 0.894 sinK 0.447
MK
M
0 K
FH yK
40kN m 12kN 3m=4kN m
QK QK0 cosK FH sin K 6kN 0.894 12kN 0.447=0
NK QK0 sin K FH cosK 6kN 0.447 12kN 0.894= 13.41kN
0.8 0.752577 0.707107
sinφ
0.707107 0.658505
0.6 0.529999 0.447214 0.351123 0.242536 0.124035
0 -0.12403 -0.24254 -0.35112 -0.44721 -0.44721
-0.53 -0.6
-0.6585 -0.70711
M
0 K
40kN m
B
AK C
F0 Ay
F0 By
FQ0K 6kN
（2）求三铰拱支座反力
FAy FA0y 14kN
FBy FB0y 10kN
FH
M
0 C
/
f
48kN m/4m=12kN
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为
y
K
K
x
C
yK 4m
4m 4m 4m
8kN B
4m FBy
FH
dx
l2
2kN/m
8kN
B
tanK 0.5
AK C
F0 Ay
F0 By
K 26.565o cosK 0.894 sinK 0.447
MK
M
0 K
FH yK
40kN m 12kN 3m=4kN m
QK QK0 cosK FH sin K 6kN 0.894 12kN 0.447=0
拱轴方程为
y
4f l2
(lx x2 )
1kN/m 4kN
C
y
A
4m
B
解：（1）沿跨度16等分，得等分点。 FH
x
FH
（2）求各分点 y, φ，cosφ,sinφ。
FAy 4m
4m
4m
4m FBy
dy dx
tan
4f l2
(l 2x)
1kN/m
A
C
FA0y
ห้องสมุดไป่ตู้4kN
B
FB0y
（3）求简支梁各分点截面的弯矩和剪力。
P1 D M φ N
FH A
Q
FAy
P1 A
M0
F0 Ay
a1
D Q0
Q (FAy P1)cos FHsin
N (FAy P1)sin FHcos Q0 FA0y P1 Q Q0cos FHsin
N Q0sin FHcos
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
M0
FBy
FAy (l
x qx2 / x) 8x(12
2
x)
0 x8 8 x 12
FBy (l x)
12 x 16
FQ0
FAy
FAy 16
qx
0 x8 8 x 12
FAy 16 8
12 x 16
（4）求水平推力
FH
M
0 C
f
6kN
（5）求各分点内力
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B
C
a2
a3
F0 By
FAy
l/2
P1 A
F0 Ay
a1
C MC0
FAy
l 2
P1
(
l 2
a1
)
FAx
f
0
FAx
1 f
[FAy
l 2
P1
(
l 2
a1)]
水平反力与拱轴线 形状无关.荷载与跨度一 定时，水平推力与矢高 成反比。
M
0 C
FA0y
l 2
P1
(
l 2
a1)
FAx
1 f
M
0 C
FBx
FAx
FH
1 f
M
0 C
三. 三铰拱的内力计算
y
P1 D C φ
P2
y FH A
f x
B FH
x
FAy A P1
F0 Ay
a1
l
D
P2
C
FBy B F0
By
FAy x FH y P1(x a1) M 0 M FAy x FH y P1(x a1)
M 0 FA0y x P1(x a1) M M 0 FH y
第3章 静定结构受力分析
§3-3 三铰拱受力分析
一.概述
1.拱的定义
P
拱—杆轴线为曲线，在竖向荷载作用
下会产生水平推力的结构。
P
0
曲梁
2P /3 l/3
2l/3
2P /3 l/3
2l/3
2 Pl 9
M图
P
2 Pl
M图
9
拱
2.拱的受力特点
P
P
M图
3.拱的分类
M图
M图
三铰拱
两铰拱
无铰拱
三铰拱
带拉杆三铰拱
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为
y
4f l2
(lx x2 )
解：（3）求三铰拱K截面弯矩、 剪力、轴力
yK
4 4m (16m)2
[16m 4m (4m)2 ] 3m
FH
dy tan 4 f (l 2x)
y
A
FAy
2kN/m
1kN/m 4kN
C
y
A
FH
4m
x
B
FH
FAy
M0
Q0
07
6.5 6
12 5
16.5 4
20
3
22.5 2
24
1
24.5
0
24 -1
23 -1
22 -1
21 -1
20 -1
20 -5
15 -5
10 -5
5 -5
0 -5
4m
4m
4m
4m FBy
M
Q
N
0 0.875
1.5 1.875
2 1.875
1.5 0.875
二.三铰拱支座反力计算
P1
FAx A
FAy
l/2
A P1
F0 Ay
a1
C
P2
f
B FBx
l/2
FBy
P2
B
C
a2
a3
F0 By
FAy FA0y
FBy FB0y
在竖向荷载作用下 竖向反力与简支梁相同
P1
C
P2
P1 C
FAx A
f
B FBx
FAx A
FAy
l/2
A P1
F0 Ay
a1
l/2
FBy
P2
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为
y
4f l2
(lx x2 )
2kN/m
解：（1）求简支梁的支座反力、 C截面弯矩、K截面弯矩和剪力 y
A
K
C
K yK 4m
8kN B
FA0y 14kN( )
FH
x
FH
FAy 4m
4m
4m
4m FBy
FB0y 10kN( )
2kN/m
8kN
M
0 C
48kN m
（6）描点法绘制内力图
1kN/m 4kN
C
y
A
FH
4m
x
B
FH
FAy 4m
4m
4m
4m FBy
四、三铰拱的合理拱轴线
M M 0 FH y(x) 0
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，称 为与该荷载对应的合理拱轴。
y(x) M 0 (x) FH
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩图的竖标成比例。
0 -0.12435 -0.24498 -0.35877 -0.46365 -0.46365
-0.5586 -0.6435 -0.71883 -0.7854
cosφ
0.707107 0.752577
0.8 0.847998 0.894427 0.936329 0.970143 0.992278
1 0.992278 0.970143 0.936329 0.894427 0.894427 0.847998
10 11 12 12 13 14 15 16
y
0 0.9375
1.75 2.4375
3 3.4375
3.75 3.9375
4 3.9375
3.75 3.4375
3 3 2.4375 1.75 0.9375 0
φ 0.785398 0.71883 0.643501 0.558599 0.463648 0.358771 0.244979 0.124355
例 已知三铰拱的高度为f，跨度为l，试求在满跨竖向 均布荷载作用下的合理拱轴，荷载分布集度为q 。
解： M 0 (x) 1 q(lx x2 )
2
ql 2 FH 8 f
q y
C f
A
Bx
y(x) M 0 (x) FH
4 f (lx x2 ) l2
l/2
l/2
A
q
B
ql x
ql
2
2
0.188144 0.707107
-9.19239 -8.46649
-7.8 -7.20799 -6.7082 -6.32022 -6.06339 -5.95367
-6 -6.0777 -6.06339 -5.9691 -5.81378 -7.60263 -7.73798
-7.8 -7.80798 -7.77817
0 -0.625
-0.5 0.375
2 2 0.375 -0.5 -0.625 0
0.707107 0.564433
0.4 0.212
0 -0.23408 -0.48507 -0.74421
-1 -0.24807 0.485071 1.170411 1.788854 -1.78885
-1.06 -0.4