空间图形的基本公理.ppt
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b∩c＝B，c∩a=C.
当堂练习2：判断下列命题的真假，真的打“√”， 假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （2）两条直线可以确定一个平面 （3）两条相交直线可以确定一个平面 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （5）三条平行直线可以确定三个平面 （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（ ）
空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
§4 空间图形的基本关系与公理
4.2空间图形的公理
高安中学
高一备课组
知识探究（二）：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
A
CB
知识探究（二）：平面的基本性质1 文字语言 公理1 经过不在同一直线上的
三点，有且只有一个平面.
图形语言
B
A
C
符号语言 A、B、C三点不共线⇒有且只有一个
平面α，使 A∈ α，B∈ α ，C ∈ α
点评证∴明P证∈A明∵B，A多BP∩点∈α平共＝面P线，α的. 方法：利用公理 3，只需说 明这又些A点B 都 平是面两A个BC平，∴面P的∈平公面共A点BC，. 则必在这两个面
∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，
的交线上． 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P、Q、R 三点共线．
推论2 经过两条相交直线确定一个平面.
推论3 经过两条平行直线确定一个平面. 作用：确定平面的依据
知识探究：平面的基本性质2 观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
知识探究：平面的基本性质2
文字语言 公理2: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).
（2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这
两二个、平面判的定公点共交在线线，上则这的点依在据交线上.
知识探究：平面的基本性质4
问题：在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此 结论是否成立？举例说明
公理4平行于同一条直线的两条直线 文平字行语公言理 平行.
a
图形语言
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点.
求证: 四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连结BD。
A
因为FG是ΔCBD的中位线，
所以 FG//BD，FG 1 BD.
E
又因为EH是ΔABD的中2位线
所以EH // BD，EH 1 BD。B
2
F
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。
公理作用 一、确定平面的依据
二、判断点线共面得依据.
思考交流
（1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定
一个平面吗？
LA B α
C （2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？
Aa α
C
Bb
A Bα
C
a
b
(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
公理1 的三个推论 推论1 经过一条直线和直线外一点确 定一个平面.
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角
问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义 的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?
思考：
⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置 有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?
⑵ 异面直线所成的角的范围是多少? ⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? ⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的? 它体现了什么样的数学思想?
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题 例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC 内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
b
c
符号语言 a // b, b // c a // c
公理作用
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
知识探究: 公理定理的简单应用
知识点一 点、线共面 例 1 已知直线 a∥b，直线 l 与 a、b 都相交，求证：
过 a、b、l 有且只有一个平面． 分析 由题目可获取以下主要信息： ①两线平行； ②第三条线与它们都相交． 解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内．
天花板
墙面 Leabharlann Baidu 墙面
P
a
知识探究：平面的基本性质3
文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P
P 且P
l
符号语言 l且P l.
公理作用
（点一1，）、就判可判定以两定判个两定平这个面两是平个否面平相面相交必的交相依的交据于依，过只据这要个两点个的平一面条有直一线个；公共
所以，四边形EFGH是平行四边形。
H D
G C
理论迁移
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方 体中的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线 D、相交成60°
C
C
A D
B
A
B(D)
当堂练习1：根据下列条件作图：
(1) A∈，a≠，A∈a； (2) a≠ ，b≠，c≠，且a∩b＝A，
图形语言
A
B l
符号语言 公理作用
一面一是内、判，定只判直需线确定在定线平直面线在内上面的两依个内据点，在即平要面判内定即直可线；在也平是 判定点在或平点面内在的方面法内，即的如依果直据线在平面内、点 在二二直是、线检上验检，平则面验点的平在方平法面面内.
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
当堂练习2：判断下列命题的真假，真的打“√”， 假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （2）两条直线可以确定一个平面 （3）两条相交直线可以确定一个平面 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （5）三条平行直线可以确定三个平面 （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（ ）
空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
§4 空间图形的基本关系与公理
4.2空间图形的公理
高安中学
高一备课组
知识探究（二）：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
A
CB
知识探究（二）：平面的基本性质1 文字语言 公理1 经过不在同一直线上的
三点，有且只有一个平面.
图形语言
B
A
C
符号语言 A、B、C三点不共线⇒有且只有一个
平面α，使 A∈ α，B∈ α ，C ∈ α
点评证∴明P证∈A明∵B，A多BP∩点∈α平共＝面P线，α的. 方法：利用公理 3，只需说 明这又些A点B 都 平是面两A个BC平，∴面P的∈平公面共A点BC，. 则必在这两个面
∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，
的交线上． 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P、Q、R 三点共线．
推论2 经过两条相交直线确定一个平面.
推论3 经过两条平行直线确定一个平面. 作用：确定平面的依据
知识探究：平面的基本性质2 观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
知识探究：平面的基本性质2
文字语言 公理2: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).
（2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这
两二个、平面判的定公点共交在线线，上则这的点依在据交线上.
知识探究：平面的基本性质4
问题：在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此 结论是否成立？举例说明
公理4平行于同一条直线的两条直线 文平字行语公言理 平行.
a
图形语言
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点.
求证: 四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连结BD。
A
因为FG是ΔCBD的中位线，
所以 FG//BD，FG 1 BD.
E
又因为EH是ΔABD的中2位线
所以EH // BD，EH 1 BD。B
2
F
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。
公理作用 一、确定平面的依据
二、判断点线共面得依据.
思考交流
（1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定
一个平面吗？
LA B α
C （2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？
Aa α
C
Bb
A Bα
C
a
b
(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
公理1 的三个推论 推论1 经过一条直线和直线外一点确 定一个平面.
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角
问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义 的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?
思考：
⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置 有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?
⑵ 异面直线所成的角的范围是多少? ⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? ⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的? 它体现了什么样的数学思想?
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题 例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC 内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
b
c
符号语言 a // b, b // c a // c
公理作用
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
知识探究: 公理定理的简单应用
知识点一 点、线共面 例 1 已知直线 a∥b，直线 l 与 a、b 都相交，求证：
过 a、b、l 有且只有一个平面． 分析 由题目可获取以下主要信息： ①两线平行； ②第三条线与它们都相交． 解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内．
天花板
墙面 Leabharlann Baidu 墙面
P
a
知识探究：平面的基本性质3
文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P
P 且P
l
符号语言 l且P l.
公理作用
（点一1，）、就判可判定以两定判个两定平这个面两是平个否面平相面相交必的交相依的交据于依，过只据这要个两点个的平一面条有直一线个；公共
所以，四边形EFGH是平行四边形。
H D
G C
理论迁移
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方 体中的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线 D、相交成60°
C
C
A D
B
A
B(D)
当堂练习1：根据下列条件作图：
(1) A∈，a≠，A∈a； (2) a≠ ，b≠，c≠，且a∩b＝A，
图形语言
A
B l
符号语言 公理作用
一面一是内、判，定只判直需线确定在定线平直面线在内上面的两依个内据点，在即平要面判内定即直可线；在也平是 判定点在或平点面内在的方面法内，即的如依果直据线在平面内、点 在二二直是、线检上验检，平则面验点的平在方平法面面内.
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.