空间图形的基本公理.ppt

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北师大版数学高一-4 空间图形的基本关系与公理

§4 空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识【课时目标】学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．3．空间两条直线的位置关系有三种(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；(3)________直线——不同在任何一个平面内．4．空间直线与平面的位置关系有三种(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．5．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线bα，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．bα D．b∥α或bα3．若直线m不平行于平面α，且m α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A．1条B．2条C．3条D．1条或2条5．平面α∥β，且aα，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．8．若a、b是两条异面直线，且a∥平行α，则b与α的位置关系是__________________．9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．三、解答题10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图1，直线a在平面α内．(2)如图2，直线a和平面α相交．(3)如图3，直线a和平面α平行．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB平行的棱、相交的棱、异面的棱．能力提升12．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH 在原正方体中相互异面的有______对．13．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．正方体或长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体或长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识答案知识梳理1．点在直线上和点在直线外2．点在平面内和点在平面外3．(1)平行(2)相交(3)异面作业设计1．D2．D3．B4．D5．C6．B7．38．bα，b∥α或b与α相交9．4,6,7,810．解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：11．解如图所示．与AB平行的棱CD，A1B1，C1D1；与AB相交的棱A1A，B1B，AD，BC；与AB异面的棱为棱A1D1，B1C1，D1D，C1C．12．3解析将正方体恢复后，由图观察即可得．即为EF，GH；CD，AB；AB，GH．13．解由α∩γ＝a知aα且aγ，由β∩γ＝b知bβ且bγ，∵α∥β，aα，bβ，∴a、b无公共点．又∵aγ且bγ，∴a∥b．∵α∥β，∴α与β无公共点，又aα，∴a与β无公共点，∴a∥β．4．2空间图形的公理(一)【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα．2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________________________________________________________________________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________________________________________．一、选择题1．两平面重合的条件是()A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈βB．M∈bβC．M bβD．M b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有() A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，aα________．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊆α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．4．2空间图形的公理(一) 答案知识梳理1．两点2．不在同一条直线上有且只有3．一个一条4．(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)lα且lβ(4)mα，nα且m∩n＝A作业设计1．C2．B3．D4．C5．C6．D7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈aα，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC 与平面α的交线上，因此E ，F ，G ，H 必在同一直线上．12．证明∵l 1β，l 2β，l 1l 2，∴l 1∩l 2交于一点，记交点为P ． ∵P ∈l 1β，P ∈l 2γ，∴P ∈β∩γ＝l 3， ∴l 1，l 2，l 3交于一点．13．证明 (1)∵C 1、O 、M ∈平面BDC 1，又C 1、O 、M ∈平面A 1ACC 1，由公理3知，点C 1、O 、M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上，∴C 1、O 、M 三点共线．(2)∵E ，F 分别是AB ，A 1A 的中点， ∴EF ∥A 1B ．∵A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1． ∴E 、C 、D 1、F 四点共面．(3)由(2)可知：四点E 、C 、D 1、F 共面．又∵EF ＝12A 1B ＝12D 1C ．∴D 1F ，CE 为相交直线，记交点为P ．则P ∈D 1F 平面ADD 1A 1， P ∈CE平面ADCB ．∴P ∈平面ADD 1A 1∩平面ADCB ＝AD ． ∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．4．2 空间图形的公理(二)【课时目标】 1．理解异面直线所成角的定义；2．能用公理4及定理解决一些简单的相关问题．1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．3．异面直线所成的角：直线a ，b 是异面直线，经过空间任一点O ，作直线a ′，b ′，使a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a 与b 所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．一、选择题1．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( ) A ．异面或平行 B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面 2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面3．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行D ．OB 与O 1B 1不一定平行 4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)二、填空题6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________． 7．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．三、解答题9．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°作业设计1．D2．D3．D4．B5．D6．60°或120°7．(1)60°(2)45°解析连接BA ′，则BA ′∥CD ′，连接A ′C ′，则∠A ′BC ′就是BC ′与CD ′所成的角．由△A ′BC ′为正三角形，知∠A ′BC ′＝60°，由AD ∥BC ，知AD 与BC ′所成的角就是∠C ′BC ．易知∠C ′BC ＝45°． 8．①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．9．证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC ．由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又因为ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1．10．解取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或75°．11．②④解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．12．B。

空间图形的基本关系与公理 PPT

ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三证明三线共点
【例3】已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四异面直线及其所成角的问题【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a

2013届高考北师大版数学总复习课件：8.2空间图形的基本关系与公理

[答案] C
[解析 ] 本题考查线线角，考查学生的作图能力和计算能力．
分别取 AA1、BA、A1C1 的中点 E、F、G，联结 EF、FG、 EG.
则∠ FEG 或∠ FEG 的补角是 BA1 与 AC1 所成的角，设 BA＝ AC＝ AA1＝ 1， 2 2 则 EF＝， EG＝， FG＝ 2 2
②举反例：
a⊥ b， b⊥ c，则 a∥ c.
③举反例：
a∥ γ， b∥ γ，则 a 与 b 相交．
④垂直于同一平面的两直线互相平行．故①，④正确．
4．(文 )平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1 中，既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 ( A． 3 C． 5 ) B． 4 D． 6
7．已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC＝ 10，BD＝ 6，M， N 分别是 AB， CD 的中点， MN＝ 7.求异面直线 AC 与 BD 所成的角．
[解析] 用集合语言表示，只有 B 正确．
2． (文 )已知 a、 b 是异面直线，直线 c∥直线 a，则 c 与 b( A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
)
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
[答案] C
[解析] a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a.因而 c 不与 b 平行，否则，若 c∥b，则 a∥b，与已知矛盾，因而 c 不与 b 平行．
1 ＋
6 2 2 ＝， 2 2
1 1 6 1 ＋－－ 2 2 4 2 1 ∴ cos∠ FEG＝＝＝－， 2 2 2 1 2× × 2 2 ∴ BA1 与 AC1 所成的角为 60° .
解法二：如下图，可补成一个正方体 ABCD－ A1B1C1D1， ∴ AC1∥ BD1.

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理

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[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
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两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面的位置关系
面面平行面面相交
α∥β α∩β＝a
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【优化方案】2012高考数学总复习第8章§8.3空间图形的基本关系及公理精品课件理北师大版

如图所示，如图所示，已知空间四边形 ABCD 中， E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是，的中点，，， CF CG 2 上的点，边 BC，CD 上的点，且CB＝CD＝，， 3 (1)求证：三条直线 EF，GH，AC 交于一点．求证：交于一点．求证，， AE CF AH CG (2)若在本题中，＝＝2，若在本题中，若在本题中 EB FB ， HD＝GD＝3，，其他条件不变．求证： EH， FG，三线共点． BD 其他条件不变．求证：，，三线共点．
AE CF (2)因为＝＝2，因为EB FB ，
所以 EF∥AC. ∥ AH CG 又HD＝GD＝3，， ∴HG∥AC， ∥ ，
∴EF∥HG，且EF>HG. ∥ ，所以四边形EFGH为梯形．为梯形．所以四边形为梯形交于点P，设EH与FG交于点，与交于点则P∈平面 ∈平面ABD，P∈平面， ∈平面BCD，，所以P在两平面的交线上所以在两平面的交线BD上，在两平面的交线所以EH、、三线共点三线共点．所以、FG、BD三线共点．【易错警示】易错警示】缺乏理论依据．缺乏理论依据．证明线共点时，证明线共点时，两条直线相交可能
(4) 空间直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内 __________________ 、直线和平面相交、直线与平面平行． _______________． (5) 空间两平面的位置关系有两种：两平面平行和两平面相交 _____________________________．．思考感悟直线吗？直线吗？若aα，b β，则a，b就一定是异面，，，就一定是异面

1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)

[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ，同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上点与直线点在直线外 (1)点点在平面内点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系相交直线共面情况在同一个平面内公共点个数 1个没有没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．

高中数学空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件

目标导航
预习引导
2.等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
目标导航
预习引导
3.空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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预习引导
学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
��
=
��
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
��
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5

高考数学北师大版文科一轮复习配套课件7.2空间图形的基本关系与公理

[类题通法]
1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明．
2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善．
[典例] (1)(2013· 江西省七校联考)已知直线a和平面α， β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和 c，则直线b和c的位置关系是 A．相交或平行 C．平行或异面 B．相交或异面 D．相交、平行或异面 ( )
(2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题的两种途径
(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
3．证明共线问题的两种途径
(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
解析：由异面直线的定义可知选 D.
(
)
答案：D
2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是 A．b⊂α C．b⊂α或b∥α B．b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α ( )
解析： b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α 都可以．
答案：D
1．求异面直线所成角的方法
(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．
∵BA1∥CD1， ∴∠A1BE为所求．在△A1BE中，设AB＝1，则AA1＝2， ∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2. 3 10 ∴cos∠A1BE＝ . 10
3 10 答案： 10
1．(2013· 安徽高考)在下列命题中，不是公理的是．． A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)

D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l

P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．

A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：

在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个

平面的基本性质及三大公理ppt课件

直线与平面的关系：l ,l
如果要把一根木条固定在墙面上,至少需要几个钉子?
文公理1:如果一条直线上的
字两个点在平面内,那么这条
语言
直线上所有的点都在这个图形语言
平面内.
符
α AB
号
Al, B l, A, B
直AB
语言
关键词: 两作点用, ：用所有来证明或
证明： AB , AC
B,C BC
你骑车放学回家了,到家时如何才能把自行车停稳?
B
A
C
公理２经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.
B
α 。A
C
表示为:
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一个平面 .
例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念.
(1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直线是无限延伸的）
(2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平）（没有边界）
（没有质量）
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一部分来表示平面.
通常用平行四边形来画平面 1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当平面水平放置的时，候通常把平行四边形的锐角画成4 5
2、两个平面在不同的位置关系下的画法

空间图形的公理(公理4、定理

空间图形的公理
目录
• 公理4 • 定理 • 空间图形的性质 • 空间图形的分类
01
CATALOGUE
公理4
公理4的表述
公理4：如果一条直线上的两点位于一个平面内，则该直线上所有点都位于这个平面内。
这条公理是空间图形的基础，它定义了平面和直线之间的关系，并确定了平面和直线的基本性质。
公理4的意义
02
CATALOGUE
定理
定理的表述
1 2
欧几里得平行公理
通过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。
角平分线定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3
勾股定理
直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
定理的证明
欧几里得平行公理的证明
通过反证法，假设过直线外一点有两条与已知直线平行的直线，则这两条直线必然相交于某一点，从而形成了一个新的平面，与已知直线相交，这与平行公理矛盾，因此假设不成立，所以过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
• 公理4的意义在于它为几何学中的平面和直线提供了严格的定义。这个公理表明，如果一条直线上的两点都位于一个平面上，那么整条直线都会在这个平面上。这个公理是几何学中平面和直线的基本性质，是后续几何定理和推论的基础。
公理4的应用
• 公理4的应用非常广泛，它涉及到几何学中的许多概念和定理。例如，在解析几何中，公理4用于确定平面和直线的方程；在立体几何中，公理4用于研究平面和直线的位置关系以及它们之间的度量性质。此外，公理4也是工程学、物理学和计算机图形学等领域中必不可少的工具。
空间图形的度量性质
总结词
度量性质是指空间图形具有大小和形状的属性，可以通过测量和比较来确定。

《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品

自
课
主位置关系、符号表示．
时
导
作
学
业
课堂互动探究
教师备课资源
菜单
BS ·数学必修2
教
学
易
教
错
法分
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线
易误
析
辨
b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课堂互动探究
教
【解析】由线面符号语言描述及图形语言知D正确．
教
师
备
课
资
源
菜单
BS ·数学必修2
教
学
易
教
错
法
易
分析
误
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何辨
析
教学
关系？
当
方
堂
案设
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关双基
计
系？
达标
课
前自
【自主解答】法一 ∵AB∩α＝P，
课
主
时
导学
∴P∈AB，P∈平面 α.
自
课
主导
与平面相交．
时作
学
业
4．平行和相交．
课堂互动探究
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教学教法分析
教学方案设计

2012届高考数学(文)一轮复习课件：7-2第二节空间图形的基本关系与公理(北师大版)

第七章
立体几何
北师大版数学文
[解]
(1)取 CD 的中点 G，连结 MG、NG.
正方形 ABCD、DCEF 的边长为 2，则 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF，所以 MG⊥平面 DCEF.∴MG⊥NG， ∴MN＝ MG2＋NG2＝ 6.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，
第七章
立体几何
北师大版数学文
第七章
立体几何
北师大版数学文
例4
(2009· 辽宁卷 )如图，已知两个正方形 ABCD和
DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
这与BC是正方体的棱相矛盾．
∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
第七章
立体几何
北师大版数学文
[总结评价] (1)问通过观察，AM和CN显然不是异面直线，可以直接证明AM与CN共面．(2)问直观感觉到D1B和CC1 是异面直线的可能性较大，如果直接证明它们异面，很难达到目的，考虑到命题情况是单一的，不是异面，就是共面，因此想到用反证法来证明，反证法是立体几何中经常使用的
∴DB∥B′D′.
第七章
立体几何
北师大版数学文
∴A′B、DB、A′D是全等的正方形的对角线． ∴A′B＝BD＝A′D，即△A′BD是正三角形．
∴∠A′BD＝60°.
∵∠A′BD是锐角，
∴∠A′BD是异面直线A′B与B′D′所成的角．
∴A′B与B′D′所成的角为60°.

空间图形的基本关系与公理课件

工具
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1，所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内．同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )

高考理科第一轮课件(7.2空间图形的基本关系与公理)

(0, ］ (2)范围:______. 2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果两个不重合的平面α ,β 有一条公共直线a,就说平面 α ,β 相交,个公共点A,就说α ,β 相交于过A点的任
意一条直线.( )
(3)两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于A点,并记作α ∩β =A.( ) ) )
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线
上,从而得三点共线.
2.证明三线共点的思路
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化
归到证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.
【变式备选】如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是AB的中点,F
②C,D,F,E四点共面.理由如下:
由BE∥AF且BE=
1 AF,G是FA的中点知, 2
BE∥GF且BE=GF, 所以四边形EFGB是平行四边形, 所以EF∥BG. 由①知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.
【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“FE,AB,DC交于一点”? 【证明】由例题可知,四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形,故可得四边形ECHF为平行四边形, ∴EC∥HF,且EC= 1 DF,∴四边形ECDF为梯形,
【解析】选B.若平面α与平面β相交,则它们有无数个公共点, 结合公理可知②③④均正确.
2.若三条不同的直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c( (A)一定是异面直线 (C)不可能是平行直线 (B)一定是相交直线 (D)不可能是相交直线
)

空间图形基本关系的认识及公理123

【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×

立体几何-空间图形的基本关系与公理1

空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外点面关系：点在面上、点在面外线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。

推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面推论2：两条平行直线可以确定一个平面。

推论3：两条相交直线可以确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。

等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。

异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。

如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。

论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。

论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。

点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。

证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。