平面向量基本定理教学设计(核心素养)
高中数学_6.3 平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量基本定理教学设计数学课程标准解读中提出：数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可描述为：会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。
这“三会”就是高中阶段的数学学科核心素养。
以发展学生的数学学科核心素养为目标，设计了本节课。
【学习目标】知识与能力目标理解平面向量基本定理及其意义，并能运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。
过程与方法目标经历平面向量基本定理的探索与证明过程, 感悟数学抽象，逻辑推理，由特殊到一般等数学思想的作用，培养学生的学科素养。
情感态度与价值观目标在学习中注重培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质。
【教学重点】平面向量基本定理的理解、定理的应用。
【教学难点】平面向量基本定理的理解及其推导。
【教学过程】（一）创设问题 引入新课情境：我们知道，世界上的所有旋律都是由7个基本音符谱成的，那么平面内的所有向量能否由几个基本向量来表示呢？【设计意图】通过类比的方法引入新课，激发学生的求知欲，并暗含平面向量基本定理的本质。
复习1:共线向量基本定理：复习2：向量求和的平行四边形法则？提出问题：反之呢？如图的向量 a 能否用向量表示呢？接着让学生拿出方格纸，通过作图的方法探究下面问题【设计意图】课程标准解读中曾指出：数学眼光是什么呢？主要表现为数学抽象，而与数学抽象关系密切的是直观想象，直观想象是实现数学抽象的思维基础。
因此在设计问题时，先把问题直观化，让同学们通过在方格纸上作图，直观感受向量的分解。
接着提出以下问题：1e 2e【师生活动】师生共同用PPT 展示向量a 的分解过程，并在展示过程中进一步提出小问题：（1）为何要把向量平移使其共起点？（2）利用什么知识对向量a 进行分解？（3）为什么OB OA a +=11e OA λ=22e OB λ=呢？学生回答问题。
教学设计3：6.3.1 平面向量基本定理
6.3.1 平面向量基本定理一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.二、教学目标1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。
2、过程与方法：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
3、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
三、重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点：平面向量基本定理的运用.四、教学设想（一）导入新课思路 1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F 1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F 2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2，请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动：如图1，在平面内任取一点O，作=e 1，=e 2，=a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N .由向量的OA OB OC线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e 1，=λ2e2.由于，所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.讨论结果：①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：图2已知两个非零向量a 和b (如图2)，作=a ，=b ，则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然，当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向.因此，两非零向量的夹角在区间[0°，OM ON ON OM OC +=OA OB180°]内.如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便.讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j①这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).教师应引导学生特别注意以下几点：(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.如图所示，是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为(x 2-x 1，y 2-y 1). (3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：讨论结果：①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a =(x ，y ).②是一一对应的.（三）应用示例 思路1例1 如图4，ABCD ，=a ，=b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF =BC ，以a ，b 为基底分解向量.图4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解：由H 、M 、F 所在位置，有=b +a . =a b . 点评：以a 、b 为基底分解向量与，实为用a 与b 表示向量与.11B A AB AD 31HF AM 和+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 2121AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-=61-AM HF AM HF变式训练已知向量e 1、e 2(如图5)，求作向量-2.5e 1+3e 2.图5作法：(1)如图，任取一点O，作=- 2.5e 1，=3e 2.(2)作OACB .故OC 就是求作的向量.例2 如图6，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.图6活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法，可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a =+=x i +y j ，∴a =(2，3).同理，b =-2i +3j =(-2，3)；c =-2i -3j =(-2，-3)；d =2i -3j =(2，-3).点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练i ，j 是两个不共线的向量，已知=3i +2j ，=i +λj ，=-2i +j ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值.OA OB OC 1AA 2AA AB CB CD解：∵=-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ，又∵A 、B 、D 三点共线，∴向量与共线.因此存在实数υ，使得=υ，即3i +2j =υ[-3i+(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量，故∴∴当A 、B 、D 三点共线时，λ=3. 例 3 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解析：平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量.综上所述，②③正确.答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例1 如图7，M 是△ABC 内一点，且满足条件0，延长CM 交AB 于N ，令=a ，试用a 表示.图7活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具.BD CD CB AB BD AB BD ⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ⎩⎨⎧=-=.3,1λv =++CM BM AM 32CM CN由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2，则 解：∵ ∴由=0，得0. ∴=0. 又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 由平行向量基本定理，设∴0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.由于和不共线，∴∴ ∴∴=2a .点评：这里选取作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量，a =3e 1+4e 2，b =-2e 1+5e 2，若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2，求λ、μ的值.解：由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 解之，得λ=1，μ=-1.⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a ,,NM BN BM NM AN AM +=+=CM BM AM 32++=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(CM BN NM AN 323+++,,NM CM BN AN μλ===+++NM BN NM BN μλ323BN NM BN NM ⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ⎩⎨⎧-=-=12μλ.MN NM CM =-=CM MN CM CN 2=+=NM BN ,⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ例2 如图8，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE =2EC ，求的值.图8活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后，然后结合向量的相等进行求解比值. 解：设 ∵=，即-=-， ∴=(+). 又∵=λ=λ(-)，∴==+.① 又∵=μ，即-=μ(-)， ∴(1+μ)=+μ= 又=，∴=+.② 比较①②，∵、不共线， ∴解之，得∴ 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q ，设=h ，，试GEBG GD AG 及μλ==GEBG GD AG ,BD DC AD AB AC AD AD 21AB AC AG GD AD AG AG λλ+1AD )1(2λλ+AB )1(2λλ+AC BG GE AG AB AE AG AG AB AG AE ,AE AB μμμ+++111AE 32AC AG AB μ+11)1(32μμ+AC AB AC ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ.23,4==GE BG GD AG OP OA OB k OQ =证： 解：设=a ，=b ，OG 交AB 于D ，则=()=(a +b )(图略). ∴==(a +b )，=(a +b )-k b =a +b ， =h a -k b . ∵P 、G 、Q 三点共线，∴.∴a +b =λh a -λk b .∴ 两式相除，得， ∴=3. （四）知能训练1.已知G 为△ABC 的重心，设=a ，=b ，试用a 、b 表示向量.2.已知向量a =(x +3，x 2-3x -4)与相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求x . 解答：1.如图9，=，图9 而a +(b -a )=a +b ， ∴(a +b )=a +b . 点评：利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A (1，2)，B (3，2)，∴=(2，0).∵a =，∴(x +3，x 2-3x -4)=(2，0).∴解得∴x =-1.311=+kh OA OB OD 21OB OA +21OG 32OD 31OQ OG QG -=3131331k -OQ OP QP -=QP QG λ=31331k -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ.3311hk h k k h k =+⇒-=-kh 11+AB AC AG AB AG 32AD =+=+=BC AB BD AB AD 212121213232==AD AG 21213131AB AB ⎩⎨⎧=--=+043,232x x x ⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或AB点评：先将向量用坐标表示出来，然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图.。
平面向量基本定理(教案)
平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。
1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。
基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。
2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。
基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。
教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。
例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。
3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。
线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。
教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。
在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。
4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。
向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。
教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。
例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。
5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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单元教学设计与核心素养培养——以“平面向量”单元教学为例
２０２４年３月上半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀单元教学设计与核心素养培养∗以 平面向量 单元教学为例◉江苏省宿迁中学㊀倪文林１问题提出在«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»中,对应 课程基本理念 部分第一次创新性地提出 数学学科核心素养 这一重要理念．对于数学学科核心素养的培养与养成,一直渗透于数学教学与学习过程中,成为数学活动中的一种常态．数学学科核心素养的培养与养成,对于教学与学习有一定的指导与目标意识,那么在高中数学教学单元中如何加以实施,能够更加有效培养并提升数学核心素养,促进学生的全方位发展呢?本文中以 平面向量 单元教学为例,结合实例就数学学科核心素养的培养加以阐述,以期抛砖引玉．２问题解决２．１从数学问题中结合抽象加以数学运算借助平面向量的概念与公式等相关知识,合理构建对应的关系式等,通过数学变形与转化,合理利用数学运算来转化与应用．例１㊀ 福建省泉州市２０２３届高中毕业班质量监测(三)数学试卷(２０２３年３月)８ 已知平面向量a ,b ,c 满足|a |＝１,b c ＝０,a b ＝１,a c ＝－１,则|b ＋c |的最小值为(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀㊀B ．２㊀㊀㊀㊀C ．２㊀㊀㊀㊀D．４图１解析:在平面直角坐标系x O y 中,设向量a ＝(１,０),b ＝(x １,y １),c ＝(x ２,y ２),如图１所示．因为a b ＝１,a c ＝－１,b c ＝０,所以x １＝１,x ２＝－１,x １x ２＋y １y ２＝０,则y １y ２＝１．由基本不等式,可得|b ＋c |＝(x １＋x ２)２＋(y １＋y ２)２＝y ２１＋y ２２＋２ȡ２y １y ２＋２＝２,当且仅当y １＝y ２＝１或y １＝y ２＝－１时,等号成立．所以|b ＋c |的最小值为２．故选择:C ．点评:本题根据平面向量 数 的结构属性,通过平面直角坐标系的构建加以数学运算,合理引入平面向量的坐标,利用题设条件确定对应坐标的关系,利用基本不等式的放缩㊁三角函数的应用等来确定向量和的模的最值．２．２从逻辑推理中归纳总结加以直观想象借助平面向量的相关数据信息,特别是向量的位置关系(平行或垂直等),结合题设条件通过合理的逻辑推理,构建与之对应的平面几何图形加以直观想象,从而利用图形直观分析解决平面向量问题．例２㊀(２０２３年上海交大强基计划数学试卷 ５)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |＝|b |＝|c |＝１,a b ＝１２,则(a ＋b ) (２b －c )的最小值为(㊀㊀)．A．３＋３B ．３－３C ．２＋２D．２－２解析:设O A ң＝a ,O B ң＝b ,O C ң＝c ．由|a |＝|b |＝１,a b ＝１２,可得a b ＝|a ||b | c o s øA O B ＝c o s øA O B ＝１２,则øA O B ＝π３．图２如图２,设a ＋b ＝O A ң＋O B ң＝O D ң,C ０是O D 与半径为１的圆O 的交点,则知四边形O A D B 是平行四边形．而|O D |２＝(a ＋b )２＝a ２＋２a b ＋b ２＝１＋２ˑ１２＋１＝３,可得|O D |＝３．延长O B 至点B ᶄ,使得|O B ᶄ|＝２|O B |＝２,连接B D ,B ᶄD ,则øB ᶄO D ＝øB D O ＝π６．所以әB B ᶄD 为正三角形,且øO D B ᶄ＝π２．由于２b －c ＝C B ᶄң,根据图形直观,利用C B ᶄң在O Dң方向上的投影,可知当点C 运动到点C ０时,(a ＋b )(２b －c )的最小值为㊀㊀|O D |ˑ|C ０D |＝３ˑ(３－１)＝３－３．故选择:B ．１２∗课题信息:江苏省教育科学 十四五 规划课题 观念建构视角下指向核心素养的高中数学单元教学设计研究 ,立项编号为D /２０２１/０２/５１３．教学研究２０２４年３月上半月㊀㊀㊀点评:本题合理通过平面向量 形 的结构特征,借助向量投影的定义加以直观形象处理是解决平面向量数量积的最值中比较特殊的一种技巧方法．这里借助局部与整体的平面向量的投影思维来处理,思维视角不同,解题思维一致,殊途同归．局部视角需要必要的变形与转化,整体视角的要求使得图形更加复杂,各有利弊．２．３从数学思维中合理应用加以逻辑推理类似于特殊值思维等,都是平面向量及其应用中最为常用的一些基本技巧方法．特别对于一些小题(选择题或填空题),抓住问题的本质,通过合理巧妙的逻辑推理,对于解决平面向量及其相关的应用问题有很好的效益．例３㊀ ２０２３届山东省潍坊市高考模拟考试数学试卷(潍坊东营一模) ８ 单位圆O :x ２＋y ２＝１上有两定点A (１,０),B (０,１)及两动点C ,D ,且O C ң O D ң＝１２．则C A ң C B ң＋D A ң D B ң的最大值是(㊀㊀)．A．２＋６B ．２＋２３C ．６－２D．２３－２解析:由O C ң O D ң＝１２,得|O C ң||O D ң|c o s øC O D ＝c o s øC O D ＝１２,则有øC O D ＝π３．图３如图３所示,利用目标所求关系式C A ң C B ң＋D A ң D Bң的结构特征,通过关系式的对称性,可知当A B ʊC D 时取得对应的最值,此时øA C B ＝π４,øB O C ＝７π１２,而|O A ң＋O B ң|＝２,故C A ң C B ң＋D A ң D B ң的最大值为２C A ң C B ң＝２(O A ң－O C ң) (O B ң－O C ң)＝２[O A ң O B ң＋O C ң２－O C ң (O A ң＋O B ң)]＝２１－１ˑ２ˑc o s (π４＋７π１２)éëêêùûúú＝２＋６．故选择:A ．点评:抓住平面向量 形 的结构特征,从 形 的思维视角切入,结合 形 的位置关系等合理分析与处理．特别是涉及 形 中的对称性㊁特殊思维等的应用,可以巧妙逻辑推理与数学运算．２．４从问题本质中合理转化加以数学建模从题目条件的本质入手,结合平面向量的概念㊁运算㊁性质等加以巧妙转化与化归处理,合理构建数学模型,进而借助熟悉的数学模型来分析与解决相应的平面向量问题．例４㊀(２０２４届安徽省A １０联盟高三上学期８月开学摸底考试数学试题)古希腊数学家特埃特图斯(T h e a e t e t u s ,约公元前４１７ 公元前３６９)利用如图４图４的直角三角形来构造无理数２,３,５, ．已知A B ＝B C ＝C D ＝１,A B ʅB C ,A C ʅC D ,A C 与B D 交于点O ,若D O ң＝λA B ң＋μA C ң,则λ＋μ＝(㊀㊀)．A．２－１㊀㊀㊀B ．１－２C ．２＋１㊀㊀㊀D．－２－１解析:在әB C D 中,由B C ＝C D ＝１,øD C B ＝９０ʎ＋４５ʎ＝１３５ʎ,可得øB D C ＝２２．５ʎ．由t a n４５ʎ＝２t a n ２２．５ʎ１－t a n ２２２．５ʎ＝１,解得t a n２２．５ʎ＝２－１(负值舍去)．所以O C ＝D C t a n ２２．５ʎ＝２－１．图５以C 为坐标原点,C D ,C A 所在直线分别为x ,y 轴建立如图５所示的平面直角坐标系,则C (０,０),A (０,２),B(２２,２２),D (－１,０),O (０,２－１)．所以A B ң＝(２２,－２２),A C ң＝(０,－２),D O ң＝(１,２－１)．因为D O ң＝λA B ң＋μAC ң,所以１＝２２λ,２－１＝－２２λ－２μ,ìîíïïïï解得λ＝２,μ＝－１．所以λ＋μ＝２－１．故选择:A ．点评:求解平面向量的线性关系中的系数问题,合理构建数学模型是解题的关键．这里通过抓住平面向量 数 与 形 的双重性质,可以从 数 的视角,也可以从 形 的视角来处理． 数 与 形 的融合与拓展,为平面向量问题的分析与求解提供了基本的思维方式．３感悟反思相应的数学核心素养的培养与养成,对于具体的知识模块来说仁者见仁,智者见智．在实际教学与学习过程中,要充分扎根于课堂,借助平面向量这一模块知识,从本质上加以合理挖掘与拓展,就数学核心知识㊁数学核心素养等方面,巧妙应用,有效实施．特别在单元教学过程中,教师要根据平面向量模块知识的本质与特点,从 数 与 形 两个本质属性入手,在课堂教学与学习中加以渗透,提升学生数学能力与数学核心素养．Z２２。
平面向量基本定理教案
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
在教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点二.学习目标1）知识与技能1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底 来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识三、教学重点及难点教学重点：对平面向量基本定理的探究教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用四、课堂结构设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学结构设计为以下阶段：五、教学过程设计1、复习旧知，做好铺垫复习旧知做好铺垫 问题驱动 探究新知 思考交流 构建概念 例题练习 巩固新知 归纳小结 深化认识 布置作业 巩固提高（1）向量的加法（2）向量的减法（向量的减法：向量的终点连接，箭头指向被减向量）（3）共线定理若b a a 与)0(≠共线)0(≠=a a b λ2.问题驱动、探究新知问题（1 ）已知21,e e （如图），做出2123e e +.解：做212,3e OB e OA ==,然后以为边做、OB OA OACB ,则2123e e OB OA AC OA OC +=+=+=，如下图所示：[设计意图]： 复习向量的加减法及数乘，为向量的线性表示打下基础．同时强调OC 可以沿着21,e e 分解，为学习平面向量基本定理起好铺垫作用。
《平面向量基本定理》教学设计
《平面向量基本定理》教学设计
则一定存在唯一一个实数λ，使得a b λ=.
①向量基线平行或重合则向量平行； ②如果所有向量都可以表示成数乘的同一个基向量的形式，则向量平行. 问题1-2：而我们所面临的平面向量往往并不是共线的，这些不共线的向向量基本定理、
二、总结活动，引出定理 问题2-1：给定两个不共线的向量，平面中的任意向量都能用这两个向量的线性运算的形式来进行表示，这种表示方式唯一吗？ 板书唯一性的证明过程，得到平面向量基本定理. 平面向量基本定理： 如果1e 和2e 是一个平面内的两个不共线的向量，那么对于该平面内
的任一向量a ，存在唯一一对实数1a ，2a ，使1122a a e a e =+.
不共线的向量1e 、2e 叫做这个平面所有向量的一组基底，记为
12{,}e e .
四、课堂小结
1.平面向量基本定理与平行向量基本定理
2.你如何看待基底的作用？
3.通过今天的学习你对平面直角坐标系中点的坐标有什么新的认识？
五、作业
备用练习及教材P99练习B。
平面向量基本定理教学设计
《平面向量基本定理》教学设计一、知识回顾（1）共线向量定理：()⇔≠o b b a //存在唯一实数λ使得b a λ=（2）向量的加法： 平行四边形法则 三角形法则 1e2e在向量加法的平行四边形法则中，OC 是21e e ，的合成，21e e ，也可以看做OC 的分解.二、新课讲解1.提出问题问题1：如图，对于平面内不共线的向量21e e ，，向量a 与21e e ，之间有什么关系？2.引入新课 问题2：任给两个不共线的向量21e e ，，平面内任意向量a 是否都可以用形如2211e e a λλ+=的形式来表示？下面通过作图来研究.1ea2e 如图，在平面上任取一点O,作a OC e OB e OA ===,,21.过点C 作CM//OB 交OA 于M ，作CN//OA 交OB 于N ，由向量的线性运算性质可知，存在实数21λλ，，O A C B O O AB B ACD O A M C N B使得2211,e ON e OM λλ==，由于ON OM OC += ，所以2211e e a λλ+= ，也就是说任一向量a 都可以表示成2211e e a λλ+=的形式。
3.归纳定理 平面向量基本定理：如果21e e 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且仅有一对实数21λλ， ，使2211e e a λλ+=。
共线向量定理是平面向量基本定理的一种特殊形式，平面向量基本定理是共线向量定理的推广定理说明：(1）我们把不共线向量21e e 、叫做表示这一平面的任意向量的一组基底。
（2）基底给定时，分解形式唯一。
（零向量如何用给定基底表示？）（3）若02211=+e e λλ，且21e e 、不共线 ，则021==λλ（4）这个定理告诉我们平面内任一向量都可以在给出基底的条件下分解，这样就可将平面内任意的向量通过基底联系起来，在解决平面向量的问题中有极大作用。
练习：设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：（1）AB AD 与 (2)BC DA 与 (3)DC CA 与 (4)OB OD 与,其中可作为基底的有哪些？三、例题讲解例1 如图，已知向量21e e 、，求作向量2135.2-e e + 。
新课程必修第二册《6.3 平面向量基本定理及坐标表示》核心素养教学设计(5课时)
6.3.1 平面向量基本定理本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二次承认》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量基本定理及其应用。
本节课是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化为代数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础本节内容用1课时完成。
A.理解平面向量基本定理及其意义；B.会用基底表示某一向量；C.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。
1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；2.教学难点：平面向量基本定理的探究。
多媒体一、复习回顾，温故知新 1.共线向量定理【答案】向量)0(≠a a 与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使a b λ=。
2.向量的加法法则 【答案】三角形法则AC BC AB =+。
特点:首尾相接，连首尾。
平行四边形法则OC OB OA =+特点:同一起点,对角线。
二、探索新知探究：如图 6.3-2（1），设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内与21e e ，都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O ，作,,,21a OC e OB e OA ===将a 按21e e ，的方向分解，你有什么发现？【答案】如图，2211e e ON OM OC a λλ+=+==思考1.若向量a 与21e e 或共线，a 还能用2211e e a λλ+=表示吗？ 【答案】当向量a 与1e 共线时，2110e e a +=λ。
当向量a 与2e 共线时，2210e e a λ+=。
思考2.当a 是零向量时，a 还能用2211e e a λλ+=表示吗？ 【答案】2100e e a +=思考3.设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，在2211e e a λλ+=中，21λλ，是否唯一？【答案】假设221122112211e e e e e e a μμλλμμ+=++=，则，通过思考，进一步完善结论，推出平面向量基本定理。
《平面向量基本定理》教学设计
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。
教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标1）知识与技能目标1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法目标1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
高中数学教学课例《平面向量》课程思政核心素养教学设计及总结反思
择与设计 尝试做题
定义：有大小，有方向
教学过程
模：向量的的大小
零向量：模为 0 的向量，方向任意
单位向量：模为 1 的向量
平行向量：方向相同或相反ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相等向量：大小相等，方向相同
课堂练习 77 页
课例研究综
使教学生活化，简单化，将所学内容和与有知识进
述
行相接。
高中数学教学课例《平面向量》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《平面向量》
称
教材通过生活及物理学中涉及到的知识引出向量
的几何表示，并明确提出向量与数量的区别。 教材分析
本节重点：区别向量和数量学会表示向量
难点：判断共线向量和相等向量
知识目标：结合物理中力，位移，速度等具体背景
认识向量，掌握向量和数量的区别，了解有向线段和向
量的联系与区别，了解零向量，单位向量，平行向量 教学目标
能力目标：会用向量几何表示，会辨别图形中的概
念
情感目标：体会物理和数学之间的联系
学生对物理中的矢量了解不透彻，但已经有所了 学生学习能
解，所以本节课对学生来说容易接受，但做准确需要加 力分析
强。
教学策略选
让学生自己预习，通过物理中矢量学习向量，自己
平面向量基本定理》教学设计
平面向量基本定理》教学设计教师可以通过一个简单的问题引出本节课的主题：“如何用最少的步骤将一张纸对折多次？”通过学生的回答，引导学生思考向量的分解和坐标运算的实际应用。
2．概念讲解、例题演示教师可以通过PPT等教具，对平面向量基本定理进行概念讲解，并通过例题演示如何使用基底来表示平面中的任一向量。
3．生活实例类比、动手探索教师可以通过生活实例类比，如如何用最少的步骤将一张纸对折多次，让学生通过动手探索总结归纳出平面向量基本定理，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
4．图形语言转化为文字语言、思维梳理教师可以通过将图形语言转化为文字语言，让学生思维梳理，对学生的能力要求比较高，但是可以帮助学生更好地理解平面向量基本定理的概念和应用。
5．练巩固、错题讲解教师可以通过练巩固学生对平面向量基本定理的掌握程度，并针对学生犯错的问题进行错题讲解，帮助学生更好地理解和掌握平面向量基本定理的应用。
6．拓展应用、思维拓展教师可以通过拓展应用，如向量的叉乘和平面向量的旋转等，帮助学生进一步掌握向量的应用，并通过思维拓展，如数学思维训练和创新思维训练，培养学生的综合素质。
7．课堂总结、作业布置教师可以通过课堂总结，帮助学生回顾本节课的重点和难点，同时布置相应的作业，促进学生对所学知识的进一步巩固和应用。
播放神舟十一探测器发射的视频，让学生感受到科技的进步和人类的勇气。
接着，引导学生回到生活中，回忆玩滑梯的经历，让学生感受到数学与生活的联系。
通过这种方式，培养学生感知和发现数学的能力，将知识问题化、情景生活化。
给定平面内任意两个向量e1和e2，请学生做出e1+2e2和e1-2e2两个向量的结果。
通过这个问题，引导学生探究向量的加减法和数乘向量的概念，为向量的线性表示打下基础。
以向量a为平行四边形的一条对角线，做平行四边形，这样的四边形唯一吗？再给出e1、e2、a三个向量，仍以a为平行四边形的对角线，且平行相邻边所在直线平行于e1、e2.这个平行四边形唯一吗？通过这两个问题，引导学生认识同一个向量可以有多种表示方法，即多种平行四边形。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案教案标题：平面向量基本定理教案教学目标：1. 理解平面向量的概念和基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3. 理解平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理；4. 能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT；2. 学生准备：学生课本、笔记本、作业本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念，通过实例让学生了解向量的定义和表示方法；2. 引发学生对平面向量的兴趣，提出一个与向量相关的问题，引导学生思考。
二、讲解（15分钟）1. 通过教学PPT，向学生讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则，并给出实例进行演示；2. 介绍平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理，给出相关的几何解释和证明过程。
三、练习（20分钟）1. 学生个人练习：在黑板上出示一些平面向量的练习题，让学生个人完成，并互相交流讨论；2. 学生小组练习：将学生分成小组，给每个小组分发一套练习题，让他们共同合作解决问题；3. 教师巡回指导，解答学生疑惑。
四、展示与总结（10分钟）1. 随机选择几位学生上台展示解题过程，让其他学生评价和提出改进意见；2. 教师进行总结，强调平面向量基本定理的重要性和应用范围；3. 布置作业：要求学生完成课后习题，巩固所学知识。
五、拓展与应用（5分钟）1. 引导学生思考平面向量在实际生活中的应用，如力的合成、速度的合成等；2. 提供一些相关的拓展问题，让学生进行探究和解决。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面向量的概念和基本性质，掌握平面向量的运算规则，并能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
在教学过程中，通过多种练习形式，激发了学生的学习兴趣和合作意识。
同时，通过展示和总结环节，提高了学生的表达能力和思维能力。
在今后的教学中，可以加强与实际生活的联系，提供更多的应用案例，增加学生的实践操作。
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）第一篇：《平面向量基本定理》教学设计《平面向量基本定理》教学设计一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。
内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。
从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。
（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。
）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。
二、目标和目标解析1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。
2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。
3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。
4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。
5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。
三、教学问题诊断分析1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。
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《平面向量基本定理》教学设计
一、教学内容
本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。
学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
本节内容用1课时完成。
二、教学方法与教学手段
本节课为新授课。
根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。
教学方法是综合法，教学手段采用学案式。
三、核心素养的培养
（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。
培养直观想象的能力。
（2）培养学生作图、数学建摸的意识。
（3）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的逻辑推理能力。
通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。
思、教学重点、难点
1、教学重点：
平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；
2、教学难点：
平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。
五、教具使用
三角板、
六、教学过程
1、复习引入：
1）、向量的加法和减法有哪些几何运算法则？
2）、怎样理解向量的数乘运算？
（1）|λa|=|λ||a |；
（2）λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa 与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3）、平面向量共线定理是什么？
若向量b 和非零向量a 共线，则存在唯一一个实数λ，使=b a λ
2、思维引领
问题1、阅读课本P93的思考，请用图形表示。
问题2、已知 1e ，2e
在图中用1e ，2e ，表示下列向量：
学生活动：小组相互讨论、交流，画图并展示。
设计意图：向量是沟通代数与几何的桥梁，平面向量基本定理就为我们展示了向量在几何中的魅力，体现数形结合的思想，突出数学的图形美。
通过学生的动手操作、观察归纳、抽象概括、数形结合等思维活动，使他们感知任一向量都可以像力的分解一样分解到两个确定的方向上。
从而引出平面向量基本定理。
为以后学习向量的坐标奠定基础，实现几何代数化迈出第一步。
二、思维探究
1、由问题2可以得到平面向量基本定理：
若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122=a e e λλ+
其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
思考1：向量作为基底必须具备什么条件？
思考2：一个平面向量的基底唯一吗？
思考3：不同基底对应向量a 的表示式是否相同？ 思考4：当基底确定后，向量a 被分解的表示是否唯一？
问题3：什么是向量的夹角？范围是_____________特点是_______________。
特别地：θ= 00时, ,a b 是什么关系？
θ=1800时, ,a b 是什么关系？
θ=900时, ,a b 是什么关系？
学生活动：小组之间相互讨论，经过讨论后，派代表给出评价，让学生们自己归纳出
理解平面向量定理时应注意的问题。
（学生归纳总结的基础上加以补充）
设计意图：思考1到思考4的设计是对基底概念的强化理解，问题的层层深入引导学生
不断思考，起到递进式的效果，从而使学生理解基底应该是不共线的两向量，一个平面向量的基底是不唯一的， 不同基底对应向量a 的表示式是不同的，只有当基底确定后，向量a 被分解的表示才是唯一的，也为后续的坐标表示是唯一的奠定基础。
问题3：什么是向量的夹角？范围是_____________特点是_______________。
学生活动：学生观察归纳得出结论。
设计意图：向量的夹角课本只是给出概念，所以有必要强调要放到同一起点，培养学生注意观察、多思考、善总结的能力。
三、牛刀小试
1、若21,e e 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（ ）
A ．122e e -和122e e +
B ．1e 与23e
C ．1223e e +和1246e e --
D ．12e e +与1e
2、求下列向量的夹角。
设计意图：对教学目标进行达成度检测，以便于纠错与补充。
四、思维拓展
1、 如图，在平行四边形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，E 、M 分别是AD 、DC 的中点，点F 在BC 上，且BC=3BF ，以a ，b
2、 如图，在平行四边形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，试以a ，b 为基底分别表示向量AB 和BC 。
1200
600 600
3、设21,e e 是平面 的一组基底，如果121232,4,AB e e BC e e CD =-=+=1289e e -，求证：
A 、
B 、D 三点共线．
设计意图：巩固知识，升华方法。
四、小结： 1、定理内容（强调唯一性）
2、基底的特点；
3、向量夹角的范围和特点。
五、作业：
1、解决课本P118的A 组2（5）、（6）
2、解决课本P118的A 组3,4
六、板书设计：
平面向量基本定理
定理：
若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ， 有且只有一对实数λ1，λ2，使1122=a e e λλ+
1）基底：
2）向量的夹角：
七、教学反思：。