全集与补集

规律方法
根据补集定义，借助Venn图，可直观地
求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时， 可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数 轴，利用数轴分析法求解．
变式迁移 1 设 U＝R，A＝{x| a≤x≤b}， ∁UA＝{x|x>4 或 x<3}，求 a，b 的值．
解 ∵A＝{x| a≤x≤b}，∴∁UA＝{x|x>b或x<a}． 又∁UA＝{x|x>4或x<3}，∴ a＝3，b＝4.
(2) 如图所示，至少会讲英语、 日语中一种语言的学生有50-8= 42(人)，不妨设A ={会讲英语的 学生}，B ={会讲日语的学生}，则有 card(A )=36，card(B )=20， card(A ∪B )=42， 故既会讲英语又会讲日语的学生人数为 card(A ∩B )=36+20-42=14.
a2＋2a－3＝5 解答本题可根据∁UA＝{5}，得出 3＝b
解出 a、b 即可．
解
由题意，利用 Venn 图，
b 3 2 a 2 a 3 5
可得方程组
将②式变形为 a2+2a-8=0， 解得 a=-4 或 a=2. ∴
a 4 a 2 为所求． 或 b 3 b 3
4．图中阴影部分可用集合 M、P 表示为( B )
A．(M∩P)∪(M∪P) B．[(∁UM)∩P]∪[M∩(∁UP)] C．M∩∁U(M∩P) D．P∪∁U(M∩P)
5．已知集合A＝{x|x< a}，B＝{x|1<x<2}，且 A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( A． a≤2 C． a≥2
知识点三
利用集合间的关系求参数
例 3 (1)已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0， x∈U}，求∁UA； (2)设 U＝{2,3， a 2＋2a－3}，A＝{b,2}，∁UA＝{5}， 求实数 a 和 b 的值．
(1)解 设 x1、x2 为方程 x2－5x＋q＝0 的两根， 则 x1＋x2＝5，
规律方法
求解用不等式表示的数集间的集合运算
时，一般要借助于数轴，此法的特点是简单直观， 同时要注意各个端点的画法及取到与否．
变式迁移 2 已知全集 U＝{x|－5≤x≤3}， A＝{x|－5≤x< －1}，B＝{x|－1≤x<1}．求∁UA，∁UB，(∁UA)∩ (∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，并指出 其中相等的集合．
知识点二
交、并、补的综合运算
例 2 已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}，B ＝{x|－3<x≤3}． 求∁UA， A∩B， ∁U(A∩B)， (∁UA)∩B.
解
把全集 U 和集合 A，B 在数轴上表示如下 ：
由图可知∁UA＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2<x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2 或 x＝3}．
解析 如图，
C)
B. a<1 D. a>2
∵B={x|1<x<2}，
∴∁RB={x|x≥2或x≤1}．
若要A∪(∁RB)=R，必有a≥2.
二、填空题 6．若 A＝{x∈Z|0<x<10}，B＝{1,3,4}，C＝ {3,5,6,7}，
{2,5,6,7,8,9} ，∁AC＝ {1,2,4,8,9} . 则∁AB＝
课时作业
一、选择题 1．已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，且 A＝{2,3,4}， B＝{1,2}，则 A∩(∁UB)等于 A．{2} C．{3,4} B．{5} D．{2,3,4,5} ( C )
2．已知 U 为全集，集合 M、N 是 U 的子集，若 M∩N＝N，则 A．(∁UM)⊇(∁UN) C．(∁UM)⊆(∁UN) ( C ) B．M⊆(∁UN) D．M⊇(∁UN)
对点讲练
知识点一 补集定义的应用 例 1 已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝ {2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合 B.
解
如图所示，借助Venn图， 得U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵∁U B ={1,4,6,8,9}， ∴B ={2,3,5,7}．
{x|x∈U,且x∉A} 的补集(或 余集 )， 记作∁UA ， 即∁UA＝ ．
3．补集与全集的性质 (1)∁UU＝ ∅ ；(2)∁U∅＝ U ；(3)∁U(∁UA)＝ A ； (4)A∪∁UA＝ U ；(5)A∩∁UA＝ ∅ . 4．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}， 则 A∩(∁UB)＝{2,4}；(∁UA)∩(∁UB)＝ {6} ．
B．P∩Q D．P∩Q∪H 则既会讲英
(2)50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的 有20 人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人， 语又会讲日语的人数为 A．20 B．14 C．12 ( ) D．10
解析
(1)由 f2(x)＋g2(x)＝0 知，f(x)＝0 与 g(x)＝0 同
时成立，且 h(x)≠0.
．
8． 设全集 U＝{x||x|<4 且 x∈Z}， S＝{－2,1,3}，
8 个． 若∁UP⊆S，则这样的集合 P 共有____
解析 ∵集合 P 与∁UP 个数相同， 又∁UP⊆S， 而 S 的子集个数为 8， ∴∁UP 个数也为 8， ∴P 的个数也为 8.
源自文库
三、解答题 9．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－1≤x≤2}， B＝{x|4x＋p<0}， 且 B⊆∁UA， 求实数 p 的取 值范围．
解 借助于数轴，如图可知
∁RA＝{x|1≤x≤2}；∁RB＝{x|－3≤x<1}； A∩B＝{x|x<－3，或 x>2}；A∪B＝R.
探究驿站 11．(1)若实数集R为全集，集合P＝{x|f(x)＝0}，Q＝{x|g(x) f2(x)＋g2(x) ＝0}，H＝{x|h(x)＝0}，则方程 ＝0的解集是 h(x) ( A．P∩Q∩(∁RH) C．P∩Q∩H )
{(2,3)} (∁IN)＝________.
解析 集合 M，N 都是点集，集合 M 中的关系式 可变为 y＝x＋1(x≠2)，它的几何意义是直线 y＝x＋1 上去掉点(2,3)后所有点的集合；集合 N 表 示直线 y＝x＋1 外所有点的集合．可知∁IM＝ {(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}，表示直线 y＝x＋1 外所 有点及直线上点(2,3)的集合；∁IN＝{(x，y)|y＝x ＋1}，表示直线 y＝x＋1 上所有点的集合．从而可 得(∁IM)∩(∁IN)只有一个元素(2,3)
解
∁UA＝{x|－1≤x≤3}，
∁UB＝{x|－5≤x<－1 或 1≤x≤3}， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|－5≤x≤3}， ∁U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}， ∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}， 相等的集合：(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)， (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
3．2 全集与补集 自主学案
学习目标 1．理解在给定集合中一个集合的补集的含义， 会求给定子集的补集． 2．能运用 Venn 图及补集知识解决有关问题．
自学导引 1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集 合的 子集 ，这个给定的集合叫作全集，常用符号 U 表 示．全集含有我们所要研究的这些集合的 全部 元素． 2．设 U 是全集，A 是 U 的一个子集(即 A⊆U )，则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫作 U 中子集 A
课堂小结 1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在 不同的全集中的补集是不同的，不同的集合在同一个 全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念． 2．符号∁UA存在的前提是A⊆U，这也是解有关补 问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含 条件也是我们解题的一个突破口． 3．补集的几个性质： ∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A 集
5 ∴x1≠x2(否则 x1＝x2＝ ∉U，这与 A⊆U 矛盾)． 2 而由 A⊆U 知 x1、x2∈U，又 1＋4＝2＋3＝5， ∴q＝ 4 或 q＝6. ∴∁UA＝{2,3,5}或∁UA＝{1,4,5}．
(2)分析 由题目可获得以下主要信息： ①全集 U 中有元素 2，A 中有元素 2. ②∁UA＝{5}，∴5∈U 且 5∉A. ③3∈U 但 3∉(∁UA)，∴3∈A.
规律方法
符号∁U A 存在的前提是 A⊆U，这也是解
有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的 隐含条件也是我们解题的一个突破口，若 x∈U，则 x∈A 和 x∈∁UA 二者必居其一， 不仅如此， 结合 Venn 图及全集与补集的概念，不难得到如下性质： A ∪ (∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A.
解析 ∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，
C ＝{3,5,6,7}， ∴∁AB＝{2,5,6,7,8,9}，∁AC＝{1,2,4,8,9}．
7 ． 若 全 集 I ＝ {(x ， y)|x ， y∈R} ， 集 合 M ＝
y－3 (x，y)| ＝1， N＝{(x， y)|y≠x＋1}， 则(∁IM)∩ x － 2
p x>2}，B＝x|x<－4.
解
∁UA＝{x|x<－1 或 p ∵B⊆∁UA，∴－4≤－1 ∴p≥ 4，即 p 的取值范围是{p|p≥4}．
10． 已知全集 U＝R， 集合 A＝{x|x<1， 或 x>2}， 集合 B＝{x|x<－3， 或 x≥1}， 求∁RA， ∁RB， A∩B，A∪B.
变式迁移 3 已知 U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}， B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}， (∁UB)∩A＝{4}，求 A∪B.
解
由(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B 且 2∉A.
由 A∩(∁UB)＝{4}， ∴4∈A 且 4∉B. 2 4 ＋4p＋12＝0 分别代入得 2 ， 2 －5×2＋q＝0 ∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}， ∴A∪B＝{2,3,4}．
答案 (1)A (2)B
解析 利用韦恩图，如图所示：
可知(∁U M )⊆(∁U N )．
3．已知 U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1<x<3}， B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x<3}， 则下列关系正确的是 A．∁UA＝B C．∁UA⊇C ( A ) B．∁UB＝C D．A⊇C
解析 B＝{－1,3}，∁UA＝{－1,3}．