高中数学选修2-2同步练习题库：数系的扩充和复数的概念(较难)
高中数学(人教A版选修2-2)练习：3.1.1-数系的扩充和复数的概念
课时提升作业(二十)数系的扩充和复数的概念一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·泰安高二检测)-(2-i)的虚部是( )C.【解析】选C.由-(2-i)=-2+i，则虚部为.，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )A.C=R∪I ∪I={0}C.R=C∩I ∩I=∅【解析】选D.复数包括实数与虚数，故A，B，C错.选D.3.(2014·安阳高二检测)复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值为( ) A.1 或-4C.-4 或-4【解析】选C.验证：当a=0或1时，复数4-3a-a2i与复数a2+4ai不相等，排除A，B，D.【变式训练】已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等，则实数a 等于( )A.-3B.3【解析】选C.已知1+3i的实部为1，-1-ai的虚部为-a，则a=-1.【知识拓展】复数相等的充要条件的应用1.必须是复数的代数形式，才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组.2.利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.4.a=0是复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a=0时，若b=0，则为实数，若b≠0，则为纯虚数，若a+bi 为纯虚数，则a=0，b≠0，故a=0是复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数的既不充分也不必要条件.，b∈R，i是虚数单位，且b+(a-2)i=1+i，则a+b的值为( )【解析】选D.由b+(a-2)i=1+i得b=1，a=3，所以a+b=4.6.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )B.{a|a>3或a<-1}C.{a|a>-3或a<1}D.{a|a>3或a=-1}【解题指南】找出复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部与虚部，列出不等式，即可求得实数a的取值范围.【解析】2>2a+3，即a2-2a-3>0，解得a>3或a<-1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·银川高二检测)设i为虚数单位，若复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i是纯虚数，则实数m=________.【解析】由已知得，故m=-3.答案：-38.(2013·韶关高二检测)以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是________.【解析】3i-的虚部为3，3i2+i的实部为-3，所以所求复数为3-3i.答案：3-3i2-y2+2xyi=2i，则有序实数对(x，y)=________.【解析】由复数相等，得解得或答案：(1，1)或(-1，-1)三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·岳阳高二检测)已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i，则当实数m为何值时，复数z(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.【解析】z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i.(1)令m2-m-6=0⇒m=3或m=-2，即m=3或m=-2时，z为实数.(2)令m2-m-6≠0，解得m≠-2且m≠3，所以m≠-2且m≠3时，z是虚数.(3)由解得m=-1，所以m=-1时，z是纯虚数.2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立，求实数m的值.【解题指南】虚数不能比较大小，能比较大小的一定是实数.【解析】由题意，得，所以所以当m=3时，原不等式成立.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·哈尔滨高二检测)若复数z=+i是纯虚数，则tan的值为( )A.-7 C.7【解析】因为sinθ=且cosθ≠，所以cosθ=-，所以tanθ=-，因为tan===-7.故选A.【误区警示】忽视虚部的限制而出错纯虚数的实部为0，虚部一定不等于0.2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，则这个实根以及实数k的值为( )A.x=，k=-2B.x=-，k=2C.x=或x=-，k=-2D.或【解题指南】先设出方程对应实数根，再利用复数相等的知识，列出方程组，求实数的值.【解析】选 D.设x=x0是方程的实根，代入方程并整理，得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的条件，得解得或3.(2013·玉林高二检测)甲、乙两人各抛掷一次骰子(它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是( )A. B. C. D.【解析】(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)共有36种.满足复数x+yi的实部大于虚部情况数有(2，1)(3，1)(3，2)(4，1)(4，2)(4，3)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)共有15种.所以满足复数x+yi的实部大于虚部的概率为=.1=m+(4-m 2)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1= z2，则λ的取值范围为( )≤λ≤ B.≤λ≤7 ≤λ≤1 ≤λ≤7 【解析】1= z2，得消去m，得λ=4sin2θ-3sinθ=4-.由于-1≤sinθ≤1，故-≤λ≤7.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·淄博高二检测)设复数z=+(m2+2m-15)i为实数，则实数m的值是________.【解析】由题意解得m=3.答案：3【举一反三】若把题中条件“实数”改为“虚数”则m的值为多少?【解析】若复数z=+(m2+2m-15)i是虚数，则m+5≠0且m2+2m-15≠0，得m≠3且m≠=-5.【变式训练】若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为________.【解析】由⇒x=-1.答案：-1，x，y满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0，则点(x，y)的轨迹方程是____________. 【解题指南】由复数相等的充要条件列出a，x，y的关系式，再消去字母a即可.【解析】由复数相等的充要条件知，消去a，得x2+y2-2x+2y=0，即(x-1)2+(y+1)2=2.答案：(x-1)2+(y+1)2=2三、解答题(每小题12分，共24分)+(x2-2x-3)i=0(x∈R)，求x的值.【解析】由复数相等的定义，得解得x=3.所以x=3为所求.=ad-bc，如果(x+y)+(x+3)i=，求实数x，y的值.【解题指南】利用运算的定义转化为两个复数相等求解.【解析】由定义运算=ad-bc得=3x+2y+yi，故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x，y为实数，所以有得得x=-1，y=2.关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学选修2-2习题第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的相关概念
第三章数系的扩大与复数的引入3.1数系的扩大和复数的观点数系的扩大和复数的有关观点A 级基础稳固一、选择题1．给出以下说法，此中正确说法的个数是()①假如两个复数的差等于0，那么这两个复数相等②若 a， b∈ R 且 a＞ b，则 ai＞ bi③假如复数x＋ yi 是实数，则x＝ 0， y＝ 0④复数 a＋ bi 不是实数A．1 B．2 C．3 D．4分析：只有①的说法正确，其他都是错的．答案： A2．若复数2－ bi(b∈ R)的实部与虚部是互为相反数，则 b 的值为()A．－ 2B． 2C．－ 2 D.2分析：复数2－ bi 的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－ (－ b)，因此b＝ 2.答案： B3．若 (x＋ y)i＝ x－ 1(x， y∈ R) ，则 2x＋y的值为 ()A. 2 B．2 C．0 D．1x＋ y＝ 0，分析：由复数相等的充要条件知x－ 1＝ 0，因此 x＝ 1， x＋ y＝ 0，故 2x＋y＝ 1.答案： D4．以 2i－ 5的虚部为实部，以5i＋ 2i2的实部为虚部的新复数是()A． 2－ 2i B． 2＋ iC．－ 5＋ 5i D. 5＋ 5i分析： 2i－ 5的虚部为2，5i＋ 2i2＝－ 2＋ 5i 的实部为－ 2，因此新复数为 2－ 2i.答案： A5．已知会合 M＝ {1， 2， (m2－ 3m－ 1)＋ (m2－ 5m－ 6)i} ，N ＝ {－ 1， 3}，且 M ∩N＝ {3}，则实数 m 的值为 ()A． 4B．－ 1C．－1或 4D．－1或 6分析：因为M ∩N ＝{3} ，故 3∈ M ，必有 m2－ 3m－ 1＋ (m2－ 5m－ 6)i＝ 3，可得 m＝－ 1.答案： B二、填空题6．已知复数z ＝ m 2(1＋ i)－ m(m ＋ i)(m ∈ R) ，若z 是实数，则m 的值为 ________．分析：z ＝ m 2＋ m 2i － m 2－ mi ＝ (m 2－ m)i ，因此 m 2－ m ＝ 0，因此m ＝ 0 或 m ＝ 1.答案：0或 17．若复数 (a 2－ a ＋ 2)＋ (|a － 1|－1)i( a ∈ R)不是纯虚数，则 a 的取值范围是 ________．分析：若复数为纯虚数，则有 a 2－ a － 2＝ 0 且 |a － 1|－ 1≠0，得 a ＝－ 1.因为复数不是纯虚数，因此 a ≠－ 1.答案： { a|a ≠－ 1}πππ π8．复数 z ＝ cos ＋ θ＋ sin ＋ θi ，且 θ∈－ ，，若 z 是实数， 则 θ的值为 ________；222 2 若 z 为纯虚数，则 θ的值为 ________．π π分析： z ＝ cos 2 ＋ θ ＋ sin 2 ＋ θ i ＝－ sin θ＋ icos θ.π π 当 z 是实数时， cos θ＝ 0.因为 θ∈ － 2， 2 ，π － sin θ＝ 0， 因此 θ＝± 2；当 z 为纯虚数时 cos θ≠ 0，π π ，因此 θ＝ 0.又 θ∈ － ，2 2 π 0答案： ±2三、解答题9．已知 M ＝ {1， (m 2－ 2m)＋ (m 2＋ m － 2)i} ，P ＝ {－ 1， 1，4i} ，若 M ∪ P ＝P ，务实数 m的值．解：因为 M ∪ P ＝ P ，因此 M ? P ，即 (m 2－ 2m)＋ (m 2＋ m － 2)i ＝－ 1 或 (m 2－ 2m)＋ (m 2＋ m － 2)i ＝ 4i.由 (m 2－ 2m)＋ (m 2＋ m － 2)i ＝－ 1 解得 m ＝ 1；由 (m 2－ 2m)＋ (m 2＋ m － 2)i ＝ 4i ，解得 m ＝ 2.综上可知 m ＝ 1 或 m ＝ 2.a 2－ 7a ＋ 6210．已知复数 z ＝a 2－ 1 ＋ (a －5a － 6) i(a ∈ R) ，试务实数 a 分别取什么值时， z 分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？a 2－ 5a － 6＝ 0，解：(1)由题意得即a 2－ 1≠0，a ＝－ 1或 a ＝ 6， 即故当 a ＝ 6 时， z 为实数． a ≠± 1，a 2－ 5a － 6≠0， a ≠－ 1，(2)依题意有 a 因此 且 a ≠6，2－ 1≠0，a ≠± 1因此 a ≠±1且 a ≠6，故当 a ∈ R 且 a ≠±1，a ≠6 时， z 为虚数．a 2－ 5a － 6≠0，a ≠－ 1且 a ≠6，2－ 7a ＋ 6 (3) 依题意有因此 a 2＝ 0， ＝a － 1a 6.因此不存在实数a 使 z 为纯虚数．B 级 能力提高1．若复数 (x 2＋ y 2－ 4)＋ (x － y)i 是纯虚数，则点 (x ， y) 的轨迹是 ( )A ．以原点为圆心，以2 为半径的圆B ．两个点，其坐标为 (2， 2)， (－ 2，－ 2)C ．以原点为圆心，以2 为半径的圆和过原点的一条直线D ．以原点为圆心，以 2 为半径的圆，而且除掉两点 ( 2， 2)， (－ 2，－ 2)分析：因为复数 (x 2＋ y 2－ 4)＋ (x － y)i 是纯虚数，因此 x 2＋ y 2－ 4＝ 0，且 x ≠y ，可解得 x 2＋ y 2＝ 4(x ≠y)，故点 (x ，y)的轨迹是以原点为圆心，以 2 为半径的圆，而且除掉两点 (2， 2)，(－ 2，－ 2)．答案： D2 ． 若 复 数 z ＝ cos θ＋ (m － sin θ－ cos θ)i 为 虚 数 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是____________________ ．分析：依题意有 m ≠sin θ＋ cos θ.因为 sin θ＋cos θ＝22π2 2 sin θ＋ 2 cos θ ＝ 2sin θ＋ 4 ∈，因此 m ∈ (－ ∞，－ 2)∪ ( 2，＋ ∞)． 答案： (－∞，－ 2)∪ ( 2，＋ ∞)2m ， n 的值．3．假如 log 1( m ＋ n)－ (m － 3m)i ＞－ 1，求自然数22解：因为 log 1(m ＋ n)－ (m － 3m)i ＞－ 1，22因此 log 1 (m ＋ n)－ (m － 3m)i 是实数．2log 1（ m ＋ n ）＞－ 1，2进而有－（ m 2－ 3m ）＝ 0，由 m2－ 3m＝ 0 得 m＝ 0 或 m＝ 3.当 m＝ 0 时代入 log1(m＋ n)＞－ 1，得 0＜n＜ 2，2又 m＋ n＞ 0，因此 n＝ 1；当 m＝ 3 时，代入 log1(m＋ n)＞－ 1，2得 n＜－ 1，与 n 是自然数矛盾．综上可得， m＝ 0， n＝ 1.。
【人教B版】2019届高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数3.1.2复数的概念课后训练含答案
3.1.2 复数的概念课后训练1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．下列命题中的真命题是( )．A ．－1的平方根只有一个B ．i 是1的四次方根C ．i 是－1的立方根D ．i 是方程x 6－1＝0的根3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )．A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．“复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的什么条件( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知复数z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i(m ∈R )．若z 是实数，则m 的值为________；若z 是虚数，则m 的取值范围是________；若z 是纯虚数，则m 的值为________．6．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值分别是________．7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值是__________．8．m 分别为何实数时，复数 z ＝263m m m --+＋(m 2－2m －15)i. (1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数．9．关于x 的方程3x 2－2a x －1＝(10－x －2x 2)i 有实数根，求实数a 的值和这个实根．参考答案1. 答案：A 由题意，知210,10,x x ⎧-=⎨-≠⎩∴x ＝－1.2. 答案：B －1的平方根为±i，故选项A 错；因为i 3＝－i ，所以i 不是－1的立方根，选项C 错；因为i 6＝i 4·i 2＝－1，所以i 不是x 6－1＝0的根，故选项D 错． 3. 答案：C 由复数相等的充要条件，有2243,4,a a a a ⎧-=⎨-=⎩解得a ＝－4. 4. 答案：A 若a ＋b i(a ，b R )为纯虚数，则a ＝0；若a ＝0，则a ＋b i 不一定为纯虚数，因为a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 为实数0.5. 答案：±1 m ≠±1 0 复数z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i 的实部为m 2－m ，虚部为m 2－1.当m 2－1＝0，即m ＝±1时，z 为实数；当m 2－1≠0，即m ≠±1时，z 为虚数；当m 2－m ＝0，且m 2－1≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数．6. 答案：0,3 由复数相等的充要条件，得0,38,x x y =⎧⎨-=-⎩∴x ＝0，y ＝3. 7. 答案：－2 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，∴2222log 321,log 210.x x x x ⎧(--)>⎨(++)=⎩∴x ＝－2. 8. 答案：分析：根据复数的有关概念，将复数问题转化为实数问题求解．解：复数z 的实部为262333m m m m m m --(+)(-)=++ 虚部为m 2－2m －15＝(m ＋3)(m －5)．(1)要使z 是实数，则必须有350,30,m m m (+)(-)=⎧⎨+≠⎩解得m ＝5，所以当m ＝5时，z 为实数．(2)要使z 为虚数，则必须有(m ＋3)(m －5)≠0，所以当m ≠5，且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使z 为纯虚数，则必须有230,3350,m m m m m (+)(-)⎧=⎪+⎨⎪(+)(-)≠⎩解得m ＝－2，或m ＝3， 所以当m ＝－2，或m ＝3时，z 为纯虚数．9. 答案：分析：由方程有实根，根据复数相等的充要条件，将问题转化为方程组来求解．解：设方程的实根为x ＝m ，则2312a m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(10－m －2m 2)i ， 根据复数相等的充要条件，得方程组22310, 22100, a m m m m ⎧--=⎪⎨⎪+-=⎩①②由②，得m ＝2，或52m =-. 代入①，得a ＝11，或715a =-. 所以当实数a ＝11时，实根为2；当实数715a =-时，实根为25-.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，且2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，那么,p q 的值分别是( )A ．4,5p q ==B ．4,3p q =-=C ．4,5p q =-=D ．4,3p q ==2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-5．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25-B ．25C ．7-D ．76．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则x +的最大值（ ） A．1B ．2C ．1D7．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --8．下列命题中，正确的是（ ）. A ．若z 是复数，则22||z z = B ．任意两个复数不能比较大小C ．当240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=(,,)a b c C ∈有两个不相等的实数根D ．在复平面xOy 上，复数2z m mi =+（m R ∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =9．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四10．设i为虚数单位，则复数z =的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．2i +11．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1B ．2CD ．3二、填空题13．已知复数乘法()()cos sin x yi i θθ++（,x y R ∈，i 为虚数单位）的几何意义是将复数x yi +在复平面内对应的点(),x y 绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点()8,4绕原点逆时针方向旋转3π得到的点的坐标为_________. 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 16．411i i +⎛⎫=⎪-⎝⎭__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+ （1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．已知关于x 的方程2()40x x m m R ++=∈的两个虚根为α、β，且||2αβ-=，求m 的值． 23．计算：（1）)()245i +（2）1-的值．24．设z 是虚数，1=z zω+ 是实数，且-1<2ω< （1） 求z 的实部的取值范围（2）设11zzμ-=+ ，那么μ是否是纯虚数？并说明理由． 25．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.26．设m ∈R ，复数z 1＝22m mm ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用根与系数的关系列出方程组，根据复数相等运算即可得出所求结果. 【详解】因为2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，所以()()22ai b i p ai b i q +++=-⎧⎨++=⎩，所以210220b p a b a q ab +=-⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩，解得1245a b p q =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的有关计算，解题的关键是熟练掌握复数相等的条件和一元二次方程根与系数的关系.2．A解析：A 【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.3．C解析：C 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.4．C解析：C 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得2sin()6x πθ=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈.∴cos 2sin()6x πθθθ+=+=+∴x +的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【分析】举例说明A 错误；当两复数为实数时B 错误；由实系数一元二次方程的判别式与根的关系说明C 错误；求出z 的参数方程，消参后得到z 的轨迹方程说明D 正确． 【详解】 解：对于A ，若zi ，则2||1z =，21z =-，22||z z ≠，故A 错误；对于B ，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B 错误；对于C ，只有当a ，b ，c 均为实数时，在满足240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故C 错误；对于D ，由2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位），设z 对应的点(,)Z x y ，得2x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得，2y x =，∴在复平面xOy 上，复数2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =．故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复数的有关概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii -+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．10．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果 【详解】()22111i z i i-====--，则共轭复数为1i +故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题11．C解析：C 【解析】设点P 坐标为(x ,0),则AP =(x-2,-2),BP =(x-4,-1),·AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,P?A BP 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).选C.12．D解析：D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.二、填空题13．【分析】写出点对应的复数再乘以即得新复数其对应点坐标为所求【详解】点对应复数为对应点坐标为故答案为：【点睛】本题考查复数的新定义考查复数的乘法运算与复数和几何意义正确理解新定义把新定义转化为复数的乘解析：(42-+【分析】写出点()8,4对应的复数，再乘以cos sin33i ππ+即得新复数，其对应点坐标为所求．【详解】点()8,4对应复数为84z i =+，1(cossin )(84)()332z i i ππ+=+(4(2i =-++，对应点坐标为(42-+．故答案为：(42-+． 【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的乘法运算与复数和几何意义．正确理解新定义把新定义转化为复数的乘法解题关键．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 解析：1337【解析】 【分析】由余弦定理可得12||19Z Z +=，12||7Z Z -=，故12121212||133||||7z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +==+-⨯⨯⨯︒=， 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解.详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi16．1【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简再利用复数乘方运算法则求解即可详解：故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误解析：1 【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简11ii+-，再利用复数乘方运算法则求解即可. 详解：411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭()()()4241i 2i =11i 1i 2⎡⎤+⎛⎫==⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为1. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-.【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.19．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.20．【解析】试题分析：由得同理所以点对应的复数是考点：复数的几何意义 解析：33i -【解析】 试题分析：由得(2,1)(2,3)(0,2)OB OA BA =-=-=-，同理(0,2)(3,1)(3,3)OC OB BC =+=-+-=-，所以点C 对应的复数是33i -.考点：复数的几何意义.三、解答题21．(1) 1m =-(2) 3m =. 【解析】 【分析】化简复数为22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)由Z 为纯虚数，列出方程组，即可求解；(2)根据Z 对应的点在y x =上，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，则22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)若Z 为纯虚数，则有22230430m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得：1m =-；(2)根据Z 对应的点在y x =上，则有222343m m m m --=-+，解得：3m =．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的表示的应用，其中解答中熟记复数的表示方法，列出相应的方程（组）是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22．5【解析】【分析】本题首先可以根据复数根虚根必共轭的性质设,a bi a bi αβ=+=-，然后根据韦达定理可得2a =-以及m ，再通过||2αβ-=计算得1b =±，最后通过运算即可得出结果。
2020版人教A版数学选修2-2同步配套练习：第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 Word版含解析
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关·能力提升基础巩固1.已知C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是()A.A∪B=CB.∁U A=BC.A∩(∁U B)=⌀D.B∪(∁U B)=C答案:D2.若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠1解析:∵z是纯虚数,解得∴m=-1.故选B.答案:B3.以2的虚部为实部以-2的实部为虚部的复数是()A.2+iB.2-2iC解析:2的虚部为2-2的实部为-2,故所求复数为2-2i.答案:B4.若a-2i=1+b i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2= ()A.0B.2C.25D.5解析:由复数相等的充要条件可知a=1,b=-2,所以a2+b2=1+(-2)2=5.答案:D5.若4-3a-a2i=a2+4a i,则实数a=.解析:由--得a=-4.答案:-46.已知复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R).若z是纯虚数,则m=.解析:∵z为纯虚数,------m=-1.答案:-17.已知z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R),则当m=时,z为实数;当m=时,z为纯虚数.解析:当z为实数时,由m2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z为纯虚数时,由----得m=6.答案:3或-1 68.若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.分析:由于题目中两个复数能比较大小,因此它们都是实数,由此列出关于m的方程组,求出m的值.解:由题意,得--即或或故实数m的值为3.9.若复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m∈R,且z1>z2,求实数m的取值集合.解:依题意有--解得或-或-或或因此m=0,故实数m的取值集合为{0}.能力提升1.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},若M∩P={3},则实数m的值为()A.-1B.-1或4C.6D.6或-1解析:∵M∩P={3},∴(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.∴m=-1.故选A.答案:A2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是()A.|a|=|b|B.a<0,且a=-bC.a>0,且a≠bD.a≤0解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.答案:D3.在下列命题中,真命题的个数是()①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R,且a>b,则a+i2>b+i2;③若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3解析:解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.①因为x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故①是假命题;②因为i2=-1,且a>b,所以a+i2>b+i2成立,故②是真命题;③当x=1,y=i时,x2+y2=0也成立,故③是假命题.答案:B4.已知复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+θ.若z1=z2,则θ等于()A.kπ(k∈Z)B.2k k∈Z)C.2k k∈Z)D.2k k∈Z)解析:由复数相等的充要条件可知∴cos θsin θ∴θkπ(k∈Z),故选D.答案:D5.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则()A.a=-1B.a≠-1,且a≠2C.a≠-1D.a≠2解析:①当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1,且a≠2.②当a2-a-2=0,且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是纯虚数,解得-或或故a=2.综上,可知当a≠-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.答案:C6.★已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是.解析:∵z1=z2,∴λ=4-cos θ.又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].答案:[3,5]7.是否存在实数m,使复数z=(m2-m-6--为纯虚数若存在求出m的值;否则,请说明理由.分析:先假设存在实数m使复数z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解:不存在.理由如下:假设存在实数m使z是纯虚数,则①②由①,得m=-2或m=3.当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立,故不存在实数m使z是纯虚数.。
2019年人教版选修2-2高中数学第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念 同步习题及答案
3.1.1 数系的扩充和复数的概念明目标、知重点1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.情境导学]为解决方程x2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一复数的概念思考1 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i?答(1)i2＝－1.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部．思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．思考5 复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？答 不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．解 由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求．1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C ．±2，5D ．±2，1答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．呈重点、现规律]1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数”．“复数a＋b i是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是( )A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误；D 正确．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋i D.5＋5i 答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( ) A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A解析 由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x＝－1.6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D．－1或－2 答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.9．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 －1解析 由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围． 解 由于z 1<z 2，m ∈R ， ∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1. 三、探究与拓展13．如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？ 解 因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0， ①12log (m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.。
高中数学(选修2-2)数系的扩充与复数
第三章 数系的扩充与复数测试十五 数系的扩充与复数的概念Ⅰ 学习目标1．了解数系的扩充过程．2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义．Ⅱ 基础训练题一、选择题1．下列结论中正确的是( ) (A )Z ⊆N ⊆Q ⊆R ⊆C (B )N ⊆Z ⊆Q ⊆C ⊆R (C )N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C(D )R ⊆N ⊆Z ⊆Q ⊆C2．复数1－i 的虚部是( ) (A )1 (B )－1 (C )i (D )－i 3．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) (A )0 (B )1 (C )－1 (D )0或1 4．设x ，y ∈R ，且满足x ＋y ＋(x －2y )i ＝2x －5＋(3x ＋y )i ，则xy 等于( ) (A )－2 (B )2 (C )6 (D )－65．设z ∈C ，则满足1≤|z |≤3的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是( ) (A )π (B )4π (C )8π (D )9π 二、填空题6．若x 是实数，y 是纯虚数，且3x ＋1－2i ＝y ，则x ＝______；y ＝______．7．当132<<m 时，复数z ＝3m －2＋(m －1)i 在复平面上的对应点位于第______象限． 8．设x ，y ∈R ，复数z ＝x －2＋y i ，z ＝3x －i ，则x ＝______；y ＝______．9．已知复数z ＝(1＋i )m 2－(4＋i )m －6i 所对应的点位于复平面的第二象限，则实数m 的取值范围是______．10．设集合M ＝{0，1，3，5，7，9}，a ，b ∈M ，则形如a ＋b i 的不同虚数共有______个． 三、解答题11．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y －(x ＋y )i ，求实数x ，y 的值．12．实数m 取何值时，复数z ＝(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i 是(1)零； (2)虚数； (3)纯虚数． 13．设x ∈R ，若复数z ＝21log (x 2－3)＋i ·log 2(x ＋3)在复平面内的对应点在第三象限，求x 的取值范围．14．设z∈C，若|z|＝z＋2－4i，求复数z．测试十六 复数的运算Ⅰ 学习目标能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义．Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )(A )2i (B )－2i (C )6＋2i (D )6－2i 2．若复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 3．复数i43i2--的值是( ) (A )i 5152+(B )i 5152- (C )i 5152+- (D )i 5152-- 4．复数i ＋i 3＋i 5＋…＋i 33的值是( ) (A )i (B )－i (C )1 (D )－15．对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i (x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2．设非零复数ω 1，ω 2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点．如果ω 1⊙ω 2＝0，则△P 1OP 2中∠P 1OP 2的大小为( ) (A )6π (B )4π (C )3π (D )2π 二、填空题 6．复数i11-=z 的共轭复数是______． 7．若z ∈C ，且(3＋z )i ＝1，则复数z ＝______． 8．已知复数i21i3+--=z ，则z 4＝______． 9．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数依次为2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数为______．10．对于n 个复数z 1，z 2，…，z n 如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2,…，k n 使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若三个复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝______． 三、解答题11．设复数i 2321+-=ω，求证：(1)ω 2＝ω；(2)1＋ω ＋ω 2＝0； (3)ω 3＝1．12．求复数3＋4i 的平方根．13．已知z 是虚数， zz 1+=ω，求证：ω ∈R 的充要条件是|z |＝1．14．已知复数)0(i 1i>--=a a z ，若复数ω ＝z (z ＋i )的虚部减去其实部的差等于23，求复数ω ．测试十七 数系的扩充与复数全章综合测试题一、选择题1．复数z 与其共轭复数在复平面内的对应点( ) (A )关于实轴对称 (B )关于虚轴对称 (C )关于原点对称 (D )关于直线y ＝x 对称2．复数2i 13i4++的实部是( ) (A )－2 (B )2 (C )－4 (D )43．若复数z ＝(x 2－6x ＋5)＋(x －2)i 在复平面内的对应点位于第三象限，则实数x 的取值范围是( ) (A )(－∞，2) (B )(1，5) (C )(1，2) (D )(2，5) 4．设a ，b ∈R ，则复数(a ＋b i )(a －b i )(－a ＋b i )(－a －b i )的值是( ) (A )(a 2＋b 2)2 (B )(a 2－b 2)2 (C )a 4＋b 4 (D )a 4－b 4 5．如果复数z 满足|z －2i |＝1，那么|z |的最大值是( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 6．若复数z ＝cos θ ＋i ·sin θ ，则使z 2＝－1的θ 值可能为( ) (A )6π (B )4π (C )3π (D )2π 二、填空题7．若z ∈C ，且i ·z ＝1－i ，则复数z ＝______． 8．i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝______．9．设b ∈R ，复数(1＋b i )(2＋i )是纯虚数，则b ＝______．10．如果1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0(b ，c ∈R )的一个根，那么b ＋c ＝______． 三、解答题 11．设x ，y ∈R ，且3i15i 21i 1+=+++y x ，求x ，y 的值．12．在复平面内，△ABC 的三个顶点依次对应复数1，2i ，5＋2i ，判断△ABC 的形状．13．是否存在虚数z ，使得zx 5+∈R ，且z ＋3的实部与虚部互为相反数，证明你的结论．14．设复数z 满足|z |＝1，且z 2＋2z ＋z 是负实数，求复数z ．参考答案第三章 数系的扩充与复数测试十五 数系的扩充与复数的概念一、选择题1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 二、填空题6．i 2,31-=-=y x 7．四 8．－1，1 9．(3，4) 10．30 提示：9．z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，由题意⎩⎨⎧>-<<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧>--<-3240060422m m m m m m m 或⇔3＜m ＜4． 10．第1步选b 有5种选法，第2步选a 有6种选法，故共可构成5×6＝30个不同的虚数． 三、解答题11．略解：由复数相等的定义得⎩⎨⎧+-=+-=-),(1,12y x y y x x 解得⎩⎨⎧-==.2,3y x12．解：(1)复数303065022=⇔⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇔=m m m m m z ．(2)由复数z 是虚数，得m 2－3m ≠0⇔m ≠0，且m ≠3．(3)由复数z 是纯虚数，得⎪⎩⎪⎨⎧=/-=+-,03,06522m m m m 解得m ＝2．13．略解：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧<+<-,0)3(log ,0)3(log 2221x x 即⎩⎨⎧<+<>-,130,132x x 解得－3＜x ＜－2．14．略解：设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，依题意得,i )4()2(i 42i 22-++=-++=+y x y x y x∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+.40,222y x y x 解得x ＝3，y ＝4． ∴z ＝3＋4i ．测试十六 复数的运算一、选择题1．C 2．D 3．A 4．A 5．D 二、填空题 6．i 2121- 7．－3－i 8．－4 9．－3－2i10．答案不唯一，如}23,2,1{等提示：10．依题意k 1(1＋2i )＋k 2(1－i )＋k 3(－2)＝0，即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，⎩⎨⎧=-=-+∴.02,0221321k k k k k 不妨取k 1＝1，则,23,232==k k 所以一组{k 1，k 2，k 3}＝{1，2，23}． 三、解答题11．略．12．解：设3＋4i 的平方根为a ＋b i (a ，b ∈R )，则有(a ＋b i )2＝3＋4i ．∴(a 2－b 2)＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎨⎧==-,42,322ab b a 解得⎩⎨⎧==,1,2b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,2b a∴3＋4i 平方根为2＋i 或－2－i ．13．证明：设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R ，且y ≠0)，则.i )1()1(i 1i 122222222y x y x y y x y x x y x y x z z +-+++++=+++=+=ω (1)若ω ∈R ，则0)1(2222=+-+yx y x y ，由y ≠0，得x 2＋y 2＝1，即|z |＝1；(2)若|z |＝1，则x 2＋y 2＝1，从而复数ω 的虚部为零，从而ω ∈R ．综上，ω ∈R 的充要条件是|z |＝1．14．解：i 221i 11.i 1i )i i 1i (i 1i 2aa a a a a a +++=-+--=+----=ω，所以232122=+-+a a a ，注意到a ＞0，解得a ＝2．所以i 323+=ω．测试十七 数系的扩充与复数全章综合测试题一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 二、填空题7．－1－i 8．4－4i 9．2 10．0 三、解答题11．解：将i 315i 21i 1+=+++y x 整理为10)i 31(55)i 21(2)i 1(-=-+-y x ， 即5x (1－i )＋2y (1－2i )＝5－15i ，由复数相等的条件，得⎩⎨⎧=+=+.1545,525y x y x解得x ＝－1，y ＝5．12．解：由题意得A (1，0)，B (0，2)，C (5，2)，∴＝(－1，2)，＝(4，2)， ∴·AC ＝－4＋4＝0，∴⊥AC ．∴∠BAC ＝90°，△ABC 为直角三角形．13．解：设虚数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R ，且y ≠0)，则.i )5(5i 5i 52222y x y y y x x x y x y x z z +-+++=+++=+依题意得⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=+=+-y x yx y y 3,0522 因为y ≠0，所以⎩⎨⎧-=+=+.3,522y x y x解得⎩⎨⎧-=-=,2,1y x 或⎩⎨⎧-=-=.1,2y x所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足上述条件．14．解：设复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z 2＋2z ＋z ＝x 2－y 2＋2xy i ＋(2x ＋2y i )＋(x －y i )＝(x 2－y 2＋3x )＋(2xy ＋y )i ， 依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+<+-=+.02,03,12222y xy x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=,0,1y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅±=-=23,21y x所以z ＝－1或i.2321±-=z。
高中数学选修2-2（人教A版）第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习及答案
⾼中数学选修2-2（⼈教A版）第三章数系的扩充与复数的导⼊3.1知识点总结含同步练习及答案描述：⾼中数学选修2-2(⼈教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章数系的扩充与复数的引⼊ 3.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习任务1. 了解数系的扩充过程．2. 理解复数的基本概念、代数表⽰法以及复数相等的充要条件．⼆、知识清单复数的概念复数的⼏何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进⼀步扩充，⼈们引⼊了⼀个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进⾏四则运算，且原有的加、乘运算律仍成⽴．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常⽤字母表⽰，即（，），这⼀表⽰形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数（，）可以分类如下： i =?1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d ia =cb =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)⾮纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的⼏何意义根据复数相等的定义，任何⼀个复数，都可以由⼀个有序实数对唯⼀确定．因为有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点⼀⼀对应，所以复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可⽤点表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表⽰实数；除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数．设复平⾯内的点表⽰复数，连结，显然向量由点唯⼀确定；反过下列命题中，正确的个数是（）①若，则的充要条件是；②若，则；③若，则，．A． B． C． D．解：A①由于，所以不⼀定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能⽐较⼤⼩，所以②不正确；③当，时，成⽴，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知，，若，则______．解：根据复数相等的充要条件，得整理得，所以，将其代⼊，得，所以，所以．=?3?4i z 1=(?3m ?1)+(?m ?6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{?3m ?1=?3,n 2?m ?6=?4,n 22m =4m =2?3m ?1=?3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数为何值时，复数分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数可整理为．（1）当时，，即或．（2）当时，是虚数，即且．（3）当时，是纯虚数，解得．（4）当时，，解得．k (1+i)?(3+5i)k ?2(2+3i)k 2z z =(?3k ?4)+(?5k ?6)i k 2k 2?5k ?6=0k 2z ∈R k =6k =?1?5k ?6≠0k 2z k ≠6k ≠?1{?3k ?4=0,k 2?5k ?6≠0,k 2z k =4{?3k ?4=0,k 2?5k ?6=0,k 2z =0k =?1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ ?→Z →OZ说成向量，并且规定，相等的向量表⽰同⼀个复数．。
高中数学选修2-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数3.2知识点总结含同步练习题及答案
一、学习任务 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算． 二、知识清单
复数的四则运算 复数的应用
三、知识讲解
1.复数的四则运算 描述： 复数的加法运算 设 z1 = a + bi ，z2 = c + di 是任意两个复数，那么
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
的值．
2
1 3 1 1 3 1 √3 √3 √3 √3 =( − i− = − + i． i − ) = (− − i) = + 4 2 4 2 2 4 2 4 2 2
法二：设 ω = − 复数
2
1 1 √3 √3 + i ，则 ω 3 = 1，所以原式 = ω 4 = ω 3 ⋅ ω = − + i ． 2 2 2 2
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B．第二象限
)
D．第四象限
C．第三象限
i 1+i 3 1 2 + (1 + √3 i) = − 2 + 2√3 i = − + ( + 2√3 ) i, 1+i 2 2 2
故在复平面内，复数
i 3 1 2 + (1 + √3 i) 对应的点为 (− , + 2√3 ) ． 1+i 2 2 )
C．−2i D．4i
2 3 (2 − bi)(1 − 2i) (2 − 2b) + (−b − 4)i 2 + bi 3 2 − bi 因为 ，由题意知点 = = = 1 + 2i 1 + 2i 5 5 2 − 2b −b − 4 2 ( , ) 在直线 x + y = 0 上，所以 (2 − 2b) + (−b − 4) = 0，所以 b = − ． 5 5 3
人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2练习 数系的扩充与复数的概念
第三章 3.1 第1课时一、选择题1．下列说法中正确的个数是( )①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．A ．1B ．2C ．3D ．4C①②④正确，故选C. 2．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数C ．如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i 不是实数 A两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等．故选A.3．(2015·沈阳高二检测)已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 C本题考查纯虚数的概念，解题的关键是弄清充分条件，必要条件等概念．当a ＝b ＝0时，复数为0，是实数，故B 不正确；由(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇒a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或－1 B ．0 C ．1 D ．－1D∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.5．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i (a 、b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝±bDa 2－b 2＝0，且a ＋|a |≠0.6．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k π2＋π4(k ∈Z )B由⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )∴θ＝2kπ＋π4.故选B.7．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D ．2＋2iA3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，所以选A. 8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2 A解法一：由x 2－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A.解法二：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；x ＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.二、填空题9．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数是________．2由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－1，y ＝13.∴(x ，y )表示的点为(3，13)，(－1，13)，共有2个．10．设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的个数是________．①A ∪B ＝C ；② ∁U A ＝B ；③A ∩∁U B ＝C ；④C ∪B ＝C . 1只有④正确．11．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z ＜0，则k ＝________. 2∵z ＜0，k ∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k ＜0k 2－5k ＋6＝0∴k ＝2.三、解答题12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3. (1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，∴m ＝5或－3； (2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数，∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.一、选择题1．下列命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个B ．i 是1的四次方根C ．i 是－1的立方根D ．i 是方程x 6－1＝0的根 B∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A 错；∵i 3＝－i ≠－1.∴i 不是－1的立方根；∴C 错；∵i 6＝i 2＝－1，∴i 6－1≠0，故i 不是方程x 6－1＝0的根，故D 错； ∵i 4＝1，∴i 是1的四次方根．故选B.2．(2015·锦州期中)若(m －1)＋(3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或2 C ．0 D ．－1、1、2A因为(m －1)＋(3m ＋2)i 是纯虚数，所以m －1＝0且3m ＋2≠0，解得m ＝1. 3．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A.π4B ．π4或54πC ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．kπ＋π4(k ∈Z )D由复数相等的条件得cos θ＝sin θ. ∴θ＝kπ＋π4(k ∈Z )．故选D.4．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2 C①因为a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数．解得a ≠－1且a ≠2. ②当a 2－a －2＝0，且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝2，a ＝0或a ＝2.∴a ＝2.综上可知，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C. 二、填空题5．若x <y ＜0且xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i ，则x ＝______，y ＝________. －2 －1由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝2x 2＋y 2＝5，∵x ＜y ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.6．若复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________. －1∵z <0即⎩⎨⎧m <0m 2－1＝0，∴m ＝－1.7．复数z ＝sin θ－1＋i(1－2cos θ)且θ∈(0，π)，若z 为实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值是________．π3 π2z ∈R 时，1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝12，∵0<θ<π，∴θ＝π3；z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－1＝01－2cos θ≠0，又∵θ∈(0，π)，∴θ＝π2.三、解答题8．求适合方程(x ＋y )2＋i ＝9－2i 的实数x 、y 的值． 由两复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y )2＝9(x －y )2－3(x －y )＝－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－3x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－3x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝1解得⎩⎨⎧ x ＝－12y ＝－52或⎩⎨⎧x ＝52y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2. 9．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ－3sin θ)i(λ∈R )．若z 1＝z 2，证明：－916≤λ≤7.由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧m＝2cosθ4－m2＝λ－3sinθ，∴λ＝4－4cos2θ＋3sinθ＝4⎝⎛⎭⎫sinθ＋382－916，当sinθ＝－38时，λmin＝－916；当sinθ＝1时，λmax＝7.∴－916≤λ≤7.。
高中数学(人教A版选修2-2)同步练测：3.1数系的扩充与复数的概念(含答案详解)
3.1数系的扩充与复数的概念（人教实验A 版选修2-2）一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法正确的是（ ） A ．0i 是纯虚数B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D ．i 2是虚数 2已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于()A.13．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋||)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．||＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤04．若复数(a 2−a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠25．下列命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个 B ．i 是1的四次方根 C ．i 是－1的立方根D ．i 是方程x 6－1＝0的根二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）6.如果35a <<,复数22(815)(514)i z a a a a =-++--在复平面上的对应点Z 在第__________象限7若复数sin 2i(1cos 2)z θθ=--是纯虚数,则θ=__________.8.222log (33)i log (3)(z m m m m =--+⋅-∈R ),若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是__________.9．已知复数z ＝√3x −1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则实数x ＝__________.三、解答题（本大题共5小题，共50分） 10．（8分）若log 2(m 2－3－3)＋i ∙log 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．11．（10分）计算：i ＋i 2＋i 3+…+i 2005.12.（11分）当m 为何实数时，复数z ＝222-3-2-25m m m +(m 2+3m －10)i ； （1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．13.（10分）已知z =x ＋y i(x ，y ∈R )，且222i log 8(1log )ix y x y ++-=-，求z ．14.（11分）已知复数1z ，2z满足11z =+，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值.3.1数系的扩充与复数的概念答题纸得分：一、选择题二、填空题6． 7． 8． 9． 三、解答题 10. 11.12.13.14.3.1数系的扩充与复数的概念答案一、选择题1.C 解析：0i=0∈R 故A 错；原点对应复数为0∈R 故B 错；i 2=-1∈R ，故D 错；实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数是正确的，C 正确，故选C ．2.C 解析：2222121212122()3,z z z z z z z z +=+--=+=3.D 解析：复数z 为实数的充要条件是a ＋||＝0，而||＝－a ，∴a ≤0，故应选D.4.C 解析：若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.5.B 解析：∵＝－1，∴－1的平方根有两个，故A 错；∵－i ≠－1，∴i 不是－1的立方根，∴C 错；∵＝i 2＝－1，∴1≠0，故i 不是方程x 6－1＝0的根，故D 错；∵i 4＝1，∴i 是1的四次方根，故选B. 二、填空题6.三解析：35,a <<22815(3)(5)0,514(2)(7)0.a a a a a a a a -+=--<--=+-<7.ππ, 2k k +∈Z 解析：πsin 20,1cos 20,22ππ,π,.2k k k θθθθ=-≠=+=+∈Z2222222233331log (33)2log (3)10,log 1,,(3)(3)2:m m m m mm m m m m --------+==-==--解析3,m m >=而所以9.1解析：复数z 能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知{√3x −1－x >0,x 2－4x ＋3=0,解得x ＝1.三、解答题10.解：∵(m 2－3－3)＋i ∙log 2(m －2)为纯虚数， ∴∴＝4.故当m ＝4时，log 2(m 2－3－3)＋i ∙log 2(m －2)是纯虚数．11.解：i ＋i 2＋i 3+⋯+i 2005=(i+i 2+i 3+i 4)+⋯+(i 2001+i 2002+i2003＋i2004)＋i2005=(i －1－i+1)+(i －1－i+1)+⋯+(i －1－i+1)+i＝0＋0＋⋯＋0+i ＝i.12.解：（1）z 为实数，则虚部m 2+3m －10=0，即22+3-10=0,-250,m m m ⎧⎨≠⎩解得m =2，∴m =2时，z 为实数.（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即22+3-100,-250,m m m ⎧≠⎨≠⎩ 解得m ≠2且m ≠±5.当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数.（3）z 为纯虚数，则2222-3-2=0,+3-100,-250,m m m m m ⎧⎪≠⎨⎪≠⎩解得m =－12,∴当m =－12时，z 为纯虚数． 13.解：222i log 8(1log )i x yx y ++-=-Q ，22280,log 1log ,x y x y +⎧-=⎨=-∴⎩3,2,∴+=⎧⎨=⎩x y xy2,1解得=⎧⎨=⎩x y 1,2,x y =⎧⎨=⎩或∴z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．14.解：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z .由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ，则12z =z =；12124z z z z +=-=．。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）A ．2B ．2C ．5D ．52．已知i 是虚数单位，则复数1012ii-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-35．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则3x y 的最大值（ ） A ．13B ．2C ．1D 37．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①若z 是虚数，则20z ；②若复数2z 满足2z ∈R ，则z R ∈；③若复数11z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅对应的复数位于第四象限，则实数t 的取值范围是()1,1-；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．38．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +11．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__.15．若复数z 满足221(1)2i z i ⎛⋅=+ ⎝⎭，则z =_______________. 16．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 17．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 18．已知复数z=i （2+i ），则|z|=___．19．已知复数()()13i z m m m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是_______．20．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．三、解答题21．已知复数0z 满足00|215|10|z z ++， （1）求证：0||z 为定值； （2）设12i x +=，0n n z z x =，若1||n n n a z z -=-，*n N ∈，求12lim()n n a a a →∞++⋯+． 22．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？23．（1）设复数z 和它的共轭复数z 满足：42i z z +=，求复数z ； （2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程. 24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．26．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i }，P ＝{－1，1，4i }，若M P P =，求实数m的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．C解析：C 【分析】 先计算出104212ii i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i ii i i i +-+===-+--+， 所以1012ii-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．4．C解析：C 【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C. 【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得32sin()6x πθ+=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈. ∴3cos 32sin()6x πθθθ+=+=+∴x 的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．B解析：B 【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.详解：对于①,举例z=1+i ,但是22z i =，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.对于②，举例z=i ，所以21,z R =-∈但是i R ∉,所以②不正确. 对于③，12z z ⋅=(1)()1(1),i t i t t i +-=++-所以10,1 1.10t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩所以③正确.对于④，若()()2212230z z z z -+-=，举例1232,1,1,z z z i ===-但是123z z z ==不成立.所以④不正确. 故答案为B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.8．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．A【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i iz i i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断. 【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ，4=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆 【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】利用复数的四则运算得出结合共轭复数的定义即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义属于中档题 i【分析】利用复数的四则运算得出z i ，结合共轭复数的定义，即可得出答案.【详解】()2222112(1)12i i i z i i ⎛⎫⎫+- ⎪⎪⎫+==⎪⎪⎛⎝⎭+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭=⎝z i ∴=i 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题解析：1i +. 【解析】 【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．【解析】分析：先计算复数再根据复数的模的定义求结果详解：点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的【解析】分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.详解：(2)21z i i i z =+=-∴==点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．【解析】分析：首先根据复数在复平面内对应的点的坐标为之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号结合题中要求点落在轴上方要求其纵坐标大于零从而确定出所满足的不等关系式最后求得结果详解：复数在复平面解析：3m <. 【解析】分析：首先根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)m m +-，之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号，结合题中要求点落在x 轴上方，要求其纵坐标大于零，从而确定出m 所满足的不等关系式，最后求得结果.详解：复数()()13,z m m i m R =-+-∈在复平面上对应的点的坐标为(1,3)m m --， 如果该点落在x 轴上方，则有30m ->，解得3m <.点睛：该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的坐标的问题，应用实部是横坐标，虚部是纵坐标，结合题中的要求，列出式子，求得结果.20．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）356 【分析】（1）设0(,)z x yi x y R =+∈，利用00|215|310|z z +=+，可得2275x y +=，即可证明：0||z 为定值；（2）12||532nn n n a z z -⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，再求极限．【详解】（1）证明：设0(,)z x yi x y R =+∈，则00|215|10|z z ++，|2152|10|x yi x yi ∴+++-，2222(215)(2)3(10)3x y x y ∴++=++， 2275x y ∴+=，0||z ∴= （2）解：12ix +=，0n n z z x =， 12||32nnn n a z z-⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，121nn a a a ⎫⎪-⎪⎝⎭∴++⋯+=∴121lim()nnn n a a a →∞⎫⎪-⎪⎝⎭++⋯+===．【点睛】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0， 所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数.【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.23．（1）1i 2z =+；（2）2211612x y +=【解析】分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=，则12x y ==，12z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：2211612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，由42z z i +=可得：62x yi i +=，所以12x y ==，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=得：()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．24．（1）4m =-；（2）1m =.【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-.（2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且 解得 1m =. 25．242z i =+【解析】解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）26．m ＝1或m ＝2.【分析】先由M P P =，知M 是P 的子集，再依据集合中元素的互异性得复数22(2)(2)m m m m i -++-的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m ．【详解】由MP P =，知M 是P 的子集，从而可知22(2)(2)1m m m m i -++-=-或4i ． 由22(2)(2)1m m m m i -++-=-，得222120m m m m ⎧-=-⎨+-=⎩，解之得：1m =， 由22(2)(2)4m m m m i i -++-=，得222024m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解之得：2m =， 综上可知：1m =或2m =．【点睛】本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题.。
数学教案 人教a版选修2_2 同步练习-第3章数系的扩充与复数的引入
数系的扩充和复数的概念[A 组 学业达标]1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案：A2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R∩I B ．R∩I＝{0} C ．R ＝C∩ID ．R∩I＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R∩I＝∅.选D. 答案：D3．若复数z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.答案：A4．复数z ＝(a ＋1)＋(a 2－3)i ，若z ＜0，则实数a 的值是( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－1D ．1解析：由题意得a 2－3＝0，解得a ＝±3，而a ＋1＜0，故a ＝－ 3. 答案：B5．若复数z ＝a 2－3＋2ai 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________． 解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，所以a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－36．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________．解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.答案：37．x ，y 为实数，如果x －1＋yi 与i －3x 为相等复数，则x ＋y ＝________.解析：由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1，所以x ＋y ＝54.答案：548．已知m ∈R ，复数z ＝mm ＋2m －1＋(m 2＋2m －1)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．解析：(1)因为z ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1± 2.(2)因为z 是虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1≠0，m －1≠0，解得m≠－1＋2，m≠－1－2且m≠1.(3)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，m 2＋2m －1≠0，解得m ＝0或m ＝－2.9．已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a 的值． 解析：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.[B 组 能力提升]10．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3 解析：由条件知，cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，所以cos α＝－1或12.因为0＜α＜2π，所以α＝π，π3或5π3.故选D. 答案：D11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，1解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，所以4sin 2θ＝λ＋3sin θ，所以λ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝38时，λ取得最小值－916；当sin θ＝－1时，λ取得最大值7. 所以－916≤λ≤7，即λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 答案：C12．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a)i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a)i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________． 解析：因为z 1＞z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，所以a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案：{0}13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y ＋3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y ＋(3－y)i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.由(2x ＋ay)－(4x －y ＋b)i ＝9－8i 可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay ＋9，4x －y ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.14．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解析：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.因此当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m≠－2且m≠－1，解得m≠－2且m≠－1，因此当m≠－2且m≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝－2，m≠－1且m≠－2.解得m ＝0.因此当m ＝0时，z 为纯虚数.复数的几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的个数为( ) ①|z|＝2；②z 的虚部为i ；③z 在复平面上对应点在第一象限． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：|z|＝12＋12＝2，故①正确；z 的虚部为1，故②错误；z 在复平面上对应点是(1,1)，在第一象限，故③正确． 答案：C2．复数z ＝cos 2π3＋isin π3在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因cos 2π3＜0，sin π3＞0，故复数z ＝cos 2π3＋isin π3对应的点在第二象限．答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋i B ．2＋4i C ．8＋2iD ．4＋8i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，且C 为线段AB 的中点，根据中点坐标公式可得C(2,4)，则点C 对应的复数是2＋4i. 答案：B4．若复数z 满足方程|z ＋1－3i|＝2，则z 在复平面上表示的图形是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线D ．双曲线解析：原方程可化为|z －(－1＋3i)|＝2，其几何意义表示z 的坐标和(－1,3)之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆． 答案：B5．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.答案：D6．已知3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －yi|，|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋－52＝26，|x －yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.因为20＜5＜26，所以|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|. 答案：|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|7．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________． 解析：由z ＝3＋4i 知，OZ →＝(3,4)，所以直线的斜率：k ＝43.答案：438．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i ＝(y －x)＋(2x －y)i.由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以x ＋y ＝5.答案：59．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点： (1)位于虚轴上？ (2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？解析：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m(4－m 2)＞0，解得m ＜－2或0＜m ＜2. 故满足条件的实数m 的取值范围为(－∞，－2)∪(0,2)．(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋4－m 22＝4，即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.10．复数i,1,4＋2i 分别对应平面上A ，B ，C 三点，另取一点D 作平行四边形ABCD ，求BD 的长． 解析：由题意得向量AB →对应的复数为1－i ，设D 对应的复数为x ＋yi(x ，y ∈R)，则DC →＝(4－x,2－y)，由AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝4－x ，－1＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以D 对应的复数为3＋3i ，所以BD →＝(2,3)，则|BD →|＝13，即BD 的长为13.[B 组 能力提升]11．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z|＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为π＜α＜2π，所以π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z|＝－2cos α2.故选B.答案：B12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆D ．椭圆解析：设z ＝x ＋yi ，因为|z －i|＝|3＋4i|，所以x 2＋y －12＝5.则x 2＋(y －1)2＝25，所以复数z 对应点的轨迹是圆． 答案：C13．若t ∈R ，t≠－1，t≠0，则复数z ＝t 1＋t ＋1＋tt i 的模的取值范围是________．解析：|z|2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2·t 1＋t ·1＋t t ＝2.(当且仅当t 1＋t ＝1＋t t ，即t ＝－12时，等号成立)．所以|z|≥ 2.答案：[2，＋∞)14．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R)，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．解析：因为log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0， 整理得 log 22m 2－3m －3m －32＝0， 所以2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9， 即m 2＝15，m ＝±15.又因为m －3＞0且m 2－3m －3＞0， 所以m ＝15. 答案：1515．已知复数z 1＝3－i ，z 2＝co s θ＋isin θ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？ 解析：(1)|z 1|＝32＋－12＝2，|z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括圆)． 16．已知复数z 0＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P(x ，y)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，①b ＝y ＋2.②因为z 0＝a ＋bi ，|z 0|＝2，所以a 2＋b 2＝4. 将①代入②得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.所以点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆.复数代数形式的加、减运算及其几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，所以z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.所以点Z 位于复平面内的第一象限． 答案：A2．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若1＋xi ＝(2－y)－3i ，则|x ＋yi|＝( ) A.10 B ．3 C. 5D. 2解析：1＋xi ＝(2－y)－3i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2－y ＝1，x ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，则|x ＋yi|＝10.答案：A3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( ) A.115B ．3i C.115＋3i D.115＋23i 解析：设这个复数为a ＋bi(a ，b ∈R)，则|a ＋bi|＝a 2＋b 2. 由题意知a ＋bi ＋a 2＋b 2＝5＋3i ， 即a ＋a 2＋b 2＋bi ＝5＋3i所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3，解得a ＝115，b ＝ 3.所以所求复数为115＋3i.答案：C4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( ) A ．2＋4i B ．－2＋4i C ．－4＋2iD ．4－2i解析：在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →＝OA →－OB →，故CD →对应的复数是3＋i －(－1＋3i)＝4－2i ，故选D. 答案：D5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →，则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|，依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|. 所以以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形，所以△AOB 是直角三角形．故选B. 答案：B6．设复数z 满足z ＋|z|＝2＋i ，则z ＝________. 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|z|＝x 2＋y 2. 所以x ＋yi ＋x 2＋y 2＝2＋i.所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.答案：34＋i7．已知复数z 1＝2＋ai ，z 2＝a ＋i(a ∈R)，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．解析：∵复数z 1－z 2＝2＋ai －a －i ＝(2－a)＋(a －1)i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2.答案：(2，＋∞)8．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a)i ＝－1＋(3＋a)i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，3＋a ＝8，a －3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝5，c ＝2.答案：5 －1 29．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R)，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋bi. 解析：z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋a ＋1i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.[B 组 能力提升]10．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i(a ∈R)在复平面内对应的点位于虚轴上，则z －1－i 等于( ) A ．－1－3i 或－1－i B ．－1－iC ．－1－3iD ．－1＋i 或－1＋3i解析：因为复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上，所以复数z 的实部为0，所以a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，z ＝－2i ，z －1－i ＝－2i －1－i ＝－1－3i ；当a ＝2时，z ＝0，z －1－i ＝0－1－i ＝－1－i.综上，z －1－i ＝－1－3i 或z －1－i ＝－1－i.故选A. 答案：A11．如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B ． 2 C ．2D. 5解析：设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，|Z 1Z 2|＝4，所以复数z 的集合为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值．因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，|ZZ 3|取得最小值|Z 0Z 3|＝1，故选A. 答案：A12．已知在复平面内的正方形ABCD 有三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则第四个顶点对应的复数是________．解析：设复平面内正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则OA →＝(1,2)，OB →＝(－2,1)，OC →＝(－1，－2)，设OD →＝(a ，b)．∵AB →＝OB →－OA →＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(1，－3)，且1×(－3)＋(－1)×(－3)＝0， ∴AB →⊥BC →，∴AB →＝DC →，即向量AB →与DC →对应的复数相等， ∴－3－i ＝－1－a －(2＋b)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝－1，－1－a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴OD →＝(2，－1)．故第四个顶点对应的复数是2－i. 答案：2－i13．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________． 解析：法一：设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R)， 则|(a －1)＋bi|＝|(a ＋1)＋bi|， 所以a －12＋b 2＝a ＋12＋b 2，即a ＝0，所以z ＝bi ，b ∈R ，所以|z －1|min ＝|bi －1|min ＝(－12＋b 2)min ，故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 法二：因为|z －1|＝|z ＋1|，所以z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1. 答案：114．已知|z|＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则由|z|＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y)到点(－1，－3)的距离，点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.15．已知在复平面内的平行四边形ABCD 中，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解析：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，又AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ∵OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵BD →＝BA →＋BC →，∴向量BD →对应的复数为(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i. ∵OB →＝OA →－BA →，∴向量OB →对应的复数为(2＋i)－(1＋2i)＝1－i. ∵OD →＝OB →＋BD →，∴向量OD →对应的复数为(1－i)＋(4＋i)＝5， 故点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ， 又BA →＝(1,2)，BC →＝(3，－1)， ∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152，∴sin B ＝752，∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×752＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7.复数代数形式的乘除运算[A 组 学业达标]1．已知复数f(n)＝i n(n ∈N *)，则集合{z|z ＝f(n)}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．无数解析： f(n)＝i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N ，故集合中有4个元素．答案：A2．如果x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C.34D ．－34解析：∵x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.则x ＋y ＝－34.答案：D3．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz ＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以zz＝±i.故选D.答案：D 4．复数z ＝32－ai ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14解析：由z ＝32－ai ，a ∈R 得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×ai＋(ai)2＝34－a 2－3ai ，因为z 2＝12－32i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.故选C.答案：C5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题； C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D.当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．故选D. 答案：D6．设复数z ＝－2＋i ，若复数z ＋1z的虚部为b ，则b 等于________．解析：∵z ＝－2＋i ，∴z ＋1z ＝－2＋i ＋1－2＋i ＝－2＋i ＋－2－i －2＋i －2－i ＝－2＋i －25－15i ＝－125＋45i ， ∴b ＝45.答案：457．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ＝3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z|＝ 5. 答案： 58．若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i ＝3＋bi 1＋i 1－i 1＋i ＝3－b ＋3＋b i 2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案：39．计算下列各题： (1)1＋i 71－i ＋1－i71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i；(2)()2＋2i 4i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7. 解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－82i1＋ii＝8＋8－16－16i ＝－16i. (2)原式＝42i 2i＋1i＋i 7＝16i －i －i ＝14i. 10．已知z 1＝2＋i ，z 1·z 2＝6＋2i. (1)求z 2；(2)若z ＝z 1z 2，求z 的模．解析：(1)设z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R)，因为z 1·z 2＝6＋2i ，所以(2－i)(a ＋bi)＝6＋2i ，即(2a ＋b)＋(2b－a)i ＝6＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝6，2b －a ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以z 2＝2＋2i.(2)因为z ＝z 1z 2＝2＋i 2＋2i ＝2＋i2－2i 2＋2i 2－2i ＝6－2i 8＝34－14i ，所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝104.[B 组 能力提升]11．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，所以a ＋b i 是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a ＋bi 为纯虚数，a＋bi ＝a －bi ，所以a ＝0且b≠0，所以ab ＝0，是必要条件．故选B. 答案：B12．已知z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z 1，z 2)＝||z 1－z 2||.给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D(z)＞0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D(z )＝D(z)恒成立； (3)若D(z 1)＝D(z 2)(z 1，z 2∈C)，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2∈C ，结论D(z 1，z 2)＝D(z 2，z 1)恒成立． 则其中的真命题是( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4)D ．(2)(3)解析：对于(1)，由定义知当z ＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ；选C. 答案：C13．如果z ＝21－i ，那么z 100＋z 50＋1的值是________．解析：z ＝21－i ＝1＋i2，z 100＋z 50＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 250＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 250＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 225＋1＝i 50＋i 25＋1＝i 2＋i ＋1＝i. 答案：i14．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i可化为x 1＋i 1－i 1＋i＋y 1＋2i1－2i 1＋2i＝51＋3i1－3i 1＋3i，即x ＋xi 2＋y ＋2yi 5＝5＋15i10，从而5(x ＋xi)＋2(y ＋2yi)＝5＋15i ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：4 15．设复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a.解析：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋a z 是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝mi(m ∈R 且m≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋mi 1－i ＝－2i ＋mi －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，所以a ＝4i.16．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z|的值及z 的实部的取值范围； (2)设μ＝1－z1＋z ，求证：μ为纯虚数．解析：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R ，且y≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋yi)＋1x ＋yi ＝x ＋yi ＋x －yi x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.(1)因为ω是实数，且y≠0，所以y －yx 2＋y2＝0， 即x 2＋y 2＝1.所以|z|＝1，此时ω＝2x.又－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，所以 －12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z1＋z＝1－x ＋yi1＋x ＋yi＝1－x－yi1＋x－yi1＋x2＋y2＝1－x2－y2－2yi 1＋2x＋x2＋y2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－y1＋xi. 因为y≠0，所以μ为纯虚数．章末测试卷(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限． 答案：D2．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i ＜5iB ．a ＝0⇔|a|＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝±bD ．a 2≥0解析：A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1＜0.故选B. 答案：B 3.1＋2i1－i2的虚部为( ) A ．－12iB ．12i C.12 D ．－12解析：1＋2i 1－i 2＝1＋2i－2i＝1＋2ii 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故其虚部为12.答案：C4．已知集合M ＝{1,2，zi}(i 为虚数单位)，N ＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M∩N＝{4}，知4∈M ，故zi ＝4，故z ＝4i ＝4ii 2＝－4i.答案：C 5.1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝( )A ．－12B ．12 C.12i D ．－12i解析：因为(1±i)2＝±2i，所以1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝1－i 2i 2＋1＋i－2i2＝1－i －4＋1＋i －4＝－12. 答案：A6．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3 C. 2D ．1解析：a ＋i i ＝a ＋i ·－i i·－i ＝1－ai ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－ai|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案：B7．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.故选A. 答案：A8．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(－2，－1)，故OB →对应的复数为－2－i.故选A. 答案：A9．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a＝1”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，所以点M 在第四象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0，即－2＜a＜2，所以“a＝1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝zi ＋z ＝z(1＋i)＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝4＋2i 1－i 2＝4＋2－2i 2＝3－i.故选A. 答案：A11．已知复数z ＝(x －2)＋yi(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B ．33 C.12D. 3 解析：因为|(x －2)＋yi|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心， 3为半径的圆上，如图，令yx ＝k ，kx －y ＝0，则|2k|k 2＋1＝3，得k ＝± 3.由平面几何知识得－3≤yx ≤ 3.所以最大值为3，故选D. 答案：D12．在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”，定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，i 为虚数单位)，“z 1＞z 2”当且仅当“a 1＞a 2”或“a 1＝a 2且b 1＞b 2”．给出下面命题：①1＞i ＞0；②若z 1＞z 2，z 2＞z 3，则z 1＞z 3；③若z 1＞z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ＞z 2＋z ；④对于复数z ＞0，则z·z 1＞z·z 2.其中真命题是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③D ．①②③④解析：对命题①，1的实部是1，i 的实部是0，故①正确；对命题②，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由已知得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，a 2＞a 3或a 2＝a 3且b 2＞b 3，显然有a 1≥a 3，若a 1＞a 3，则z 1＞z 3，若a 1＝a 3，则a 1＝a 2＝a 3，b 1＞b 2＞b 3，也有z 1＞z 3，故②正确；对命题③，设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z 1＞z 2得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，从而a 1＋a ＞a 2＋a 或a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b ＞b 2＋b ，∴z 1＋z ＞z 2＋z ，故③正确；对命题④，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，z ＝2i ，则有z 1＞z 2，但z·z 1＝－2＋2i ，z·z 2＝4，显然有z·z 2＞z·z 1，故④错误． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若复平面上的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数为________．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，两式相加，可得2AD →＝AC →＋BD →＝2＋14i ，所以DA →＝－1－7i.法二：如图，把向量BD →平移到向量EA →的位置，可得DA →＝12CE →＝－12(AC →＋BD →)＝－1－7i. 答案：－1－7i14．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，a ＝－1. 答案：－115．若复数z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan θ＝________.解析：因为z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34.答案：－3416．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b 的最小值为________．解析：因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数， 所以2a ＋b ＝2，所以4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1＝222a ＋b －1＝2 2.当且仅当a ＝14，b ＝32时取等号．答案：2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知(2＋i)z ＝7＋i ，求z 及z z .解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi.所以 (2＋i)(a －bi)＝7＋i ， 所以(2a ＋b)＋(a －2b)i ＝7＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，a －2b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以z ＝3＋i.所以z ＝3－i ，所以zz ＝3＋i 3－i＝3＋i 210＝45＋35i. 18．(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b ∈R)是复平面上的四个点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2. (1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求z 1，z 2；(2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数，求a ，b 的值．解析：向量AB →＝(a －1，－1)，CD →＝(－3，b －3)对应的复数分别为z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i. (1)若z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ＝1＋i. 所以a －4＝1，b －4＝1. 解得a ＝b ＝5.所以z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i. (2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数， 所以a －42＋b －42＝2，(a ＋2)＋(2－b)i ∈R ，所以2－b ＝0，解得b ＝2， 所以(a －4)2＋4＝4，解得a ＝4. 所以a ＝4，b ＝2.19．(本小题满分12分)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a ∈R. (1)若|z 1－z 2|＝5，求a 的值；(2)若复数z ＝z 1·z 2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a 的值． 解析：由复数的几何意义可知z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋3i. (1)因为|z 1－z 2|＝5，所以|－2－a －2i|＝－2－a2＋－22＝5，即(a ＋1)(a ＋3)＝0，解得a＝－1或a ＝－3.(2)复数z ＝z 1·z 2＝(－2＋i)(a －3i)＝(－2a ＋3)＋(a ＋6)i.由题意可知，点(－2a ＋3，a ＋6)在直线y ＝－x 上，所以a ＋6＝－(－2a ＋3)，解得a ＝9.20．(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数； (3)求△APB 的面积．解析：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →＝(－2,2)． 即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →＝(3,2)－(－2,2)＝(5,0)． 即DB →对应的复数是5.(3)由于PA →＝12CA →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PB →＝12DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，于是PA →·PB →＝－54，而|PA →|＝172，|PB →|＝52，所以172×52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|PA →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.21．(本小题满分12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值． 解析：法一：设ω＝z －3＋4i ，所以z ＝ω＋3－4i ， 所以z ＋1－i ＝ω＋4－5i ， 又|z ＋1－i|＝1， 所以|ω＋4－5i|＝1.可知ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆，如图(1)所示，所以|ω|max ＝41＋1，|ω|min ＝41－1.图(1) 图(2)法二：由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1. 22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0. (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根． 解析：(1)原方程可化为x 2－xtan θ－2－(x ＋1)i ＝0，设方程的实数根为x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－x 0tan θ－2＝0，x 0＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，tan θ＝1.又θ是锐角，故θ＝π4.(2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi ，b≠0，b ∈R ，则－b 2－(tan θ＋i)bi －(2＋i)＝0，即－b2－ibtan θ＋b －2－i ＝0，可得－b 2＋b －2＝0，解得b ＝1±7i 2，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根．。
【人教A版高中数学精练及答案解析】选修2-2第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 复习练习
选修2-2第三章 3．1.1 数系的扩充和复数的概念 复习练习[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i2．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．23．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R)为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．36．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R)，若z 是实数，则m 的值为________． 7．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R)相等，则θ＝________． 8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎨⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值．10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫π，2π3，4π3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫π3，5π3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫π，π6，11π6 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫π，π3，5π3 12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 13．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．选修2-2第三章 3．1.1 数系的扩充和复数的概念 复习练习[A 基础达标]1．解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎨⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或1 7．解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z)．答案：k π－π4(k ∈Z) 8．解析：由已知，得⎩⎨⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③ 把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ， 所以⎩⎨⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.10．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎨⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2 α＋cos α－1＝0，解得cosα＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：1 13．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎨⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎨⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧－a 2＋2a ＝2xya ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R)， 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
【练习题】高中数学人教A版选修2231数系的扩充与复数的概念练习题含答案详解
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 【关键字】练习题一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法正确的是（）A．0i是纯虚数B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C．实数的共轭单数一定是实数，虚数的共轭单数一定是虚数D．是虚数2 已知,则等于( )A. B.C. D.3．单数z＝－＋(＋||)i(，b∈R)为实数的充要条件是( )A．||＝|b|B．<0且＝－bC． >0且≠bD．≤04．若单数(－2)＋(|－1|－1)i(∈R)不是纯虚数，则( )A．＝－1B．≠－1且≠2C．≠－1D．≠25．下列命题中哪个是真命题( )A．－1的平方根只有一个B．i是1的四次方根C．i是－1的立方根D．i是方程－1＝0的根二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）6.如果,单数在复平面上的对应点在第 __________象限7 若单数是纯虚数,则= __________.8.R),若对应的点在直线上,则的值是__________.9．已知单数)i>0，则实数＝__________.三、解答题（本大题共5小题，共50分）10．（8分）若(－3－3)＋i (－2)为纯虚数，求实数的值．11．（10分）计算：i＋i2＋i3+…+i2 005.12.（11分）当m为何实数时，复数z＝222-3-2-25m mm+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．13.（10分）已知i(∈R )，且222i log 8(1log )ix y x y ++-=- ，求．14.（11分） 已知复数1z ，2z 满足171z =+，271z =-，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值.3.1数系的扩充与复数的概念答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6． 7． 8． 9．三、解答题10.11.12.13.14.3.1 数系的扩充与复数的概念答案一、选择题1. C 解析：0i=0∈R 故A 错；原点对应复数为0∈R 故B 错；=-1∈R ，故D 错；实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数是正确的，C 正确，故选C ．2. C 解析：2222121212122()3, 3.z z z z z z z z +=+--=+=3. D 解析：复数为实数的充要条件是＋||＝0，而||＝－，∴0，故应选D.4. C 解析：若复数i 不是纯虚数，则有≠0或＝0，解得≠－1.故应选C. 5.B 解析 ：∵＝－1，∴ －1的平方根有两个，故A 错；∵＝－i≠－1，∴ i 不是－1的立方根，∴ C 错；∵＝＝－1，∴－1≠0，故i 不是方程－1＝0的根，故D 错；∵ ＝1，∴ i 是1的四次方根，故选B. 二、填空题6. 三 解析：35,a <<22815(3)(5)0,514(2)(7)0.a a a a a a a a -+=--<--=+-<7.ππ, 2k k +∈Z 解析：πsin 20,1cos 20,22ππ,π,.2k k k θθθθ=-≠=+=+∈Z 8.152222222233331log (33)2log (3)10,log 1,,(3)(3)2:m m m m mm m m m m --------+==-==--解析15,3,15.m m ±>=而所以9.1 解析：复数z 能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知解得＝1. 三、解答题10.解：∵(－3－3)＋i(－2)为纯虚数，∴∴＝4. 故当＝4时，(－3－3)＋i(－2)是纯虚数．11.解：i ＋i 2＋i 3++i 2 005=(i+i 2+i 3+i 4)++(i 2 001+i 2 002+ i2 003＋i2 004)＋i2 005=(i －1－i+1)+ (i －1－i+1)++(i －1－i+1)+i＝0＋0＋＋0+i ＝i.12. 解：（1）z 为实数，则虚部m 2+3m －10=0，即22+3-10=0,-250,m m m ⎧⎨≠⎩ 解得m =2，∴ m =2时，z 为实数.（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即22+3-100,-250,m m m ⎧≠⎨≠⎩ 解得m ≠2且m ≠±5.当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数.（3）z 为纯虚数，则2222-3-2=0,+3-100,-250,m m m m m ⎧⎪≠⎨⎪≠⎩解得m =－12, ∴ 当m =－12时，z 为纯虚数． 13.解：222i log 8(1log )i x y x y ++-=- ，22280,log 1log ,x y x y +⎧-=⎨=-∴⎩3,2,∴+=⎧⎨=⎩x y xy2,1解得=⎧⎨=⎩x y 1,2,x y =⎧⎨=⎩或∴ ＝2＋i 或＝1＋2i ．14.解：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z . 由于222(71)(71)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则12714771z =z ++=-；12124z z z z +=-=．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学选修2-2同步练习题库：数系的扩充和复数的概念(简答题：容易)
数系的扩充和复数的概念（简答题：容易）1、（8分）已知复数,当实数m取什么值时,复数z是(1) 零 (2)虚数 (3)纯虚数2、把复数的共轭复数记作，已知，求及.3、设复数（，，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.⑴求复数；(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.4、已知复数，(其中为虚数单位)（1）当复数是纯虚数时，求实数的值；（2）若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围.5、m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？6、实数m取什么值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
7、在复平面上，设点A、B、C 对应的复数分别为。
过A、B、C 三个点做平行四边形。
求第四个顶点D的坐标及此平行四边形的对角线的长。
8、（1）求复数；（2）求的模．9、（本题满分14分）已知复数当实数取什么值时，复数是：（1）零；（２）纯虚数；（３）10、已知复数.（1）当实数取什么值时，复数是纯虚数；（2）若在复平面内对应的点在第二、四象限角平分线上，求.11、已知复数(i为虚数单位)复数的虚部为2且是实数。
求：。
12、（本小题满分14分）已知复数，为虚数单位，（1）当复数纯虚数，求的值；（2）当复数在复平面上的对应点位于第二、四象限角平分线上，求的值.（3）若，求13、已知复数，若，（1）求；（2）求实数的值14、（本小题满分12分）. 实数m取什么数值时，复数分别是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？15、实数m取什么值时，复平面内表示复数的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线上？16、(1)计算（2）复数满足求复数的对应点Z所在的象限。
（12分）17、设复数满足，求的最大值和最小值．18、复数，，，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
19、若，，试求参考答案1、2、3、（1）；（2）.4、（1）,（2）5、(1) ；（2）且；（3）或.6、（1）（2）（3）m=27、D（– 3，– 1）对角线8、（1）=（2）9、（1）m=1 （2）m=1 （3）m=210、（1）（2）或11、4+2i12、．或13、（1）（2）即，，根据复数相等，解得14、，，15、（1）（2）（3）16、第二象限17、最大值7；最小值318、19、故【解析】1、略2、试题分析：设复数，这里必须强调，则，于是，按照复数乘法进行运算，然后根据复数相等的充要条件列方程组，求出的值，得到及，进而根据可以求出的值.试题解析：设，则，，则，解得，∴，，∴.考点：1.复数的运算；2.复数相等的充要条件；3.复数的模.3、试题分析：（1）设，由得：，又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即.联立求解即可（2）由,可得,为纯虚数，∴，然后解方程即可试题解析：⑴设，由得：.①又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即.②.由①②联立方程组,解得,或，，，∴，.∴.⑵由,可得,为纯虚数，∴，解得.4、试题分析：（1）根据纯虚数的概念实部为零，虚部不为零有，解得，即时，复数为纯虚数.（2）因为复数对应的点在第三象限，所以实部小于零且虚部也小于零，即，解得，所以当时，复数对应的点在第三象限.试题解析：解：（1）由题意有时，解得， 5分即时，复数为纯虚数. 7分（2）由题意有：，解得：， 12分所以当时，复数对应的点在第三象限 14分考点：纯虚数概念5、试题分析：复数为常数），当时是实数；当时是虚数；当时是纯虚数.试题解析：（1）复数表示实数时，，且，∴；（2）复数表示虚数时，且，∴且.（3）复数表示纯虚数时，，且，∴或.考点：复数的概念.6、试题分析：（1）当时此复数是实数。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 3.1 数系的扩充与复数的概念 同步检测
3.1《数系的扩充与复数的概念》同步检测一、基础过关1．“复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的________条件．2．若(a －2i)i ＝b －i ，其中a 、b ∈R ，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝________.3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为________．5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．二、能力提升6．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为________．7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题为________．9．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a＝________.10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？答案1．充分不必要2．53．2－2i4．15．－16．2k π＋π4(k ∈Z ) 7．2 ±28．②9．－110．(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2. 所以实数x ，y 的值分别为12，2. 12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时， m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.。
【备课精选】2012年高二数学新人教A版选修2-2同步练习3.1《数系的扩充与复数概念》
第三章：数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念练习题一．选择题：1.复数-2i的实部与虚部是（）（A）0,2 （B）0，0 （C）-2,0 （D）0,-22．以2i-的虚部为实部，以i+2的实部为虚部的新复数是（）（A）2+2i （B）2+i（C）- +i （D）+i3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足（）（A）m≠－1 （B）m≠6 (C) m≠－1或m≠6(D) m≠－1且m≠64．如果（x+y)i=x-1,则实数x，y的值为（）（A）1，-1（B）0，-1 (C) 1,0 (D) 0，05.下列命题中，假命题是( )（A）两个复数不可以比较大小（ B）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小（ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二．填空题：6.化简：2i4 = i2=I3=7．若x是实数，y是纯虚数，且2x-1+2i=y，则x，y的值为__________________.8．实数集，虚数集，纯虚数集，复数集，的关系用图形表示是三．解答题：9．设复数，试求m取何值时（1）Z是实数；（2）Z是纯虚数；3.1.2复数的几何意义练习题一．选择题：1.已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是-，则z为（）A.- +2iB.--2iC.-+3iD.--3i2.复平面内点（0,2）表示（）A. 0B. 2C. 2iD. i3.复数z=3+4i对应的点Z关于原点的对应点Z1对应的向量为（）A.- 3-4iB. 4+3iC.-4-3iD.-3+4i4.复数z=5-3i在第几象限（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二．填空题：5. 实部是3虚部是-2的复数是6.复数z=3+4i的模是7. 复数的两种几何意义是8.化简4i8= 2i5=i101=三．解答题：9. 已知复数z1=8+6i，z2=4-3i，z3=5，z4=-10i，在复平面内描出四点，并求出各点的模。
高中数学选修2-2同步练习题库：数系的扩充和复数的概念(简答题：一般)
数系的扩充和复数的概念（简答题：一般）1、已知为复数，若在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上，且．（1）求复数；（2）若复数满足，求的最小值．2、设复数，若，求实数，的值．3、已知复数，（，为虚数单位）（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.4、已知复数.(1)若，求；(2)取什么值时，是纯虚数.5、已知复数.(1)若，求；(2)取什么值时，是纯虚数.6、已知复数满足 (其中是虚数单位).(1)在复平面内，若复数对应的点在直线上，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.7、已知是复数,均为实数(为虚数单位)且复数在复平面上对应的点在第一象限,求实数的取值范围.8、知复数（为虚数单位），为的共轭复数，若成立，求实数的值.9、已知是复数，与均为实数.（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.10、复数，满足的虚部是2，对应的点A在第一象限.（1）求；（2）若在复平面上对应点分别为，求.11、设复数（,），满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．(1)求复数；(2)若为纯虚数，求实数的值．12、设复数，若，求实数的值。
13、已知复数，,（1）若是纯虚数，求的值；（2）若，求；（3）在复平面中，设复数对应的点为，当变化时，求动点的轨迹的方程．14、已知是复数，且，均为实数(为虚数单位).（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若，求实数的值.15、已知复数（为正实数），且为纯虚数．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若，求复数的模．16、已知复数在复平面内对应的点分别为，，（）．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值．17、已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．18、已知复数满足 (为虚数单位)，复数的虚部为2，且是实数.(1)求及；(2)求及.19、已知复数．（1）若复数所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数的值；（2）若复数为纯虚数，求实数的值．20、已知复数，，为纯虚数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求复数的平方根．21、已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数和；(2)若在第四象限，求的取值范围.22、已知复数，（是虚数单位，，）（1）若是实数，求的值；（2）在（1）的条件下，若，求实数的取值范围.23、已知复数（为正实数），且为纯虚数．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若，求复数的模．24、已知，复数，当为何值时，（1）？（2）是虚数？（3）是纯虚数？（4）对应的点位于复平面第二象限？（5）对应的点在直线上？25、已知复数，，，．（Ⅰ），；（Ⅱ）在复平面上，复数，所对应的点分别为，，求．26、复数，其中 .（1）若，求的模；（2）若是实数，求实数的值.27、已知复数满足，求．28、设复数z＝2m＋(4－m2)i，当实数m取何值时，复数z对应的点：(1)位于虚轴上？(2)位于一、三象限？(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上？29、已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？30、已知复数，（，为虚单位）。
高中数学人教版选修2-2同步训练数系的扩充与复数概念
3.1 数系的扩充与复数概念1、0a =是复数(),Z a bi a b R =+∈为纯虚数的( )A.充要条件,B.充分不必要条件,C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( )A. 34i -+B. 34i -C. 34i --D. 34i + 3、复数12z a i =+,22z i =-+,如果12z z <,则实数a 的取值范围是( )A. 11a -<<B. 1a >C. 0a >D. 1a <-或1a >4、已知i 为虚数单位, a R ∈,若()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则a 的值为( )A. 1-或1B. 1C. 3D. 1-5、在复平面内,复数13i -,(1)(2)i i +-对应的点分别为,A B ,则线段AB 的中点C 对应的复数为( )A. 42i -+B. 42i -C. 2i -+D. 2i - 6、已知复数123i z i +=-,i 是虚数单位,则复数z 的虚部是|( ) A. 110i B.110 C. 710 D. 710i 7、已知()2f x x =,i 是虚数单位,则在复平面中复数()13f i i++对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内z 对应的点的坐标是( )A.()2,4B.(2,4)-C.()4,2-D.()4,29、实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、已知复数z 满足()3425i z +=,则z = ( )A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+11、设复数z 满足23z z i +=- (i 为虚数单位),则z =__________12、复数()213105z a i a =+-+,()22251z a i a=+--,若12z z +是实数,则实数a =__________13、已知复数满足()3443z i i -=-,则z =__________.14、设i 为虚数单位,复数2i z i+=,则z 的模z =__________ 15、已知复数()3z bi b R =+∈,且()13i z +⋅为纯虚数1.求复数z2.若2z i ω=+,求复数ω的模ω答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.3答案及解析：答案：A解析：1z =,2z ==<可得11a -<<.4答案及解析：答案：D解析：因为()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数, 则210a -=且10a -≠,所以1a =-,故选D.5答案及解析：答案：D解析：∵(1)(2)3i i i +-=+,∴B 的坐标为(3,1).A 的坐标为(1,3)-,则线段AB 的中点C 的坐标为(2,1)-.∴线段AB 的中点C 对应的复数为2i -.6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：A解析：因为函数()2f x x =,所以()()211f i i +=+,化简得()12f i i +=,所以()13f i i ++()()()232333i i i i i i -==++-26131310555i i i ++===+.根据复数的几何意义知, ()13f i i ++所对应的点的坐标为13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以其对应的点在第一象限.故应选A.8答案及解析：答案：C解析：由24iz i =+,得2442i z i i+==-,∴z 对应的点的坐标为()4,2-.故选C.9答案及解析：答案：B解析：实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为()2,1-,位于第二象限.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：1i +解析：12答案及解析：答案：3解析：13答案及解析：答案：1解析：14答案及解析：解析：15答案及解析：答案：1. ()()()()13?3339i bi b b i ++=-++ ∵()13i z +⋅是纯虚数∴330b -=,且90b +≠∴1b =,3z i ∴=+2. ()()()()323771222555i i i i i i i i ω+⋅-+-====-++⋅-ω∴==解析：。
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数系的扩充和复数的概念（较难）
1、复数z=在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，
，那么复数等于（）
A． B．
C． D．
3、给出下列四个命题:
①命题,则.
②当时,不等式的解集为非空.
③当时,有.
④设复数z满足（1-i）z="2" i，则z=1-i
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
4、如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数等于
A． B． C． D．
5、在复平面内，复数z=对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第在象限 D．第四象限
6、若，则复数在复平面内所对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7、复数Z与点Z对应，为两个给定的复数，，则决定的Z的轨迹是（）
A过的直线 B.线段的中垂线
C.双曲线的一支
D.以Z为端点的圆
8、已知为虚数单位），则（）
A．0 B．1
C．2 D．3
9、
已知,则复数=" "
A．-1+i B．1-i C．-i D．i
10、若复数（是虚数单位）是纯虚数，则的值等于
A． B． C． D．
11、复数z满足在复平面内所对应的点的坐标是（）
A．（1，—3） B．（—1，3） C．（—3，1） D．（3，—1）
12、复数（i是虚数单位）的虚部为（）
A．-1 B．0 C．1 D．2
13、已知复数，且满足，则的取值范围为 ________
14、下列说法中正确的序号是___________
①
②若一个数是实数，则其虚部不存在
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数
④设（为虚数单位）,若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是
⑤若，则对应的点在复平面内的第四象限．
15、复数在复平面内所对应的点的坐标为 .
16、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______ ________
17、是虚数单位，,若，则．
18、（本小题满分16分）已知是虚数，是实数．
（1）求为何值时，有最小值，并求出|的最小值；
（2）设，求证：为纯虚数．
参考答案1、A
2、A
3、A.
4、D
5、D
6、B
7、B
8、D
9、D
10、C
11、D
12、C
13、
14、④⑤
15、
16、
17、
18、（1）（2）见解析
【解析】
1、本题主要考查复数的除法运算问题．，对应点在第一象限．
2、
,选A.
3、试题分析：命题,则,故①错；当时,不等式
的解集不是非空，②错；当时,，由均值不等式有，当且仅当时等号成立，③正确；复数z满足（1-i）z="2" i，设，则
，所以，④错.所以真命题个数为1个，选A.
考点：1.否命题；2.绝对值不等式；3.均值不等式；4.复数的运算.
4、略
5、略
6、略
7、试题分析：由复数的几何意义可知点Z到点的距离为，点Z到点的距离为，因此点Z到点的距离等于点Z到点的距离，点Z在线段的中垂线上，答案选B.
考点：复数的几何意义
8、略
9、略
10、略
11、此题考查复数的几何意义
解:因为所以故在复平面内所对应的点的坐标是（3，—1）.
答案：D
12、略
13、由得，，设，则
，
，的取值范围为，故大案为.
【方法点睛】本题主要考复数的几何意义以及辅助角公式的应用，属于中档题.利用该公式
() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称
中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标
14、对于①，当复数不是实数时，不能比较大小，与为虚数，不能比较大小，故①错误；对于
②，若一个数是实数，则其虚部为零，并非不存在，故②错误；对于③，虚轴上的点表示的数并非都是纯虚数，虚轴上原点表示的数是实数，故③
错误；对于④，设为虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量
，所以，故④正确；对于⑤，若，则
，在复平面内对应的点为，在复平面内的第四象限，故⑤正确故答案为④⑤.
15、因为,所以对应的点的坐标为
16、略
17、略
18、试题分析：（1）设，化简，利用是虚数为实数，解得的轨迹方程，利用几何意义即可的结果；（2）根据（1）的结论化简即可得结论.
试题解析：（1）设，则
所以，，又可得
表示点到点的距离，所以最小值为
解方程组并结合图形得
（2）
又，所以为纯虚数
【思路点晴】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算和复数模的概念及复数的几何性质，属于难题题．解题时一定要注意和运算的准确性，否则很容易出现错误．解本题的关键是先利用复数的模长公式列方程解出的值，然后根据复数的乘法、除法的运算法则和的性质化简+，最后再根据复数的几何意义求出的范围.；，，，（）．。