专升本高等数学讲义
专升本高等数学(文史财经类)复习课件
第二节.函数的性质 一带而过
1. 函数的奇偶性 注意：定义域关于原点对称
奇函数：f (x) f (x) 图像关于原点对称
偶函数：f (x) f (x) 图像关于y轴对称
2. 函数的单调性
已知 y 当 x1 x2 当 x1 x2
f (x), xa,b， 若有
时，若有f x1 f x2
运算顺序：1 x2 3 2正弦函数sin 3指数运算e 分解顺序：1 y e 2 sin 3 x2 3
(反过来)
方法：从最后一层运算开始分解，每分解一步去掉一 层运算，分解到基本初等函数的和差积商为止。
例2 将下列复合函数分解为简单函数
1.y cos2 x
2.y x2 2x
3 y cos 2x 1 4 y ln sin x3
lim ex , 即当x 时，ex为正无穷大
x
lim 1 , 即当x 0时，1 为无穷大
x0 x
x
关于无穷大的说明
1、f (x) ，即f (x) 或
2、函数f (x)无穷大，不仅与函数有关，还与
变化趋势有关。如lim 1 ，而lim 1 1
x0 x
x3 x 3
3、无穷大实际上极限是不存在
1、只有0是可以作为无穷小的唯一的常数
2、无穷小与自变量的变化趋势有关,
例如：
lim
1
1
x1 x
例2：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小
（1）y 3x 1 无穷小的性质
(2) y 2x
(3) y (1)x 3
性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小
性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小
性质3 有限个无穷小的乘积为无穷小
例3
(完整word版)《高数专升本讲义》第一至第五章
第一章函数、极限、连续首先请允许我做一个自我介绍.我叫周世国，郑州大学数学系副教授，从事大学数学教学研究十三年,从事《高数》专升本教学五年。
普通高校的专科生,最大的愿望就是希望通过“专升本”来提高自己的学历层次,弥补因高考的一次失误而不能进入本科层次深造的遗憾.由于全国各专科院校专业设置繁杂，没有统一标准，各省市设置的考试方案各不相同。
河南省设置考试两门课程:一门是公共大学英语（150分）；一门是专业基础课程（150分）。
《高数》是大学理工类专业的基础课程，也是河南省普通高校“专升本”理工类专业的必考课程。
但该课程抽象性强,某些内容对于那些高中阶段数学基础薄弱的学生有一定难度。
例如对某些概念理解不透，运算技巧掌握不好等.因此，很多同学都希望通过参加“《高数》专升本”培训班来大力提升自己的数学水平。
在这里我恭喜大家明智地选择了耶鲁外语学校08《高数》专升本培训班，因为它是郑州最具实力和盛名的“《高数》专升本”培训班。
耶鲁自举办《高数》专升本培训班以来，其学员高数科目100分以上的占到80％，历年来全省高数的最高分都出自耶鲁学员,达到140多分.耶鲁外语为什么能取得如此优异的成绩？我想可从以下两个方面找到原因:（一）耶鲁学校有一支教学经验丰富，教学态度认真负责的较为稳定的教师队伍。
这些老师对《高数》专升本考试的考试大纲、每章节重点、难点的分布，题型题量的布局，卷面分值的比例，出题思想及其动态等都了如执掌，做到知己知彼，百战不殆.（二）耶鲁诚实办学的品牌效应，使越来越多的同学们毫不犹豫地作出了正确的选择，并认真地贯彻老师的要求，使自己的《高数》水平有了质的提升。
可以这样说：踏进耶鲁们，美梦定成真。
老师的最大成就莫过于看到自己的学生有进步。
记得去年我教的一个女孩叫梅婷,架着双拐来上课,后来考上了河南中医学院，还特发短信向我报喜.《高数》专升本考试的题型、题量及考察的知识点,分值的分布相对固定,近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性。
专转本高数知识点 讲义课件 第一讲：极限、洛比塔法则
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
A
o
x0
x0
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,只要取 ,0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
专升本高数二第讲讲义
定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。
(1)直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）
(２)间接凑（先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系）
五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号)（注意积分上下限的变化）
法则：被积函数右减左,积分区间看上下。
步骤(1)画图;
(2）有时通过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.
（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。
定积分
一、定积分的概念——（本质是和式的极限)
二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是：直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导；含有变限积分的极限问题。
特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是ｘ，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的,所以做题时要凑成一致的。
（2)间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分,变形,可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分,再凑公式。
专升本高数二第讲讲义
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不定积分
一、不定积分
1、原函数
二、换元积分法
1、第一换元法(凑微分法)
（１)直接凑
要求不定积分,首先考虑能否用公式,即能否直接用公式,基本公式中没有相同的,就找相近的公式如果有相近的,就用直接凑。
高等数学专升本全套教材
高等数学专升本全套教材第一章：导数与微分在这一章中，我们将介绍导数与微分的概念，并学习如何计算导数以及相关的性质和公式。
这些概念和技巧是高等数学的基础，为后续学习打下坚实的基础。
1.1 导数的定义与性质在本节中，我们将介绍导数的定义，并讨论导数的基本性质。
我们将学习如何用极限求导，并探讨导数的几何意义。
1.2 常见函数的导数在本节中，我们将计算常见函数的导数。
包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
为了方便计算，我们将介绍导数的基本运算法则。
1.3 高阶导数与微分本节将介绍高阶导数的概念，并学习如何求解高阶导数。
我们还将学习微分的概念，以及微分与导数之间的关系。
1.4 隐函数与相关变化率在这一节中，我们将学习如何求解隐函数的导数，并探讨相关变化率的概念。
这对于求解实际问题中的最优化和函数方程有着重要的应用。
第二章：积分与不定积分在这一章中，我们将介绍积分与不定积分的概念，并学习如何计算积分和不定积分。
积分是微分的逆运算，在微积分的应用中有着广泛的应用。
2.1 不定积分的定义与性质在这一节中，我们将介绍不定积分的定义，并讨论不定积分的性质和基本公式。
我们还将学习如何通过换元法进行不定积分的计算。
2.2 常见函数的不定积分在这一节中，我们将计算常见函数的不定积分。
包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
我们还将介绍分部积分法和有理函数的部分分式分解。
2.3 定积分的基本概念本节将介绍定积分的定义与性质，并学习如何计算定积分。
我们将介绍定积分的几何意义，并讨论定积分的性质和基本公式。
2.4 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用在这一节中，我们将介绍牛顿—莱布尼兹公式，并学习如何通过定积分计算曲线长度、曲线面积和体积等问题。
第三章：微分方程与应用在这一章中，我们将介绍微分方程的基本概念，并学习如何解常微分方程和应用微分方程进行物理、生物和工程等实际问题的建模和求解。
3.1 一阶常微分方程本节将介绍一阶常微分方程的基本概念，并学习如何求解一阶常微分方程。
高等数学专升本零基础教材
高等数学专升本零基础教材第一章函数与极限1.1 实数与数列1.1.1 实数的定义与性质高等数学中的数学对象主要是实数，实数的定义是什么呢？实数有哪些性质呢？本节将介绍实数的定义及其性质，为后续内容的理解打下基础。
1.1.2 数列的定义与收敛性数列是高等数学中的基本概念之一，它有什么定义呢？又有哪些收敛性质呢？本节将介绍数列的定义，并详细介绍数列的收敛性质，为后续章节的学习做好准备。
1.2 函数的概念与性质1.2.1 函数的定义与表示法函数是高等数学中的核心概念之一，本节将介绍函数的定义及其表示法，以帮助读者深入理解函数的本质。
1.2.2 函数的性质与分类函数有哪些基本性质呢？如何进行函数的分类呢？本节将介绍函数的基本性质，并介绍常见函数的分类与特性。
1.3 极限的概念与运算1.3.1 数列的极限数列的极限是高等数学中的重要内容，本节将介绍数列极限的定义，并讲解如何计算数列的极限。
1.3.2 函数的极限函数的极限与数列的极限有何不同？本节将介绍函数的极限定义，并通过例题帮助读者掌握函数极限的计算方法。
第二章微分学2.1 导数的概念与计算2.1.1 函数的导数定义导数是微分学中的重要概念，本节将介绍函数的导数定义，并讲解如何计算导数。
2.1.2 导数的运算法则导数的运算法则有哪些呢？本节将介绍导数的四则运算法则，并通过实例说明如何运用这些法则进行导数的计算。
2.2 导数的应用2.2.1 函数的单调性与极值导数可以帮助我们研究函数的单调性与极值，本节将介绍如何通过导数来研究函数的单调性和极值点。
2.2.2 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点是函数图像的重要特征，本节将介绍如何通过导数来研究函数的凹凸性和拐点。
2.3 微分中值定理2.3.1 罗尔中值定理罗尔中值定理是微分学中的重要定理，本节将介绍罗尔中值定理的概念与证明，并通过例题帮助读者理解和应用罗尔中值定理。
2.3.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分学中的重要定理之一，本节将介绍拉格朗日中值定理的概念及其应用，帮助读者掌握这一定理的运用方法。
专升本数学连续ppt课件
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
专升本高等数学课件 第一章
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量.
[说明] 通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
• 隐函数：函数 y 与自变量 x 的对应法则用一个方程 F(x, y) 0
表示的函数，如x2 y2 1 0 .
二、函数的性质
1．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时, (1) 若恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3、函数的表示法
解析法：用解析表达式表示函数关系
表格法：用列表的方法来表示函数关系
图示法：用平面直角坐标系上的曲线来 表示函数关系
几个特殊的函数举例
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
《高等数学》(专科升本科)复习资料
《高等数学》（专科升本科）复习资料一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：第一部分 函数、极限、连续复习内容函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。
数列的极限与函数的极限概念。
收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。
数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。
无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。
常见的求极限的方法。
连续函数的概念及基本初等函数的连续性。
函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。
闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。
复习要求会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。
掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。
掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。
理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。
重要结论1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限；3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛；4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可能6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。
重要公式1. 若,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则AB x g x f x g x f x x x x x x =⋅=⋅→→→)(lim )(lim )]()([lim 0；BA x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000。
专转本冲刺高等数学讲义
换元的同时也换限，可证明
s
in
n
xdx
2 sin n xdx,
0
2
从而上式得证
2004年专转本考试真题（答案）
四．综合题（每题8分，3题共24分）
21.证明： xf (sin x)dx
f (sin x)dx,
0
20
并利用此等式求
0
sin x x 1 cos2
dx ． x
证明：令 x t,代入左式即可；
分析：零点定理结合严格单调性
方法二：应用零点定理
例4 证明方程 2x2 1 x2 1 dt 0在
0 1t
0,1内有唯一实根 .
方法二：应用零点定理（答案）：
例 4 证明方程 2x2 1 x2 1 dt 0
0 1t
在0,1 内有唯一实根 .
分析：令 f (x) 2x2 1 x2 1 dt，f (0) f (1) 0,
0 a b a b的a, b， 恒 有 下 式 成 立 ：f (a) f (b) f (a b)
(2001年 考 题 ）
提示：f (a b) f (b) f (1) • a, f (a) f (0) f (2 ) • a
0, a, b, a b四个关键点
0 a b a+b
0 1t
又因为
f (x)
2x 4x3 1 x2
0，f
( x)严格单调增加．
方法二：应用零点定理
例 5 函数f (x) 在a,b上连续，且f (x) 0，
求方程
x
f (t)dt
b
1
dt 0
a
x f (t)
在(a,b) 内根的个数．
方法二：应用零点定理（答案）：
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
专升本高等数学课件知识归纳大全
1 x 2 1 （D）
1 cos x
2
(ex 1)sinx
（09）
x0 当 时，下列四组函数中为等价
无穷小的是 （ B ）
（A）
x2与 2 x
（B）
（C） 1cosx与x2 （D）
sin x与x
tan 2x与x
4.等价无穷小代换定理(教材P27）
定理
当xx0,~,~,lx ixm 0 存在 ,
1e1 x2
（模A） eg
f(x)xx (2 x 2 x1 ),求 f(x)的 间 断 点 并 判 别 其 类 型 。
f (x)tanxx,x[4,54],
求f (x)的间断点并判别其类型。
(三)闭区间上连续函数的性质
定理1 f(x ) C [a ,b ] 存 在 f(x )m a x ,f(x )m in
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
左连续limf (x) f (x0) xx0
右连续limf (x) f (x0) xx0
(二)间断点分类
第一类（
(1)可去间断点 (2)可去间断点 (3)跳跃间断点
第二类（ (4)无穷间断点 (5)振荡间断点
f(x0都存0在)， 的间f断(点x0 ）0)
至 少 有 一 个 不 超 过 ab的 正 根
（模C）
设 f ( x ) 0, 在 [a , b ]连 续 ,
令 F ( x )
x
f (t)dt
x
1
dt
a
b f (t)
求 证 ：1 .F ( x ) 2
2 .方 程 F ( x ) 0 在 ( a , b )内
有且仅有一个实根。
高等数学(专升本)学习指南讲解
高等数学（专升本）学习指南一、判断题1．2(ln log )'x x +=11ln 2x x +，是否正确（ 对 ） 解：对原式直接求导即可得到。
()2ln 11(ln log )'ln ln 2ln 2x x x x x x '⎛⎫'+=+=+ ⎪⎝⎭ 2. 函数sin y x x =-在区间[0,2]π上是单调减少，是否正确（ 错 ） 解：函数y 的导数 1cos 0y x '=-≥ 其中，[]0,2x π∈所以函数y 在该区间是个递增函数。
3．2232sin lim 12cos x x x xx x x→∞-+=--，是否正确（ 对 ） 解：原式：2232sin lim 2cos x x x xx x x→∞-+--原式分子sin x 有界，分母cos x 有界，其余项均随着x 趋于无穷而趋于无穷。
这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。
得到：222232sin lim lim 12cos x x x x x x x x x x→∞→∞-+⇔=-- 4．设2tan y x =，则22tan sec dy x xdx =，是否正确（ 对 ）解：对原式关于x 求导，并用导数乘以dx 项即可，注意三角函数求导规则。
()()22'tan tan 2tan 2tan sec y x d x xdxx x '=== 所以，22tan sec dyx x dx=，即22tan sec dy x xdx = 5. 2212x x e dx e c --=-+⎰，是否正确（ 对 ）解：()22211222x x xe dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰ 6．(sin cos )'cos sin x x x x +=-，是否正确（对 ）解：(sin cos )'sin cos cos sin x x x x x x ''+=+=-7．函数2(2)y x =-在区间[0,4]上极小值是1，是否正确（错 ）解：对y 关于x 求一阶导，并令其为0，得到()220x -=；解得x 有驻点：x=2，代入原方程验证此为其极小值点。
专升本高等数学课件 第二章
4. 可导一定连续，但连续不一定可导（两者关系）
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 已学求导公式
(C) 0;
( x ) x1 ;
(sin x) cos x; (cos x) sin x;
(a x ) a x ln a ;
(ex ) ex ;
(log
x a
)
1 x ln a
；
(ln x) 1
第一节 导数与微分
一元函数 微分学：导数与微分 微积分学 积分学：不定积分、定积分
一、问题的提出 二、导数的定义 三、导数的几何意义与物理意义 四、可导与连续的关系 五、小结 思考题
一、问题的提出
1.【自由落体运动的瞬时速度问题】
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
s
f
(t)
1 2
gt
2
取一邻近于 t0的时刻 t, 运动时间t,
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
loga
e
1. x ln a
即
(loga
x)
1 x ln a
.
(ln x) 1 . x
【例6 】证明函数
在 x = 0 不可导.
【证】 y f (0 h) f (0) h
x
h
h
|h|
h
lim lim 1,
h h h0
h0
|h|
h
lim lim 1
【解】 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
02154_专升本高等数学讲义
引言概述：
高等数学是一门重要的数学学科，对于专升本考生来说，掌握高等数学是非常重要的。
本文将从概念、公式、定理和应用等方面，对专升本高等数学进行详细的讲解，帮助考生全面掌握这门学科。
正文内容：
一、概念部分
1.实数与复数的概念
2.集合与函数的基本概念
3.极限与连续的概念
4.导数与微分的概念
5.积分与定积分的概念
二、公式部分
1.基本初等函数的导数与微分公式
2.反函数的导数公式
3.复合函数的导数公式
4.微分中值定理及其应用公式
5.基本积分公式和换元法
三、定理部分
1.极限和连续性定理
2.导数中值定理及其应用定理
3.积分中值定理及其应用定理
4.微分方程基本定理
5.级数收敛定理与判别法
四、应用部分
1.高等数学在几何学中的应用
2.高等数学在物理学中的应用
3.高等数学在经济学中的应用
4.高等数学在工程学中的应用
5.高等数学在计算机科学中的应用
五、其他相关知识
1.数列与级数的概念与性质
2.常微分方程的基本概念与解法
3.二重积分与曲线积分的计算方法
4.空间解析几何的基本概念与计算方法
5.向量代数与线性代数的基本概念与运算法则总结：
通过本文对专升本高等数学的讲义，我们可以看到高等数学作为一门重要的学科，涵盖了很多基本的概念、公式、定理和应用。
对于专升本考生来说，熟练掌握高等数学知识，不仅可以为日后的学习和工作打下坚实的基础，还可以提高解题和分析问题的能力。
因此，希望考生能够认真学习本文所述的知识，并灵活运用到实际中。
通过努力学习和实践，相信考生一定可以在高等数学中取得优异的成绩。
《高数专升本讲义》第六-第九章
第六章多元函数微分法多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似，如四则运算法则、复合极限法则、无穷小的概念及其性质、等价无穷小的替换、夹逼准则等，但不再有所谓的洛必达法则。
不再一一指出。
下面举几例说明。
例6.求（1）;21lim222201-=+-++→→yxyxy x（2）.lim lim 11111112e x xe x x yx xy x yx y x ===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++→∞→+→∞→；（3）()()222200limsin0.x y yyxx→→++=（4）0022sin sin limlim. 2.x x y y xy xyy xxy→→→→==关于二元函数的连续性，请记住一个基本结论：一切二元初等函数在其定义区域内均连续. 例7．求10ln limy x y x e →→+解：因为()1,0是初等函数()ln ,y x e f x y +=定义域内的点，故()ln ,y x e f x y +=()1,0处连续，所以，原式()1,0ln 2.f ==例8．讨论函数设()=y x f ,222222,0,0,0.xyy x y x y x⎧+≠⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩在其定义域内的连续性。
解：函数的定义域是全平面，并且当()ln ,y x e f x y +=(),f x y 是初等函数，从而是连续的；下面考察函数在()0,0处的连续性。
因为22limx y xy x y →→+不存在（例4已证），所以(),f x y 在()0,0处不连续。
四.高阶偏导数对于二元函数()y x f z ,=，如果其偏导函数仍然可求偏导，一般说来，求得的结果仍然是关于y x ,的二元函数，称之为关于y x ,的二阶偏导数.按照对自变量求导次序的不同，共有四种不同形式的二阶偏导数： （1）x z 22∂∂（或记为),,////22fz x xxxxf∂∂；（2）yx z∂∂∂2（或记为),,////2fz xyxy yx f∂∂∂；（3）x y z ∂∂∂2（或记为),,////2f zyxyxx y f ∂∂∂；4）yz22∂∂（或记为),,////22fz yyyyy f∂∂。
专升本高数讲义课件PPT第十一讲和第十二讲__向量代数和空间解析几何
b
b
c
a
b
c
a
(b )
ab
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0,
a
与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程.
解 AB {3, 4,6}
AC {B AC
{14, 9,1},
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
1 空间平面及方程 2 空间直线及方程 3 空间曲面及方程 4 空间曲线方程
1.1、平面的点法式方程z
如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知
n {A, B, C},
M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
,
ay,
az },
b {bx , by , bz },
a b {ax bx ,ay by , az bz }
专升本-高等数学--第三章-PPT
Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).
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=f (x0 )x
（2） dy =ydx
3、应用
• 中值定理 (a,b)可导；f (a)=f (b) （1）罗尔定理：若 y f (x) 满足：在 [a,b] 连续； 则至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( )=0 。 （2）拉格朗日中值定理： f ( )= • 洛必达法则
1 (x-x0 ) f (x0 )
1、导数
• 导数的计算 （1）基本求导公式（熟记）
u u v - uv （2）四则运算法则： u v，（ u v） u v uv, （u v） v2 v
（3）复合函数链式求导法则 （4）隐函数求导法
x
sin 2 x x x
1
x+2 lim （7） x x+1
（8） lim cos x x2
x 0
x3 +ax 2 +b =8 ，求 a ,b 。 • 例9：若 lim x 2 x-2
4、典型例题
1 x + 连续。 • 例10：设 f (x) 1-2x ,x 0 ，求 a 使 f (x) 在 -， a,x 0
f ( x ) dx =f (x ) （1）
（2）
f (x)dx =f (x)+C
• 基本积分公式（熟记） • 不定积分的积分方法 （1）直接积分法（加项减项、拆项、三角恒等变形等）
1+cot 2 x= csc2 x sin 2 x+cos2 x=1, 1+ tan 2 x=sec2 x， 如： sin 2 x=2sin x cos x, cos 2 x= cos 2 x-sin 2 x =2cos2 x-1 =1-2sin 2 x 1+ cos 2 x 1- cos 2 x 2 2 cos x = , sin x = 2 2
b
a
（2）几何意义：曲边梯形的面积 • 定积分的性质 （1）
b
a
f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx
a c
c
b
（2）若 f (x) 0,x [a,b] ，则
b
a
f (x)dx 0
2、定积分
•
变限积分
（1）变上限积分的概念： （2）变限积分求导定理：
x
a
f (t )dt 是关于上限 x 的函数。
dy x =f (t ) dy dt , = （5）参数方程求导法： y =g (t ) dx dx dt
（6）对数求导法：幂指函数 y =f (x) •
g (x )
，连乘、除……
高阶导数： y,y,y，y (4) ,……，y (n) ,……
2、微分
•
微分的概念
（1）定义：若 y f (x) 在点 x 处的增量 y f (x+x)-f (x) 可表示成 y Ax o(x) ，则称 y f (x) 在点 x 处可微， 微分记作：dy =Ax （2）可微与可导的关系：可微 可导 连续 有极限 • 微分的计算 （1） dy
在一点 (0,a) ，使得 f ( )+ f ( )=0 。 • 例11：求下列极限
x 0
（1） lim
tan x-x x 2 sin x
ln (1+x) （2）xlim + ln (1+2x )
4、典型例题
（3） （5）
x 0
lim x ln x
（4） lim
x
铅直渐近线 x =x0 , lim f (x )=
x x0
（6）经济应用：边际和弹性问题 • 微分的应用 （1）近似值公式：f (x0 +x) f (x0 )+f (x0 )x （2）泰勒公式：
f (x0 +x)=
n =0
f (n ) (x0 ) (x)n n!
4、典型例题
• 例16：求 sin 29 的近似值。
三
一元函数的积分学
1、不定积分
• • •
原函数：若 F ( x) f ( x), F ( x) 是 f (x) 的一个原函数。 不定积分的概念：f (x) 的全体原函数，不定积分记作： f (x )dx =F (x )+C 不定积分的性质（导数和积分互逆）
3 1 - 3 x 1 1-x 1-x
x4 3 -x 的单调性与极值。 • 例12：求 y = 4
• • 例13：证明：当 x >1 时， e x >ex 。 例14：求 y = ln (1+x ) 的凹凸区间与拐点。
2
x 0
lim x sin x
ln x • 例15：求 y = 的渐近线。 x
x f (t )dt =f (x) a (x ) f (t )dt =f (x) (x) a b f (t )dt =-f g (x) g(x) g (x ) (x ) f (t )dt = c f (t )dt + (x ) f (t )dt =f (x) (x)-f g(x) g(x) c g (x ) g (x )
4、典型例题
• • • • • • •
x arcsin - 1 的定义域。 2 3 - x2 x,1< x 4 例2：设 f (x) ，求 f (x2 ) 的定义域。 sin x, x 1 1 ,g (x)=1+x 2 ，求 f g (x) ,g f (x) 。 例3：设 f (x) 1+x
udv=uv- vdu （按照对、反、幂、三、指选择u）
2、定积分
•
定积分的概念
（1）定义： 其中：
b
a
f ( x)dx, x [a, b] ，为常数。
பைடு நூலகம்b a
b
a
f (x)dx= f (t )dt ,
a
a
f (x)dx=0,
b
a
f (x)dx=- f (x)dx
得 f ( )= 。
二
一元函数的微分学
1、导数
•
导数的概念
（1）定义：f ( x0 ) lim
x 0
f ( x0 x) - f ( x0 ) f ( x) - f ( x0 ) lim f ( x) x x0 x x 0 x x - x0
（对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解） （2）左、右导数： f (x0 ) A f - (x0 )=f + (x0 ) A （3）几何意义： f (x0 ) k切 曲线 y =f (x) 过点 (x0 ,f (x0 )) 的切线方程： y-f (x0 )=f (x0 )(x-x0 ) 法线方程： y -f (x0 )=-
0 0
sin x =1 x
x
1 1 （2） 1 lim 1+ =e或 lim 1+x x =e x x 0 x
2、极限
• 无穷小与无穷大 （1）定义：倒数关系 （2）无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小 无穷小乘以有界函数是无穷小 （3）无穷小的比较：同阶、等价、高阶 （4）等价无穷小的替换：当 x 0 时
1、不定积分
（2）第一换元积分法（凑微分法） （3）第二换元积分法（根式代换，三角换元） 如： f ax b dx ， 令 ax b =t
f
f
n1
x,
n2
x dx，令
n
x =t ，其中 n是 n1 ,n2的最小公倍数
2 2 a x dx ， 令 x = a sin t , t 0, 2 2 2 令 x =a tan t ,t 0, f a +x dx， 2 2 2 f x a dx ， 令 x =a sec t ,t 0, 2 （4）分部积分法
例1：求 y
1
2 例4：设 f (1+x) x +3x+5 ，求 f (x) 。
例5：求 f (x) ln x+ 1+x2
的奇偶性。
例6：设 f (x) 是以3为周期的奇函数，且 f (-7)=5 ，求 f (1) 。 例7：若 f (x )=
x -1 1 ，求 f -1 。 x +1 2
4、典型例题
•
例8：求下列极限
2x2 - 3 （1） lim x 1 x 1 x 2 -9 （3） lim 2 x 3 x -5 x +6
（5） lim
2 x 2 -3 （2） lim x 1 x -1
2 x 2 +1 （4） lim 2 x x -3x +4
（6） lim
tan x-sin x x 0 x3
2、极限
• 极限的概念 （1） lim f (x)=A lim f (x)= lim f (x)=A
x x - x+
（2） lim f (x)=A lim- f (x)= lim+ f (x)=A
x x0 x x0 x x0
• •
极限的四则运算 两个重要极限
（1） lim x 0
•
x2 , x 1 例1：设 f ( x) ax b, x 1
（1）求a,b,使 f (x) 在 x=1 处连续 （2）求a,b，使 f (x) 在 x=1 处可导 • 例2：求曲线 y =e x -3sin x+1 在点(0,2) 处的切线和法线方程。