常用的连续型分布
几种常用的连续型分布
在统计学中，有许多常用的连续型分布可以用来描述随机变量和概率密度函 数。这些分布具有不同的特征和应用场景。
正态分布
正态分布是最常见的连续概率分布之一，在自然界和社会科学中广泛应用。 它以钟形曲线为特征，对称且准确描述了许多随机现象。比如人的身高、体 重、考试成绩等。
柏松分布
柏松分布描述离散事件在一定时间或空间内发生的次数的概率。例如，在给 定时间段内接到的电话数量等。
伽玛分布
伽玛分布用于描述连续事件中时间间隔发生的概率。例如，等最大或最小范围之间的连续随机变量的概率。它常用于 统计学、机器学习和贝叶斯推理等领域。
指数分布
指数分布用于描述连续事件之间的时间间隔。它在可靠性工程、队列论和金 融领域中具有重要应用。
二项分布
二项分布描述成功和失败的次数的概率。它适用于具有两个可能结果的独立 试验，例如硬币投掷和产品合格率等。
均匀分布
均匀分布的特点是概率密度函数在一个范围内保持恒定。它用于描述连续随 机变量的可能取值范围是完全随机的情况。
常见的几种分布函数
常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
常见的连续型随机变量的分布
1.均匀分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2.指数分布 密度分布函数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ 3.伽玛分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x ααααλ4.正态分布 密度分布函数 222)(21)(σμπσ--=x e x f5.对数正态分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>=--e l s e x e x x f x ,00,21)(222)(l n σμπσ6.贝塔分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-ΓΓ+Γ=--e l s e x x x r r r r x f r r ,010,)1()()()()(112121217.爱尔兰分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--0,00,)!1()(1x x e x r x f x r r λλ8.拉普拉斯分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=--λμλx e x f 21)(%泊松分布概率密度作图：x=0:20;y1=poisspdf(x,2.5);y2=poisspdf(x,5);y3=poisspdf(x,10);hold onplot(x,y1,':r*')plot(x,y2,':b*')plot(x,y3,':g*')hold offtitle('Poisson 分布')正态分布标准差意义的图示mu=3; sigma=0.5;x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);%for k=1:3xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);endsubplot(1,3,1),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(3),xx{1},x(4)],[0,yy{1},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(1))),hold offsubplot(1,3,2),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(2),xx{2},x(5)],[0,yy{2},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(2))),hold offsubplot(1,3,3),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(1),xx{3},x(6)],[0,yy{3},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(3))),hold offv=4;xi=0.9;x_xi=chi2inv(xi,v);x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,v);%。
(完整版)常用连续型分布性质汇总及其关系
常用连续型分布性质汇总及其关系1. 常用分布1．1 正态分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为()()()222222(),.,.x t xp x x F x e dt x μσμσ-----∞=-∞<<+∞=-∞<<+∞ 则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞>（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。
测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。
（3）关于参数,μσ：μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参数。
μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，所以μ也是正态分布的中位数。
2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。
σ又称为是正态分布的的尺度参数。
（4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。
记U 为标准正态分布变量，()u ϕ和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。
()u ϕ和()u φ满足：()()()();1.u u u u ϕϕ-=Φ-=-Φ（5）标准化变换：若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μσ-=（6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有()(),()1(),()()(),b P X b a P a X b a P a X b μσμσμμσσ-≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=⎧⎪-<=Φ-Φ-==⎨⎪=⎩（7）特征函数 22()exp{}.2t t i t σϕμ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ϕ=-）1.2.均匀分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为1().0a x b P x b a else ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 0,,(),.1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩ 则称X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，记作()~,.X U a b（2）背景：向区间(,)a b 随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布(),.U a b（3）()2(),().212b a a b E X Var X -+==（4）特征函数().()itb itae e t b a itϕ-=- 1.3. 指数分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为,0,()0,.x e x P x else λλ-⎧≥=⎨⎩ 1,0,().0,.x e x F x else λ-⎧-≥=⎨⎩ 则称X 服从指数分布，记作()~,X Exp λ其中参数0.λ>（2）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失败，则首次冲击到来的时间X （寿命）服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。
2.4常用的连续型分布
) 0 (
)
)
x1 P{ X x1} 1 ( x1 ) 1 0 ( )
P{ X x1} ( x1 ) 0 (
x1
)①
p1 0 (
4
4
) 0 ( 1)
p2 1 0 (
5
5
) 1 0 (1)
6
3. 定理2.5（指数分布的无记忆性）非负 连续型随机变量X服从指数分布的充要 条件是对任意的正实数r, s有
P{X r s X s} P{X r}
例. 某元件的寿命X服从指数分布，已知 其平均寿命为1000小时，求3个这样的元 件使用1000小时，至少已有一个损坏的概 率。（P64例2.22）
三. 正态分布
1.定义 如果随机变量X的概率密度函数为
( x )2 2 2
( x)
1 2
e
,
x
其中 和 2都是常数， 任意， >0， 则称 X 服从参数为 和 2的正态分布. 记作 X ~ N ( μ , σ 2 ).
2. 数字特征
X 的分布函数为
0, x x a F ( x) f (t ) d t , ba 1
x a, a x b, xb
3
二. 指数分布
1.定义 如果随机变量X的概率密度函数为
λ e , x 0 f ( x) ( λ 0) x0 0, 则称X服从参数为的指数分布,记为X ~ e().
推论2: X～N(, 2)的充要条件是存在随机变量 ξ ～N(0, 1), 使得X= ξ + .
常用的连续型分布
P{X196}0(196) 0975
根据0(x)的对称性 有
P{X196}0(196)10(196)109750025
P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196)
20(196)1 209751095
P{1X2}0(2)0(1)0(2)[10(1)]
0(2)0(1)1
097725084131081855
则
X
~
N(0.1)
推论2
X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使
得X
提示
通常称为X的标准化
18
推论3
设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数
0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有
(x)
0(
x
)
(287)
(x)
1
0(
x
)
(288)
4 一般正态分布的概率计算
0.9621
查表即得 b178
由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有
0(c)10(c)07019
查表得c053 c053
17
3 一般正态分布与标准正态分布的关系
定理26(正态分布的线性变换)
设X~N( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
Y~N(ab a2 2)
推论1
如果 X~N( 2)
X
|
x
}
20(x
)1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得x 1.645
于是 x1645355758
23
16
例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|X|b}09242 P{Xc}02981 求a b c
均匀分布与指数分布
故障工作的时间 s 无关.
指数分布
例1 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（分钟）X ~ E( 0.2 ). 某顾客在窗
口等待服务，若超过10分钟就离开. 他一个月要到银行5次，如果以Y 表示 一个月内他因未等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布律及 P{ Y ≥1 }.
解：任意一次未等到服务（即超过10分钟）而离开窗口的概率
t 小时的概率不 s 无关.
P X s t | X s P X s t ， X s P X s t
P X s
P X s
e xdx st
ex dx s
e (st ) es
e t
PX
t
若将 X 看做某系统接连发生两次故障的时间间隔，此性质表明，在时
段（s, s+t）上无故障的概率只不时段的长度 t 有关，而不系统过去无
p PX 10
f (x)dx
1
x
e 5 dx
e
2
10
10 5
而 Y ~ B ( 5, p ). 故Y 的分布律为
P{Y k} C5ke2k (1 e2 )5k , k 0,1, 2,3, 4,5.
所以 PY 1 1 PY 0 0.5167
休息，休息一下！
等车时间丌超过2分钟的概率 p = P{ X ≤ 2 } = 2/5. 记等车丌超过2分钟的人数为 Y ，则 Y ~ B ( 3, p ).
p=?
至少有二人等车时间丌超过2分钟的概率为 :
PY 2 PY 2+PY 3 0.352.
常用的连续型分布
2. 指数分布 X ~ E( λ )
若随机变量X的概率密度为 则称X服从指数分布.
ab
x
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
连续性分布及应用场景
连续性分布及应用场景连续性分布是概率分布中的一类，区别于离散性分布，连续性分布是针对连续型随机变量而言的。
而连续型随机变量是变化具有连续性的随机变量，如时间、长度、面积、体积等。
这些变量具有无限个取值，故其概率密度函数也是连续变化的，故称之为连续性分布。
常见的连续性分布有正态分布、均匀分布、指数分布、威布尔分布、伽马分布等。
正态分布是最常见的分布之一，其形态近似于钟形曲线。
正态分布的应用场景非常广泛，例如身高、体重、成绩等连续型数据都可以用正态分布来描述。
在工业生产中，许多物理量也符合正态分布特征，如机械零件的长度、直径等。
正态分布还可以应用于统计质量控制中的过程控制，例如汽车制造需对轮胎、刹车等部件的尺寸、厚度、硬度等进行质量控制，可以利用正态分布得出所需的尺寸、厚度、硬度等参数的概率分布。
均匀分布用于描述随机变量在一定范围内各取值的概率相等的情况，其概率密度函数是一个常数，可以用于描述一些等概率事件。
例如，你在玩一个判定硬币正反的游戏，硬币正反的概率相等，服从均匀分布。
指数分布通常表示随机事件所需的时间或距离的分布，用于描述时间间隔或距离间隔的分布规律。
例如，生物学中可以用指数分布来描述一些自然事件，如细胞死亡、放射性衰变等的时间间隔，还可以用于事件的期望值、方差等数学特性的计算。
威布尔分布一般用于可靠性理论或可靠性工程中，可以描述一个物件或设备的故障率或可靠性。
当设备使用时间或使用次数变化时，故障率也会产生变化，而威布尔分布则可以适用于这种变化。
例如，电子产品、汽车等的使用寿命，其失效的规律符合威布尔分布。
伽马分布可用于描述累积分布函数呈S形时，其切线斜率的分布。
除此之外，伽马分布还可以用于描述许多现实过程，例如经济学和金融学中收益的波动、风险和变异系数。
另外，在信号处理中，很多信号的能量分布也符合伽马分布的规律。
总之，连续性分布是概率统计学中非常重要的一部分，常用于描述一些连续型随机变量的分布规律。
连续型分布函数
连续型分布函数连续型分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念，它描述了一个随机变量取某个值以下的概率。
在实际问题中，我们经常需要对连续型随机变量进行概率分析和统计推断。
本文将介绍连续型分布函数的定义、性质和常见的几种连续型分布函数。
一、连续型分布函数的定义连续型分布函数是指一个随机变量的取值范围是实数集，并且每一个实数都对应一个概率。
它可以表示为F(x)，表示随机变量取值小于等于x的概率，即P(X≤x)。
1. F(x)是一个非递减的函数，即对于任意的a≤b，有F(a)≤F(b)；2. F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1；4. F(x)是右连续的，即对于任意的x，有F(x+)=F(x)；5. F(x)的变化是分段的，即在每个区间上是一个线性函数。
三、常见的连续型分布函数1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）均匀分布函数是指随机变量在一定区间上的取值是等可能的，即每个取值的概率相等。
它的分布函数为：F(x) = (x-a)/(b-a)，其中a为区间下限，b为区间上限。
2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）正态分布函数是指随机变量满足正态分布的情况，也称为高斯分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常用标准正态分布函数进行近似计算。
3. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）指数分布函数是指随机变量满足指数分布的情况，它描述了事件发生的时间间隔。
它的分布函数为：F(x) = 1 - e^(-λx)，其中λ为事件发生的速率参数。
4. 伽玛分布函数（Gamma Distribution Function）伽玛分布函数是指随机变量满足伽玛分布的情况，它常用于描述等待时间或寿命分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常使用伽玛函数进行计算。
概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X
st
|
X
s}
P{( X
st)(X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t} s}
1 F(s t) 1 F(s)
e(st ) e s
e t
P{ X
t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)
f ( x)dx 1.
A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
几种常用的连续型分布
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条 线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发
出警报.表明生产出现异常.
例3 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
概率与统计
几种常用的连续型分布
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p54)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)
1
yba2
e 2a2 2
a 2
Y ~ N a b,a 2
解：FY
y
PaX
b
y
P
X
yb
a
yb
a
y
b a a
yba 2
fY
y
FY
y
y b a a
1 a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.4 0 ( x)
标准正态分布表(附表2)
0.3
0.2
10 X ~ N(0,1),则EX 0, DX 1. 0.1
200( x)是偶函数；
300(a) 1 0(a)
-a -3 -2 -1
a1 2 3
计算概率：X~N(0,1) 1 PX a 0a;
2 Pa X b (b) (a);
0
0
X~N(0,1), 0(a) P{ X a}, 0(a) 1 0(a) 例1 设r.v. X ~N(0,1),求:
P{X 1.96} , P{X 1.96} , P{ X 1.96} , P{ X 1.96}, P{1 X 2)}
解 P{ X 1.96} 0(1.96) 0.975 （直接查正态分布表）
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
6.X ~ N (, 2 ), 则 aX b ~ N (a b, a2 2 )
7.一种重要的正态分布 －－标准正态分布
7.一种重要的正态分布 －－标准正态分布
当 0， 1时, 正态分布N (0,1)称为标准正态分布,
0(x)
1
x2
e 2,
2
0( x) P{X x},
即X ~ E( ) ,则对于a 0,b 0,有
P{X a b | X a} P{X b}
P{ X
a b, X P{X a}
a}
P{X a P{X
b} a}
e (ab) ea
eb
1 ex x 0
F(x)
0
x0
X 寿命，则上式表明，，如果已知寿命长于a年，
则再活b年的概率与年龄 a无关， 指数分布是“永远年轻”的
§2.4 常用的连续型分布
本节知识要点：
1.掌握均匀分布、指数分布、正态分布的概率模型及其数字特征；
2. 熟练掌握正态变量标准化，会查标准正态分布函数表.
一、均匀分布
1.Def .
如果r.v.X的密度函数为f
(x)
b
1
a
0
a xb 其它
则称X服从[a‚b]上的均匀分布，记作 X ~ U[a,b].
0
a
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a
X
b}
F (b)
-
F(a)
0
b
0
a
P{ X
a}
1
F (a)
1
0
a
0.4 0( x)
0.3 0.2
正态分布表
0.1
1
0 0
1 2
(2) 0(a) 1 0(a)
-3 -2 -1 0 1
3
a
0
a
23
例1 某元件寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000h,
求该元件使用1000h没有坏的概率.
解 EX 1000
(1000)1
F
(
x)
1
e
x 1000
x0
0
x0
例1 某元件寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000h,
求该元件使用1000h没有坏的概率.
解 EX 1000
(1000)1
2
DX 2
“钟形曲线”( x)( x)
30 若固定，改变，则对应f(x) 的形状不变，只是位置变化；
40 若固定，越小，曲线的顶峰越高， 曲线越陡峭，形状变了；
(x)
50
( x)dx 1
4. 正态分布的分布函数： X ~ N (, 2 )
x
( x) (t)dt
5.可用正态变量描述的实例极多： 各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；
2.X ~ U[a,b],则X的分布函数
0
F
(
x)
x b
a a
1
xa a xb xb
3. EX a b 2
DX (b a)2 12
分子带 平方！
二、指数分布
1.Def .若r.v.X的密度函数为 ex
f (x) 0
x 0 ，＞0
x0
则称X服从参数为的指数分布，记为 X ~ E( )
例2 r.v.X ~ N (10,22 ),求P{10 X 13}, P{ X 13},
P{ X 10 2}.
解 P{10 X 13} F (13) F (10)
P{ X
a}
F (a)
0
a
0
13
Hale Waihona Puke 210010
2
10
0
(1.5)
0
(0)
0.9332 0.5 0.4332
1.Def .若r.v.X的密度函数为
(x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
其中，为常数，且 0,则称X服从参数为和的
正态分布 , 记作X ~ N (, 2 ) .
2. EX DX 2
2. X ~ N (, 2 ) EX
3.( x)的特征： 10关于x 对称 20 在x 处取得最大值 1
2.X ~ E( ),则X的分布函数
1 ex x 0
F(x)
0
x0
3. EX 1
DX
1
2
共同特征： 倒数
当x 0时, F ( x) 0;
当x 0时
F(x) p{X x}
x 0
etdt 1 ex
4.应用 指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.
指数分布是唯一具有“无记忆性”的连续型分布，
，求、、.
解
P{ X
1.6}
F (1.6)
0
1.6
1
0
1.6
0.036
0
1.6
0.964
P{ X
5.9}
F (5.9)
0
5.9
0.758
查表得
1.6
1.8
5.9
0.7
3.8,
3
P{ X
0}
1
P{ X
0}
1
0
0
3.8 3
1
0 (1.27)
1 (1 0(1.27)) 0(1.27) 0.898
P{X 1.96} 0(1.96) 1 0(1.96) 0.025
（正态分布表无负值,先变形）
P{ X 1.96} P{1.96 X 1.96} 0(1.96) 0(1.96) 0(1.96) [1 0(1.96)] 20(1.96) 1 0.95
P{ X 1.96} 1 P{ X 1.96} 0.05
P{1 X 2} 0(2) 0(1) 0.9773 0.8413 0.1360
一般正态分布的概率如何计算？
8. N (, 2 )与N (0,1)的关系
称为对X的标准化
10若X ~ N (, 2 )，则 X ~ N (0,1)
20 若X ~
N (,
2 )，则P{ X
a}
F (a)
于是 x1645355758
查查查表表表得得得55500011.4.433, ,于于是是3535故故X~XN~(N3(030003355322)5)2)又又又
P{
x
X
x}FP{(| Xx) |Fx(}2x)0(x)01x0.9 0
x
}
20(x
)
1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得 x
1.645
于是 x
查表得 x
1.645
F
(
x)
1
e
x 1000
x0
0
x0
P{ X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000) e1
例2 若有3个这样的元件使用1000h,求至少有一个损坏的概率.
解 设A {3个元件至少有一个损坏}， 各个元件的寿命是否超过1000h是独立的，
A {3个元件都没有损坏} ，P(A) (e1)3 e3 ,
所以P(A) 1 e3 .
例4 某电子元件的使用寿命 若发现该元件使用了500小时
X
~
f
(x)
1 1000
1x
e 1000
x 0 没有损坏,求它还可以继续使用
解
PX
1500
X
0
500
x0
P{X
1000小时的概率.
“无记忆性”
1000 500 | X 500}
P{X 1000} e1 三、正态分布 高斯分布
P{ X 13} 1 P{X 13} 1 F (13) 1 0(1.5) 0.0668
P{ X 10 2} P{8 X 12} F (12) F (8)
0
12
2
10
0
8
10 2
0
(1)
0
(1)
20(1) 1 2 0.8413 1 0.6826
例3 设r.v. X~N（²), 已知 P{X
例4 某元件的寿命X近似服从正态分布N( 2 ) 已知其
寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均
为9236% 为使其寿命在x和x之间的概率不小于09 x
至少为多大？
解 由P{X250}P{X350} 得 250 350 300
2
P{X 3P5{0X} F35(03}50P){X03 03050353000300}005(500)0.9236