三角函数给值求值
三角函数求值
查漏补缺4 三角函数的求值问题知识点归纳:1.给出一个角,求出其某一三角函数值.2.给出一个角的某一三角函数值,求出这个角的其他三角函数值.3.齐次式的求值.4.有关x x cos sin ± ，x x cos sin ⋅的求值问题.5.给值求值，即给出一个(或两个)角的三角函数值，求出其他角的三角函数值.6.给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．练习:1. cos 330︒= ( ).A 12.B 12-.C 2 .D 2-2. α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= ( ).A 15.B 15-.C 513.D 513-3. 已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A += ( ).A 3.B 3- .C 53.D 53-4. 已知，2tan =α求下列各式的值 （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--，（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--，（3）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--5. 已知a =200sin ，则160tan 等于A 、21aa --B 、21aa - C 、aa 21--D 、aa 21-6. 已知3sin 35πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求cos θ的值.7. 已知1cos 7α=,()11cos 14αβ+=-,且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求cos β的值.8. 如图，在平面直角坐标系xo y 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B的横坐标分别为105.⑴求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值.。
专题训练--三角函数给值求值
任意角三角函数定义1.(2019北京海淀)角θ终边经过点P(4,y),且sin θ=-35,则tan θ=( )2.(2019北京西城)已知角α的终边经过点(-3,4),则tan α= ;cos(α+π)= .3.(2020届北京四中)若角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边经过点P(-√2,1),则cos 2α=( )4.[2019四川攀枝花]已知角θ=8π3,且角θ的终边经过点P (x ,2√3),则x 的值为( )5.(2020届北京东直门中学期中,4)以角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角θ的终边过点P(2,4),则tan (θ+π4)=( ) A.-13 B.-3 C.13 D.36.(2018课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( )7.(2017北京)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= .8.(2020届北京海淀)如图,角α以Ox 为始边,它的终边与单位圆O相交于点P ,且点P 的横坐标为35,则sin (π2+α)的值为( ) A.-35 B.35 C.-45 D.459.(2019北京东城二模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,终边分别是射线OA 和射线OB.射线OA,OC 与单位圆的交点分别为A (35,45),C(-1,0).若∠BOC=π6,则cos(β-α)的值是( )A.3−4√310B.3+4√310C.4−3√310D.4+3√31010.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.同角三角函数关系与诱导公式（给值求值）考向一 直接应用1.(2019北京丰台)已知α∈(π2,3π2),且tan α=√2,那么sin α=( )2.(2020北京牛栏山)已知tan α= -2,且α为第二象限角,则sin α= ; cos α= .3.求下列各三角函数式的值：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)＝ . (2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°. 4.(2019课标全国∈)tan 255°=( )A.-2-√3B.-2+√3C.2-√3D.2+√3考向二 先化简再求值1.(2018广东惠州模拟)已知tan α= 12,且α∈(π,3π2),则cos (α-π2)= . 2．已知tanα=3，则cos (π2−2α)=3.[2019河南郑州] 已知cos(2019π2+α)=12,α∈(π2,π),则cos α = .4．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ .5．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝ .6.若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ .7.向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∈b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ． 8.已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为 ．考向三 关于sin α与 cos α的齐次分式的求值（构造tanθ）1．设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝ .2．若sin(π−θ)+cos(θ-2π)sinθ+cos(π+θ)= 12,则tan θ=( )3.[2016全国卷∈] 若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.16254.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.5．已知sin(θ-3π)＝2cos(θ-π)，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．两角和与差及二倍角公式（给值求值）考向一 公式的正用1.已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin2x ＝( )A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.1582．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝ .3．已知α是第三象限角求的值． 4.若sinα=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( )A.5B.-5C.51D.51-5.(2022·枣庄模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－4π3等于( ) A ．－59 B.59 C ．－13 D.136. 已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ .tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ . 7. 设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则sin(α－β)＝ . 8. 在锐角∈ABC 中，已知sinA=53,cosB=135，求cosC 的值. 9．(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.15310．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.5911．(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则( ) A ．tan(α－β)＝1 B ．tan(α＋β)＝1 C ．tan(α－β)＝－1 D ．tan(α＋β)＝－112．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( )A ．|OP 1―→|＝|OP 2―→|B ．|AP 1―→|＝|AP 2―→| C.OA →·OP 3―→＝OP 1―→·OP 2―→ D.OA →·OP 1―→＝OP 2―→·OP 3―→考向二 公式的逆用与变用1tan 2,3α=tan α1.计算：（1）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° （2）cos20°cos10°– sin160°sin10°(3)3＋tan 15°1－3tan 15°； (4)1tan151tan15︒︒+-2.化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx -6sinx.（3）f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 （4） f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (5) （6）f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba . φ所在象限由点（a ，b ）确定.考向三 凑角1.已知cos α＝55，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tan β的值为 ． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan2β＝ _________． 3.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 ． 4.(2019广东惠州模拟)已知sin (α+π3)= 1213,则cos (π6-α)= .. .7.已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋712π＝ . 8.已知π1sin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ . 9.已知cos(α－75°)＝13-，且α为第四象限角，则sin(105°＋α)＝ .10.已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( )x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=31245cos()sin(),cos 2=24135ππβααβαββ<<<-=+=-、已知，，则546cos()cos sin =135αββαβα+==、已知，，，均为锐角，则考向四 sinα与cosα的和差式与积式的互化（两边平方，平方再开根号）1．(2022·南京师大附中模拟)已知sin x ＋cos x ＝－15，α为第二象限角，则cos 2x 等于( )A ．－2425 B.725 C ．－725D ．±7252.[2017全国卷∈]已知sin α - cos α=43,则sin 2α=( ) 3.已知12sin cos ,(,0)254πααα⋅=-∈-则sin cos αα+＝ ，sin cos αα- . 4．已知cos(α+π4)=13，则sin2α=__________．5.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .6.已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，试求下列各式的值： （1）sin cos αα⋅ （2）sin cos αα- （3）44sin cos αα+ （4）33sin cos αα-。
三角函数求值-学生版 (1)
三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】一、“给角求值”例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习1:tan20°+4sin20°练习2、（1）化简;︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）求值： .练习3：求()00001tan21tan24tan21tan24++⋅ ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值二、“给值求值”：例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-ππ ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=, )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。
三角函数的求值
问题7.已知 问题 已知 0 < α < 4 ,0 < β < 4 ,且3 sin β = sin(2α + β )， α 2α 的值. 4tan = 1− tan , 求 α + β 的值. 2 2
π
π
若a ⋅ b = 0, 求 tanθ .
问题5.已知 问题 已知
1 11 π π cosα = ， (α + β ) = − ，α ∈ 0， ，α + β ∈ ，π 式)求角 ①求角的某一三角函数值； 求角的某一三角函数值； ②确定角的范围； 确定角的范围； 写出角的值。 ③写出角的值。 π π 问题6.已知 已知0＜ ＜ 问题 已知 ＜α＜ 2 ，＜β＜0， ＜ ， 2 1 11 cos(α-β)= ,cos2α= - ,求α+β的值 求 的值. 的值 14 7
三角函数的求值
三种类型的求值问题
问题1.⑴ 的值. 问题 ⑴求tan(-1995°)的值 的值 ⑵求sin10°sin30°sin50°sin70° 的值. 的值 问题2.求 的值. 问题 求tan20°+4sin20°的值 一.给角求值 采用①诱导公式变形; 化为锐角; 求值 ⑴采用①诱导公式变形 ②化为锐角 ③求值. ⑵采用三角恒等变换 化特殊角 或抵消的项 采用三角恒等变换,化特殊角 或抵消的项, 三角恒等变换 化特殊角,或抵消的项 或约分等. 或约分等
问题3.已知 问题 已知6sin α +sinα cos − 2cos α = 0,α ∈[ ,π ), α 2 π 的值. 求 sin( 2α + )的值
2 2
π
3
二.给值(式)求值 给值( ①从角上分析 ②从函数名上分析 ③从式子结构上分析
三角函数“给值求值”的求解策略
Ｓｎ 十ｎ Ｊ十 牟ｔ 口』 口 ａ
一
ｎ
ＣＯＳ
２ 亏 （ 一
１ 一百 ＋（ ２）
ｃ ｚ 。ｓ ｎ一
１ ２
１ ３
口＋ ， ） ：（＋÷） 一÷ 等． 视题 目要求 ， 有时化
‘ ｆ
Ｓ 十Ｓ＝十ｎ ≤ｎ 异ｔａ Ｉ Ｃａ１ ｎ ａ Ｏ
一
单 角 为 复 角 ， 时化 复 角 为单 角． 有
４ 切 弦 互 化 ， 异 为 同 ． 变
１（号 一一
１ （ ２） ＋ 一
・
５
切 弦 互化 就 是 正 切 、 切 与 正 切 、 弦 之 间 的 余 余 互 相 转化 ， 常用 的是 “ 化 弦 ” 但 有 时候 如 果 所 最 切 ， 求 式 子 的分 子 、 母 都 是 关 于 正 弦 ， 弦 的 一 次 或 分 余 二 次 齐次 式 时 我们 也可 采 用 用 “ 化 切 ”两 种 变 名 弦 ． 的 目的都 是 使 函数 名称 “ 多为 少 ”“ 异为 同” 化 ，化 ．
・ ． ．
ｃ ２ ＝ Ｃ － ｓ ｎ 一 ——ｚ ｓ ｎ ２ 。ｓ ０ ＯＳ ０－ ｉ ａ ｃｓ０ ｏ － ｉ
— —
＿
Ｉ ￣ 答 题 键 之 ，察到 手 ｉ ｌ解 本 关 点 一 观 （ ｇ ＋ｎ （ ２ 一 然 利 诱 公 进 ２ ＋手一ｎ 号，后 用 导 式 行 ） ）
化简． 如果 没 有 利 用 诱 导 公 式 结 合 ２倍 角 公 式 求 出 ｎ 运 算 过 程 会 变得 复 杂 ． 此 化 简 时 要 特 别 注 ， 因 意 观 察 角 之 间 的特 殊 关 系 ， 能 否 利 用 诱 导 公 式 ． 看
‘ ． ．
ｃｓａ ｏＥａ ） （ －ｐ ］ ｏ （ ＋ ｐ ｏＺ —ｃｓ （ ＋ｐ ＋ Ⅱ ） 一ｃｓ ａ ）
已给三角函数式求值问题的解法探讨
例 ５已 知 ｃ 。 ｓ （ 号 ＋ ） ＝ 嘉 ， Ｋ ｏ ＜
＜ 号 ， 求 ＿ 丝 弋的 值 ．
ｓ ｉ ｎ ［ 一 Ｊ
＝
例 ７ 已 知 ｓ ｉ ｎ ｅ ＋ ｓ ｉ ｎ ８ ＝ 寺 ， ｃ ｏ ｓ ａ ＋ ｃ ｏ ｓ ８
去， 求ｔ ａ ｎ （ ａ ＋ 卢 ） 的 值．
＝ 一
２ ｃ ｏ ｓ （ ａ＋ｐ ） ｃ ｏ ｓ （ ．一卢 ） ＋２ ｃ ｏ ｓ （ ａ＋卢 ）＝ ｂ 一 ０ ， 将Ｃ Ｏ Ｓ （ ￣一卢 ）＝ （ 口 ＋ｂ 一２ ） ， 代 人得
ｃ 。 ｓ （ ａ＋ ）＝ ．
｛ ，可 解 得 ｔ ａ ｎ ａ ＝一 ３ ．原 式 ：
丌＜ ａ ＋ 卢 ＜ 等 ． ｓ ｉ ｎ （ ａ 一 ） ＝
＝
／ ￣ ） Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ／ 一Ｃ Ｏ Ｓ （ ｄ＋ｆ １ ） ｓ ｉ ｎ ａ ＝ｓ ｉ ｎ ｌ ＝２ ｆ ｓ ｉ ｎ ａ， 将
其代入所求式得 ｓ ｉ ｎ ２ ｌ＋２ ｆ ｃ ｏ ｓ ２ 口 ：４ ｓ ｉ ｎ ２ 口＋
・
重要形式 ， 是体现三角 函数综合运算 能力 的
一
２ 平方
种题型， 在各类选拔性试卷都会 出现 ， 虽然
若给出式是关于正弦 、 余弦的一次式 ， 根
据三 角 函数 的平 方关 系 ， 用 两边 平方 法 ， 可 得 两 角和与 差及 二倍 角 的三角 函数式 ．
题 目变化多， 解题复杂 ， 但解题思路广 阔， 极 富挑战性 和 思 考性 ， 本 文 就 此 类 问题 介 绍 一
蠢 ， ｃ 。 ｓ （ ａ＋ 卢 ） ＝
２ ６ ・
２ ０ １ ３ 年第 ３ 期
河北理科教 学研 究
舍去 ， 故 ｄ＝ ＝ 一号 ． ｃ ０ ｓ ２ ａ ＝ 题意 ，
三角函数求值问题
则 cosβ ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 ＝ × ＋ × 7 14 7 14 1 ＝ . 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3
1 π π 练习：已知 tanα＝ ，tanβ＝－2，其中 0<α< ， <β<π. 3 2 2 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， ( ) ( )， 2
2 等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．
2
3.“给值求角”问题，一般都需先求出待求角的某一个三 角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 α∈ π π (－ ， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 cosα 2 2 或 tanα，避免增角．
1.对于 “给角求值”问题：在不查表前提下，求三角 函数值，其一般方法是： （1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数； （2）将非特殊角的三角函数消去.
2.对于“给值求值”问题，即由给出的某些角的三角 函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在 象限没有确定，则应分类讨论.
【点评】 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊 角，基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．
二、给值求值问题 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的 三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习：
1 ＋2 tanα－tanβ 3 解:(1)tan(α－β)＝ ＝ ＝7. 1 1＋tanαtanβ 1＋ · －2 3 1 －2 tanα＋tanβ 3 (2)tan(α＋β)＝ ＝ ＝－1， 1 1－tanαtanβ 1－ · －2 3 π π π 3 又 0<α< ， <β<π，所以 <α＋β< π， 2 2 2 2 3 所以 α＋β＝ π. 4
三角函数式的给式求值
简单的三角恒等变换——给式求值学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧.学习过程一、题型三 给式求值1.给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于变角，使角相同或具有某种关系.2.常见的角的变形有：2()()a a b a b =++-，2()()b a b a b =+--()a a b b =+-，2()a b a b a +=++等，以及二倍角的相对性.3.进行开方运算时，要特别注意讨论符号.例4 ①已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则212sin cos cos ααα=+ ；②若α为锐角，且1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos α= ；③1sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ； ④已知tan32α=，则cos α= ；⑤已知2sin sin 3x y -=-，2cos cos 3x y -=，且,x y 为锐角，则tan()x y -的值是 ；⑥若1cos 5q =，532p q p <<，则sin 2q = ；⑦若2sin a=，则cos sin a a -= ； ⑧已知2tan()5a b +=，1tan()44p b -=，则tan()4p a += ；⑨已知1sin 4a =，则sin 2()4p a -= .⑩已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ-= .二、练习 1.已知1)(tan -=+βα，且3tan =α，则tan β= .2.已知3x 12ππ<<，135 ) 32x cos(-=+π，则sin2x= . 3. 已知,21)4tan(=+απ则2sin 2cos 1cos 2ααα-=+ ，2sin22cos αα-= . 4. 已知⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=-+ππααααα，，202cos cos sin 6sin 22,则sin(2)3πα+= . 5. 已知)0cosB cosA (22B A cos 2B A 3sin 22≠⋅=-++，则tanA tanB=⋅ . 6. 已知41)4(cos =-πα,则sin2α= . 7. 已知53)4(cos =-απ,223παπ-<<-， 则cos(2)4πα-= . 8. 在ABC ∆中，已知53sinA =，135cosB =，则cosC= . 9. 课本 137P 8（必做题）；146P 6，7 ； 147P 1, 2, 3, 4，8.。
三角函数求值的几种方法
三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。
三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。
本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。
一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。
例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。
通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。
二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。
例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。
几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。
四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。
使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。
例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。
五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。
三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。
例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。
六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。
例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。
总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。
三角函数求值的八种常用方法
ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学：三角函数求值的方法
高中数学：三角函数求值的方法
1. 角的拼凑
适当地变化角的表达式，可以给三角函数求值带来便利。
如单角α可以看成角α＋β与角β的差，也可以
看成角α－β与角β的和，既可以看成是的二倍，也可以看成是2α的一半。
角的分拆与配凑也是变角的常用策略。
如2α＝（α＋β）＋（α－β），α－β＝2α－（α＋β）等。
当条件所给角都是非特殊角时，要仔细观察非特殊角与特殊角之间的联系，可通过三角公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数值而得解。
例1. 已知，
，求cos（α＋β）的值。
分析：所求余弦中的角与已知正、余弦中的角，其运算结构不同，所以要做角的拆拼，注意到。
解：因为，
所以，
于是
所以
从而
例2. 求的值。
分析：此题给出的是非特殊角，要设法把非特殊角化为特殊角，相互低消、约分求出值。
解：
2. 化弦（切）法
当已知的式子中切、割、弦混合时，从函数名称的角度去考虑，切割化弦是三角函数求值的常用方法。
例3. 求的值。
解：原式
3. 公式变形
对三角公式不仅要正用，还要注意逆用和变用，要熟悉公式的变形，只有这样才能全面掌握公式。
如
可变化为
特别地，若，有
可变形为；
例4. 化简
解：原式
例5. 化简
解：利用结论：若，得
原式
例6. 计算
解：原式
▍ ▍ ▍。
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。
思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。
解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。
又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。
三角函数的求值
三角函数的求值一.考试目标及类型1.给角求值 给角求值的要领是灵活选用有关公式，以便消去非特殊角的三角函数，从而化为特殊角的三角函数.2.给值求值 给值求值的要领是找出已知式与欲求式之间的角，运算及函数的差异，一般可以适当变化已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3.给值求角给值求角的要领是先求出该角的某一三角函数式的值，然后判断该角在对应区间的单调性，最后求角.二.教学目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值三.教学重点有关公式的灵活应用及一些常见技巧的运用四.教学难点如何将非特殊角向特殊角转化五.教学过程(一) 、复习1.六种三角函数所在象限的符号2,同角三角函数的基本关系式,诱导公式,和差倍半等【题型示例 点津归纳】（二）、求下列各式的值.1. cos15°=2.0000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+= 3. cos20°cos40°cos60°cos80° 4.已知tan x =2, tan y =31,求tan ［2(x +y )］的值. 5. tan a =2. 则 ααcos 2sin cos sin 2+-a a 的值【解前点津】： 通过观察，联想，类比，将非特殊角向特殊角转化，借助两角和与差的公式及倍角公式等进行恒等变换，同时注意公式的灵活应用和三角函数名之间的互化。
规范解答： 1, 2，4略 3.∵tan2x =4391132)tan 1(tan 22tan ,34414tan 1tan 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-y y y x x , ∴tan[2(x +y )]=24724169121244334334143342tan 2tan 12tan 2tan -=-=+⨯-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙-+y x y x 【解后归纳】 此类问题属于先从不同的视角观察对象，一看名称，二看运算结构.两角和与差是否产生“特殊角”，或产生可消除的非特殊角，这是选用公式的“着眼点”.强化训练 高考在现（三）、基础夯实1. sin75°+cos165°= .2.0000006cos 9sin 15sin 6sin 9sin 15cos -+ = . 3. sin6°sin42°sin66°sin78°= .4.(2011泸州)若α是第二象限角,并且tan α= －34, 则sin α= ( ) A. －54, B. 54 C.－53 D. 53 5. (2011日照)已知sin θ=54, sin θcos θ<0, 则sin2θ的值为( ) A. －2524, B. －2512 C.－54 D. 2524 6. (2011烟台)tan a =3. 则 aa 2sin 1sin 22+= ( ) A. 31 B. 314, C. 29 D. 21 （四）、思维激活 7.已知tan35°=a (a ≠0), 则︒-︒20sin 120cos = . 8.若θ是锐角，且sin θ－cos θ=21,则sin 3θ+cos 3θ= . 9. (2011江苏)已知tan(x +41π)=2, 则 xx 2tan tan = . 【作业】（五）、课外提升.10.x =sin50°+cos50°, y =sin70°+cos70°,则x 与y 间的大小关系是 .11.式子(1+tan21°)·(1+tan22°)·(1+tan23°)·(1+tan24°)的值12.是否存在锐角α和β,使得:(1)α+(2β)=32π; (2) tan 2α·tan β=2－3同时成立?若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由.六、小结：本节在复习三角函数公式的基础上通过讲了几道典型的例题。
三角函数求值及角度方法(高考必考)
三角函数求值及求角的方法(高考必考)必背公式（一）、和角与差角公式：（1）、sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；（2）、cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= （3）tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanα∙tanβ（二）二倍角公式sin 22sin cos ααα=；22cos2cos sin ααα=-.＝22cos1α- ＝212sin α- 22tan tan 21tan ααα=- （三）、诱导公式:（有分母且分母为2的，变函数名，符号看象限） 公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cosα 公式二：sin(－α)＝−sinα，cos(－α)＝cosα 公式三：sin(π＋α)＝−sinα，cos(π＋α)＝−cosα 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝−cosα. 公式五：sin(π2−α)＝cosα，cos(π2−α)＝sin α.公式六：sin (π2+α)=cosα，cos(π2+α)＝-sin α.sin (3π2+α)=−cosα，cos(3π2+α)＝sin α.公式同样适用正切：tan(π＋α)＝tanα，tan(π-α)＝−tanα一、三角函数定义求：设点(),A x y 为角α终边上任意一点：sin yrα=，cos x r α=，tan y x α=（r =）1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122、(2017.全国1，15)已知α∈(0，π2)，tanα=2，则cos (α−π4)=___________3、 (2011·江西，14，易)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴． 若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．二、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan = 例题：已知，计算： （1）； （2）三、角度关系1、已知θ是第一象限角，且536cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则θsin =2、（2018.全国2，15）已知tan(α−5π4)=15,则tan α=_________3tan =αααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-2)cos (sin αα+3、已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.4.设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为()A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225四、凑角1、设都是锐角，且55cos =α，()54cos -=+βα，则=βcos （ ） A 、2552 B 、552 C 、2552和552 D 、255和552、已知tan (α+β)=25，tanβ=13，则tan (α+π4)的值为___________五、倍角公式求值1、(2013·课标Ⅱ，6，易)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.232、(2017.全国三，4)已知sinα−cosα=43，则sin2α=___________六、求角：5、已知α，β都是锐角，若sinα=√55，sin β=√1010,则α+β等于=（）A.π4B.3π4C.π4或3π4D.−π4或−3π46、(2012·全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， c ＝3a sin C －c cos A . 则A 等于 ___________练习：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6 B.－π3 C.π6 D ．π33、已知sin2α=13，则cos 2(α−π4)=A.-13B. 13C. 23D. −234.若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( ) A.1718B. −1718C.1819D. −18195.已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于( ) A. 13B. ±13C. −19D. 197.(2016·全国2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .则C 等于_________8、(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .则cos A 的值为__________。
高中数学精选专题-三角函数之给值求值问题
45
45
43
又∵sin 2x cos(2x ) cos 2(x ) 1 2 cos2 (x ) 7 ，
2
4
4 25
sin 2x 2sin2 x 2sin x cos x 2 sin2 x 2 sin x cos x(1 tan x)
∴
1 tan x
1 tan x
1 tan x
4 答案：
3
解法一：∵sin 3cos 5 ，∴ (sin 3cos )2 5 ，
sin2 6 sin cos 9 cos2 5 ， 3sin 2 8 cos2 4 0 ，
4
3sin 2 4cos 2 0 ， tan 2 ．
3
解法二：由 sin α＋3cos α＝ 5，得 sin α＝ 5－3cos α，又 sin2α＋cos2α＝1，
7 4 28 sin 2x tan(x ) ( ) ．
4 25 3 75
3
2
2
3
32
解法三：∵cos(x ) ，∴ cos x sin x ， cos x sin x ，
45 2
2
5
5
18 平方得1 2 sin x cos x ，∴2 sin x cos x
7
， (cos x sin x)2 32 ，
44 2
42
4 10
72
7
∴ sin x ， sin 2x 2sin x cos x ， tan x 7 ，
10
25
7 49
sin 2x 2 sin2
∴
x
25
2 50
28 ．
1 tan x
1 7
75
17
7 5
三角函数给角求值
三⾓函数给⾓求值前⾔三⾓函数中的给⾓求值类问题，⼤多给定的是分式形式，或者可以化为分式形式的，⽐如含有弦和切，当切化弦后就变成了分式；并且这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后最后⼀步约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。
注意⾼频变形：分式约分，和加减抵消；相关变形切化弦[整式变分式]，1的代换，分式通分约分，根式升幂；配⽅展开，提取公因式，公式的逆⽤，变⽤，常⽤的互余、互补代换：sin70^{\circ}=cos20^{\circ}，cos40^{\circ}=sin50^{\circ}；sin140^{\circ}=sin40^{\circ}，cos110^{\circ}=-sin70^{\circ}=-cos20^{\circ}；常见的⾓的拆分：47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}；8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}；1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}常见的互余，倍⾓等(\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})；2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})；常见的配⾓技巧：2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)；3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)；3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；\beta=\alpha-(\alpha-\beta)；\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi；难点变形常涉及“切化弦”，“分式通分”，“辅助⾓公式”等⾼频变形；\tan\theta-\sqrt{3}=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\cfrac{\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\sin\theta\cdot \cfrac{1}{2}-\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\ cos\theta}1+\sqrt{3}\tan\theta=\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}+\cfrac{\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\cos\theta\cd ot \cfrac{1}{2}+\sin\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}注：在具体题⽬中，⾓\theta可以是具体的值，⽐如\tan12^{\circ}-\sqrt{3}，或1+\sqrt{3}\tan21^{\circ}典例剖析№1求值：\cfrac{cos85^{\circ}+sin25^{\circ}cos30^{\circ}}{cos25^{\circ}}分析：这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。
三角函数求值怎么计算公式
三角函数求值怎么计算公式三角函数是数学中重要的一部分，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们可以用来描述角度和长度之间的关系，解决各种问题。
在实际应用中，我们经常需要用三角函数来求值，下面将介绍三角函数求值的计算公式。
1. 正弦函数的求值公式。
正弦函数的求值公式为，sin(θ) = 对边/斜边。
其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。
举个例子，如果要求sin(30°)的值，可以先构造一个30°的直角三角形，然后根据公式sin(30°) = 对边/斜边，计算出对边和斜边的比值，从而求得sin(30°)的值。
2. 余弦函数的求值公式。
余弦函数的求值公式为，cos(θ) = 邻边/斜边。
其中，θ为角度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。
举个例子，如果要求cos(45°)的值，可以先构造一个45°的直角三角形，然后根据公式cos(45°) = 邻边/斜边，计算出邻边和斜边的比值，从而求得cos(45°)的值。
3. 正切函数的求值公式。
正切函数的求值公式为，tan(θ) = 对边/邻边。
其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度。
举个例子，如果要求tan(60°)的值，可以先构造一个60°的直角三角形，然后根据公式tan(60°) = 对边/邻边，计算出对边和邻边的比值，从而求得tan(60°)的值。
除了以上三种常见的三角函数，还有其它一些三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等，它们的求值公式也可以类似地通过构造直角三角形来求得。
在实际应用中，三角函数的求值可以帮助我们解决各种问题，比如在工程中用来计算力的方向和大小、在天文学中用来计算星体的位置和运动轨迹等。
高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲
高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲【本讲主要内容】三角函数的最值与给角求值y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法、已知三角函数求角。
【知识掌握】【知识点精析】1. y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y ＝（x +ϕ） 2. y ＝a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y ＝at 2+bt +c 型3. y ＝dx c bx a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 4. 已知三角函数求角：求角的多值性法则： 1. 先决定角的象限。
2. 如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ；如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x 。
3. 由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。
【解题方法指导】例1. 求函数y ＝cot2xsin x +cot x sin2x 的最值。
分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题。
解：y ＝x x sin cos 1+·sin x +x x sin cos ·2sin x cos x ＝2（cos x +41）2+87∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1 ∴当cos x ＝－41时，y 有最小值87，无最大值 点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件。
例2. 求函数y ＝xxcos 2sin 2--的最大值和最小值。
分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）。
解法一：去分母，原式化为sin x －y cos x ＝2－2y ，即sin （x －ϕ）＝2122yy +-故21|22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤374+ ∴y max ＝374+，y min ＝374- 解法二：令x 1＝cos x ，y 1＝sin x ，有x 12+y 12＝1它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可。
高中数学：三角函数中的参数求值或求范围问题
高中数学：三角函数中的参数求值或求范围问题
1、等式恒成立型
这一类型包括奇偶性概率、周期性概念、存在性问题三种，解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路。
例1、若是奇函数，求θ的值。
若是偶函数呢？
解法1 定义法：因为是奇函数，所以对恒成立，即恒成立，所以为所求。
解法2 特值法：因为是奇函数，所以f(0)=0，得，故，此时，而，故为所求。
解法3：因为是奇函数，所以对恒成立，即恒成立，进而恒成立，所以，即为所求。
2、不等式恒成立型
这类问题的理论依据是：若将含参数t的关于x的不等式分离，通过求g(x)的最值，再求t的取值范围。
（1）；
（2）。
例2、已知函数恒成立，求实数a的范围。
解析：，
由，由对。
3、函数最值型
此类问题主要是分离变量转换为求函数值域或者转换为二次函数分类讨论求最值。
例3：若函数的最小值是－6，求实数a的值。
解析：令。
（1）上递增，所以，得a=－7。
（2）当时，g(t)在[－1，1]上递减，所以，得a=7；
（3）当时，g(t)在递增。
所以，舍去；综上所述，得。
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三角函数（2）
三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名；能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分
一、和差角公式、二倍角公式的应用（三角恒等变形）
1．sin 7cos37sin83cos53-的值为（ ）
A ．21-
B ．21
C ．23 D
．- 2．000
0sin 47sin17cos30cos17-= （ ）. A.23- B.21- C.2
3 D.21 3．sin15cos75cos15sin105+
=_________.
4．cos 43cos77sin 43cos167o o o o +=_________．
5．tan 70tan5070tan50︒+︒︒︒=_________.
6．=⋅+- 50tan 20tan 350tan 320tan 3_________. 二、通过整合条件与问题的关系，运用公式进行求值（条件复杂就化简条件，问题复杂就化简问题，条件问题都复杂则将两者朝同一方向化简）
7．已知角α为第二象限角，,5
3sin =α则=α2sin _____． 8．若cos 212sin()4α
πα=+，则sin 2α的值为（ ）
A 、
78 B 、78- C 、47- D 、47
9．已知3cos sin cos sin =+-α
ααα，则α2tan 等于________. 10．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则sin 2α的值为（ ） A ．118 B ．118- C ．1718 D ．1718
- 11
．若ααπαπαcos sin ,224sin )2cos(+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+则的值为 A.2-
B. 12-
C. 12
D.2 12．若4cos 5θ=-
，θ是第三象限的角,则1tan 21tan 2
θθ-+=（ ） A ．12 B ．12- C ．35 D ．-2 13．已知sin2α＝－
2425，α∈（－4
π，0），则sin α＋cos α＝（ ） A ．－15 B ．15 C ．－75 D ．75
14．已知α
为第二象限角，sin cos αα+=
cos2α=___________； 15．已知2
1sin =α，则αα44cos sin -的值为______________。
16
．若sin cos θθ+=，则tan()3π
θ+的值是 ___________．
17．已知锐角βα,
满足sin αβ=，则βα+= （ ） A ．4π B ．34π C ． 4π或34
π D ．2π 18．已知βαtan tan 、是方程04332=++x x 的两根，且)2
,2(ππβα-∈、，求βα+的值
三、利用“已知角”来求解“所求角” 通常条件中会给出两个或一个三角函数值，来求问题中的三角函数值。
19．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） 此时αβ+，4π
β-就是两个已知角，4π
α+是所求角。
通过对两个已知角进行加、减的方式表示出所求角
()()44ππααββ+=+--，则tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4
παββππααββπαββ+--+=+--=++-， 从而用已知函数值表示所求函数值进行求解。
因此此类题的关键点在于发现“已知角”与所求角的关系
20．已知()βαβππα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-tan ,5
26tan ,736tan 则的值为 A.2941 B. 129 C.141
D.1 21．已知21tan =
α，5
2)tan(-=-βα，则=-)2tan(αβ（ ） A ．43- B ．121- C ．89- D ．89 22．已知1sin 3
α=，cos()1αβ+=-，则sin(2)αβ+= ． 23．已知sin(4π+α)=2
3，则sin(43π-α)值为 当条件只有一个已知角时，表示另一个已知角是一个特殊角，即可以用已知角和一个特殊角表示所求角，若不能一眼看出特殊角是哪个，可用所求角与已知角进行加、减来求出特殊角
24．若πsin(α)435-=，则πcos(α)6
+= . 此时已知角是3π
α-，所求角是6π
α+，用所求角减已知角得()()632πππαα+--=，则()623πππ
αα+=+- 4cos()cos[()]sin()62335
ππππααα+=+-=--=-
25．已知2sin()sin 3παα-+=7sin()6πα+的值是（ ）
A ．5-
B ．5
32 C ．45- D ．45 26．已知5
3)4cos(=
-x π，那么sin 2x ＝（ ） （A ）2518 （B ）2524± （C ）257- （D ）257 27．已知sin 2α=
32，则=+)4
(cos 2πα . 28．若41)3sin(=-απ，则)23
cos(απ+等于 （ ） A ．87- B ．4
1- C ．41 D ．87 29．已知1sin 63
πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A.59- B.79- C.59 D.79
30．设α锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12
πα+的值为 ． 31．若x x f 2cos )(sin =，则)15(cos f 的值等于 （A ）21 （B ）21- （C ）2
3 （D ）23- 练习：
1．已知,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭,3sin 5α=,则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值等于 （ ） A ．17 B ．17
- C ．7 D ．7- 2．已知()0,απ∈,1sin cos 5
αα+=-，则tan α等于( ) A. 34 B. 34- C. 43± D. 43-
3．若4cos()sin 65
x x π+
+=，则cos(2)3x π-＝ ．
4．已知tan α，tan β是方程22370x x +-=的两根，求tan()αβ+的值
5．已知312tan ,cos()413ααβ=+=-，且,(0,)2π
αβ∈．
（１）求2
2cos sin 1
2)4
ααπα--+的值； （２）求cos β的值．
6．已知()()
23sin()cos tan 2()sin(5)tan 2f παπααπαπααπ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=+-- （1）化简()f α； （2）若α是第三象限角，且1cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f απ+的值； （3）若20113πα=
，求()f α的值．
7
．已知sin 10α=
，cos()5
αβ-=，且02πβα<<< （1）求()tan 2αβ-； （2）求β.。