高二数学第二学期第三章归纳推理、类比推理同步练习题(文科)(教师版)
高二文科推理与证明练习题
推理与证明练习题命题人：赵红艳 审核：高二数学组 日期：2012-3-23一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度；(D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、已知数列的前n 项和，且，通过计算猜 想（ ）A 、B 、C 、D 、6、设条件甲：x =0，条件乙：x ＋yi （x ，y ∈R ）是纯虚数，则（ ）A 、甲是乙的充分非必要条件B 、甲是乙的必要非充分条件C 、甲是乙的充分必要条件D 、甲是乙的既不充分，又不必要条件 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.A.21B.22C.20D.23 8、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n +… ① ② ③9、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；（2）由平行四边形、梯形内角和是360︒，归纳出所有四边形的内角和都是360︒； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；（4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，由此得凸多边形内角和是()2180n -︒A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）10、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ）A ．1212-+n nB ．1212--n n C ．n n n 2)1(+ D ．1－121-n11、二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.12、“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：12 ,-12 ,38 ,-14 ,532,它的第8个数可以是 。
高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比类比题的题型及解法素材北师大版选修1-2(2021年整理)
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类比题的题型及解法类比题是近几年在数学高考中新出现的题型，它的特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性，猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法。
所以试题是以类比思维为轴心,与数学方法、数学思想和数学基础知识相整合,着重考查学生的探究能力、创造能力、推理能力,对考生的能力和素质的要求比较高.由于题意新颖,背景独特，在解答时有一定困难。
以下介绍几种高考中的类比题的题型和解法. 一、特殊向一般类比例１（2001年上海高考)已知两个圆：221x y +=①与22(3)1x y +-=②,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题，即已知命题应成为所推广命题的一个特殊。
推广的命题为_____.解析：考生对此题的理解会出现两个误区，一是认为命题就是文字叙述,所以就用文字语言来回答,而这是困难的；另一个误区是没有把握住两个圆对称必须要求两个圆的半径相等，且两圆的圆心位置要不同.可设两个圆的方程为：222()()x a y b r -+-=①和222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，0r >），则由①式减去②式得两圆的对称轴方程． 二、两个参量向多个参量类比例2 （2001年上海春季高考）若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2a ba b +*=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a b c ，，都能成立的一个等式可以是 ．解析:由于本题是探索性和开放性问题,问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一.这题要把握住2a ba b +*=,还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“+"，则可容易得到()()()a b c a b a c +*=+*+．正确的结论还有:()()()a b c a c b c *+=*+*，()()a b c b a c *+=*等． 三、同类之间类比１。
高二数学类比推理综合测试题
第2课时类比推理一、选择题1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误[答案] B[解析]由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案] C[解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A ．①B ．①②C ．①②③D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )A ．(1)B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.7．(2010·浙江温州)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)∴FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ) 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB→＝b 2－ac ＝0 ∴c 2－a 2－ac ＝0∴e 2－e －1＝0∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于( )A ．2(AB 2＋AD 2＋AA 21)B ．3(AB 2＋AD 2＋AA 21)C ．4(AB 2＋AD 2＋AA 21)D ．4(AB 2＋AD 2)[解析] AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21＝(AC 21＋CA 21)＋(BD 21＋DB 21)＝2(AA 21＋AC 2)＋2(BB 21＋BD 2)＝4AA 21＋2(AC 2＋BD 2)＝4AA 21＋4AB 2＋4AD 2，故应选C.9．下列说法正确的是( )A ．类比推理一定是从一般到一般的推理B ．类比推理一定是从个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是从个别到一般的推理[答案] C[解析] 由类比推理的定义可知：类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C.10．下面类比推理中恰当的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”[答案] C[解析] 结合实数的运算知C 是正确的．二、填空题11．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]，而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝＝12＝22，故所求答案为6×22＝3 2. 12．(2010·广州高二检测)若数列{a n }是等差数列，对于b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，对于d n >0，则d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．[答案] n c 1·c 2·…·c n13．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则过此点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，而在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S 椭＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．[答案] π·a ·b ；x 1a 2·x ＋y 1b 2·y ＝1[解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b 2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 14．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立. (1)证明如下：当n ＜8时，等式(1)为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b n b n ＋1…b 17－n 即：b n ＋1·b n ＋2…b 17－n ＝1.(2)∵b 9＝1，∴b k ＋1·b 17－k ＝b 29＝1.∴b n ＋1b n ＋2…b 17－n ＝b 17－2n 9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；当8＜n＜17时，(1)式即：b1b2…b17－n·b18－n·…b n＝b1b2…b17－n即：b18－n·b19－n…b n＝1(3)∵b9＝1，∴b18－k·b k＝b29＝1∴b18－n b19－n·…·b n＝b2n－179＝1∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{b n}满足b9＝1时，有：b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．三、解答题15．已知：等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，有如下的性质：(1)a n＝a m＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，则a m＋a n＝a p＋a q.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则a m＋a n＝2a p.(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n}中，写出相类似的性质．[解析]等比数列{b n}中，公比q，前n项和S n.(1)通项a n＝a m·q n－m.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．16．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .[解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab )·c ＋1＞ab ＋c 是关键．用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n ＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .17．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y＝1与圆相交，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析]点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C 外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．[解析]我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k (k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n 6 ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。
高二文科数学合情推理与证明训练
高二文科数学选修1-2《推理与证明》训练1. 下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤.2. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误3. 下面使用类比推理正确的是 （ ）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 4. 观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是 A.10 B. 13 C. 14 D. 1005.否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 A c b a ,,都是奇数 B c b a ,,都是偶数 C c b a ,,中至少有两个偶数 D c b a ,,都是奇数或至少有两个偶数6.14,1-+=>x x y x 设的最小值是（ ）A 2 B 3 C 4 D 5 7.下列命题：①22,,,,bc ac b a R c b a >>∈则；②2,0,,≥+≠∈ba ab ab R b a 则；③b a R b a >∈,,，则n n b a >；④db c a d c b a >>>则,,. A 0 B 1 C 2 D 3 8.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（ ）A 29B 254C 602D 20047.已知{}n b 为等比数列，52b =，则99212=⋅⋅⋅b b b Λ。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(包含答案解析)
一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（ ）A BC D 2．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④3．观察下列一组数据12a = 246a =+ 381012a =++ 414161820a =+++…则20a 从左到右第三个数是（ ） A ．380B ．382C ．384D ．3864．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，已知正整数m 经过6次运算后才得到1，则m 的值为（ ） A ．5或32B ．10C ．64D ．10或645．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．806．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此162564096.⨯=根据此表，推算51216384⨯=（ ）x1 2 3 4 5 6 7 8 9 102x y = 24 8 16 32 64 128 256 512 1024x1112 13 14 15 16 17 18 19 202x y = 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576x21222324252x y = 20971524194304 8388608 16777216 33554432A ．524288B ．8388608C ．16777216D ．335544327．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20188．将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i 行（从上向下）第j 个（从左向右）的数表示为ij a (),i j N*∈，例如3210a=.若2020ij a =，则i j -（ ）A ．21B ．22C ．23D ．259．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 12．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______.15．已知函数2()42(0)f x x x x =++≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，*n N ∈，则2020()f x 在[0,1]上的最大值为____________．16．对于大于1的自然数n 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，仿此，若3n 的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.17．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______.18．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .19．甲、乙、丙三位同学被问到是参加了学校组织的A 、B 、C 三个活动兴趣小组时， 甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A 兴趣小组； 乙说：我没参加过B 兴趣小组； 丙说：我们三人参加了同一兴趣小组； 由此可判断乙参加的兴趣小组为__________．20．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______. 三、解答题21．（1）用分析法证明：当0x ≥，0y ≥22y x y x +；（2）证明：对任意x ∈R ,131x x --+，2x x +，21x --这3个值至少有一个不小于0. 22．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且22n a n n=+． （1）试求出1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想n S 的表达式． （2）用数学归纳法证明你的猜想． 23．若10a >，11a ≠，12(1,2,)1nn na a n a +==+. （1）用反证法证明：1+≠n n a a ；（2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ；并用数学归纳法证明你的结论正确.24．已知()f x =,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 25．(Ⅰ) 比较下列两组实数的大小：－1与2； ② 2(Ⅱ) 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明. 26．设n 个正数12,,,n a a a 满足*12(n a a a n N ≤≤≤∈且3)n ≥.（1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n *(n N ∈且3)n ≥个正数12,,,n a a a 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，可得出结论. 【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，在以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，对应地，在三棱锥P ABC -中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，所以，2222123ABC S s s s =++△，即222123ABC S s s s =++△. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．A解析：A 【分析】由平行线的传递性可判断①；举特例，三棱锥的一个顶点处三条相交的棱所在的直线两两相垂可判断②；l 3不在l 1与l 2确定的平面内可判断③；结合空间中线与线的位置关系和平行线的性质可判断④． 【详解】①由平行线的传递性可知正确；②如图不妨设直线1l 是直线BD ,直线2l 是直线CD ,直线3l 是直线AD ,由图可得13l l ⊥,23l l ⊥，但是21l l ⊥，所以错误；③由于l 1与l 2相交，所以l 1与l 2可以确定一个平面，若l 3不在该平面内，则l 3与这两条直线都可以不相交，即错误；④由于l 3与l 1，l 2相交，所以这三条直线在同一个平面内，又l 1∥l 2，根据平行线的性质可知正确．所以成立的有①④． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理、空间中线与线的位置关系，考查学生的空间立体感、空间想象能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第三个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的偶数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个偶数，所以20a 从左到右第一个数是第191个偶数，第n 个偶数为2n ， 所以第191个偶数为2191382⨯=，20a 从左到右第三个数为386. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4．D解析：D 【分析】通过运算结果逐步倒推出m 的值即可. 【详解】根据题意，正整数m 经过6次运算后得到1，利用倒推思想推理如下：乘以2得2，减1再除以3得0（不符合题意），故正整数m 经过5次运算后得到2； 经同理推算，过4次运算后得到4；经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去）； 经过2次运算后得到16； 经过1次运算后得到32或5； 所以正整数m 的值为64或10. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，进行逆向推理验证是解题关键，属于中档题.5．C解析：C 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可.【详解】因为======，==所以===63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．B解析：B 【解析】 【分析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】由上表可知：95122=，14163842=，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此512163848388608⨯=． 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.7．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，8．D解析：D 【分析】分析题意，求出数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，即可判断出结果. 【详解】由题意知，这个数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +， 所以，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，所以20201980220ij a ==+⨯，即2020是第45行的第20个偶数，亦即2020这个数位于第45行第20个， 所以452025i j -=-=， 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列与推理能力与计算能力，属于基础题.9．B解析：B 【分析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可 【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多 故选：B 【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题10．B解析：B 【分析】不妨假设甲出的试卷，再检验四位老师说的话的真假，再用同样的方法逐一判断即可得解. 【详解】解：假设甲出的试卷，则甲、乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是甲， 假设乙出的试卷，则只有乙说了假话，与题设相符，故出卷的是乙， 假设丙出的试卷，则乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丙， 假设丁出的试卷，则丙、丁说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丁， 故选B. 【点睛】本题考查了简单的推理，重点考查了阅读理解能力，属基础题.11．C解析：C 【分析】根据反证法的知识判断A,B 两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C 选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D 选线说法正确. 【详解】对于A 选项，反证法假设时，假设“1x ≠或1y ≠”，说法正确.对于B 选项，假设,a b 两个都不大于1，即1,1a b ≤≤，则2a b +≤与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为()0q q ≠，则()210y q =-⋅<，所以C 选项说法错误.对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D 选项说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案． 【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．11【分析】由题意中1的个数比的个数多9则中2的个数比0的个数多9个其他都是1由此可设中有个1个0列方程组求解【详解】设中有个1个0因为所以的个数为又由解得故答案为：11【点睛】本题考查推理关键是认解析：11 【分析】 由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解． 【详解】 设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11． 【点睛】本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．14．丙【分析】用反证法来验证是否符合题意即可得出结果【详解】如果是甲当选了则乙是对的其余三人是错的故甲不能当选；如果是乙当选了则甲乙丁是对的丙是错的故乙不能当选；如果是并当选了则甲丙是对的乙丁是错的故丙解析：丙 【分析】用反证法来验证是否符合题意，即可得出结果. 【详解】如果是甲当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故甲不能当选； 如果是乙当选了，则甲乙丁是对的，丙是错的，故乙不能当选； 如果是并当选了，则甲丙是对的，乙丁是错的，故丙能当选； 如果是丁当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故丁不能当选. 故答案为：丙本题考查了反证法，考查了逻辑推理能力，属于一般题目.15．【分析】先求出且再求出且且依次类推即得解【详解】由题得函数在单调递增且所以在单调递增且所以且同理且同理且依次类推且故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质复合函数的单调性和函数最值的求法考 解析：2020232-【分析】先求出21max [()]32f x =-，且1()0f x >，再求出222max [()]32f x =-，且2()0f x >，323max [()]32f x =-，且3()0f x >，依次类推即得解.【详解】由题得函数2()42f x x x =++在[0,)+∞单调递增，且()0f x >，所以1()f x 在[0,1]单调递增，且1()0f x >，所以21max [()]142732f x =++==-，且1()0f x >，同理222max 1max [()][(())](7)7932f x f f x f ====-，且2()0f x >， 同理323max 2max [()][(())](79)32f x f f x f ===-，且3()0f x >， 依次类推，202022020max 2019max [()][(())]32f x f f x ==-，且2020()0f x >.故答案为：2020232-.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、复合函数的单调性和函数最值的求法，考查归纳推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．7【分析】n 每增加1则分裂的个数也增加1个易得是从3开始的第24个奇数利用等差数列求和公式即可得到【详解】从到共用去奇数个数为而是从3开始的第24个奇数当时从到共用去奇数个数为个当时从到共用去奇数个解析：7 【分析】n 每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得49是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到. 【详解】从32到3n 共用去奇数个数为(1)(2)232n n n -++++=，而49是从3开始的第24个奇数，当6n =时，从32到36共用去奇数个数为20个，当7n =时，从32到37共用去奇数个数为27个，所以7n =.故答案为：7 【点睛】本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.17．2和3【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3乙的卡片上的数字为2和3丙的卡片上的数字为1和2【详解】由题意可知丙不拿2和3若丙拿1和2则乙拿2和3甲拿1和3满足题意；若丙拿1和3则乙拿2和3解析：2和3 【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2． 【详解】由题意可知丙不拿2和3．若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故乙的卡片上的数字是2和3． 故答案为：2和3 【点睛】本题主要考查推理，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．18．【解析】【分析】通过观察前几个式子的变化规律总结规律即可得到答案【详解】根据题意第一个式子从1开始左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始有3项；第三个式子从3开始有5项于是可归纳出第n 个式子从n 开始 解析：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-【解析】 【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案. 【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-. 【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.19．【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组根据甲不参加乙不参加以及三人参加了同一兴趣小组从而可得结论详解：甲参加的兴趣小组比乙多甲至少参加两个乙只能参加一个小组又甲不参加甲只能参加或又三人参加了同一小组 解析：C【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组，根据甲不参加A ，乙不参加B ，以及三人参加了同一兴趣小组，从而可得结论. 详解：甲参加的兴趣小组比乙多，∴甲至少参加两个，乙只能参加一个小组，又甲不参加A ，∴甲只能参加B 或C ， 又三人参加了同一小组，乙不参加B ，∴三人共同参加的小组只有C ，而乙只能参加一个小组，∴乙参加的小组是C ，故答案为C .点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.20．231【分析】由题意经推理可得代入计算即可得解【详解】若甲正确则丙错误则此时故乙也正确与题设矛盾；若乙正确则甲错误此时与题设矛盾；若丙正确则甲错误此时符合题意所以此时故答案为：231【点睛】本题考查解析：231 【分析】由题意经推理可得2a =，3b =， 1c =，代入计算即可得解. 【详解】若甲正确，则丙错误，则3c =，此时1a =，2b =，故乙也正确，与题设矛盾； 若乙正确，则甲错误，此时2b =，2a =，与题设矛盾； 若丙正确，则甲错误，此时2a =，3b =， 1c =符合题意. 所以2a =，3b =， 1c =，此时10010231a b c ++=. 故答案为：231. 【点睛】本题考查了推理案例及其应用，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先移项，再平方去根式，再根据分析法写法得结论；（2）利用反证法进行证明，先假设，再三式相加，根据范围找到矛盾，否定假设，即得结果. 【详解】（1即证：22≥成立，即证：22x y x y ++≥+成立，0≥成立，因为0,0,x y ≥≥0≥，所以原不等式成立.（2）假设1231,,21x x x x x --++--这个3值都小于0，即12310,0,210x x x x x --+<+<--<则12320x x x -+-<，（*） 而()2112323110x x x x x --+-=+--≥.这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立. 【点睛】本题考查分析法与反证法，考查综合分析论证能力，属中档题. 22．(1) 11S =,243S =,332S =,485S =,21n n S n =+. （2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据22n a n n=+，求出1234,,,,a a a a ，从而可求出1S ，2S ，3S ，4S ，观察规律，可猜测21n n S n =+；（2）首先验证当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立，然后假设当n k =时，等式成立，即21k kS k =+，只需证明当1n k =+时，()()112111k k k k S S a k +++=+=++即可.试题 （1）11212S a ===， 21224163S S a =+=+=， 323413362S S a =+=+=， 4343282105S S a =+=+=， 猜测21n nS n =+． （2）证明：当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立， 假设当n k =时，等式成立，即21k kS k =+，则当1n k =+时，11k k k S S a ++=+()()222111k k k k =+++++ ()()22112k k k k =++++ 222112k k k k =+-+++ 222222k k k +=-=++ ()()2111k k +=++，即当1n k =+时，等式也成立， 故对一切*n N ∈，21n nS n =+． 23．(1)见解析(2) 11221n n n a --=+，【解析】试题分析：（1）采用反证法证明，先假设相等，代入已知的等式中即可求出n a 的值为常数0或1，进而得到此数列是0或1常数列，与已知110,1a a >≠矛盾，所以假设错误，故不相等；（2）由已知条件分别令1,2,3n =，能求出2345,,,a a a a 的值，并猜想11221--=+n n n a ，然后用数学归纳法进行证明. 试题(1)证明：假设1n n a a +=，即1nn na a a =+， 解得0n a = 或1n a = 从而-121====0n n a a a a =或-121====1n n a a a a = ，这与题设10a >或11a ≠ 相矛盾， 所以1n n a a +=不成立．故1n n a a +≠成立． (2)由题意得12345124816=,=,=,=,=,235917a a a a a ， 由此猜想：.证明：1.当=1n ，01021=212a =+，猜想成立2.假设当=n k 时，猜想成立，即112=21k k k a --+成立当=1n k +时，()()1111111112222221=212121121k k kk k k k kk k k a a a -+--+-+--+===+++++ ∴当=1n k +时，猜想也成立．由1和2知，对一切正整数n ，都有11221n n n a --=+成立．24．详见解析. 【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()f x =()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为3，根据结论的形式将()f x =可完成证明. 试题 由()f x =，得()()01f f +==,()()12f f -+== ()()233f f -+==. 归纳猜想一般性结论为 ()()1f x f x -++= 证明如下：()()1f x f x -++==x ===【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.25．（1）－1＞2（2）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)利用平方做差的方法比较两数的大小即可；(Ⅱ)利用题意，归纳推理得出更一般的结论：若n－试题(Ⅰ) 解法一：)2－(2+1)2－4＞0.2+11＞2.2－2－0.故2解法二：分子有理化，略(Ⅱ) 一般结论：若n或：函数()f x=在()0,+∞上单调递减；或：若正数,,,a b c d满足：,a b a c>>，且a d b c+=+，则<证明从略.26．(1)见解析.(2)见解析.【详解】试题分析：（1）由于123a aa与231a aa积为22a，所以利用基本不等式进行证明：23122312a aa aaa a+≥=，23313122a a a aaa a+≥，31121322a aa aaa a+≥，三式相加得2331121233122()2()a a a aa aa a aa a a++≥++，即233112123312a a a aa aa a aa a a++≥++（2）本题结构对称，易于归纳出23211112123412n n n n nnna a a a a a a aa aa a aa a a a a---+++++≥+++，用数学归纳法证明时的难点在于明确1n k=+时式子与n k=式子关系：其差为11111111212k k k k k k k kka a a a a a a a a aa a a a a-++-+++--，问题转化为证明111111111212k k k k k k k kkka a a a a a a a a aaa a a a a-++-++++--≥，这可利用作差，因式分解得证.试题（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数， 左—右=132323131212123231312111222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭132323131212123231312111222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⨯-+⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=0，所以，原不等式231312123123a a a a a a a a a a a a ++≥++成立． 4分 （2）归纳的不等式为：23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++≥+++（*N n ∈且3n ≥）． 5分记()23211112123412n n n n n n n n a a a a a a a a a a F a a a a a a a a ---=+++++-+++，当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立； 假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即()232111121234120k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a a a ---=+++++-+++≥．则当1n k =+时，()2321111112112134112k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a a ---+++++=++++++-++++=111111111212k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-+++++--- 7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫≥+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()11111k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫+-+-⎪⎝⎭， 因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111112k k k k k k a a a aa a +++++++≤=， 所以10k F +≥，所以当1n k =+，不等式成立． 9分 综上所述，不等式（*N n ∈且3n ≥）成立． 10分考点：数学归纳法。
高二数学 .2 归纳推理与类比推理水平测试 试题
卜人入州八九几市潮王学校第四高二数学归纳推理
与类比推理程度测试
一、自学导引
1、在数列{}n a 中，*1121,()2n
n n
a a a n N a +==
∈+试猜想这个数列的通项公式。
2、探求凸多边形的面数F ，顶点数V 和棱数E 之间的关系：
归纳、猜想对于一般的凸n 面体的面数F 、顶点数V 、棱数E 的关系是。
3、对于任意的正整数n ，猜想1
2n -与2
(1)n +的大小关系。
4、类比圆与球的概念与性质：
5、从运算性质的角度，类比实数的加法和乘法：
二、应用探究：
1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体的猜想。
三边的长分别为三边的关系：试证明你猜想的结论。
三、反响与练习
1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，12
3a =-，满足12(2)n n n
S a n S ++=≥，计算1S 、2S 、3S ，并猜想n S 的表达式。
2、在等差数列{}n a 中，假设100a =，那么有
*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=++
+<∈且成立。
类比上述性质，在等比数列
{}n b 中，假设91b =，那么存在怎样的等式？。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
归纳推理与类比推理有答案
合情推理合情推理的推理过程为：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(简称类比)．由此可知：归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，由这两种推理方式即合情推理得到的结论未必正确，因此只能作为猜想，其正确与否需要通过演绎推理加以证明．归纳推理：1、在数列}{n a 中，*11,22,1N n a a a a nn n ∈+==+，试猜想这个数列的通项公式。
12+=n a n 2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，321-=a 且)2(21≥=++n a S S n n n ，计算4321,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式。
*,21N n n n S n ∈++-= 3、已知无穷数列1，4，7，10，……，则4891是它的第 项。
16314、下列四个图形中（如图2―1―1），着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为（ ）AA.a n =3n －1B.a n =3nC.a n =3n －2nD.a n =3n -1+2n －35、观察下列各等式：262,2464+=--5325434+=--,7127414+=--,102210424-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ）A A.824(8)4n n n n -+=--- B.1(1)52(1)4(1)4n n n n ++++=+-+- C.424(4)4n n n n ++=-+-D.152(1)4(5)4n n n n +++=+-+-6、==,=（a 、b 均为实数），请推测a =________，b =_______.6，357、观察下列等式n n i n i 212121+=∑= n n n i n i 6121312312++=∑= 23413412141n n n in i ++=∑= n n n n i n i 36131215134541-++=∑= 2456551211252161n n n n in i -++=∑= n n n n n i n i 42161212171356761+-++=∑= ……012211111a n a n a n a n a n a ik k k k k k k k k n i ++++++=----++=∑可以推测，当k ≥2(k ∈N *)时，21,111=+=+k k a k a ，a k －1＝__________，a k －2＝_____________0,12k 8、已知整数对排列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…则第60个整数对是________．把a ，b ，c ，d 排成形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的式子，称为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算该⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x d c b a .，运算的几何意义为：平面上的点(x ，y )在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的作用下变换成点(ax ＋by ，cx ＋dy )．(Ⅰ)求点(2，3)在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110的作用下形成的点的坐标． (Ⅱ)若曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11b a 的作用下变成曲线x 2－2y 2＝1，求a ＋b 的值．解：(Ⅰ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23320110，所以点(2，3)在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110的作用下变成点(3，2)． (Ⅱ)在曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上任取一点(m ，n )，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n bm an m n m b a 11，将(m ＋an ，bm ＋n )代入x 2－2y 2＝1 得(m ＋an )2－2(bm ＋n )2＝1，即(1－2b 2)m 2＋2(a －2b )mn ＋(a 2－2)n 2＝1又点(m ，n )在曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上，所以m 2＋4mn ＋2n 2＝1由待定系数法可知：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-224)2(212122a b a b解得⎩⎨⎧==02b a 所以a ＋b ＝2。
【高二】高二数学类比推理综合测试题(有答案)
【高二】高二数学类比推理综合测试题（有答案）选修2-22.1.1第2课时类比推理我1．下列说法正确的是( )a、从合理推理中得出的结论必须是正确的b．合情推理必须有前提有结论c、合理的推理是无法猜测的d．合情推理得出的结论无法判定正误[答：]B[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，a不正确；b正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，c不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，d也不正确，故应选b.2.以下推理是合理的（）①由圆的性质类比出球的有关性质② 从直角三角形、等腰三角形和等边三角形的内角之和为180°，可以得出所有三角形的内角之和为180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④ 三角形的内角之和为180°，四边形的内角之和为360°，五边形的内角之和为540°。
因此，凸多边形的内角之和是（n-2）？180°a．①②b。
①③④c．①②④d。
②④[答案] c[分析]① 类比推理；② ④ 都是归纳推理和合理推理三．三角形的面积为s＝12(a＋b＋c)?r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )a、 v＝13abcb．v＝13shc、 V=13（S1+S2+S3+S4）r（S1、S2、S3和S4分别是四面体四个面的面积，r是四面体内接球面的半径）d．v＝13(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)[答：]C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选c.4.类比平面上正三角形的“三边相等，三个内角相等”的性质，你认为正四面体的下列哪个性质更合适①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等② 所有面都是全等正三角形，由两个相邻面形成的两个面的角度相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等答。
①b．①②c。
①②③d．③[答：]C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5.类比三角形中的属性：(1)两边之和大于第三边（2）中线长度等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可获得四面体的相应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积（2）与穿过四面体的同一顶点相交的三条边的中点的平面面积等于第四个曲面面积的14%(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中，正确的类比推理方法有（）a．(1)b、（1）（2）c．(1)(2)(3)d、都不是[答案] c【分析】上述类比推理方法是正确的。
高中数学 第3章 类比推理同步练习 北师大版选修12
类比推理 同步练习【选择题】1、对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为（ ）”。
A 、定值B 、变数C 、有时为定值、有时为变数D 、与正四面体无关的常数2、关于类比推理，下列说法正确的是A 、类比推理一定正确B 、类比推理一定错误C 、类比推理是一般到特殊的推理D 、类比推理是特殊到特殊的推理【填空题】3、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可能得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD ”的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则______________4、三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形围成的最简单的封闭图形，三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形，四面体可看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形，由此根据三角形的性质，推测空间四面体的性质，完成下表：5、已知等式4330sin 30sin 30sin 30sin 22=︒⋅︒+︒+︒ 4340sin 20sin 40sin 20sin 22=︒⋅︒+︒+︒ 请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______________.【解答题】6、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立.（1）如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。
（2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。
7、找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质：（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；（2）与圆心距离相等的两弦相等；（3）圆的周长d d C (π=是直径)；（4）圆的面积2r S π=.8、在ABC ∆中，射影定理可表示为B c C b a cos cos +=，其中c b a ,,依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想。
高二必修数学同步训练题第三章推理与证明
高二必修数学同步训练题第三章推理与证明大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的14高二必修数学同步训练题，希望对大家有协助。
1.如图3-1-3所示的三角形数阵是我国现代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，依据图中的数的构成规律，a所表示的数是()图3-1-3A.2B.4C.6D.8【解析】 a=3+3=6.【答案】 C2.数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，，那么数列的第k项为()A.ak+ak+1++a2kB.ak-1+ak++a2k-1C.ak-1+ak++a2kD.ak-1+ak++a2k-2【解析】由前n项可知，第k项中第一个数为ak-1，且共有k项，次数延续，故第k项和为ak-1+ak++a2k-2.【答案】 D3.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，中，第100项是()A.10B.13C.14D.100【解析】由规律可得，数字相反的数的个数依次为1,2,3,4，，n，由nn+12100，nN*，得n的最大值为14. 【答案】 C4.观察以下各式：72=49,73=343,74=2 401，，那么72 011的末两位数字为A.01B.43C.07D.49【解析】 72=49,73=343,74=2 401,75=16 507,76=117 649，由此看出末两位数字具有周期性，且周期为4，又2011=4502+3，故72 011的末两位数字应为43.【答案】 B5.观察(x2)=2x，(x4)=4x3，(cos x)=-sin x，由归结推理可得：假定定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】由给出的例子可以归结推理得出：假定函数f(x)是偶函数，那么它的导函数是奇函数，由于定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(-x)=-g(x)，应选D.【答案】 D要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以下是查字典数学网为大家总结的14高二必修数学同步训练题，希望大家喜欢。
高二文科数学合情推理与证明训练
高二文科数学选修1-2《推理与证明》训练1. 下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3. 下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 4. 观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是 A.10 B. 13 C. 14 D. 1005.否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 A c b a ,,都是奇数 B c b a ,,都是偶数 Cc b a ,,中至少有两个偶数 D c b a ,,都是奇数或至少有两个偶数6.14,1-+=>x x y x 设的最小值是（ ）A 2 B 3 C 4 D 5 7.下列命题：①22,,,,bc ac b a R c b a >>∈则；②2,0,,≥+≠∈baa b ab R b a 则；③b a R b a >∈,,，则n n b a >；④dbc ad c b a >>>则,,. A 0 B 1 C 2 D 38.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（ ） A 29 B 254 C 602 D 20047.已知{}n b 为等比数列，52b =，则99212=⋅⋅⋅b b b 。
2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 1 归纳与类比 1.2 类比推理课后巩固提升 北师大版选修1-2(1)
1.2 类比推理[A 组 基础巩固]1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 答案：C2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：由题意得，(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －(a 2－a －1)>0对于任意x 恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32，故选C.答案：C3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zac＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：由类比推理可知，方程应为x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是重心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心解析：由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心． 答案：D5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体S ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C6．类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1、y 1、z 1)、B (x 2、y 2、z 2)、C (x 3、y 3、z 3)、D (x 4、y 4、z 4)为顶点的四面体A BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 447．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是 (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)．解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论．答案：“若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3的等比数列” 9．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．解析：如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC ，平面PBC 与平面PCA ，平面PCA 与平面ABP之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S 2＝S 21＋S 22＋S 23－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 3S 1cos γ.10.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解析：如图所示，在四面体P ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[B 组 能力提升]1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：C2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －man －m， 所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m .答案：n －m d nc m4．已知x ∈R 且f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，得f (x )的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．(1)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为________； (2)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，则f (x )的一个周期为________．解析：(1)∵f (x ＋a )＝－f (x )， ∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a ＋a )＝－f (x ＋a ) ＝－[－f (x )]＝f (x )． ∴f (x )的一个周期为2a . (2)∵f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a )－1f (x ＋a )＋1＝f (x )－1f (x )＋1－1f (x )－1f (x )＋1＋1＝－1f (x ).∴f(x＋4a)＝－1f(x＋2a)＝－1－1f(x)＝f(x)．∴f(x)的周期为4a.答案：(1)2a(2)4a5.如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9 900，问a n是数列的第几项？解析：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N＋.(3)a10＝11×12＝132.a10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵有99行100列．6.如图，点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析：(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1S ACC1A1cos α.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于S BCC1B1＝PN·CC1，S ACC1A1＝MN·CC1，S ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1·S ACC1A1·cos α.。
高二必修数学同步训练题第三章推理与证明综合
高二必修数学同步训练题第三章推理与证明综合高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了2021高二必修数学同步训练题，希望对大家有协助。
1.以下推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，推出三角形的内角和是180③ab，bc，那么a④三角形内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得凸n边形的内角和是(n-2)180A.①②B.①③④C.①②④D.②④【解析】①是类比推理，②与④是归结推理，③是归结推理.【答案】 C2.有一段归结推理是这样的：有些有理数是真分数，整数是有理数，那么整数是真分数.结论显然是错误的，是由于() A.大前提错误 B.小前提错误C.推理方式错误D.非以上错误【解析】整数不是这里的自然有理数，故推理方式错误. 【答案】 C3.数列1,3,6,10，的一个通项公式是()A.an=n2-n+1B.an=nn-12C.an=nn+12D.n2+1【解析】由1=122，3=232，6=342，10=452，可归结出an=nn+12.【答案】 C4.以下表述正确的选项是()①归结推理是由局部到全体的推理;②归结推理是由普通到普通的推理;③归结推理是由普通到特殊的推理;④类比推理是由特殊到普通的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤【解析】依据归结推理、类比推理、归结推理的特征判别. 【答案】 D5.在十进制中2 004=4100+0101+0102+2103，那么在五进制中数码2 004折分解十进制为()A.29B.254C.602D.2 004【解析】 2 004(5)=450+051+052+253=254.【答案】 B6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，那么AB等于()A.6EB.72C.5FD.B0【解析】 AB=1011=110=616+14=6E.【答案】 A查字典数学网小编为大家整理了2021高二必修数学同步训练题，希望对大家有所协助。
人教版数学高二新课标 《合情推理》 同步检测
1．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c解析：选D.根据类比形式及对数、指数、向量的运算可知，D正确．2．(2010年高考山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x)B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D.3．(2010年高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝2124．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．解：由f(n)＝n2＋n＋41，得f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n为任何正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．一、选择题1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选 C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c” C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”解析：选C.由类比推理的特点可知．3.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C.由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.4．数列2，5，22，11，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝3n －3B ．a n ＝3n －1C ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝3n ＋3解析：选B.法一：因为a 1＝3×1－1，a 2＝3×2－1， a 3＝3×3－1，a 4＝3×4－1， 由此猜测a n ＝3n －1. 法二：由a 1＝2可排除A 、C 、D ，选B.5．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心解析：选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．6．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选B.推广到空间以后，对于A ，还有可能异面，对于C 还有可能异面，对于D ，还有可能异面，故选B.二、填空题7．由数列1,10,100,1000，…猜想数列的第n 项可能是________．解析：∵1＝100,10＝101,100＝102,1000＝103，…，∴可猜想第n 项是10n －1.答案：10n －18．已知数列2009,2010,1，－2009，－2010，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2010项之和S 2010等于________．解析：数列前几项依次为2009,2010,1，－2009，－2010，－1，2009,2010，…每6项一循环，前6项之和为0.前2010项包含335个周期，故其和为0.答案：09．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题______________．解析：利用类比推理可知，平面中的直线应类比空间中的平面．答案：夹在两平行平面间的平行线段相等三、解答题10．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，请在立体几何中，给出类似的四面体性质的猜想．解：如图(1)，Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝(b c )2＋(a c )2＝a 2＋b 2c2＝1.于是把结论类比到如图(2)的四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直且分别与底面A ′B ′C ′所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.11．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)归纳猜想通项公式a n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，得a 2＝13， a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17， 可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N *)． 12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．(1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系；(3)求出f (n )．解：(1)3条直线最多将平面分成7个部分．(2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.。
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高二数学第二学期第三章归纳推理、类比推理同步练习题（文科）一、填空题1.下列说法中正确的是（ D ）A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2． 由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( A ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理D ．特殊推理3．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=”的过程：“44cos sin θθ-()()222222cos sin cos sin cos sin cos 2θθθθθθθ=+-=-=”中应用了（ B ）A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 4.如果数列{}n a是等差数列，则( B )A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a = 5. 下面使用类比推理正确的是（ C ） A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）” D.“n na ab =n（b ）” 类推出“nna ab +=+n（b ） 6． 下列推理正确的是( D )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin (x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 7． 下面几种推理是合情推理的是( C ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°， 由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④8.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( C ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 9．下列推理是归纳推理的是( B )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 10． 数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( B )A ．47B ．65C ．63D ．12811．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( C ) A ．n 2－1B ．(n －1)2＋1C ．2n－1D ．2n －1＋112．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n －1个正方形数是( C )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)213．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( B )1＋9×2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111 …A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．111111314．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( A )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大15．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( B ) A ．27B ．28C ．29D ．3016.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ B ）块. A.21 B.22 C.20 D.2317.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（ C ） A ．12 B.13 C.14 D.15 18．观察式子：474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，…，则可归纳出式子为（ C ） A 、121131211222-<+++n nB 、121131211222+<+++n nC 、n n n 12131211222-<+++D 、122131211222+<+++n nn19．已知数列223434561a a a a a a a a a ++++++ ，，，，，则数列的第k 项是（ D ） Ａ．12k k k a a a ++++ Ｂ．121k k k a a a --+++ Ｃ．12k k k a a a -+++ Ｄ．122k k k a a a --+++20. (2010惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）．A ． 4，6，1，7B ． 7，6，1，4C ． 6，4，1，7D ． 1，6，4，7[解析] 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+16418327252d d c c b b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====7146d c b a ，选C21.对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,4)- 解：由题意，⎩⎨⎧=+=-0252q p q p ，解得⎩⎨⎧-==211p ，所以正确答案为（B ）．22．正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8712 19 16 15 14 13 20 2524232221则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ D ） Ａ．22005Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯23．观察下列数表规律则从数2009到2010的箭头方向是( B )二、填空题24． f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有__ f (2n)>n ＋22____．25． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：_ sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32_____.26． 已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝___3_____.27． 已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝__12lr ___.28． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为____①____．29． 如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 __ a n ＝3n －1(n ∈N *)___．30． 如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S 10＝_55_. (3)S n ＝__n n ＋2____.31.从22112343=++=2，，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 2(1)(2)......(32)(21)n n n n n ++++++-=-(用数学表达式表示)。
32.（2008中山一模）观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n 个图中有________________个小正方形. 28 , 2)2)(1(++n n33．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则52＝________，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m 的值为________．解析：第一空易得；从23起，k 3的分解规律恰为数列3,5,7,9，…若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，…，21是53的分解中最小的数，∴m ＝5. 答案：1＋3＋5＋7＋9 534．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)35.(2009浙江文)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， 81248,T T T T ，1612TT 成等比数列． 三、解答题36．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，n ∈N ＋，猜想数列的通项公式 [解析] {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式 37.已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1,写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式.解： (1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815, 猜测 a n ＝2－n2138．下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．(2)(3)现已知某个平面图有2008个顶点，且围成了2008个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数． 解：(1)填表如下：(2) 4＋3－6＝1 8＋5－12＝1 6＋4－9＝1 10＋6－15＝1由此，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系： 顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由(2)中所得出的关系，可知所求平面图的边数为： 边数＝顶点数＋区域数－1＝2008＋2008－1＝4015.。