第8讲 测不准关系的严格证明

量子力学
第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数
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第8讲目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题
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一、连续谱本征函数（1）
1、动量
x 分量的本征值与本征函数
设本征值与本征函数为 px 和 ，本征方程为： i p x C exp( ip x x / ) x 若 x (,) ，则 px (,) ，为连续变化：
1 2
1 即： （ px , px ) e 2
1 dx 2




ei ( px px ) x dx
1 对比(3)式：（x x0 ) 2


e
ik ( x x0 )
dk
, p x px （ px , px ) （p 有： x px ) x p 0, p
所以称
p 为连续谱本征函数：
x
不能用一般的方式进行归一化
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一、连续谱本征函数（2）
2、一维自由粒子的能量本征态
2 2 2 ˆ p ˆ z H 一维自由粒子的哈密顿量算符为： 2 2m 2m x 2 2 能量本征方程为： E 2 2m x
ikx 2 2 E k / 2m 0, k 2mE / 0 ( x ) Ce , 解为： E
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三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)
ˆ x ，有 x px ， ˆ 和B ˆ 为厄 问题：对于 x ˆ 和p A
米算符，则 A B ? ， 结论为：A B [ A ˆ, B ˆ] 2 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： I ( )
1 (1) (ax) ( x); (2) ( x) ( x); |a| (3) ( x)dx ( x)dx 1 ( 0); (亦可作为定义 )



(4) f ( x) ( x a)dx f (a);


(5) x ( x) 0
3、连续谱本征函数的归一化(1)
ipx x / )，若取：C 动量本征态为 p C exp(
x
则 Leabharlann Baidux
1 ipx x / * e （ , ) px dx ，做积分 p p p x x x 2
i p ( p x x) x
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(6) ( x a) ( x b)dx (a b);
二、连续谱本征函数的归一化与δ 函数（2）
2、δ 函数的积分表达式
f ( x ) 在 x x0 的一个领域内连续，则：
f ( x0 )


f ( x) ( x x0 )dx
(1)
dk (2)
由Fourier积分公式，有：
E ( x) Ce ikx 也是连续谱本征函数，不能用一般的方
式进行归一化.
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二、连续谱本征函数的归一化与δ 函数（1）
1、δ函数的定义与性质
0, x 0 , 或者 定义： ( x) , x 0
性质：
0, x x0 ( x x0 ) , x x0
（ x , x ) x dx ( x x) ( x x)dx
* x


(a b) ( x a) ( x b)dx


（ x , x ) ( x x) 0
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三、不确定度（测不准）关系的严格证明(2)
0 I ( )
* ˆ * ˆ ˆ ˆ d [ ( A ) A i ( A ) B 2
ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B
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二、连续谱本征函数的归一与δ 函数（4）
3、连续谱本征函数的归一化(2)
x ( x) 0,( x x) ( x x) 0 x ( x x) x ( x x)
已证明， x ( x) （x x) 为坐标算符的本征态，x 为 本征值。做积分
1 f ( x0 )＝ 2
－


－
dx


f ( x )e
ik ( x x0 )
＝
1 f ( x)( 2



e ik ( x x0 ) dk) dx
对比(1)和(2)式：
1 ( x x0 )＝ 2



e
ik ( x x0 )
dk
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(3)
二、连续谱本征函数的归一化与δ 函数（3）
x x x x
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二、连续谱本征函数的归一化与δ 函数（5）
4、连续谱本征函数的归一化困难
, p x px 无论动量( px , px ) （p x px ) x p 0, p , x x 还是坐标( x , x ) （x x) 0, x x 都没有严格地解决归一 化的问题。这就是量子 力 学中连续谱波函数的归 一化困难。解决的方式 有 1、分布理论， A. Megsiah, QuantumMechanics 2、葙归一化方法，曾谨 言，量子力学，上册 科学出版社， 1984



ˆ iB ˆ d 0 A
2
ˆ iB ˆ iB ˆ )* (A ˆ ) d 0 I ( ) (A


ˆ )* A ˆ i ( A ˆ )* B ˆ d [ 2 ( A


ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B