反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)
28第六章-6反三角函数与三角方程
（
）
x k , k Z
x k 56 , k Z
（B） x | 2k
3 6
x 2k , k Z
x 2k 56 , k Z
（D） x | 2k
3．函数 f ( x ) x | arcsin x a | b arccos x 是奇函数的充要条件是 (A) a b 0
1
( ) 6
．
6． （2014 年松江三模 9） 已知 y f
1
( x) 是函数 f ( x ) arcsin(1 x ) 的反函数，则 f 1 ( x)
．
7． （2013 年闵行一模 10） 已知定义在 (0， ) 上的函数 y 2(sin x 1) 与 y
2
8 的图像的交点为 P ，过 P 作 PP 1 x 轴于 P 1 ，直 3
．
线 PP 1 与 y tan x 的图像交于点 P 2 ，则线段 P 1P 2 的长为
8． （2014 年奉献二模 10） 已知函数 f ( x )
3 cos x 1 sin x
， 则方程 f x cos x
『双基达标』 1．动点 P 从点 (1 , 0) 出发，在单位圆上逆时针旋转 角，到点 M ( 1 3, 轴，顶点为 (0 , 0) ，且终边与角 的终边关于 x 轴对称，下面正确的（ （A） 2k arccos 1 3 ,k Z （C） 2k arccos 1 3 ,k Z
x
arcsinsin x x x , 2 2
单调递增、奇函数
单调性、 奇偶性
单调递增、奇函数
2．三角方程： （ a 1， k Z ） （1）最简三角方程： 1 sin x a x 2k arcsin a或x 2k arcsin a ； ○ 2 cos x a x 2k arccos a ； ○ 3 tan x a x k arctan a ． ○ （2）常见的三角方程： 1 A sin x B cos x C 0 ○ 2 A sin ○ 3 A sin ○
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例题1、（1）已知求co用s反余 弦54 表 示
(2)求函数y的定ar义cs域in 和x2值域x
(3)判断函数y的奇si偶n 性2 arccos x
解 : (1) 3 ,0
又cos( ) cos 4 , 5
f (x)是奇函数.
另解：用倍角公式展开
f (x) 2sin(arccos x) cos(arccos x);
令，arccos x [0, ]
cos(arccos x) x,cos x,
sin(arccos x) sin 1 cos2 1 x2 ,
2
1
1 2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
2018高考复习数学第一轮 第32讲 反三角函数与三角方程(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)
反三角函数与三角方程（2018年5月）一、 知识要点（1）三角方程定义：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程． （2）最简三角方程的解集sin x a =，||1a ≤，则解集为(){}|1arcsin ,kx x k a k Z π=+-∈；cos x a =，||1a ≤，则解集为{}|2arccos ,x x k a k Z π=±∈；tan x a =，a R ∈，则解集为{}|arctan ,x x k a k Z π=+∈．（3）三角方程的解法简单的三角方程是通过三角函数与代数的恒等变形，化为最简的三角方程来解，最后应写出最简三角方程的解集．二、 例题精讲例1、（1）求函数3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数； （2）求函数()2arccos 2y x x =-的单调增区间；（3）求函数y =答案：（1）[]arcsin ,1,1y x x π=-∈-；（2）1⎡⎤⎣⎦；（3）定义域：[]6,7；值域：⎡⎢⎣⎦．例2、已知1,0a a b ≤≠，求11tan arccos tan arccos 4242a ab b ππ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．答案：2b a．例3、求函数()21arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值，以及相应的x 的值．答案：最大值为0，此时1x =；最小值为241093ππ-，此时12x =-．例4、已知方程240x ++=的两个实数根为1x 与2x ，记1arctan x α=，2arctan x β=，求αβ+的值．答案：23π-．例5、解下列三角方程：（1）sin 5cos 0x x -=；（2）2sin θθ=；（3）()sin212sin cos 120x x x --+=； （4）2sin 3sin cos 10x x x -+=．答案（1）11|,,31228x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或； （2）()|1,3kk k Z πθθπ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭； （3）()|1,44kx x k k Z πππ⎧⎫=+-+∈⎨⎬⎩⎭；（4）()111|1arcsin arctan ,221023k k x x k Z π⎧⎫⎪⎪=+--∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭．例6、求实数m 的取值范围，使关于x 的方程222sin 2sin cos cos 10x x x x m +---=有解．m ≤≤．例7、解关于x 的方程cos 22cos 230x x a ++-=，a R ∈． 答案：当2a =时，|22,2x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=±∈⎨⎬⎩⎭或；当1224a <<时，|2x x k k Z π⎧⎫⎪⎪=±∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 当124a =时，2|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭；当02a <<时，1|2arccos2x x k k Z π⎧⎫-+⎪⎪=±∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当0a =时，{}|2,x x k k Z π=∈； 当124a >或0a <时，∅．*例8、点P 在曲线5sin arccos 3x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像上，求点P 到直线100x y +-=的最大和最小距离．；最小距离为 三、课堂练习1、函数()arcsin 2y x =-的定义域为 ，值域为 ． 答案：[]1,3，,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2、函数arccos 2y x π=-，[]1,1x ∈-的奇偶性为 ．答案：奇函数 3、若3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，则α= ．答案：43π4、若sin t x =，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则arccos t 的取值范围是 ． 答案：2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、函数123arccos 4xy -=的反函数的最大值是 ，最小值是 ． 答案：52，32-6、设sin cos 0x x a +=在[)0,2x π∈内有相异两实根，则实数a 的取值范围是 ． 答案：22a -<<四、 课后作业 一、填空题1、方程sin x x =[]0,π上的解是 ． 答案：712π⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、若函数()2arcsin 2y x =-的值域是,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则此函数的定义域为 ． 答案：3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、7arccos sin6π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11sin arccos 23⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ．答案：2,33π 4、方程sin 40x =的解集为M ，方程cos 21x =的解集为N ，则M 与N 的关系为 ． 答案：N M ⊂≠5、方程()()2lg cos sin lg 2cos 1x x x +=-的解集是 ．答案：{}|2,x x k k Z π=∈6、函数()2arcsin 1y x x =++的定义域为M ，值域为N ，则MN = ．答案：[]31,0arcsin ,42π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、选择题7、函数sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的反函数为（ ） A 、[]arcsin ,1,1y x x =∈-B 、[]arcsin ,1,1y x x π=-∈- C 、[]arcsin ,0,1y x x π=+∈D 、[]arcsin ,0,1y x x π=-∈答案：B8、下列命题中正确的是（ ）A 、若点()(),20P a a a ≠为角α终边上一点，则sin α=B 、同时满足1sin ,cos 2αα==的角有且只有一个 C 、当||1a <时，()tan arcsin a 的值恒正D 、三角方程tan 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭{}|,x x k k Z π=∈ 答案：D9、函数()2arccos 2y x x =-的值域为（ ）A 、[]0,πB 、1arccos ,8π⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C 、10,arccos 8⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D 、10,arccos 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：C三、解答题10、（1）求函数()231lg 14arcsin2x y x -=-+的定义域； （2）求()arcsin 1arccos2y x x =-+的值域；（3）求()2arcsin y x x =-的定义域；（4）判断函数()sin 2arccos y x =的奇偶性；（5）求满足不等式()arccos 1arccos x x -≥的x 的取值范围．答案：（1）11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；（2）,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1122⎡+⎢⎣⎦；（4）奇函数；（5）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．11、已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()11sin 22g x x =+． （1）设0x 是函数()y f x =的一个零点，求()0g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 答案：（1）54；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．12、解下列三角方程： （1）sin cos cos 2x x x +=； （2）1cos cos 2cos 48x x x =； （3）23tan 22sec x x +=；（4）cos 2tan12x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．答案：（1）|22,42x x k x k x k k Z πππππ⎧⎫=-=-=∈⎨⎬⎩⎭或或； （2）()212|,79k k x x x k Z ππ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭或； （3）3|arctan,2x x k x k k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭或； （4）|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．。
高考中的反三角函数与简单三角方程
高考中的反三角函数与简单三角方程一、选择题1. (86(10)3分)当x ∈[－1，0]时，在下面的关系式中正确的是A.π－arccos(－x)＝arcsin 21x -B.π－arcsin(－x)＝arccos 21x -C.π－arccosx ＝arcsin 21x -D.π－arcsinx ＝arccos 21x -2. (87(8)3分)函数y ＝arccos(cosx) (x ∈[－2,2ππ])的图象是3. (88(7)3分)方程4cos2x －43cosx ＋3＝0的解集是A.{x|x ＝k π＋(－1)6πk ，k ∈Z}B.{x|x ＝k π＋(－1)3πk ，k ∈Z} C.{x|x ＝k π±6π，k ∈Z} D.{x|x ＝k π±3π，k ∈Z} 4. (88(10)3分)tg[arctg 51＋arctg3]的值等于 A.4 B.41 C.81 D.8 5. (89(4)3分)cos[arcsin(－54)－arccos(－53)]的值等于 A.－1 B.－257 C.257 D.－5106. (89上海)函数y ＝arccos x1的值域是 A.[0，2π) B.(0，2π] C.[0，π) D.(0，π] 7. (89上海)下面四个函数中为奇函数的是 A.y ＝x 2sin(x ＋2π) B.y ＝x 2cos(x ＋4π) C.y ＝cos(arcctgx) D.y ＝arcctg(sinx)8. (90(4)3分)方程sin2x ＝sinx 在区间(0，2π)内的解的个数是A.1B.2C.3D.49. (90(15)3分)设函数y ＝arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ，又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是A.y ＝－arctg(x －2)B.y ＝arctg(x －2)C.y ＝－arctg(x ＋2)D.y ＝arctg(x ＋2)10.(90上海)下列函数中在定义域内不具有单调性的函数是A.y ＝ctg(arccosx)B.tg(arcsinx)C.sin(arctgx)D.cos(arctgx)11.(90广东)已知函数①y ＝arctgx ；②y ＝2π－arcctgx ，那么 A.①和②都是奇函数 B.①和②都是偶函数C.①是奇函数，②是偶函数D.①和②都既不是奇函数，也不是偶函数12.(91上海)下列四个式子中，正确的是 A.sin(arccos 32)＞sin(arccos 31) B.tg(arccos 32)＞tg(arccos 31) C.sin[arccos(－32)]＞sin[arccos(－31)] D.tg[arccos(－32)]＞tg[arccos(－31)] 13.(92(4)3分)方程sin4xcos5x ＝－cos4xsin5x 的一个解是A.10oB.20oC.50oD.70o14.若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx ≥a 的x 的取值范围是(92(12)3分)A.[0，arcsina]B.[arcsina ，π－arcsina]C.[π－arcsina ，π]D.[arcsina ，2π＋arcsina] 15.(92上海)函数y ＝arccos 的值域是A.[0，2π]B.(0，2π) C.[0，π] D.(0，π) 16. (94(14)5分)函数y ＝arccos(sinx)(－323ππ<<x )的值域是 A.(65,6ππ) B.[0，65π] C.(32,3ππ) D.[32,6ππ]17. (95(7)4分)使arcsinx ＞arccosx 成立的x 的取值范围是A.(0，22]B.(22，1]C.[－1，22) D.[－1，0) 18. (95上海)方程tg(2x ＋33)3=π在区间[0，2π)上解的个数是 A.5 B.4 C.3 D.219. 96(8)4分)0＜α＜2π，arcsin[cos(2π＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于A.2π B.－2π C.2π－2α D.－2π－2α 20. (97(6)4分)满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是A.[－1，－21]B.[－21，0]C.[0，21]D.[21，1] 21. (98(14)5分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A.arccos 215- B.arcsin 215- C.arccos 251- D.arcsin 251- 22. (2000上海(16)4分)下列命题中正确的是 A.若点P(a ，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝552； B.同时满足sinα＝21，cosα＝23的角α有且只有一个； C.当|a|＜1时，tg(arcsina)的值恒正；D.三角方程tg(x ＋3)3π=的解集为{x|x ＝kπ，k∈Z}.二、填空题1. (85(6)4分)方程2sin(x ＋6π)＝1的解集是__________________. 2. (85(7)4分)设|a|≤1，那么arccosa ＋arccos(－a)等于_________. 3. (89(13)4分)方程sinx －3cosx ＝2的解集是__________________.4. (90上海)函数y ＝arcsinx(x ∈[－1，1])的反函数是_______________.5. (91(16)3分)arctg 31＋arctg 21的值是_________. 6. (93上海)函数y ＝arccosx(－1≤x ≤0)的反函数是_______________.7. (94上海)计算sin(21arccos 81)＝____________ 三、解答题(无)。
上海高一数学下册--09—反三角函数与最简三角方程
反三角函数与最简三角方程知识梳理2、最简单三角方程的解集：例题解析一、反三角函数的定义【例1】求下列反三角函数的值：（1）arcsin(2-；（2）arcsin1；（3）1arcsin 2（4）arccos2；（5）1arccos()2-； （6）arctan(1)-；（7）arctan 3【难度】★ 【答案】（1）3π-；（2）2π；（3）6π；（4）6π；（5）23π；（6）4π-；（7）6π【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示． 【难度】★ 【答案】415arcsin-π；⎪⎭⎫⎝⎛-41arccos ；15arctan -π；【例3】用反三角函数的形式表示下列角： （1）已知13sin 42x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反正弦的形式表示x ； （2）已知1cos 042x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反余弦的形式表示x ； （3）已知13tan 42x x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，用反正切的形式表示x ； 【难度】★★【答案】（1）1sin4x arc π=+；（2）1cos 4x arc =-；（3）1tan 4x arc π=+ 【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略【例4】关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数． 【难度】★★【答案】x arcsin y -=π，()sin 4,sin 2x ∈ΔABC 234AB BC CA ===，，B ∠【解析】由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭，得2680x x -+<，解得24x <<函数sin y x =，()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2 由()sin sin y x x π==-，且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有arcsin x y π-=， 即arcsin x y π=-将x 与y 互换得到原函数的反函数为：()1arcsin y f x x π-==-，()sin 4,sin 2x ∈【巩固训练】1．求下列反三角函数的值：1）1arcsin 2⎛⎫-⎪⎝⎭2）arcsin 23 3）arccos 21 4）arccos （-23） 5）1arctan 6）arctan （-33）【难度】★ 【答案】（1）6π- ；（2）3π；（3）3π；（4）56π；（5）4π；（6）6π-2．用反正弦函数值表示下列式子中的x ： （1）1sin 5x=，(0,)2x π∈； （2）1sin 5x =，(,)2x ππ∈（3）1sin 5x=， x 是第一象限角； （4）1sin 5x =， x R ∈ 【难度】★★ 【答案】（1）1arcsin 5x=；（2）1arcsin 5x π=-；（3）12arcsin 5x k π=+，k Z ∈； （4）12arcsin5x k π=+或12arcsin 5x k ππ=+-，k Z ∈．3．函数3sin 22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，的反函数为 （ ）[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11【难度】★★ 【答案】D【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下：ππ232≤≤x ∴-≤-≤-==ππππ22x x x y ，又sin()sin 由反正先函数的定义，得：arcsin x y π-=，又11y -≤≤，故反函数为：[]arcsin 11y x x π=-∈-，，4．已知1cos 3x=，根据所给范围用反余弦函数值表示x ： 1︒x 为锐角 2︒ x 为某三角形内角 3︒ x 为第二象限角 4︒ x R ∈【难度】★★【答案】（1）1arccos 3x =；（2）1arccos 3x =；（3）不存在；（4）12arccos 3x k π=±()k Z ∈5． 1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x ． 2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合． 3）已知1tan 3x =且x R ∈，求x 的取值集合． 【难度】★★【答案】（1）1arctan 3x =；（2）1arctan 3x =或1arctan 3π+； （3）12arctan 3x k π=+或12arctan 3k ππ++()k Z ∈．6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）（1）arcsin y x =的反函数是sin y x = （2）cos ,[,0]y x x π=∈-的反函数是arccos ,[1,1]y x x =-∈-（3）tan ,,23y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的反函数是arctan ,(y x x =∈-∞A .0个B .1个C .2个D . 3个 【难度】★★ 【答案】C二、反三角函数的图像与性质1、反三角函数的图像应用【例5】下列命题中正确的是①函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；②函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； ③函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；④函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数． 【难度】★ 【答案】③【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小：（1）2arcsin 5与；（2）2arccos 3与2arccos()3-；（3）2arcsin 3与2arccos 3【难度】★【答案】（1）2arcsin5<；（2）2arccos 3<2arccos(3-；（3）2arccos3=Q ，23<，2arcsin 3∴<，22arcsin arccos 33∴<【例7】求解下列不等式中x 的范围： （1）arcsin 1x ＜；（2）2arccos(21)arccos x x -＜； （3）arcsin arccos x x >；（4）()2arccos arccos 0x x --＞． 【难度】★★【答案】（1）1sin1x -≤＜；（2）112x -≤-＜（3）12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦；（4）112x -≤＜【例8】求下列函数的反函数： （1）arcsin 2y x π=-，[1,1]x ∈-； （2）sin y x =（32x ππ≤≤） （3）2arccos(21)y x =+-； （4）1arctan 32x y = 【难度】★★★【答案】（1）反函数为cos y x =，[0,]x π∈；（2）反函数为arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-； （3）反函数为11cos(2)22y x =-+，[2,2]x π∈+；（4）反函数为2tan(3)y x =，(,)66x ππ∈-．【巩固训练】1．若⎥⎦⎤⎝⎛∈653ππ,x arccos ，则x 的取值范围是 ． 【难度】★【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2123，2．解不等式：5arccos(2)6x π->． 【难度】★【答案】22⎛⎤+⎥ ⎝⎦【解析】原式即为：arccos(2)arccos(2x ->由arccos y x =为减函数，知12122x x -≤-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩解得原不等式的解为：1,22⎡-⎢⎣⎭3．求下列不等式的解集：（1）2arcsin arcsin(1)x x <-；（2）arccos2arccos(1)x x <-；（3）2arctan 2arctan(3)0x x +->．【难度】★★ 【答案】（1）1[1,)2--；（2）11(,]32；（3）(1,3)-2、反三角函数的定义域、值域与最值【例9】写出下列函数的定义域： （1）y = （2）2arcsin()y x x =+ （3）2log arccos 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】（1）[0,1] （2）⎣⎦ （3）[2,1)-【例10】求下列函数的定义域和值域：（1）2arcsin 33x y π=+；（2）y =；（3）arc tan(21)y x =-． 【难度】★★【答案】（1）定义域为[3,3]-，值域为24[,33ππ-；（2）定义域为[1,1)-，值域为)+∞； （3）定义域为R ，值域为(,22ππ-；【例11】函数()21arcsin 2y x x =-的值域是 ．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41214arcsin ，π【解析】由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤【例12】求函数xarcsin y 1=的定义域与值域． 【难度】★★【答案】[)+∞,1，⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π 【解析】由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≠01arcsin 1110x x x 得1≥x ，故函数的定义域为[)+∞,1由20,21arcsin 01101ππ≤<∴≤<∴≤<⇒≥y x x x ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π【例13】求函数()21arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值，以及相应的x 的值． 【难度】★★【答案】最大值为0，此时1x =；最小值为241093ππ-，此时12x =-．【例14】函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ， 【解析】函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增， 所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【例15】求函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域． 【难度】★★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 【解析】先求函数的定义域∴≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,2102121201211111211x x x x x x x 函数的定义域是}⎩⎨⎧≤≤210x x2)1arcsin(6,1121,210ππ≤-≤∴≤-≤∴≤≤x x x 同理：22arccos 0120π≤≤∴≤≤x x∴函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6．【巩固训练】1．函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =___________． 【难度】★★【答案】由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x a a x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。
高一(下)数学练习十六——反三角函数与最简三角方程
8．方程 s in x ＝ sin 的解集是 ．高一（下）数学练习十六——反三角函数与最简三角方程一．填空题：1．函数 y ＝ arcsin(3 - x) 的定义域是．2．方程 s in 2 x ＝－1， x ∈ [ －2 π ，2 π ] 的解集是．3．若 cos α ＝－ 1 3π， α ∈ ( π ， ) ，则 α 用反三角函数表示为 ．5 214．计算： cos[2 arcsin(- )] ＝ ．35．若 x 满足 0＜ x ＜2 π 且 arccos(sin x) ＝π7，则 x 的值为 ．ππ6．若 f ( x ) ＝－2 arcsin(2 x + 1) ，则 f -1 (-) ＝．2 2 1 17．若 x ∈ [ － ， ] ，则 y ＝ arccos x 的值域是．2 2π72π 9．满足 tan(2 x -) ＝1 的 x 中，绝对值最小的是．3△10．在 ABC 中，∠A 满足 sin 2 A － cos 2 A ＝1，则∠A ＝．11．函数 y ＝ arccos( x 2 - x) 的单调递增区间为．12．设 a ∈ ( 0，1 ) ，则在 [ 0，2 π ] 内使 sin x ≥ a 的 x 的取值范围是： ．二．选择题：13．方程 a 2 sin 2 x ＋ a sin x －2＝0 有解的条件是（ ） （A ）| a |≤1； （B ）| a |≥1； （C ）| a |≥2； （D ） a ∈R ．14．若 0＜ x ＜π π，则 arccos[cos( + x)] ＋ arcsin[sin(π + x)] 等于（ ）2 2ππππ（A ）； （B ）－； （C ）－2 x ； （D ）－－2 x ．222 215．已知关于 x 的方程 2 x 2 －4 x sin ϑ ＋3 cos ϑ ＝0 有两个相等的实数根，则 ϑ 的值是πππ（）（A ）±； （B ） k π ±； （C ）2 k π ±； （D ）不存在．333x x16．若方程 a sin( ) ＋ cos( ) ＝2 a －1 有解，则实数 a 的取值范围是（）3 34 4 4（A ） a ≤0； （B ） a ≥ ； （C ）0≤ a ≤ ； （D ） a ≤0 或 a ≥ ．3 3 3三．解答题：17．求函数 y ＝ arccos(2 x 2 - x) 的定义域和值域．解：18．计算：13（1）cos[arccos(-)]；（2）sin(arcsin 2535+arcsin817)．解：解：19．解下列三角方程：（1）3cos2x＋sin x＋1＝0；（2）3sin x－4cos x＝5；解：解：（3）sin2x－3sin x cos x＋1＝0．解：20．已知α、β是方程sin x＋3cos x＝m在(0，2π)上的两相异实数根，试求m的取值范围．解：4 i n高一（下）数学练习十六——反三角函数与最简三角方程（答案）一．填空题：1．函数 y ＝ arcsin(3 - x) 的定义域是[ 2，3 ]．2．方程 s in 2x ＝－1， x ∈ [ －2 π ，2 π ] 的解集是{ － 5π π 3π 7π，－ ， ， } ． 4 4 41 3π 13．若 cos α ＝－ ， α ∈ ( π ， ) ，则 α 用反三角函数表示为 π ＋ arccos ．5 2 51 74．计算： cos[2 arcsin(- )] ＝ ．3 9π 5π 9π5．若 x 满足 0＜ x ＜2 π 且 arccos(sin x) ＝ ，则 x 的值为 或 ．7 14 146．若 f ( x ) ＝π π －2 arcsin(2 x + 1) ，则 f -1(- ) ＝ 0 ．2 21 1π2π7．若 x ∈ [ － ， ] ，则 y ＝ arccos x 的值域是[ ， ] ．2 23 3ππ6π8．方程 s in x ＝ sin 的解集是{ x | x ＝2 k π ＋ 或 x ＝2 k π ＋ ， k ∈Z }．77 72π π9．满足 tan(2 x -) ＝1 的 x 中，绝对值最小的是－．324ππ△10．在 ABC 中，∠A 满足 sin 2 A － cos 2 A ＝1，则∠A ＝或．4211．函数 y ＝ arccos( x 2 - x) 的单调递增区间为[ 1 - 5 1 ， ] ．2 212．设 a ∈ ( 0，1 ) ，则在 [ 0，2 π ] 内使 sin x ≥ a 的 x 的取值范围是：[ a r c s a ， π － arcsin a ]．二．选择题：13．方程 a 2 sin 2 x ＋ a sin x －2＝0 有解的条件是（ B ）（A ）| a |≤1； （B ）| a |≥1； （C ）| a |≥2； （D ） a ∈R ．14．若 0＜ x ＜π π，则 arccos[cos( + x)] ＋ arcsin[sin(π + x)] 等于（ A ）2 2ππππ（A ）； （B ）－； （C ）－2 x ； （D ）－－2 x ．222 215．已知关于 x 的方程 2 x 2 －4 x sin ϑ ＋3 cos ϑ ＝0 有两个相等的实数根，则 ϑ 的值是πππ（C）（A ）±； （B ） k π ±； （C ）2 k π ±； （D ）不存在．333x x16．若方程 a sin( ) ＋ cos( ) ＝2 a －1 有解，则实数 a 的取值范围是（ C）3 34 4 4（A ） a ≤0； （B ） a ≥ ； （C ）0≤ a ≤ ； （D ） a ≤0 或 a ≥ ．3 3 3解：原式＝5三．解答题：17．求函数y＝arccos(2x2-x)的定义域和值域．解：∵－1≤2x2－x≤1，解得：x∈[－12，1]．1又2x2－x＝2(x-)2－4111≥－，∴－≤2x2－x≤1，8881得：y∈[0，π－arccos]．8 18．计算：13（1）cos[arccos(-)]；（2）sin(arcsin 2535+arcsin817)．77；解：原式＝．58519．解下列三角方程：（1）3cos2x＋sin x＋1＝0；（2）3sin x－4cos x＝5；解：x＝2kπ－ππ4，k∈Z；解：x＝2kπ＋＋arctan，k∈Z；223（3）sin2x－3sin x cos x＋1＝0．解：x＝kπ＋arctan 12或x＝kπ＋π4，k∈Z．20．已知α、β是方程sin x＋3cos x＝m在(0，2π)上的两相异实数根，试求m的取3)＝m，x∈(0，2π)，值范围．解：sin x＋3cos x＝2sin(x+π由图像可知：m∈(－2，3)∪(3，2)时，方程在(0，2π)上有两相异实数根．。
10309反三角函数与三角方程(答案)
第九讲：反三角函数与三角方程原函数和反函数关于y=x 对称三角函数选特定区间也能找到反函数[]:arcsin :1,1;:,;:;:.22y x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦什么样的函数具有反函数呢？答：定义域与值域之间存在一对一的关系的函数。
1、反三角函数定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数arcsin [1,1]y x x =∈-单调性的描述要注意：应该描述成在上单调递增。
[][][]()()arccos :1,1;:0,;:;:.121101023223arcta y x y x y ππππππ=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==定义域值域奇偶性非奇非偶单调性减函数注意：这是0,上的反函数，我们把它定为标准区间。
那么其它区间的反函数怎么表示呢？解题思路：非标准区间要转化成标准区间来解画出反余弦函数图像的方法：（1）描点法：，，，，，，，，，；（2）利用反函数图像与原函数关于对称作图。
()n :,;:,;:;:22x ππ⎛⎫-∞+∞- ⎪⎝⎭定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数[][][][]2:sin(arcsin ),1,1;arcsin()arcsin ,1,1;cos(arccos ),1,1;arccos()arccos ,1,1;tan(arctan ),; arctan()arctan ,x x x x x x x x x x x x x x x R x x x Rπ=∈--=-∈-=∈--=-∈-=∈-=-∈、反三角函数的恒等式有arcsin(sin ),,;22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦3.1(1)arcsin 12arccos k x k a x k a πππ⇔≤=+-⇔≤=±⇔最简三角方程：sinx=a 当a 时,cosx=a 当a 时,tanx=a x=k +arctanaa 提示：（1）要有字母观点，要根据的情况分类讨论； （2）这个解是一般解，适合所有情况，但对于某些特殊值（如0，1等），可以用更简洁的形式表示。
反三角函数与最简三角方程期末复习
反三角函数与最简三角方程
已知关于x的方程 3 sin 2 x cos 2 x k 1 在区间0, 内有相异的两个实数解 , 求k 2 的取值sin x a
当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
3 4 y sin x, x , 2 2
2
2三角方程 cos x a
当a 1时, x 一般地, 当 a 1时, x
. x 2k , k Z
2
, k Z
.
.
k (1) k arcsin a, k
当 a 1时, 方程无解; 当a 1时, x x 2k , k Z . 当a 1时, x x 2k , k Z . 一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
一、复习反三角函数，完成下列习题：
1 arcsin 1
2 y sin x, x , 2 2 arcsin 4 ; 2 2 2 7函数f x arccos x 1 的反函数是 3 arccos1 3 ; 2 y sin x, x 0, 2 5 2 3 4 arccos 6 ;8函数f x 2 arctanx的反函数是 2 x y tan , x , 5 arct an 1 4 ;
3三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
1.解下列三角方程
1 3 sin x cos x 1, x 0, 2cos2 x sin 2 x 1 37 cos x 3 cos2 x 0 46 sin 2 x 8 sin x cos x 1 2.求下列函数的反函数 1 y arcsin 2 x; 2 y arccos x ; 3 y arctan2 x 1;
反三角函数知识点总结
《反三角函数知识点总结》一、引言三角函数是数学中一个重要的分支，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
而反三角函数则是三角函数的反函数，它们为解决一些特定类型的问题提供了有力的工具。
本文将对反三角函数的知识点进行全面总结，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
二、反三角函数的定义1. 反正弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\sin y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arcsin x\)，反正弦函数\(\arcsin x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。
- 图像：反正弦函数的图像是一段在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)区间内的曲线，关于原点对称。
2. 反余弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\cos y = x\)，且\(0\leq y\leq\pi\)，那么\(y=\arccos x\)，反余弦函数\(\arccos x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)。
- 图像：反余弦函数的图像是一段在\([0,\pi]\)区间内的曲线，关于\(y\)轴对称。
3. 反正切函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\tan y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\lt y\lt\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arctan x\)，反正切函数\(\arctan x\)的定义域是\(R\)，值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。
- 图像：反正切函数的图像是一条在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)区间内的曲线，关于原点对称。
三、反三角函数的性质1. 定义域和值域- 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义域都是有一定限制的，分别是\([-1,1]\)、\([-1,1]\)和\(R\)。
最新反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)
反三角函数与最简三角方程专题1、反三角函数： 概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2、最简单的三角方程其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数及最简三角方程答案
反三角函数及最简三角方程反三角函数的定义域，值域，图像，最值，奇偶性，单调性简单的三角方程巩固练习 1、求值：=23arcsin=-)21arcsin( =-)22arccos( =-)3arctan( 2、下列命题中正确的是 3（1）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 (2) 函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 (3) 函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 (4) 函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 3、若函数)2arcsin(2-=x y 值域是],3[ππ-，则此函数定义域为 ]3,23[ 4、设αsin =x ，且]47,65[ππα∈，则x arccos 的取值范围是 ],3[ππ5、方程k x x =+cos sin 2有解，实数k 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,16、函数3arcsin2x y =的反函数为______)23,23(3sin 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππx x y __________ 7、已知tan (,)2x x ππ=∈，则x ＝______22arctan -π_______(用反正切函数表示) 8、下列各式中正确的是（C ） （A ）216arcsin =π (B)3)3cos(arccos ππ= (C)1222arctan arctan π=- (D)53)]53(arcsin[sin ππ=9、函数]23,2[,sin ππ∈=x x y 的反函数)(1x f -= （ D ） （A ）]1,1[,arcsin -∈-x x (B)]1,1[,arcsin -∈--x x π(C) ]1,1[,arcsin -∈+x x π (D) ]1,1[,arcsin -∈-x x π10、若1arcsin >x ，则x 的取值范围是 （ B ） （A ）]2,1(π(B)]1,1(sin (C)]2,1(sin π(D)φ 11、求函数)arcsin(2x x y -=的定义域、值域及单调区间。
高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程
2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
下面是2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程，希望对考生有帮助。
它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先运用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。
定义域R，值域(-π/2，π/2)。
反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。
定义域R，值域(0，π)。
小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数、最简三角方程
则 注意（ ） 注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解 若 a > 1， cos x = a 无解 则
（2）灵活使用结论（一） ）灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二 结论 二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于 的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角 ； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1． 定义 2． 图像 3． 性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值 域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4． 恒等式 5． 符号的意义 6． 特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2
高一(下)数学练习十六——反三角函数与最简三角方程
高一（下）数学练习十六——反三角函数与最简三角方程一．填空题： 1．函数y ＝)3arcsin(x -的定义域是 ．2．方程x 2sin ＝－1，x ∈[－2π，2π]的解集是 ．3．若αcos ＝－51，α∈(π，23π)，则α用反三角函数表示为 ． 4．计算：)]31arcsin(2cos[-＝ ． 5．若x 满足0＜x ＜2π且)arccos(sin x ＝7π，则x 的值为 ． 6．若)(x f ＝2π－2)12arcsin(+x ，则)2(1π--f ＝ ． 7．若x ∈[－21，21]，则y ＝x arccos 的值域是 ． 8．方程x sin ＝7sin π的解集是 ． 9．满足)322tan(π-x ＝1的x 中，绝对值最小的是 ． 10．在△ABC 中，∠A 满足A 2sin －A 2cos ＝1，则∠A ＝ ．11．函数y ＝)arccos(2x x -的单调递增区间为 ．12．设a ∈(0，1)，则在[0，2π]内使x sin ≥a 的x 的取值范围是： ． 二．选择题：13．方程x a 22sin ＋x a sin －2＝0有解的条件是（ ）（A ）|a |≤1； （B ）|a |≥1； （C ）|a |≥2； （D ）a ∈R ． 14．若0＜x ＜2π，则)]2(arccos[cos x +π＋)](arcsin[sin x +π等于（ ） （A ）2π； （B ）－2π； （C ）2π－2x ； （D ）－2π－2x ． 15．已知关于x 的方程22x －4ϑsin x ＋3ϑcos ＝0有两个相等的实数根，则ϑ的值是（ ）（A ）±3π； （B ）πk ±3π； （C ）2πk ±3π； （D ）不存在． 16．若方程)3sin(x a ＋)3cos(x ＝2a －1有解，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）a ≤0； （B ）a ≥34； （C ）0≤a ≤34； （D ）a ≤0或a ≥34． 三．解答题：17．求函数y ＝)2arccos(2x x -的定义域和值域．解：18．计算：（1）)]53arccos(21cos[-； （2）)178arcsin53sin(arcsin +． 解： 解：19．解下列三角方程：（1）3x 2cos ＋x sin ＋1＝0； （2）3x sin －4x cos ＝5；解： 解：（3）x 2sin －3x x cos sin ＋1＝0．解：20．已知α、β是方程x sin ＋x cos 3＝m 在(0，2π)上的两相异实数根，试求m 的取值范围．解：高一（下）数学练习十六——反三角函数与最简三角方程（答案）一．填空题： 1．函数y ＝)3arcsin(x -的定义域是 [2，3] ．2．方程x 2sin ＝－1，x ∈[－2π，2π]的解集是 {－45π，－4π，43π，47π} ． 3．若αcos ＝－51，α∈(π，23π)，则α用反三角函数表示为 π＋51arccos ． 4．计算：)]31arcsin(2cos[-＝ 97 ． 5．若x 满足0＜x ＜2π且)arccos(sin x ＝7π，则x 的值为 145π或149π ． 6．若)(x f ＝2π－2)12arcsin(+x ，则)2(1π--f ＝ 0 ． 7．若x ∈[－21，21]，则y ＝x arccos 的值域是 [3π，32π] ． 8．方程x sin ＝7sin π的解集是 {x |x ＝2πk ＋7π或x ＝2πk ＋76π，k ∈Z } ． 9．满足)322tan(π-x ＝1的x 中，绝对值最小的是 －24π ． 10．在△ABC 中，∠A 满足A 2sin －A 2cos ＝1，则∠A ＝ 4π或2π ． 11．函数y ＝)arccos(2x x -的单调递增区间为 [251-，21] ． 12．设a ∈(0，1)，则在[0，2π]内使x sin ≥a 的x 的取值范围是：[a a r c s i n，π－a arcsin ] ． 二．选择题：13．方程x a 22sin ＋x a sin －2＝0有解的条件是（ B ）（A ）|a |≤1； （B ）|a |≥1； （C ）|a |≥2； （D ）a ∈R ． 14．若0＜x ＜2π，则)]2(arccos[cos x +π＋)](arcsin[sin x +π等于（ A ） （A ）2π； （B ）－2π； （C ）2π－2x ； （D ）－2π－2x ． 15．已知关于x 的方程22x －4ϑsin x ＋3ϑcos ＝0有两个相等的实数根，则ϑ的值是（ C ）（A ）±3π； （B ）πk ±3π； （C ）2πk ±3π； （D ）不存在． 16．若方程)3sin(x a ＋)3cos(x ＝2a －1有解，则实数a 的取值范围是（ C ） （A ）a ≤0； （B ）a ≥34； （C ）0≤a ≤34； （D ）a ≤0或a ≥34．三．解答题：17．求函数y ＝)2arccos(2x x -的定义域和值域．解：∵－1≤22x －x ≤1，解得：x ∈[－21，1]． 又22x －x ＝22)41(-x －81≥－81，∴－81≤22x －x ≤1， 得：y ∈[0，π－81arccos ]．18．计算：（1）)]53arccos(21cos[-； （2）)178arcsin 53sin(arcsin +． 解：原式＝55； 解：原式＝8577．19．解下列三角方程：（1）3x 2cos ＋x sin ＋1＝0； （2）3x sin －4x cos ＝5； 解：x ＝2πk －2π，k ∈Z ； 解：x ＝2πk ＋2π＋34arctan ，k ∈Z ；（3）x 2sin －3x x cos sin ＋1＝0．解：x ＝πk ＋21arctan 或x ＝πk ＋4π，k ∈Z ．20．已知α、β是方程x sin ＋x cos 3＝m 在(0，2π)上的两相异实数根，试求m 的取值范围．解：x sin ＋x cos 3＝2)3sin(π+x ＝m ，x ∈(0，2π)，由图像可知：m ∈(－2，3)∪(3，2)时，方程在(0，2π)上有两相异实数根．。
探索三角函数反三角函数与三角方程练习题
探索三角函数反三角函数与三角方程练习题三角函数是高中数学中的重要内容，它与反三角函数和三角方程密切相关。
在本文中，我们将深入探讨三角函数反三角函数与三角方程，并提供一些练习题来帮助读者加深理解。
开始我们的探索吧！一、三角函数与反三角函数在初学三角函数时，我们首先了解了正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数可以用来描述角度与长度之间的关系。
正弦函数表示角度对应的纵坐标值与半径的比值，余弦函数表示角度对应的横坐标值与半径的比值，正切函数表示正弦值与余弦值的比值。
而反三角函数则是三角函数的逆运算，用来求解角度。
常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
反三角函数的定义域是三角函数的值域范围，值域是角度的定义域。
为了更好地理解反三角函数的概念，我们可以通过以下练习题来巩固知识：1. 求解sinθ=0.5，其中θ∈[0°，180°]。
2. 求解cosθ=-0.8，其中θ∈[0°，360°]。
3. 求解tanθ=1，其中θ∈[0°，180°]。
二、三角方程三角方程是含有三角函数的方程，可以通过运用反三角函数的概念来解决。
在解三角方程时，我们需要注意以下几个步骤：1. 将含有三角函数的方程转化为含有反三角函数的方程。
2. 使用反三角函数的性质和公式将方程进行简化。
3. 求解反三角函数方程，得到解。
4. 检验解是否满足原方程。
下面是几个三角方程的练习题，你可以尝试解决它们：1. sinθ+cosθ=1，其中θ∈[0°，360°]。
2. 2sinθ+3cosθ=4，其中θ∈[0°，360°]。
3. tanθ=2sinθ，其中θ∈[0°，360°]。
三、综合练习题通过练习题的方式，我们可以更好地巩固和应用所学的知识。
下面是一些综合练习题，将涉及到三角函数、反三角函数和三角方程的概念，希望你能挑战一下：1. 求解sin(2x-30°)=sin(60°-x)，其中x∈[0°，360°]。
高三数学总复习填空题专项训练(附解析)——08反三角函数和最简三角方程
高三数学总复习填空题专项训练(附解析)——08反三角函数和最简三角方程1. （2021·上海虹口·高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，定义11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的折线距离1212(,)d A B x x y y =-+-.设点22(,)P m n ，(,)Q m n ，(0,0)O ，(2,0)C ，若(,)1d P O =，则(,)d Q C 的取值范围___________.2. （2021·上海高三二模）如图，已知P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，若2AB BC =，则PC PA ⋅的值域是__________.3. （2021·上海徐汇·高三二模）在ABC 中，已知AB ＝1，BC ＝2，若cos sin C y C =sin cos CC，则y 的最小值是_____．4. （2021·上海高三二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是_________.5. （2020·上海）函数arcsin(2)y x =-的定义域是_____________，值域是_________．6. （2020·上海）函数2arccos y x =的值域是_________．7. （2020·上海）若()arccos arccos 1x x >-成立，则x 的取值范围是_________．8. （2020·上海）若arc cos()arc cos x x -=，则x =__________．9. （2020·上海）函数arc cos(1)y x =-的定义域是__________．10. （2020·上海）函数()2arccos y x x =+的最大值是_________，最小值是_________．11. （2021·上海浦东新·华师大二附中）已知平面直角坐标系中不垂直于x 轴的直线l ，则“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的（ ）12. （2020·上海高三专题练习）函数(x)sinx 2|sinx |f =+，[0,2]xπ的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____. 13. （2020·上海）方程|sin ||cos |2x x +=的解集是_________．答案1. 【答案】[1,22]+【分析】由新定义得出,m n 的关系，得出(,)d Q C 的表达式，然后根据绝对值的性质，用换元法求得范围．【详解】由题意22(,)1d P O m n =+=，设cos ,sin m y θθ==，[0,2)θπ∈， 所以(,)2d Q C m n=-+cos 2sin 2cos sin θθθθ=-+=-+，当0θπ≤≤时，(,)2cos sin 22sin()4d Q C πθθθ=-+=+-， 3,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，2sin ,142πθ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，(,)[1,22]d Q C ∈+， 2πθπ<<时，(,)2cos sin 22sin()4d Q C πθθθ=--=-+， 59,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 1,42πθ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，(,)[1,22]d Q C ∈+， 综上，(),1,22d Q C ⎡⎤∈+⎣⎦，故答案为：[1,22]+，【点睛】关键点点睛：本题考查距离新定义，解题关键是由新定义化问题为绝对值的问题，利用换元法转化为三角函数问题，结合绝对值的性质分类讨论可得． 2. 【答案】5213,0⎡⎤-⎣⎦【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可．【详解】以圆心为原点，平行AB 的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,3)A -，(2,3)C ，设(2cos ,2sin )P θθ，233ππθ，则(22cos PC PA θ⋅=-，32sin )(12cos θθ-⋅--，32sin )52cos 43sin θθθ-=--5213sin()θα=-+，且330tan 63α<=<，06πα∴<<，∴536ππθα<+<，sin()y θα=+在(3π，]2π上递增，在[2π，5)6π上递减， ∴当2πθα=-时，PC PA ⋅的最小值为5213-，当23πθ=时，PC PA ⋅的最大值为2252cos43sin 033ππ--=， 则[5213PC PA ⋅∈-，0]， 故答案为：[5213-，0]．【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题. 3. 【答案】12【分析】根据题意，由矩阵的计算公式和平方关系可得212sin y C=-，由正弦定理可得sin C 的最大值，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，222cos sin cos sin 12sin sin cos C Cy C C C C C==-=-， 又在ABC 中，sin sin AB BCC A=，而1AB =，2BC =，即12sin sin C A =，变形可得sin 2sin A C =，则有sin 1sin 22AC =， 则221112sin 1222y C ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，即y 的最小值是12.故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由正弦定理得sin 2sin A C =，则由三角函数的性质sin 1sin 22A C =. 4. 【答案】10±，11±【分析】由题设可得()f x 最小正周期为||T n =，又x ∈Z 且()f x 值域有6个实数组成，即||[0,]2n 上一定存在6个整数点，讨论n 为奇数或偶数，求n 值即可.【详解】由题设知：()f x 的最小正周期为2||2||T n nππ==，又x ∈Z ， ∴n 为非零整数，在||[0,]2n 上()f x 的值域有6个实数组成，即()f x 的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数， ∴当n 为偶数，有||52n =，即10n =±； 当n 为奇数，有||562n <<，即11n =±； 故答案为：10±，11±【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求()f x 最小正周期为||T n =，结合已知有||[0,]2n 内有6个整数点，讨论n 的奇偶性求值. 5. 【答案】[1,3],22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据反正弦函数的定义域和值域可求给定函数的定义域和值域.【详解】由题设有121x -≤-≤，故[]1,3x ∈，故函数的定义域为[1,3].又因为[]arcsin ,1,1y t t =∈-的值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故arcsin(2)y x =-的值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：[1,3]，,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查与反正弦函数有关的复合函数的定义域和值域，根据反正弦函数的性质来讨论是关键，本题属于基础题. 6.【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求函数的定义域，再根据反余弦函数的性质可求复合函数的值域.【详解】因为211x -≤≤，故11x -≤≤.令2t x =，则[]0,1t ∈，此时arccos =y t 的值域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故函数2arccos y x =的值域是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查与反余弦函数有关的复合函数的值域，注意先确定函数的定义域，再根据反余弦函数的性质求解. 7. 【答案】12x <. 【分析】根据反余弦函数的定义域和单调性可解得结果. 【详解】由反余弦函数的定义域可得11111x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得01x ≤≤，又因为反余弦函数arccos y x =在[]1,1-上单调递减， 所以1x x ，解得12x <， 综上可得x 的取值范围是102x <. 故答案为：12x <. 【点睛】本题考查了反余弦函数的定义域和单调性，属于基础题.8. 【答案】0【分析】根据反余弦函数的定义arc cos()x -arccos x π=-，再解方程. 【详解】由arc cos()arc cos x x -=，得arccos arccos x x π-=，得arccos 2x π=，则cos 02x π==. 故答案为：0【点睛】本题考查了反余弦函数的定义和应用，属于容易题. 9. 【答案】[0,2]【分析】利用反三角函数定义域直接求解即可.【详解】由题11102x x -≤-≤∴≤≤，故函数arc cos(1)y x =-的定义域是[]0,2. 故答案为:[]0,2【点睛】本题考查反三角函数的定义域问题，准确计算是关键，属于容易题.10. 【答案】1πarccos 4- 0【分析】设2t x x =+，计算t 的范围，根据函数arccos =y t 单调递减得到答案. 【详解】221124t x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故2114t x x ≥=+≥-，arccos =y t 单调递减，故当1t =时，arccos =y t 最小为0；当14t =-，arccos =y t 最大值为11arccos πarccos 44⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：1πarccos 4-；0.【点睛】本题考查了反三角函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用函数单调性是解题的关键. 11. 【答案】C【分析】由反正切函数的值域以及充分必要条件的判定可得出正确选项.【详解】当0k ≥时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k . 当0k <时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k π+. 反之，若直线l 的倾斜角为arctan k ，则直线l 的斜率为()tan arctan k k =. 因此，“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的必要非充分条件. 故选C.【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，考查了反正切函数的应用，同时也考查了必要不充分条件的判断，在判断时要熟悉直线倾斜角的取值范围以及反正切函数的值域，考查推理能力，属于中等题. 12. 【答案】13k << 【详解】()[][]3,0,.,,2.sinx x f x sinx x πππ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩作出其图像，可只有两个交点时k 的范围为13k <<. 故答案为13k <<13.【答案】|4x x k ππ⎧=+⎨⎩或3,4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭【分析】对方程两边同时平方，结合同角三角函数平方关系、二倍角的正弦公式可得sin 21x =±，再利用三角函数的性质即可得解. 【详解】|sin ||cos |2x x +=，∴()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2x x x x x x x x +=++=+=， ∴2sin cos sin 21x x x ==，∴sin 21x =±，当sin 21x =时，则()222x k k Z ππ=+∈即()4x k k Z ππ=+∈；当sin 21x =-时，则()3222x k k Z ππ=+∈即()34x k k Z ππ=+∈； ∴原方程的解集为|4x x k ππ⎧=+⎨⎩或3,4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭.故答案为：|4x x k ππ⎧=+⎨⎩或3,4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系、二倍角的正弦公式的应用，考查了三角方程的求解，属于中档题.。
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反三角函数与最简三角方程专题
1、反三角函数： 概念：把正弦函数
sin y x =，,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.
sin ()y x x R =∈，不存在反函数.
含义：arcsin x 表示一个角α；角α
,22ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
；sin x α=. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.
其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－
2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π
]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2
π
], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],
arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2
π
], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2
π
的应用。
2、最简单的三角方程
其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；
（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；
若tan tan α
β=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；
（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题】
例1. 函数，，的反函数为（
）y x x =∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin ππ232
例2. 函数，，的图象为（
）y x x =∈-⎡⎣⎢⎤⎦
⎥arccos(cos )ππ22
（A ） （B ）
（C ） （D ）
例3. 求值：(1)3sin 2arcsin 5⎡⎤
⎛⎫-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
(2)11tan arccos 23⎛⎫ ⎪⎝⎭
例4.画出下列函数的图像（1）
)arcsin(sin x y =
函数是以π2为周期的周期函数 当]2,2[π
π-
∈x 时，x x =)arcsin(sin
当]2
3,2[π
π∈x 时，x x -=π)arcsin(sin 其图像是折线，如图所示： （2）
]1,1[),sin(arccos -∈=x x y ∵ ],0[arccos π∈x
∴
)1(1)(arccos cos 122≤-=-=x x x y
其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：
例5.已知)2
3,(,135sin ),2,0(,2572cos π
πββπαα∈-=∈=
求βα+（用反三角函数表示）
例6.已知函数
2()arccos()f x x x =-
（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：
()(21)f x f x <+
简单的三角方程
例1.写出下列三角方程的解集
(1)sin()8
x π
-
=
; (2)2cos310x +=; (3)cot 3=
例2.求方程tan(3)4
x π
+=[]0,2π上的解集.
例3.解方程2
2sin
10x x ++=
例4. 解方程①3sin 2cos 0x x -= ②2
22sin
3sin cos 2cos 0x x x x --=
例5.解方程：2cos 21x x -= (2)5sin312cos3 6.5x x -=
例6.解方程2
2sin
3cos 0x x +=．
例7.解方程：tan()tan()2cot 44
x x x π
π
++-=
例8.已知方程sin 0x x a +=在区间[]0,2π上有且只有两个不同的解，求实数a 的取值范围。
例9.若方程cos22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围． 例10.求方程sin 2cos()x x π=-的解集．
【巩固练习】 反三角函数
1.3arctan(tan
)5
π
的值是 ( C ) A.35π- B. 25π C.25
π-
D.
35π
2.下列关系式中正确的是 ( C ) A. 55cos cos 44arc ππ⎡⎤⎛⎫-
=- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
B. sin arcsin
33
ππ
⎛⎫=
⎪⎝
⎭
C. cos cos
cos cos 44arc arc ππ⎛⎫
⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
D.1tan(2)cot()2arc arc -=- 3.函数
()arcsin(tan )f x x =的定义域是 ( B )
A.
,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.(),44k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.
(),(1)44k k k Z ππππ⎡⎤++-∈⎢⎥⎣⎦ D.()2,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ 4.在
31,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上和函数y x =相同的函数是 ( B ) A.
arccos(cos )y x = B.arcsin(sin )y x = C.sin(arcsin )y x = D.cos(arccos )y x =
5.函数
arctan
2
x
y π=+的反函数是 . 6.求
sin y x =在3,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的反函数.
7.比较arccos ⎛ ⎝⎭
与1
cot()2arc -的大小.
1arccos cot()2
arc ⎛
>- ⎝⎭ 8.研究函数
()2arccos y x x =-的定义域、值域及单调性.
9.计算:45cos arccos
arccos 513⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
10.求下列函数的定义域和值域： (1) y ＝arccos
x
1; (2) y ＝arcsin(－x 2＋x ); (3) y ＝arccot(2x
－1),
11.求函数y ＝(arccos x )2
－3arccos x 的最值及相应的x 的值。
简单的三角方程 1.解下列方程. (1)2
tan 1x = (2)sin5sin3x x =
2.方程sin2x ＝sin x 在区间(0, 2π)内的解的个数是 .
3.(1) 方程tan3x ＝tg x 的解集是 (2) 方程sin x ＋cos x ＝
2
2
在区间[0, 4π]上的所有的解的和是 .
4.解方程2
2sin cos cos 0x x x x -=．。