高考数学 第五章 第五节 数列的综合应用课件 理 新人教A版

a1
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
(2)(2013·佛山模拟)已知{an}为等差数列，其公差为-2，且 a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的 值为( )
(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110
(3)(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3，前 三项的积为8. ①求等差数列{an}的通项公式； ②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.
a1
a1
故选C.
(2)选D.设等差数列{an}的首项为a1,公差d=-2. 则a7=a1+6d=a1-12， a3=a1+2d=a1-4， a9=a1+8d=a1-16. ∵a7是a3与a9的等比中项，∴a72=a3·a9, ∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),∴a1=20. ∴S10=10a1+1 0 9 d=110.
3．已知x>0，y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，
则 (A)0
a 的b 最 2 小值是(
cd
(B)1 (C)2
) (D)4
【解析】选D.∵a+b=x+y,cd=xy,
∴ ab2xy=24.(2 xy)2
cd
xy
xy
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，
则{an}的公比为______．
【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3， 即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，解13 得q= . 答案: 1
3
考向1 等差数列与等比数列的综合
【典例1】(1)已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和， 且S1,S2,S4成等比数列,则 a 2 a 3 =( )
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)在等差数列{an}中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、 项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出 另外两个．( ) (2)在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、 项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出 另外两个．( )
第五节 数列的综合应用
数列的实际应用 (1)解答数列应用题的步骤. ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解——求出该问题的数学解. ④还原——将所求结果还原到原实际问题中.
具体解题步骤用框图表示如下：
(3)数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对n∈N*
有
1
nn1
n12
1 n(n1)
．(
)
(4)数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式
2n>n时，可以构造函数f(n)=2n-n(n∈N*)，然后对这个函数求
导，研究函数的性质得出所证不等式．( )
【解析】(1)正确．根据等差数列各个元素之间的关系知正
【规范解答】(1)选C.设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，
∵S1,S2,S4成等比数列，∴S22=S1S4,
∴(a1+a2)2=a1×4a1 a,4
2
∴(2a1+d)2=2a1(2a1+3d),
∴d2=2a1d,解得d=2a1或d=0(舍去),
∴ a2a3a1d=a18 , 2d8a1
a1
【思路点拨】(1)由等比中项的性质列出S22=S1S4,再代入等差 数列的通项公式和前n项和公式，用a1和公差d表示出来，求出 a1和d的关系，进而求出式子的比值. (2)利用通项公式和已知条件列方程求出a1，代入求和公式求 S10. (3)①根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数 列通项公式可得结果． ②根据a2，a3，a1成等比数列确定等差数列的公差，按照项的 符号分段求解数列{|an|}的前n项和.
2
(3)①设等差数列的公差为d，根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1， 进而得a1a3=-8， 即(a2-d)(a2+d)=-8， 所以1-d2=-8，解得d=±3． 当d=3时，a1+3=-1，得a1=-4， 此时an=-4+(n-1)×3=3n-7； 当d=-3时，a1-3=-1，得a1=2， 此时an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5． ∴{an}的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.
(2)数列应用题常见模型. ①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型 是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时， 该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. ③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固 定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是 前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.
则{an}的前n项和Sn=( )
(A) n 2 7 n
44
(B) n 2 5 n
33
(C) n 2 3 n
24
(D)n2+n
【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得
(2+2d)2=2·(2+5d)，解得d1= 或d=0(舍去)，所以数列{an}
2
的前n项和S2nn =nn211 2n .4274 n
确．
(2)正确．根据等比数列各个元素之间的关系知正确．
(3)错误．
1 n2
对1 n≥2才有意义．
n(n 1)
(4)错误．函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函
数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导．
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，
Hale Waihona Puke Baidu
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中 项，则k=( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【解析】选B.由等差数列{an}且a1=9d，得 ak=a1+(k-1)d=(k+8)d， a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d. 又∵ak是a1与a2k的等比中项，则有ak2=a1a2k, 即[(k+8)d]2=9d×[(2k+8)d]得 k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2(舍去)．