双因素方差分析法非常好的具体实例

a b n
2
SST
X ijk X
i1 j1 k 1
可分解为： SST SSA SSB SSAB SSE
SSA称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验 指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和， 反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平 方和，反映试验误差对试验指标的影响。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
因素B
总平均 的效应
试验误差
Xijk i j ij ijk
观测值
因素A
交互作用
的效应 的效应
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型 Xijk i j ij ijk
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 L a 0
H02 : 1 2 L b 0
H03 : ij 0 i 1, 2,L , a; j 1, 2,L ,b
➢ 总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a 1, ab n 1
FB
SSB SSE
df B df E
MSB MSE
~F
b 1, ab n 1
FAB
SS AB SSE
df AB MSAB
df E
MSE
~F
a 1b 1, ab n 1
由 FA, FB , FAB 作右侧假设检验来考察各因素及因素
间的交互作用对试验指标的影响力.
双因素有重复（有交互作用）试验资料表
（A）
*
（B）
**
0.01 0.022 0.05 在 0.01 下接受，在 0.05下否决
0.001 0.01
在 0.01 下否决
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水 平的搭配必须作重复试验。
处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，
即把每种搭配AiBj看作一个总体Xij。
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 a
b
ij
j 1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 b
a i 1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij X ij ij
试验误差
i
1 a
b
ij
j 1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 b
a i 1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij X ij ij
F值
F 值临介值
因素A 因素B
SS A SSB
df A
MS A
SS A df A
FA
MS A MSE
df B
MSB
SSB df B
FB
MSB MSE
F (a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
A B
误差 总和
SS AB
SSE SST
df AB df E dfT
MS AB SS AB
试验误差
a
b
特性： i 0; j 0; ij ~ N 0, 2
i 1
j 1
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 L a 0 H02 : 1 2 L b 0
➢ 总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
注意
df E
dfT
df A
fB,
SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方
和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SSA DA p, SSB DB p
SSE R DA DB p, SST R p
其中： DA
SSB
2
,
SSE
2
的自由度分别记作
dfT , dfA, dfB , dfE ，则
FA
SS A SSE
df A df E
MSA MSE
~ F a 1, a 1b 1
FB
SSB SSE
df B df E
MSB MSE
~ F b 1, a 1b 1
FA
SS A SSE
df A df E
MSA MSE
2
SSE
X ij X i. X . j X
i1 j1
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H01, H02成立，则： Xij ~ N , 2
可推得：
SST
2
~ 2 ab 1
SSA
2
~
2 a 1
SSB
2
~
2 b 1
SSE
2
~
2 a 1b 1
将
SST
2
,
SS A
2
,
各因素，各水平，各交互作用下的均值。
作业 P195 3 4（借助软件完成）
预习第三节 正交试验设计 及其统计分析
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A 因素B 误差 总和
SS A SSB SSE SST
df A
MS A
SS A df A
df B
MSB
SSB df B
df E
MSE
SSE df E
dfT
F值
FA
MS A MSE
FB
MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1 b 1) F (b 1 , a 1 b 1)
a b
2
SST
X ij X
i1 j 1
可分解为：SST SSA SSB SSE
a
2
SSA b X i. X
i 1
b
2
SSB a X . j X
j 1
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。
称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
a b
丁
53 58 48
a
T. j Xij i 1
197 232 183
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
~ F a 1, a 1b 1
FB
SSB SSE
df B df E
MSB MSE
~ F b 1, a 1b 1
对给定的检验水平 ，
当 FA F a 1, a 1b 1 时，
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 FB F b 1, a 1b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
因素 B 因素 A
B1
X111
A1
...
X11n
...来自百度文库
B2
...
Bb
X121
...
X1b1
...
...
...
X12n
...
X1bn
......
X a11
X a21
...
X ab1
Aa
...
...
...
...
X a1n
X a2n
...
X abn
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
X ij
i 1
i1 j 1
X. j T. j a X .1 X .2 ... X .b
X 1T ab
➢ 无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型 X ij i j ij
其中
1 ab
a i 1
SSE SST SSA SSB 32.83 dfE dfA dfb 6
MSA SSA dfA 38.223
MSB SSB dfB 159.25
MSE SSE dfE 5.47 FA MSA MSE 6.98 FB MSB MSE 29.10
F0.05 3,6 FA F0.01 3,6
B2
6.15 7.86 7.38 7.05 6.30 5.81 6.54 6.63
B3
4.93 5.59 6.10 5.46 3.33 2.85 3.60 3.19
输入数据时，C2表示行因素 水平，C3表示列因素水平。 第几次重复不必列明，软件
自会识别。
结果显示如P185
均<0.01
饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同 及两者的交互作用对鱼的体重的影响极 有统计意义。
若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设
成立，则 Xijk ~ N , 2
可推得： SSA
2
~
2 a 1,
SSB
2
~
2 b 1,
SST
2
~ 2 abn 1
SS AB
2
~
2 a 1b 1,
SSE
2
~
2 abn 1
则
FA
SS A SSE
df A df E
MSA ~ F MSE
其中
1 ab
a i 1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 a
b
ij
j 1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 b
a i 1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij
ij
i
j
交互效应
ijk X ijk ij 试验误差
a
b
特性： i 0; j 0;
i 1
j 1
a
b
ij 0; ij 0; ijk ~ N 0, 2
我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
➢无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A 有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平， 记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
例1的上机操作
原始数据，行因素水平，列因素水平
对应例1 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。
R
X
2 ij
31678
i1 j1
DA
1 b
a
Ti.2
i 1
23495
DB
1 a
b
T.
2 j
j 1
42040.67
p T 2 31212 ab
SST R p 466
dfT n 1 11
SSA DA p 114.67
dfA a 1 3
SSB DB p 318.5
dfB b 1 2
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。
df AB
FAB
MS AB MSE
F (a 1b 1, abn 1)
MSE
SSE df E
这里 df AB df A dfB 各离差平方和的计算公式参看出P180_181
例3 P183 例题2 因素 B（蛋白质）
因素A（能量）
A1
A2
B1
9.62 8.68 9.31 9.97 7.74 6.84 6.34 6.09
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
A1
X11 X12 ... X1b
T1.
X 1.
...
... ... ... ... ...
...
Aa
X a1 X a2 ... X ab
Ta.
X a.
a
ab
T. j Xij T.1 T.2 ... T.b T