2017年全国迎春杯小学中年级决赛A卷竞赛数学试卷(解析)

价格减少90x + 2(a − 90) 元，两次变化都是两只山羊的价钱，应该相等，那么
，解得 ． 60x + 2(a + 60) = 90x + 2(a − 90)
x = 10
9. 现有A、B、C 、D、E 五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班3天，每天恰有3位安保值班，每位安保值班安排5天
E ：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．
那么，安保A在1 2 月份中第2 次、第6 次、第1 0 次值班日期顺次排列组成的五位数是
．
（如A第2次、第6次、第10次值班分别在12月3、12、17日，则答案为31217 ）
答案
41016
解 析 12月份值班表如下：
由E 说的话可知，2 日 5 A 和E 都值班，又由D的话可知D和E 永远在一起，那么可以判断5日这一竖列值班人为 A ，D和E ． 由C 的话可知，3日他不值班，由于每天必须有3人值班，所以D和E 中必须有一个，又因 为D和E 一起，所以3日这一竖列，D和E 都值班． 通过A 的话判断，A 和B 在周末值班的日子比C ，D和E 多，统计出每一列中的周末数量，为2，1，2，2，2 ．每人都要在三列中值班，若要A 和B 比其他人多，那么1那一列必须是C ，D和E 值班． 每天都要有3人值班，D和E 现在已经排满，因此第1列，第4列为A ，B 和C 值班． 还剩第3列没有排完，B 要跟每个人都搭配过，因此此处为B ． A 在12月份中第2 次、第6 次、第10次值班日期日期依次为4 ，10，16，五位数为41016．
得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有
名同学．
答案 7
解 析 由题意可知，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，刖无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放 上棋子，每次放完相邻两棋子间空格教应为奇教．第一轮只能在最中间放1 枚棋子，此时将格子分为了前半
部分和后半部分，那么第二轮在每一部分的中间，都可以放1 枚棋子，总共可以放2 枚，此时将格子分成了4 部分，第三轮可以在每一部分中间再放1 枚棋子，总共可以放4 枚，……，以此类推，总共放下的棋子个数应 该为等比数列1 ，2 ，4 ，8 ，……的和，而由于每人都截放9 次，因此这个和还为9 的倍数，且该和不能超过100 ，枚举可得1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 满足条件，则共有63 ÷ 9 = 7 名同学．棋子分布依次为： ， 1 65 ， ， 1 33 65 ， ， ， ， 1 17 33 49 65 ， ， ， ， ， ， ， ， 1 9 17 25 33 41 49 57 65 ……
假设警察初始房间为1 ，小偷与其相邻可为2 或6 ，那么3 次之后不相遇的走法有
2 × (27 + 9 + 6 + 6 + 6 + 2 + 4 + 4) = 2 × 64 = 128
种．
假设警察初始房间为1，小偷与其相隔可为3或5，那么3次之后不相遇的走法有2 × 27 = 54 种．
假设警察初始房间为1 ，小偷与其相对只能为4 ，那么3 次之后不相遇的走法有 种． 18 + 6 + 4 + 4 + 12 + 4 + 8 + 8 = 64 综上所述，警察若初始位置为1，满足题目条件的走法有128 + 54 + 64 = 246 种，那么警察初始位置还能选择 2 ～6 ，因此共有246 × 6 = 1476 种走法．
到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面．在1 ～15中，点数1 ～6 显然可以看到，7 = 1 + 2 + 4 ，8 = 6 + 2
， ， ， ， ， ， ，而由枚举可知 无法 9 = 6 + 3
10 = 6 + 4
11 = 6 + 5
12 = 6 + 2 + 4
14 = 6 + 5 + 3
15 = 4 + 5 + 6
10. 下图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为
平方厘米．
答 案 84
解 析 如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC 被分为面积相等的三个钝角三角形△AM B 、△BNC 、 △APC ，以及一个小正三角形△PM N ，其中△AM B 面积是所在的平行四边形ADBM 的一半，为 12 × 4 ÷ 2 = 24 平方厘米，那么△ABC 面积为3 × 24 + 12 = 84 平方厘米．
6. 最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到6个点，其相对两面点数的和都等于7．现在从空间一点看一
个般子，能看到的所有点数之和最小是1，最大是15（15 = 4 + 5 + 6），那么在1～15中，不可能看到的点数和
是
．
答 案 13
解 析 骰子上相对的两面点数分别为(16) ，(25) ，(34) ，从空间任何一点看，可能只看到骰子的一个面，也可以看
A1 + d
， ， A3
A3 + d
， ， A5
A5 + d
，A7 ，. . .，将每个奇数项与后面相邻的偶数项合并，由于每一项都是两
位敷，所以合并后的四位数列可以表示为A1 × 100 + A1 + d ，A3 × 100 + A3 + d ，. . .，那么新的数列和减去原
数列和应当为A1 × 99 + A3 × 99 + A5 × 99+. . . ，由于所有奇数项的和为100 ，因此这个差= 99 × 100 = 9900 ．
8. 蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的
平均价格会减少90元．蕾蕾一共买了
只羊．
答 案 10
解 析 假设蕾蕾买了x 只羊，原平均价格为a元．
多买了2 只山羊，平均价格增加60元，总价格增加60x + 2(a + 60) 元；少买2 只山羊，平均价格减少90元，总
2017年全国迎春杯小学中年级决赛A卷竞赛数学试卷
1. 算式67 × 67 − 34 × 34 + 67 
原式= 67 × (67 + 1) − 34 × 34 + 34
= 67 × 2 × 34 − 34 × 34 + 34
= 101 × 34
． = 3434
解 析 考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系：相邻（如1与2）、相隔（如1与3)，相对（如1与4）．分别 考虑这三类的下一步可能情况． 相邻：如1 与2 ，那么下一步都顺时针走，可变为2 与3 ，都逆时针走，变为6 与1 ，一个顺时针一个逆时针，变 为2 与1 或6 与3 ．即有3 种可能相邻，1 种可能相对． 相隔：如1 与3 ，那么下一步可能变为2 与，6 与2 ，6 与4 ．即有3 种可能相隔． 相对：如1 与4 ，那么下一步可能变为2 与3 ，6 与5 ，6 与3 ，2 与5 ．即有2 种相邻的可 能和2 种相对的可能． 根据以上递推关系画树形图如下：
13
拆出，则只有13不可能被看到．
7. 一排格子不到100个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且
都必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第3 格、第7 格中有棋子，第4 、5 、6 格中没棋子，则可以在第5 格中
放一枚棋子；但第4 格、第7 格中有棋子，第5 、6 格没棋子，则第5 、6 格都不能放）．这几名同学每人都放了9 次棋子，使
11. 如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警 察从所在房间沿着地上通道转移到相邻的房间；同时小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移
了3 次都没有在任何房间相遇，那么，他们有
种不同的走法．
答 案 1476
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2. 在横式ABC × AB + C × D = 2017 中，相同的字母代表相同的数字 ，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么
¯¯¯¯¯¯¯¯
AB 代表的两位数是
．
答 案 14
解析
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一循环．今天（2 0 1 7 年1 月1 日周日），关于他们在上个月的值班情况，5 人进行了如下对话：
A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3 人都多；
B：我与其余4 人在这个月都一起值过班；
C ：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙了，可惜不算值班；
D：E 每次都和我安排在一起；
139 × 13 = 1087 < 1900
AB
，进一步可得 ， ， ． 14
C × (14 + D) = 57
C=3
D=5
3. 右图中共有
个平行四边形．
答 案 15 解析
如图，红色小平行四边形有4 个，蓝色中等大小平行四边形（由两个红色拼成）有8 个，黄色大平行四边形 （由两个蓝色拼成）有3 个，共15个．
4. 小兔与蜘蛛共50名学员参加舞蹈训练营，一段时间后，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既
没有增加也没有减少，那么原有小兔
只．（注：蜘蛛有8 只脚）
答 案 40
解 析 每走一只小兔，总腿数少了4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了8，因此要总腿数不变，较少的兔子数量应该是 增加蜘蛛数量的两倍，把增加的蜘蛛当做1 份，那么原蜘蛛数量也是1 份，走了的兔子数量是2 份，原有兔子 数量为5 份，则原有动物共5 份，是50只，1 份有10只，那么原有兔子4 × 10 = 40 只．
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由于 ，因此可估算 ，若要 在此范围内，可知 （ C × D < 100
1900 < ABC × AB < 2017
AB0 × AB
AB = 14
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， ， ），考虑极端情况 ，因此 必为 130 × 13 = 1690
140 × 14 = 1960
150 × 15 = 2250
5. 一组由两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改 变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差_____．
答 案 9900
解 析 假设这个等差数列的奇数项分别为A1 ，A3 ，A5 ，A7 ，. . .，公差为d ，那么整个等差数列可以表示为A1 ，