最新二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习讲解学习

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第9节二项分布、超几何分布与正态分布

[解析] (1)因为X的可能取值为0,1,2,3,所以P(X=k)=,k=0,1,2,3,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
A
[解析]由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
5. (2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
0.14
考点一二项分布
【例 1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
D
(2)科研人员在另一个实验中发现,疫苗可多次连续注射,白兔多次注射疫苗后,每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响,相互独立,试问:如果将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当作疫苗的有效率,那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%?若能,请说明理由;若不能,请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求.
[解析]每一位乘客是在第20层下电梯为一次试验,且每一位乘客在第20层下电梯的概率都是,因此这是5次独立重复试验,故ξ~B(5,) ,所以P(ξ=4)=() 4×=.
二项分布满足的条件1.每次试验中,同一事件发生的概率是相同的;2.各次试验中的事件是相互独立的;3.每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;4.随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,Χ表示抽到的一等品件数,则D(X)= .

二项分布、超几何分布与正态分布-高考数学复习

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解：(1)设“打分结束后，方案一恰好领先方案二 1 分”为事件 A，由题可得方案一 5
项功能获胜 3 项，所以 P(A)＝C53233132＝28403.
(2)由题意可知 X～B5，23，P(X＝0)＝135＝2143；P(X＝1)＝C51×23×134＝21403；P(X＝
2)＝C25×232×133＝24403；P(X＝3)＝C53×233×132＝28403；P(X＝4)＝C45×234×13＝28403；P(X
解析：X 服从超几何分布，P(X＝k)＝C7kCC1118500－k，故 k＝4.
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4．(教材改编题)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)，若 P(ξ>1)＝p，则 P(－1<ξ≤0) ＝___12_－__p____.
解析：ξ 服从正态分布 N(0,1)，P(－1<ξ≤0)＝P(0≤ξ<1)＝12－P(ξ>1)＝12－p.
＝1M5，因此 D 正确；对于 C，假若 C 正确可得 E(X)<E(Y)，则 D 错误，矛盾！故 C 错误．故选 ABD．
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第二部分
关键能力提升
课堂探究·考点精讲
考点1 二项分布
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命题角度 1 n 重伯努利试验【例 1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球 2 次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响． (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时，乙只投了 1 个球的概率．
A．随机变量 X 服从二项分布 B．随机变量 Y 服从超几何分布 C．P(X＝k)<P(Y＝k) D．E(X)＝E(Y)

2025数学大一轮复习讲义苏教版第十章二项分布、超几何分布与正态分布

跟踪训练2 (2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
民宿点
甲乙丙丁戊己庚辛
普通型民宿
16 8 12 14 13 18 9 20
对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙
三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，考查反面处理
这个问题. 其概率为 P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－1－1163＝4702916. 对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为 P2＝1－346－ C16·14×345－C26·142×344＝1－36＋6×43059＋615×34＝2304478，
第十章
§10.6 二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
内容索引
第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.二项分布 (1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验 . (2)二项分布若随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝Cknpkqn－k ，其中0＜p＜1，p＋q＝1， k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
设甲3次点球射进的次数为Y，则 Y～B3，23， Y的可能取值为0,1,2,3，且X＝50Y，则X的所有可能的取值为0,50,100,150. P(X＝0)＝P(Y＝0)＝1－233＝217， P(X＝50)＝P(Y＝1)＝C132311－232＝29，

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 55 二项分布与超几何分布、正态分布

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结55 二项分布与超几何分布、正态分布高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4．能解决一些简单的实际问题一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为() A ．4 B ．6 C.8 D ．10答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.故选A.2．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝( )A.516 B ．316 C.58 D ．38答案 A解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 3．15个村庄中有7个交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( ) A ．P (X ＝2) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝4) D ．P (X ≤4) 答案 C解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4. 4．一试验田某种作物一株生长果实个数x 服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为( )A ．3B ．2.1 C.0.3 D ．0.21答案 B解析 ∵x ～N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，∴P (x >110)＝0.2，∴P (90≤x ≤110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X ～B (10,0.3)，则X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.故选B.5．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B ．35 C.18125 D ．54125答案 D解析袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率为P 1＝35，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.6．(多选)抛掷一枚质地均匀的硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P 1，P 2，P 3，P 4，则下列结论中正确的是( )A ．P 1＝P 2＝P 3＝P 4B ．P 3＝2P 1C ．P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1D ．P 4＝3P 2答案 CD解析根据伯努利试验的概率计算公式，可得P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P 3＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝38，P 4＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P 1＝P 2＜P 3＝P 4，故A 错误；P 3＝3P 1，故B 错误；P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1，故C 正确；P 4＝3P 2，故D 正确．故选CD.7．某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80≤ξ≤100)＝0.40，若按成绩采用分层随机抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为________．答案 10解析 P (ξ>120)＝12[1－2P (80≤ξ≤100)]＝0.10，所以应从120分以上的试卷中抽取100×0.10＝10份．8．甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12.乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为________，乙射中的概率为________．答案 1256364解析甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45，则甲击中的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45，∴甲三次射击命中次数的期望为E (X )＝3×45＝125.由题意可得乙射中的概率为P ＝78＋18×34＋18×14×12＝6364.二、高考小题9．(2022·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等答案 D解析对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.10．(2022·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X ＝4)<P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3答案B解析∵D(X)＝np(1－p)，∴p＝0.4或p＝0.6.∵P(X＝4)＝C410p4(1－p)6<P(X＝6)＝C610p6(1－p)4，∴(1－p)2<p2，可知p>0.5.∴p＝0.6.故选B.三、模拟小题11．(2022·广东惠州第二次模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，若μ＝4，σ＝1，则P(5<X≤6)≈()A．0.1359 B．0.1859 C．0.2718 D．0.6827答案A解析由P(3≤X≤5)≈0.6827，得P(4≤X≤5)≈0.68272＝0.34135，由P(2≤X≤6)≈0.9545，得P(4≤X≤6)≈0.95452＝0.47725，所以P(5<X≤6)＝P(4≤X≤6)－P (4≤X ≤5)≈0.47725－0.34135＝0.1359.故选A.12．(2022·宁夏吴忠市青铜峡市高级中学月考)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X 表示取得次品的次数，则P (X ≤2)＝( )A.38 B ．1314 C.45 D ．78答案 D解析因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为48＝12.从中取3次，X 为取得次品的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，P (X ≤2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.故选D. 13．(2022·浙江省杭州市高级中学高考仿真模拟)已知在盒中有红色、黄色、白色的球各4个，现从中任意摸出4个球，则摸出白球个数的期望是( )A.13 B ．23 C.43 D ．53答案 C解析设摸出的白球的个数为X ，则X ＝0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝C 48C 412＝1499，P (X ＝1)＝C 14C 38C 412＝224495，P (X ＝2)＝C 24C 28C 412＝168495，P (X ＝3)＝C 34C 18C 412＝32495，P (X ＝4)＝C 44C 08C 412＝1495.所以摸出白球的期望是E (X )＝0×1499＋1×224495＋2×168495＋3×32495＋4×1495＝43.14．(多选)(2022·广东肇庆第二次统一检测)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X ，Y )的使用寿命均服从正态分布，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈0.8186B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1)D．对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)答案ABD解析对于A，P(μ1－σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈(0.6827＋0.9545)×12＝0.8186，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故C错误；对于D，对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t)，故D正确．故选ABD.15．(多选)(2022·辽宁名校联盟高三联考)在3n(n∈N*)次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为25，事件C发生的概率为15.则()A．事件A发生次数的数学期望为6n 5B ．A ，B ，C 三个事件发生次数的数学期望之和为3nC ．事件B ，C 发生次数的方差之比为43D ．A ，B ，C 三个事件各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n 答案 ABD解析由题意可知，事件B ∪C ＝∁U A ，A ∪C ＝∁U B ，A ∪B ＝∁U C ，所以事件A ，B ，C 均看作二项分布．对于A ，期望值E ＝3np A ＝6n 5，即A 正确；对于B ，期望值之和E总＝3np A ＋3np B ＋3np C ＝6n 5＋6n 5＋3n 5＝3n ，即B 正确；对于C ，事件B 发生次数的方差D 1＝3np B (1－p B )＝18n 25，事件C 发生次数的方差D 2＝3np C (1－p C )＝12n 25，则D 1D 2＝1812＝32，即C 不正确；对于D ，从3n 次中选择n 次为事件A ，则为C n 3n ，从余下的2n 次中选择n 次为事件B ，则为C n 2n ，所以各发生n 次的概率为C n 3n C n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫252n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，即D 正确． 16．(2022·新高考八省联考)对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ，为使误差εn 在(－0.5,0.5)内的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X ～N (μ，σ2)，则P (|X －μ|<2σ)≈0.9545)．答案 32解析根据正态曲线的对称性知，要使误差εn 在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，又μ＝0，σ＝2n ，所以0.5≥22n ，解得n ≥32.17．(2022·福建省宁化第一中学高三9月第二次月考)已知随机变量X ～B (4，p )，方差D (X )的最大值为________，当方差D (X )最大时，⎝⎛⎭⎪⎫4px －1x 6的展开式中1x 2的系数为________．答案 1 60解析因为随机变量X ～B (4，p )，D (X )＝4p (1－p )≤4⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝1，当且仅当p ＝12时取等号．由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫4px －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝－2，则r ＝4，所以展开式中1x 2的系数为(－1)4×22×C 46＝60.一、高考大题1．(2022·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，从而P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝3×23＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，且M ＝{X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0}．由题意知事件{X ＝3，Y ＝1}与{X ＝2，Y ＝0}互斥，且事件{X ＝3}与{Y ＝1}，事件{X ＝2}与{Y ＝0}均相互独立，从而由(1)知P (M )＝P ({X ＝3，Y ＝1}∪{X ＝2，Y ＝0})＝P (X ＝3，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝P (X ＝3)P (Y ＝1)＋P (X ＝2)P (Y ＝0)＝827×29＋49×127＝20243.2．(2022·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．3．(2022·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2， (16)用样本平均数x－作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592, 0.008≈0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09. 二、模拟大题4．(2022·江苏省百校联考高三第一次考试)冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率；(2)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1，在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”，能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．解(1)记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30以下”为事件A.参与旱地冰壶人数在30以下的学校共6所，随机选择2所学校共C26＝15种，所以P(A)＝C26C210＝1 3.因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30以下的概率为13.(2)答案不唯一．示例一：可以认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化，理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．示例二：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C23×0.12×0.9＋C33×0.13＝0.028.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以无法确定甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．5．(2022·山东省潍坊市五县市高三联考)2022年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》．某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：每分钟[155,165)[165,175)[175,185)[185,215]跳绳个数得分17181920(1)(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的数学期望和方差，已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替)，根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步，假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10，现利用所得正态分布模型：①预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由频率分布直方图得，得分为17,18的人数分别为100×0.006×10＝6,100×0.012×10＝12，由题意知两人得分之和不大于35分，即为两人得分均为17分，或两人中1人得分为17分，1人得分为18分．故两人得分之和不大于35分的概率为P＝C 26＋C16C112C2100＝291650.(2)x－＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(个)，又σ2≈s2≈169，∴σ≈13，∴正式测试时，μ＝195，σ≈13，∴μ－σ≈182.＝0.84135，①P(X>182)≈1－1－0.682720．84135×2000＝1682.7≈1683(人)．∴预估正式测试每分钟跳182个以上的人数为1683.②在全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数在195以上的概率约为0.5，即ξ～B(3,0.5)，∴P(ξ＝0)≈C03×(1－0.5)3＝0.125，P(ξ＝1)≈C13×0.5×(1－0.5)2＝0.375，P(ξ＝2)≈C23×0.52×(1－0.5)＝0.375，P(ξ＝3)≈C33×0.53＝0.125，∴ξ的分布列为E(ξ)≈3×0.5＝1.5.6．(2022·辽宁省渤海大学附属高级中学高三上学期第一次考试)随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户．某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)求恰好有3个水果是二等级别的概率；(2)若水果进口商进口时，将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y 表示抽取的优级水果的数量，求Y 的分布列及数学期望E (Y )．解 (1)设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为A ，则P (A )＝250500＝12，有放回地随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. (2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量Y 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3. 则P (Y ＝0)＝C 37C 310＝724，P (Y ＝1)＝C 27C 13C 310＝2140，P (Y ＝2)＝C 17C 23C 310＝740，P (Y ＝3)＝C 33C 310＝1120.所以Y的分布列如下：所以E(Y)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.。

二项分布与两点分布超几何分布正态分布的区别(学练结合)

用个例子解答吧：假设一批产品有100件，其中次品为10件。

那么：
（1）从中抽取一件产品，为正品的概率？像这种可能结果只有两种（抽的结果正品或次品）情况下就可以归纳为两点分布。

（2）有放回的抽样，抽n次，出现正品数的分布。

这个就是二项分布了，首先，这n次试验可能出现的正品数为0~n；它相当于做了n次试验，每次都是两点分布，也就是说你这抽取n次，每次是正品的概率都是0.9。

（3）如果不放回抽取m（≤100）个，这m件产品次品数的分布如何？此问就是超几何分布了，当然这个时候要讨论m与10谁大，以便确认分布的可能取值，这里不赘述了。

（4）正态分布是自然界最常见的一种分布。

该分布由两个参数——平均值和方差决定。

它和其它各种分布都有着直接或间接的联系，比如说此题中二项分布，其实每个人抽取n次，最后的结果都是不尽相同的，这是由于抽样误差引起的。

但是，如果好多人（N）都做这么一次试验（每个人都抽n次，并记录下正品数），那么这N个人抽到的正品数的分布就是一个正态分布了。

（正太分布往往是和其它分布的极限分布联系起来的，也就是说N→∞；如果N为有限的<假设为4个>那么N的分布最复杂也就是4个结果）
超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的区别：
超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........阅读(131)|评论(1)。

二项分布、超几何分布与正态分布 2025年高考数学基础专项复习

二项分布
则X的分布列为P(X=k)=C pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
一般地,如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).
教材素材变式
1
1.2
1.［人B选必二P83练习B第4题变式］设随机变量 ∼ , 0.4 , = 2 + 2，若 = 6，则 =___.
+ ) − 60 = 0,得
1
= 3，解得 = 3，故 = 2.所以 − = 1.
1
，
6
=1 =
C14 C15
C29
=
5
，
9
=0 =
C25
C29
5
= 18，所以
［多选］袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数
量为，则以下结论正确的是(
贰
超几何分布
教材知识萃取
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取
−
定义的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=C C−,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,
C

超几何
分布
n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},此时称随机变量X服从超几何分布.
3.［多选］［人A选必三P81习题7.4第3题变式］某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数
1
2
= 1 2 3 4 5 （例如10100），其中1 = 1， = 2,3,4,5 出现0的概率为3,出现1的概率为3，记

二项分布、超几何分布与正态分布-高考数学复习

其中 n ， N ， M ∈N*， M ≤ N ， n ≤ N ， m ＝max{0， n － N ＋
M }， r ＝min{ n ， M }.如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，
那么称随机变量 X 服从超几何分布.
目录
提醒
超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征
为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干
对于超几何分布 X ～ H （ n ， M ， N ），则 E （ X ）＝， D

−
（ X ）＝ ·（1－）· .

−1
3. 对于正态分布 X ～ N （μ，σ2）， E （ X ）＝μ， D （ X ）＝σ2.
目录
1. 已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，
好 n ， p 和 k 的值，再准确利用公式 P （ X ＝ k ）＝ pk （1－
p ） n － k ， k ＝0，1，2，…， n 求概率.
目录
考向2 二项分布
【例2】
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均
2
为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校
3
1
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .
2
5
则质点 P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 16 .
⁠
解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移
动五次后位于点（2，3），所以质点 P 必须向右移动两次，向上移
1
1
1
5
3
3
3
2
5
动三次，故其概率为 5 （）（）＝ 5 （）＝ .

第7节二项分布、超几何分布、正态分布--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何
分布.(
)
(3)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情况.(
)
(4)正态曲线落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于
0.(
)
2.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,则恰好出现5次正面朝上的概率
是
63
256
不同点
假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从
联系
二项分布和超几何分布都可
N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件以描述随机抽取n件产品中次
产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法品的分布规律,并且二者的均
值相同.对于不放回抽样,当n
抽取,则随机变量X服从二项分布,即
远远小于N时,每抽取一次后,
2 2 2 1 1
3 2 3 1 0 20
P(Z≥2)=P(Z=2)+P(Z=3)=C3 (3) ×(3) +C3 (3) ×(3) =27.
由题意,X 的可能取值为 0,1,2,则有
1
20
1
20
P(X=1)= ×(1- )+(1- )×
2
27
2
27
=
1
20
7
P(X=0)=(1- )×(1- )= ;
正态分布,对应的图象为正态分布密度曲线,简称为正态曲线.
正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布,是刻画误差分布的
重要模型,因此也称为误差模型.
(2)正态曲线特点
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
②曲线是单峰的,关于直线x=μ对称.
③曲线的最高点位于x=μ处.
④当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;并且当曲线向左、右两边无限延

2024年高考复习数学第10章第7节二项分布、超几何分布与正态分布

模型是否满足公式P(X＝k)＝C pk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试
验中某事件A发生的概率是一个常数p．(2)n次试验不仅是在完全相
同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立
的．(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
1
第七节
二项分布、超几何分布与正态分布
第十章
第七节
计数原理、概率、随机变
量及其分布
二项分布、超几何分布与正
态分布
1
第七节
二项分布、超几何分布与正态分布
必备知识·回顾教材重“四基”
2
关键能力·研析考点强“四翼”
考试要求：1．掌握二项分布和超几何分布的概念．
2．了解正态分布的含义．
3
课时质量评价
1
第七节
二项分布、超几何分布与正态分布
必备知识·回顾教材重“四基”
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其
实质是古典概型．
1
第七节
二项分布、超几何分布与正态分布
2
必备知识·回顾教材重“四基”
关键能力·研析考点强“四翼”
3
课时质量评价
4．正态分布
(1)正态曲线
函数f
1
−
(x)＝

2
− 2
22
，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函
2
关键能力·研析考点强“四翼”
3
课时质量评价
④曲线与x轴围成的面积为__．
1
μ
⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着__的变化
而沿x轴平移，如图(1)所示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ____时，峰值高，曲线

《二项分布与超几何分布》讲义

《二项分布与超几何分布》讲义一、引言在概率统计的学习中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概念。

它们在实际生活中的应用广泛，例如质量检测、抽样调查、生物遗传等领域。

理解这两种分布的特点和区别，对于正确解决概率问题至关重要。

二、二项分布（一）定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。

（二）特点1、每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

2、每次试验的成功概率 p 保持不变。

3、各次试验相互独立。

（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数）（四）期望与方差期望 E(X) ＝ np方差 D(X) ＝ np(1 p)（五）应用举例假设某射手每次射击命中目标的概率为 08，进行 5 次射击，求命中目标 3 次的概率。

解：这里 n ＝ 5，p ＝ 08，要求 P(X ＝ 3)。

P(X ＝ 3) ＝ C(5, 3) 08^3 （1 08)＾（5 3)＝ 10 0512 004＝ 02048三、超几何分布（一）定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布，描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数 X 的概率分布。

（二）特点1、总体分为两类。

2、抽取的样本数量 n 小于总体数量 N。

3、抽样方式为不放回抽样。

（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 N、M 和 n 的超几何分布，记为 X ～H(N, M, n)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n)（四）期望与方差期望 E(X) ＝ n M ／ N方差 D(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1)（五）应用举例一批产品共有 100 件，其中次品有 10 件，从中随机抽取 5 件，求抽到次品数 X 的概率分布。

《二项分布与超几何分布》讲义

《二项分布与超几何分布》讲义一、引言在概率论中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。

它们在实际生活和各种领域中都有着广泛的应用，例如质量控制、抽样调查、生物学研究等。

理解这两种分布的特点、区别和联系，对于我们正确地分析和解决概率问题具有重要的意义。

二、二项分布（一）定义二项分布是指在 n 次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为 p，则事件 A 恰好发生 k 次的概率分布。

（二）公式若随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，则其概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数。

（三）特点1、每次试验只有两个可能的结果，即成功（事件 A 发生）和失败（事件 A 不发生）。

2、每次试验中成功的概率 p 保持不变。

3、各次试验相互独立。

（四）应用示例假设抛硬币，正面朝上的概率为 05。

进行 10 次抛硬币，求恰好出现 6 次正面朝上的概率。

解：这里 n ＝ 10，p ＝ 05，k ＝ 6。

P(X ＝ 6) ＝ C(10, 6) 05^6 （1 05)＾（10 6) ＝ 210 0015625 00625 ≈ 0205三、超几何分布（一）定义超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回抽样）的概率分布。

（二）公式若随机变量 X 服从参数为 N、M 和 n 的超几何分布，记为 X ～H(N, M, n)，则其概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) 。

（三）特点1、抽样是不放回的。

2、总体中的个体分为两类。

（四）应用示例一个盒子中有 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球。

从中随机抽取 4 个球，求抽到 2 个红球的概率。

[小初高学习]《二项分布》知识学习总结要点整理

《二项分布》知识点整理：二项分布的定义二项分布即重复n次的伯努力试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验二：超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有m件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P此时我们称随机变量X服从超几何分布）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是m,N,n上述超几何分布记作X~H。

二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则，k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B（n，p），并记。

独立重复试验：独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．二项分布的判断与应用：二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布．当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列．求独立重复试验的概率：在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。

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将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.二项分布、超几何分布、正态分布参考答案1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 答案：A2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13，分组（单位：岁）频数频率[)20,25 5 050.0[)25,30 ① 200.0 [)30,35 35 ② [)35,40 30 300.0[]40,45 10 100.0 合计 100 00.1频率组距∴P (η≥1) ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1927，故选D.3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38.答案：B4、解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <1 5、解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A. 6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝15128.7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：8、解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5~4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 9、（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则111()1(1)(1)6104P A =--⨯-=. 所以，该产品不能销售的概率为14. （Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---.411(320)()4256P X =-==， 134133(200)()4464P X C =-=⋅⋅=， 22241327(80)()()44128P X C =-=⋅⋅=，3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=， 4381(160)()4256P X ===. 所以X X -320-200-8040160P1256 364 27128 2764 8125611分 E (X )1127278132020080401602566412864256=-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯40=，故均值E (X ) = 40.……12分10、（Ⅰ）①处填20，②处填35.0；补全频率分布直方图如图所示. 500名志愿者中年龄在[)35,30的人数为 0.35500175⨯=人．（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人,X 0 1 2 P0.10.60.3则其中“年龄低于30岁”的有5人， “年龄不低于30岁”的有15人．故X 的可能取值为0，1，2；21522021(0)38C P X C ===，1115522015(1)38C C P X C ===， 252202(2)38C P X C ===，……11分所以X 的分布列为：∴ 0123838382EX =⨯+⨯+⨯=．11、（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人……1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=………2分所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．……3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=．……5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是107．…6分（Ⅱ）依题意，ξ的取值为0,1,2,3．………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ，5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ……9分因此，ξ的分布列如下：15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ．…………12分一般现在时专题讲解1．概念：一般现在时表示经常的、习惯性的动作或存在的状态一般现在时表示现在经常反复发生的动作、存在的状态或习惯性的动作的时态。

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