关于自然数k次幂求和公式的讨论(数分小论文)
自然数k次幂数列的一个有趣性质
自然数k次幂数列的一个有趣性质
自然数k次幂数列是一种对一些数学问题和物理过程具有重要意义的数列。
它是由一系列等差数列构成的多项式，即首项为1，公差为k，从1至正确的项构成一个数列，在许多计算机科学和数学中经常被使用。
自然数k次幂数列有一个很有趣的特性，当k大于1时，其中的任何一项数字都会被后面的数字除尽。
例如，从1开始，若k=4，则数列自然数为1，4，16，64，256，其中16被后面的数字256除尽。
实际上，如果任何数字经过k次幂可以被后面一个数字整除，那么此数字也可以被其之前的任意一个数字整除。
例如，若k=2，则数列为1，2，4，8，16，其中8可以被16整除，由此也可以得出结论，8也可以被4整除。
另外，在数学上，如果一系列数字可以被其前一个数字整除，则称为等比数列。
由上述示例来看，当k大于1的时候，自然数k次幂数列符合等比数列的特性，可以得出结论，自然数k次幂数列也是一种等比数列。
此外，由于自然数k次幂数列本质上是一种等比数列，它也可以被用于研究一些自然现象，比如物品的价格走势、流量走势等，因为这些自然现象本质上也是一种等比数列。
本文介绍了当k大于1的时候，自然数k次幂数列的一些有趣的性质，使得它在一些数学问题和物理过程中显得尤为重要。
通过学习自然数k次幂数列，我们可以更好地理解一些自然现象，从而更加深入地了解自然界发生的各种现象，从而提高我们对自然界的认知。
幂级数的求和
幂级数的求和幂级数的求和（Sum of Geometric Series）幂级数是数学中一个非常重要且有趣的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入研究幂级数的求和，并探讨一些有趣的性质和应用。
首先，我们来定义什么是幂级数。
幂级数是由一系列幂次递增的项构成的无穷级数。
一般来说，幂级数的形式可以表示为：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ/___i=0在上式中，aᵢ是常数系数，x 是自变量，i 是项的指数，S 是幂级数的和。
我们可以看到，幂级数的项之间存在乘法关系，而指数 i 呈递增的幂次分布。
对于幂级数的求和，我们需要根据其收敛性质进行讨论。
幂级数的收敛性与 x 的取值相关，存在三种情况：1. 当 x = 0 时，幂级数的和为 a₀，即 S = a₀。
此时，幂级数只有一项，因此求和结果是确定的。
2. 当x ≠ 0 且 aₙ ⋅ xⁿ 逐项相加的和存在有限值时，我们称幂级数在 x 处收敛。
这时，我们可以用一种特殊的方式计算幂级数的和。
对于收敛的幂级数而言，可以使用以下公式计算其和：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ = a₀ + a₁ * x + a₂ * x² + .../___i=0这个公式是通过将幂级数写成等比数列的形式来推导出来的。
通过计算每一项的值，并将它们相加，我们可以得到幂级数的和。
例如，考虑以下幂级数：S = 3 + 6x + 12x² + 24x³ + ...我们首先需要判断该幂级数在何处收敛。
为了判断这一点，我们可以使用比值判别法或根值判别法。
假设我们使用比值判别法，计算得到：lim n→∞ │aₙ₊₁⋅ xₙ₊₁│___________ = │6x│ = |6x|n→∞ │aₙ ⋅ xₙ│当 |6x| < 1 时，该幂级数在 x 处收敛。
也就是说，幂级数的收敛区间为 (-1/6, 1/6)。
接下来，我们可以使用求和公式计算该幂级数的和。
自然数幂求和
自然数幂求和自然数幂求和是一种从1到n的自然数幂之和的计算方法。
这种计算方法在数学中有很多实际应用，尤其是在计算概率和统计学中。
通过自然数幂求和的计算方法，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。
首先，对于一个自然数n，我们需要计算从1到n的所有自然数幂的和。
具体地，我们可以通过以下公式进行计算：1^1+2^2+3^3+...+n^n为了计算这个和，我们可以使用循环和递归两种方法。
循环方法：使用循环计算从1到n的每个自然数的幂，并将结果累加得到最终的和。
具体实现代码如下：int sum = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){int pow = 1;for(int j = 1; j <= i; j++){pow *= i;}sum += pow;}return sum;递归方法：使用递归方法可以更简单地实现自然数幂求和的计算。
具体实现代码如下：int sum(int n){if(n == 1) return 1;return pow(n, n) + sum(n-1);}其中，pow(n, n)表示n的n次方，sum(n-1)表示n-1到1的自然数幂之和。
这种方法可以更简单地实现自然数幂求和的计算，但是由于递归的特性，可能会导致时间和空间的消耗。
除了上述方法之外，还可以使用数学公式进行计算。
具体来说，利用以下公式可以更快地计算自然数幂求和：1^1+2^2+3^3+...+n^n = (n(n+1)/2)^2 - (n/2)(n+1)(2n+1)/3这个公式对于n较大时计算速度更快，但需要注意计算过程中的精度问题。
最后，总的来说，自然数幂求和是一种常用于计算概率和统计学中的数学方法。
通过不同的实现方式，我们可以更好地理解和应用这个数学概念，并且可以更高效地进行计算。
自然数k次方的求和再探
自然数k 次方的求和公式的简化湖北省黄冈市罗田县第一中学 杨德兵 余咏梅（邮编438600）关于自然数k 次方的和, 文[1]介绍了朱世杰的“招差术”；文[2]通过构造几何模型给出如下递推公式：)]()([1111112311121∑∑∑∑-=-=--=-=+++-++==n i k kn i k kn i k kk ni ki CiCiCk n n k iV文[3]利用二项式展开的方法又给出如下递推公式：)]()1()1[(11112113213412311211S C S C S C S C S C S C n n k S kk k k k k k k k k k k k k +-+-+-+-+-++++++++-+-++=简记为：∑-=-+++-+-++=11111])1()1[(11k i i k i k k k S C n n k S ① （其中∑==ni kk i S 1N k ∈）可以肯定求自然数k 次方的求和用文[2]、文[3]的递推公式比对朱世杰的招差术简洁，但对于k 较大时计算仍然很复杂。
笔者通过研究给出更简化的递推公式，希望是对文[2]、文[3]的补充与增益。
文中要用到简单的微积分知识，目前高中阶段已经要求学习简单的微积分，相信本文的推导高中生能够掌握。
公式如下：(其中211=c ,612=c ，当k >2时∑-=-++++-+-=2111)211(11k i i k i k k c Ck k c )本文先证明k k kc kS S +='-1 ②（其中k S '为k S 对n 的一阶导数） 证明：（对自然数k 用第二数学归纳法）（1） k =0时n nS =+++=00021 ,2)1(211111+=+++=n n nS10121c S n S +=+=' ∴k =0时结论成立。
（2）假设m k ≤≤0 (N m ∈)命题成立。
那么k =m +1时由①得])1()1[(21111221∑-+-++==-+++++m i i m i m m m S C n n m S]1)1)(2[(21111211∑'--+++='∴=-+++++mi i mi m m mS C n m m S}])1[(1)1)(2{(21112111121S Cc S i m Cn m m m m i m m i i m i m m '-+∑-+--+++=++-+-=-+++])1(1)1)(2[(211111211112121i m m i i m m i m m i m i m m c CS C S i m Cn m m -+-=++-=++-+++∑-∑'--+--+++=又容易证得 1112)2()1(+++++=-+i m i m C m i m C m i 2,1=,)21)(2(112++='++n m S C m m])21)(2()2(1)1)(2[(2111112111111i m m i i m m i i m i m m mc C n m S C m n m m S -+-=++-=-++++∑-++∑-+--+++='∴]1[21)21()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c C m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+∑--+=]221[21)1()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+=]221[21)]1()1[(111111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn m m -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+++=1)1(+++=m m c S m所以k =m +1成立。
k方求和公式
k方求和公式
摘要：
1.引言：介绍k 方求和公式
2.k 方求和公式的定义与表示
3.k 方求和公式的性质与应用
4.结论：总结k 方求和公式的重要性
正文：
一、引言
在数学领域，求和公式是一种常见的数学方法，它能帮助我们简化复杂的求和运算。
在求和公式中，有一种叫做k 方求和公式的公式，它在组合数学、概率论以及计算机科学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对k 方求和公式进行详细的介绍。
二、k 方求和公式的定义与表示
k 方求和公式，又称为二项式定理，是一种求和公式，用于计算一系列数的和。
它的定义为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n,n)b^n，其中a、b 为任意实数，n 为非负整数，C(n,k) 表示组合数，即从n 个元素中选取k 个元素的组合数。
三、k 方求和公式的性质与应用
k 方求和公式具有以下性质：
1.对称性：(a+b)^n = (b+a)^n
2.展开式中各项的系数和为1：ΣC(n,k) = 1
3.展开式中奇数项和偶数项的和相等：ΣC(n,k) (k 为偶数) = ΣC(n,k) (k 为奇数)
k 方求和公式在实际应用中有许多重要作用，例如在概率论中，它可以用来计算离散型随机变量的概率质量函数；在计算机科学中，它可以用来计算二叉树的节点数；在统计学中，它可以用来计算某些随机变量的累积分布函数等。
四、结论
总的来说，k 方求和公式是一种重要的数学工具，它在各个领域中都有着广泛的应用。
自然数幂和公式伯努利数
自然数幂和公式伯努利数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的两个概念。
自然数幂是指自然数的n次幂，例如2的3次幂就是8，3的4次幂就是81。
而公式伯努利数则是一系列重要的数学常数，可以用来表示一系列数学问题中的系数。
首先我们来谈谈自然数幂。
自然数幂是指一个自然数的n次方。
通常我们用符号a^n来表示，其中a是底数，n是指数。
2^3就是2的3次方，结果是8；3^4就是3的4次方，结果是81。
自然数幂在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、几何等领域。
自然数幂有着一些重要的性质。
任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
自然数的1次方等于自身，即a^1=a。
自然数幂有着乘法法则和幂的乘方法则，即a^m * a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(m*n)。
我们还可以通过一些公式来计算任意自然数的幂。
对于大数的幂，我们可以利用公式a^m * a^n=a^(m+n)来简化计算过程。
这样可以节省大量时间和精力，提高计算的效率。
对于负数的幂，我们可以利用公式a^(-n)=1/a^n来求解。
接下来我们来谈谈公式伯努利数。
公式伯努利数是一系列重要的数学常数，用来表示一系列数学问题中的系数。
它们最早由瑞士数学家雅各布·伯努利提出，并被广泛应用于数论、概率论等领域。
公式伯努利数有着一些重要的性质。
伯努利数是一种无理数，无限不循环小数。
伯努利数有着特定的计算公式，可以通过递推公式或其他数学方法来计算得到。
伯努利数还具有一定的加法、乘法等运算规律，可以用来解决一些复杂的数学问题。
公式伯努利数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来表示数列的和、解决递归关系等问题。
伯努利数还可以应用于概率统计、数论等领域。
自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的概念，它们在数学研究和实践中具有重要的地位。
通过研究和探索这些概念，我们可以更深入地了解数学的本质，发现数学中的美和奥秘。
希望本文能对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：自然数幂是指大于等于1的整数，公式伯努利数是一种特殊的数列，它们之间有着密切的关系。
自然数幂和公式推导与公式系数计算
㊀㊀㊀㊀㊀１５８数学学习与研究㊀２０２０ １４自然数幂和公式推导与公式系数计算自然数幂和公式推导与公式系数计算Һ李行星㊀李维炳㊀（新疆额尔齐斯河流域开发工程建设管理局质技处，新疆㊀乌鲁木齐㊀８３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文用简单的自然数和的公式，推导出自然数ｋ次方的幂和公式，幂和公式由自然数ｎ的不同次方的多项式表达，并提出了用初等数学知识计算多项系数的方法．ʌ关键词ɔ自然数；幂和公式；系数一㊁前㊀言求自然数任意ｋ次方前ｎ项和的公式（被数学界简称为幂和公式），是一个古老的数学问题，可追溯到２０００多年前，至今人们对自然数的幂和公式仍在研究，推导公式的方法有多种，要用到Ｚｅｔａ函数㊁高阶行列式㊁微积分㊁排列组合㊁二项式定理等数学知识，编程计算较复杂．在自然数幂和公式中，用ｎ的不同次方的多项式表达最为简单，只须求出多项式的系数，就可得到求和公式．基于这一思路，本文以自然数和的公式为基础，用初等数学知识，推导出自然数ｋ次方的幂和公式，并采用Ｅｘｃｅｌ电子表格计算出ｋ＝２ １５次方幂和公式的系数．二㊁自然数和的公式众所周知，自然数１，２，３，４， ，ｎ的求和公式如下式：Ｓ１（ｎ）＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１／２∗ｎ（ｎ＋１）＝１／２∗ｎ１＋１／２∗ｎ２．㊀（１）式中：Ｓ１（ｎ）为自然数１次方幂和公式．记作：Ｓ１（ｎ）＝ａ１，１ｎ＋ａ１，２ｎ２．㊀（２）公式（２）中Ｓ１（ｎ）是自然数自变量ｎ的二次二项式函数，ａ１，１是函数Ｓ１（ｎ）一次项系数，ａ１，２是二次项系数，Ｓ１（ｎ）表达式与一般教科书中多项式不同，ｎ的次方是升幂排列，目的是为使幂与系数对应，便于编程计算．三㊁自然数２次方幂和公式的推导自然数２次方前ｎ项和Ｓ２（ｎ）＝１２＋２２＋３２＋ ＋ｎ２．㊀（３）图１中等式右边的数值成直角形分布，有ｎ行ｎ列．如果把对角线以上的数值补齐，则构成正方形，如图２所示．显然，图２中的数值和等于ｎ∗Ｓ１（ｎ）．图２对角线上的数相加等于Ｓ１（ｎ），对角线以上数值和对角线数值共有ｎ列，每列数值均可用公式（２）计算．１２＝１２２＝２＋２３２＝３＋３＋３ｎ２＝ｎ＋ｎ＋ｎ＋ ＋ｎ㊀㊀１＋１＋ ＋１（ｎ个１相加）２＋２＋ ＋２（ｎ个２相加）３＋３＋ ＋３（ｎ个３相加）ｎ＋ｎ＋ ＋ｎ（ｎ个ｎ相加）图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２第１列㊀ａ１，１∗１＋ａ１，２∗１２第２列㊀ａ１，１∗２＋ａ１，２∗２２第ｎ列㊀ａ１，１∗ｎ＋ａ１，２∗ｎ２１ ｎ列相加，得ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）＋ａ１，２∗Ｓ２（ｎ），从而可列出Ｓ２（ｎ）的一元一次方程：Ｓ２（ｎ）＝ｎ∗Ｓ１（ｎ）－ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）－ａ１，２∗Ｓ２（ｎ）＋Ｓ１（ｎ）．㊀（４）解方程（４），得Ｓ２（ｎ）＝１／（１＋ａ１，２）∗［－ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）＋ｎ∗Ｓ１（ｎ）＋Ｓ１（ｎ）］．㊀（５）式（５）带入已知的系数ａ１，１＝１／２，ａ１，２＝１／２，得Ｓ２（ｎ）＝１／６∗ｎ＋１／２∗ｎ２＋１／３∗ｎ３．㊀（６）式中，Ｓ２（ｎ）：自然数２次方幂和公式，可记作：Ｓ２（ｎ）＝ａ２，１ｎ＋ａ２，２ｎ２＋ａ２，３ｎ３．㊀（７）四㊁自然数３次方幂和公式推导自然数３次方ｎ项和Ｓ３（ｎ）＝１３＋２３＋３３＋ ＋ｎ３．㊀（８）与自然数２次方幂和公式的推导方法同，将式（２）自然数的３次方分解为自然数２次方相加的形式，如图３所示．图３中等式右边的数值成直角形分布，有ｎ行ｎ列．如果把对角线以上的数值补齐，则构成正方形，如图４所示．显然图４中的数值和等于ｎ∗Ｓ２（ｎ），图４对角线上的数相加等于Ｓ２（ｎ），对角线以上数值和对角线上数值共有ｎ列，每列数值均可用公式（７）计算．１３＝１２２３＝２２＋２２３３＝３２＋３２＋３２ｎ３＝ｎ２＋ｎ２＋ｎ２＋ ＋ｎ２㊀１２＋１２＋ ＋１２（ｎ个１２相加）２２＋２２＋ ＋２２（ｎ个２２相加）３２＋３２＋ ＋３２（ｎ个３２相加）ｎ２＋ｎ２＋ ＋ｎ２（ｎ个ｎ２相加）图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４第１列㊀ａ２，１∗１＋ａ２，２∗１２＋ａ２，３∗１３第２列㊀ａ２，１∗２＋ａ２，２∗２２＋ａ２，３∗２３第ｎ列㊀ａ１，１∗ｎ＋ａ１，２∗ｎ２＋ａ２，３∗ｎ３１ ｎ列相加，得ａ２，１∗Ｓ１（ｎ）＋ａ２，２∗Ｓ２（ｎ）＋ａ２，３∗Ｓ３（ｎ），从而可列出Ｓ３（ｎ）的一元一次方程：Ｓ３（ｎ）＝ｎＳ２（ｎ）－ａ２，１Ｓ１（ｎ）－ａ２，２Ｓ２（ｎ）－ａ２，３Ｓ３（ｎ）＋Ｓ２（ｎ）．㊀（９）解方程（９），得Ｓ３（ｎ）＝１／（１＋ａ２，３）∗［－ａ２，１Ｓ１（ｎ）－ａ２，２Ｓ２（ｎ）＋Ｓ２（ｎ）＋ｎＳ２（ｎ）］．㊀（１０）将已知的Ｓ１（ｎ）和Ｓ２（ｎ）的系数的具体数值代入式（１０），可得㊀㊀㊀１５９㊀数学学习与研究㊀２０２０ １４Ｓ３（ｎ）＝０∗ｎ＋１／４∗ｎ２＋１／２∗ｎ３＋１／４∗ｎ４．㊀（１１）式（１１）可记作：Ｓ３（ｎ）＝ａ３，１ｎ＋ａ３，２ｎ２＋ａ３，３ｎ３＋ａ３，４ｎ４．㊀（１２）式（１２）中ａ３，１虽然等于零，但不能省略，在更高次方的推导中要用到．五㊁自然数ｋ次方幂和公式推导设自然数ｋ次方的幂和公式：Ｓｋ（ｎ）＝１ｋ＋２ｋ＋３ｋ＋ ＋ｎｋ（ｋȡ２）．Ｓｋ（ｎ）推导方法与前述Ｓ２（ｎ），Ｓ３（ｎ）相同，不再赘述，直接写出自然数ｋ次方幂和公式：Ｓｋ（ｎ）＝１／（１＋ａｋ－１，ｋ）∗［－ａｋ－１，１Ｓ１（ｎ）－ａｋ－１，２Ｓ２（ｎ） －ａｋ－１，ｋ－１Ｓｋ－１（ｎ）＋Ｓｋ－１（ｎ）＋ｎＳｋ－１（ｎ）］．㊀（１３）式中，Ｓｋ（ｎ）：自然数ｋ次方幂和．（ａｋ－１，１ ａｋ－１，ｋ）：Ｓｋ－１（ｎ）幂和公式中不同次方多项式的系数，共有ｋ个．［Ｓ１（ｎ） Ｓｋ－１（ｎ）］：自然数１ ｋ－１次方的幂和公式．六㊁计算实例表１是利用Ｅｘｃｅｌ电子表格 横向系数相乘，纵向同类项合并 的方法，计算出Ｓ１（ｎ） Ｓ４（ｎ）公式系数．表２省略了计算步骤，给出Ｓ１（ｎ） Ｓ１５（ｎ）幂和公式的系数．表１㊀Ｓ１（ｎ） Ｓ４（ｎ）公式系数计算公式ｎ１ｎ２ｎ３ｎ４ｎ５Ｓ１（ｎ）ａ１，１ｎ１＋ａ１，２ｎ２１／２１／２（１）－ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）－１／４－１／４（２）Ｓ１（ｎ）１／２１／２（３）ｎ∗Ｓ１（ｎ）１／２１／２（４）１＋ａ１，２１㊀１／２１１／２１１／２（５）［（１）＋（２）＋（３）］／（４）１／６１／２１／３Ｓ２（ｎ）ａ２，１ｎ１＋ａ２，２ｎ２＋ａ２，３ｎ３１／６１／２１／３（１）－ａ２，１∗Ｓ１（ｎ）－１／１２－１／１２（２）－ａ２，２∗Ｓ２（ｎ）－１／１２－１／４－１／６（３）Ｓ２（ｎ）１／６１／２１／３（４）ｎ∗Ｓ２（ｎ）１／６１／２１／３（５）１＋ａ２，３１１／３１１／３１１／３１１／３（６）［（１）＋ ＋（４）］／（５）０１／４１／２１／４Ｓ３（ｎ）ａ３，１ｎ１＋ ＋ａ３，４ｎ４０１／４１／２１／４（１）－ａ３，１∗Ｓ１（ｎ）００（２）－ａ３，２∗Ｓ２（ｎ）－１／２４－１／８－１／１２（３）－ａ３，３∗Ｓ３（ｎ）０－１／８－１／４－１／８（４）Ｓ３（ｎ）０１／４１／２１／４（５）ｎ∗Ｓ３（ｎ）０１／４１／２１／４（６）１＋ａ３，４１１／４１１／４１１／４１１／４１１／４（７）［（１）＋ ＋（５）］／（６）－１／３００１／３１／２１／５Ｓ４（ｎ）ａ４，１ｎ１＋ ＋ａ４，５ｎ５－１／３００１／３１／２１／５表２㊀Ｓ１（ｎ） Ｓ１５（ｎ）公式系数ｎ１ｎ２ｎ３ｎ４ｎ５ｎ６ｎ７ｎ８Ｓ１１／２１／２Ｓ２１／６１／２１／３Ｓ３０１／４１／２１／４Ｓ４－㊀１／３００１／３１／２１／５Ｓ５０－㊀１／１２０５／１２１／２１／６Ｓ６１／４２０－㊀１／６０１／２１／２１／７Ｓ７０１／１２０－㊀７／２４０７／１２１／２１／８Ｓ８－㊀１／３００２／９０－㊀７／１５０２／３１／２Ｓ９０－㊀３／２００１／２０－㊀７／１００３／４Ｓ１０５／６６０－㊀１／２０１０－１０Ｓ１１０５／１２０－１㊀３／８０１㊀５／６０－１㊀３／８Ｓ１２－２０／７９０１㊀２／３０－３㊀３／１００３㊀１／７０Ｓ１３０－１２７１／４２００５㊀５／１２０－７㊀３／２００５㊀３／２８Ｓ１４１㊀１／６０－７㊀６１／９００１５㊀１／６０－１４㊀３／１００Ｓ１５０８㊀３／４０－２８㊀１９／２４０３７㊀１１／１２０－２６㊀１３／１６续表２㊀Ｓ１（ｎ） Ｓ１５（ｎ）公式系数ｎ９ｎ１０ｎ１１ｎ１２ｎ１３ｎ１４ｎ１５ｎ１６Ｓ１Ｓ２Ｓ３Ｓ４Ｓ５Ｓ６Ｓ７Ｓ８１／９Ｓ９１／２１１０Ｓ１０５／６１／２１／１１Ｓ１１０１１／１２１／２１／１２Ｓ１２－１㊀５／６０１１／２１／１３Ｓ１３０－２㊀２３／６００１㊀１／１２１／２１／１４Ｓ１４７㊀１７／１８０－３㊀１／３００１㊀１／６１／２１／１５Ｓ１５０１１㊀１１／１２０－３㊀１９／２４０１㊀１／４１／２１／１６七㊁结㊀论１．自然数ｋ次方幂和公式可由最简单的自然数和公式递推得到．２．本文自然数幂方和公式（１３）的推导方法简单且易于编程计算．。
求自然数k次幂和的一种方法
$ ! "# … *! ， 再设 +! "（ ， 则 +! "（ 其中 , # #， *$， *! " # ） $， & & &， # , ）# * & " * # , " * $ , " … " *! " # , # , ）# -（ ! ,）
樊红云
（齐齐哈尔大学 数学系， 黑龙江 齐齐哈尔 )C)((C）
摘要： 给出了求自然数 ! 次幂的和的一种方法 & 关键词： 自然数； 和 ! 次幂； 中图分类号： D)E) & ! 文献标识码： F
众所周知， 可以用数学归纳法证明下面求和公式： ) （ # " )） （! # " )） # C ) ! ! )B " !B " … # B $ #（ # " )） " 在本文中， 我们研究了下面 ! 个问题： （)） 是否对任意自然数 ! ， 都有求和公式 ! ! ! ) " ! " … " # $ %! "（ ) #） )! " !! " … # ! $ 其中 %! "（ 是 # 的次数不超过 ! " ) 的多项式； （!） 如果上述答案是肯定的， 如何求这些公式 & 为此， 我们 ) #） 给出下面定理 &
! ! ! 设 ! 为自然数， 则存在次数不超过 ! " ) 的 # 的多项式 %! "（ 使 ’（ ! # ）$ ) " ! " … " # ， ) #） 当 # $ )， 有 ’（ !， & & &， !， ! " )， ! " ! 时， & ! # ）$ %! "（ ) #） 证 ! ! ") 对给定的自然数 ! ， 若存在多项式 %! "（ ) # ）$ ( ( " ( ) # " ( ! # " … " (! " ) # 使 %! "（ （)） 成立 ) # ）$ ’（ ! #）
自然数幂和公式伯努利数
自然数幂和公式伯努利数自然数幂和公式与伯努利数（Bernoulli numbers）之间有着紧密的联系。
伯努利数是一个在数学中经常出现的数列，其定义与自然数的幂和公式有关。
首先，我们来看自然数幂和的定义。
对于任意正整数(n) 和(k)，自然数幂和(S_k(n)) 定义为[ S_k(n) = \sum_{i=1}^{n} i^k ]即前(n) 个自然数的(k) 次幂的和。
伯努利数(B_n) 则是一个无穷数列，其定义与自然数幂和的生成函数有关。
伯努利数的生成函数(B(x)) 定义为[ B(x) = \frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n ]其中(e^x) 是自然对数的底数(e) 的指数函数。
伯努利数与自然数幂和之间的关系可以通过以下公式体现：[ \sum_{i=1}^{n-1} i^k = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k+1}{j} B_j n^{k+1-j} ]这个公式给出了自然数幂和的一个表达式，其中涉及到了伯努利数(B_j)。
这个公式在(k \geq 2) 时成立，对于(k = 1) 的情况需要特别处理，因为此时(B_1 = -\frac{1}{2}) 会导致分母为零。
伯努利数的前几项是：(B_0 = 1), (B_1 = -\frac{1}{2}), (B_2 = \frac{1}{6}), (B_3 = 0), (B_4 = -\frac{1}{30}), (B_5 = 0), (B_6 = \frac{1}{42}), (\ldots)。
可以看出，伯努利数的绝对值交替出现，且随着(n) 的增大而逐渐减小。
伯努利数在自然数幂和的计算中起到了关键的作用，它们提供了一种有效的方法来求解自然数幂和的问题。
同时，伯努利数也在其他数学领域，如数论、组合数学和微积分等中有着广泛的应用。
求自然数方幂和的又一方法
求自然数方幂和的又一方法
张承宇
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1989(000)006
【摘要】首先,不难用归纳法证明(对n进行归纳): 1.m=1时,由公式立得 2.m=2时,公式(*)为
【总页数】2页(P35-36)
【作者】张承宇
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.求自然数方幂和的简单方法 [J], 高英敏
2.求自然数k次幂和的又一种方法 [J], 吴跃生
3.构造模型求自然数的方幂和 [J], 潘俊
4.用曲边梯形面积求自然数方幂数列n项和 [J], 张桂梅
5.求自然数方幂和的递推式的一种方法 [J], 张赞源
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自然数K方和n∑ik／i=1的求和公式
自然数K方和n∑ik／i=1的求和公式
王国森
【期刊名称】《成都大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1994(013)001
【摘要】本文通过对高阶等差数列的计讨论给出了ｉｋ的求和公式的一个递归方法
【总页数】3页(P42-44)
【作者】王国森
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.自然数求和公式在初中数学规律题中的应用初探 [J], 丁云娟
2.自然数方幂求和公式及所含因式的研究 [J], 吴亚敏
3.自然数n次幂的求和公式及其因式分解的Matlab求解 [J], 刘冬兵;马亮亮
4.自然数方幂求和公式及所含因式的研究 [J], 吴亚敏
5.关于自然数列前n项等幂和求和公式的研究 [J], 卜建英
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自然数k次方的求和
思想·方法·技巧
3 7
自然数k 次方的求和
湖北省十堰市郧阳科技学校 何广友
自然数的求和以及 自然数 平方的 求和 , 在普 通高
中教材中均有详细的证 明过程 , 并给 出了相 应的 求和
公式 , 而自然数的更高次方的求和 , 在一些专业性较强 的文献资料中也给出了 一些求 和公式 .但自 然数 k(k 为自然数)次方的求和 , 是否能用一个统一的公式来表
……
(n
+1)k
+1 =
nk
+1
+
C
1 k
+1
× nk
+ C2k +1
× nk -1
+… +Ckk-+11 ×n2 +Ckk +1 ×n +1 .
将以上 n 个等式相加 , 所得 新等式 的左右相 同部
分相抵消之后得 (n +1)k +1 =1 + C1k +1 (1k +2k +3k + … + nk)
S 1 =1 +2+3 +… +n =
1 2
n (n
+1);
S
2
=1 2
+2 2
+32
+…
+n2
=
1 6
(n
+1)(2
n
+1)n
;
S 3 =13 +23 +33
+… +n3
=
1 4
n 2(n
+1)2 ;
自然数K次方和
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72Leabharlann 78666
6
6
6
6
6
6
6
（四） 连续ｎ个自然数四次方和及阶差
ｎ＝ 四次方数和 一阶差 二阶差 三阶差 四阶差 五阶差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
17
98 354 979 2275 4676 8772 15333 25333 39974 60710 89271 127687
9
14 = 1
15
24 = 16
65
50 60
34 = 81
110
175
44 + 256
4!=24
四次方数和
24 24 24 24 24 24
60 84 108 132 156 180 204
50 110 194 302 434 590 770 974+
15 65 175 369 671 1105 1695 2465 3439
２、由上表得知：连续ｎ个自然数的ｋ次方和的阶差与几次方的阶乘有关。分析如下： 二次方数和的阶差 2＝2！＝2×1；三次方数的阶差 6＝3！＝3×2×1
３、连续 k 次方数和会在第 k 阶差时形成等差为 k！的数列。
二、试着推导出连续正整数ｎ次方和的方法 (一)我们的方法：我们称为金字塔式相加法
B
C
A
8
13 = 1
7
23 = 8
12
19
33 = 27
浅谈自然数幂和公式
浅谈自然数幂和公式一、自然数幂和是什么：所谓自然数幂和 ,系指)(211N p rn nr pp p p ∈=+⋅⋅⋅++∑= (1)在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。
(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。
二、自然数幂和是怎么来的：公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数 。
如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等 。
如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得n n n n n 21212)1(212+=+=+⋅⋅⋅++ (2)毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式2)12(31n n =-+⋅⋅⋅++ (3)公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理:])()2([3)2())(1(2222na a a na a a a na n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得nn n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+⋅⋅⋅++ (4)公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即113=(1个奇数) ,5323+=(2个奇数) ,119733++=(3个奇数) ,1917151343+++=(4个奇数） ,… … … … … …)1()3()(2223-++⋅⋅⋅++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +⋅⋅⋅++21 个连续奇数 )1(,,3,12-+⋅⋅⋅n n之和 ,从而由 (2)、(3)即得2342333412141)]1(21[21n n n n n n ++=+=+⋅⋅⋅++ (5)《算术引论》未载此公式 ,但我们有理由相信 ,尼可麦丘 ,甚至比他更早一些的希腊数学家是知道此公式的 ,因为连当时的罗马土地丈量员也知道它 ;而且早期毕氏学派的学者们惯常用图 3所示的在 1旁相继添加直角 (添一个直角即是增加一个奇数 )的方法来求连续奇数之和 ,他们知道 ,若加到 1旁的直角个数为 r ,则和 (包括 1)为 2)1(+r .因此有了尼可麦丘的发现 ,只要找出33332n +⋅⋅⋅++中共有几个直角即可得三次幂和 .公元 5、 6世纪 ,印度数学家阿耶波多 ( Ary abha ta ,476～ ? )的数学著作中载有公式 (4)和 (5) ,后来的婆罗摩笈多 ( Br ahmag upta, 7世纪 )、摩诃毗罗 ( M ah av ira, 9世纪 )和婆什迦罗 ( Bh a ska ra, 12世纪 )的数学著作中都出现公式 (2)、 (4)和 (5) .11世纪 ,阿拉伯数学家阿尔卡克希 ( Al-ka rkhi )的数学著作中出现公式 (4)和 (5) ,其中前者的形式是)613)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n 阿尔卡克希用富有希腊特色的几何代数法对公式(5)作出证明 . 如图 4所示, 设边),1(2121+=+⋅⋅⋅++=n n n AB 2,1,-='''''-='''='n B B n B B n B B 等等 .在⋅⋅⋅''',,B A B A 上作正方形,,,⋅⋅⋅'''C A C A 得 n - 1个 矩 尺 形,,,,⋅⋅⋅''''''''''''D C B D C B D C B 因矩尺形 DC B '的面积)(D C BC B B D C D D BC B B S D C B ''+'=''⋅'+⋅'='而n B B n n D C n n BC ='-=''+=,2)1(,2)1(故3]2)1(2)1([n n n n n n S D C B =-++='同理，33)2(,)1(-=-='''''''''''n S n S D C B D C B 等等。
自然数同次幂级数求和的方法
自然数同次幂级数求和的方法自然数同次幂级数求和是数学中一个基本的问题，它利用自然数作为系数来表示同次幂级数的和。
在一般中，A代表自然数系数，而B则表示上级数的指数；而当A、B分别固定时，整个自然数同次幂级数求和的问题就会演变成一个计算问题。
其中，自然数同次幂级数求和的常见形式为： A（0+B）+ A（1+B）+ A（2+B）+…+A（N+B）；这里A表示成系数的值，而B则表示上级数的指数，N则表示幂次的最大值。
下面就以实际例子，来说明如何计算自然数同次幂级数的求和：如果A=2，B=6，N=5，则该同次幂级数的求和形式为：2(0+6) + 2(1+6) + 2(2+6) +2(3+6)+2(4+6)+2(5+6)，计算结果为150。
其实，自然数同次幂级数的求和也可以采取表格方式，来进行计算，即采用把所要求的同次幂级数列写在表格里，然后把每一项都乘以媒介数，然后将每一行元素和相加，以得出最终的结果。
例如，以上面的数据为例：自然数系数 An+B n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=52(6+n) 12 14 16 18 20 22这样，我们就可以把12、14、16、18、20、22都乘以2，然后将所有的项和相加，以得到求和结果150。
自然数同次幂级数求和已经被广泛应用于数学计算中。
比如在求解一元多次方程时，若当项数大于等于三，则可以引入自然数同次幂级数的思想，将该方程分解成同次幂级数形式，从而便于求解；另外，当我们试图通过数学公式算出一组数字的总和时，也可以采用这一思想来计算的。
综上所述，自然数同次幂级数求和虽然只是一种简单的数学知识，却可以用于许多实际中的数学推理和数学计算中，实现非常重要的作用。
了解并正确运用它非常重要，更甚者，它在现代数学及其他科学中会有着更广泛的应用，因此，关于自然数同次幂级数求和，值得我们仔细学习和研究。
自然数高次幂的求和公式的一种推导
自然数高次幂的求和公式的一种推导
王宝存
【期刊名称】《合肥师范学院学报》
【年(卷),期】2001(019)006
【摘要】本文用组合数学的方法推导自然数高次幂的一个求和公式.
【总页数】2页(P9,18)
【作者】王宝存
【作者单位】淮南工业学院,安徽,淮南,232007
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.两个高幂次三角数列求和公式的统一推广 [J], 黄俊明
2.自然数方幂求和公式及所含因式的研究 [J], 吴亚敏
3.自然数n次幂的求和公式及其因式分解的Matlab求解 [J], 刘冬兵;马亮亮
4.自然数幂求和公式的计算机实现的两个注记 [J], 胡灿;张元标
5.自然数方幂求和公式及所含因式的研究 [J], 吴亚敏
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自然数方幂求和公式及所含因式的研究
自然数方幂求和公式及所含因式的研究
吴亚敏
【期刊名称】《长春大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(019)004
【摘要】关于自然数方幂求和公式及所含因式的研究,是从整标函数出发,定义其实值函数,利用差分算子和微积分方法,给出了其求和递推公式、系数递推公式、求和展开式、求和所含因式四个结果.
【总页数】2页(P71-72)
【作者】吴亚敏
【作者单位】鄂东职业技术学院,湖北黄冈438000
【正文语种】中文
【中图分类】O172
【相关文献】
1.自然数高次幂的求和公式的一种推导 [J], 王宝存
2.自然数n次幂的求和公式及其因式分解的Matlab求解 [J], 刘冬兵;马亮亮
3.自然数幂求和公式的计算机实现的两个注记 [J], 胡灿;张元标
4.自然数方幂求和公式及所含因式的研究 [J], 吴亚敏
5.自然数K方和n∑ik／i=1的求和公式 [J], 王国森
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自然数k次幂的一种求和方法及实现
自然数k次幂的一种求和方法及实现
吴琳聪;莫国良
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2012(015)001
【摘要】This paper produces a new algorithm to sum the kth power of natural numbers by using derivative and limit. Examples of such sums are given with the assistant Of Matlab in calculating derivatives and limits.%用导数和极限工具，给出计算自然数k次幂和的一种新方法，并基于Matlab编程实现．
【总页数】2页(P54-55)
【作者】吴琳聪;莫国良
【作者单位】浙江大学城市学院,浙江杭州311015;浙江大学城市学院,浙江杭州311015
【正文语种】中文
【中图分类】O156
【相关文献】
1.求自然数k次幂和的又一种方法 [J], 吴跃生
2.求自然数k次幂和的一种方法 [J], 樊红云
3.自然数高次幂的求和公式的一种推导 [J], 王宝存
4.自然数n次幂的求和公式及其因式分解的Matlab求解 [J], 刘冬兵;马亮亮
5.自然数偶次幂倒数级数收敛研究 [J], 金顺利
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