加速度修正的Wilson-θ法的精度分析
midas时程荷载工况中几个选项的说明
midas时程荷载工况中几个选项的说明时程荷载工况中几个选项的说明动力方程式如下：在做时程分析时，所有选项的设置都与动力方程中各项的构成和方程的求解方法有关，所以在学习时程分析时，应时刻联想动力方程的构成，这样有助于理解各选项的设置。
另外，正如哲学家所言：运动是绝对的，静止是相对的。
静力分析方程同样可由动力方程中简化(去掉加速度、速度项，位移项和荷载项去掉时间参数)。
0.几个概念自由振动: 指动力方程中P(t)=0的情况。
P(t)不为零时的振动为强迫振动。
无阻尼振动: 指[C]=0的情况。
无阻尼自由振动: 指[C]=0且P(t)=0的情况。
无阻尼自由振动方程就是特征值分析方程。
简谐荷载: P(t)可用简谐函数表示，简谐荷载作用下的振动为简谐振动。
非简谐周期荷载: P(t)为周期性荷载，但是无法用简谐函数表示，如动水压力。
任意荷载: P(t)为随机荷载(无规律)，如地震作用。
随机荷载作用下的振动为随机振动。
冲击荷载: P(t)的大小在短时间内急剧加大或减小，冲击后结构将处于自由振动状态。
1.关于分析类型选项目前有线性和非线性两个选项。
该选项将直接影响分析过程中结构刚度矩阵的构成。
非线性选项一般用于定义了非弹性铰的动力弹塑性分析和在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)的结构动力分析中。
当定义了非弹性铰或在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)，但是在时程分析工况对话框中的分析类型中选择了“线性”时，动力分析中将不考虑非弹性铰或非线性连接的非线性特点，仅取其特性中的线性特征部分进行分析。
只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界在动力分析中将转换为既能受压也能受拉的单元或边界进行分析。
如果要考虑只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界的非线性特征进行动力分析应该使用边界条件>一般连接中的间隙和钩来模拟。
2.关于分析方法选项目前有振型叠加法、直接积分法、静力法三个选项。
这三个选项是指解动力方程的方法。
哈工大结构动力学作业-威尔逊-θ法
结构动力学大作业(威尔逊- 法）姓名：学号:班级：专业：威尔逊—θ法原理及应用【摘要】在求解单自由度体系振动方程时我们用了常加速度法及线加速度法等数值分析方法。
在多自由度体系中，也有类似求解方法,即中心差分法及威尔逊—θ法。
实际上后两种方法也能求解单自由度体系振动方程。
对于数值方法，有三个重要要求：收敛性、稳定性及精度。
本文推导了威尔逊-θ法的公式，并利用MATLAB 编程来研究单自由度体系的动力特性。
【关键词】威尔逊—θ法 冲击荷载 阻尼比【正文】威尔逊-θ法可以很方便的求解任意荷载作用下单自由度体系振动问题。
实际上,当 1.37θ>时，威尔逊—θ法是无条件收敛的. 一、威尔逊—θ法的原理威尔逊-θ法是线性加速度法的一种拓展（当1θ=时,两者相同），其基本思路和实现方法是求出在时间段[],t t t θ+∆时刻的运动，其中1θ≥,然后通过内插得到i t t +∆时刻的运动（见图 1。
1)。
图 1。
11、公式推导推导由t 时刻的状态求t t θ+∆时刻的状态的递推公式:{}{}{}{})(t t t t t yy t y y -∆+=∆++θτθτ对τ积分{}{}{}{}{})(22t t t t t t yy t y y y-∆++=∆++θτθττ{}{}{}{}{}{})(6232t t t t t t t yy t y y y y -∆+++=∆++θτθτττt ∆=θτ{}{}{}{}{})(21t t t t t t t yy t y t y y -∆+∆+=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{})2(6)(2t t t t t tt yy t y t y y +∆+∆+=∆+∆+θθθθ {}{}{}{}{}t t t t t t t y y t y y t y26)()(62-∆--∆=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{}t t t t t t t yty y y t y22)(3∆---∆=∆+∆+θθθθ[]{}[]{}[]{}{}P y k y C ym =++ []{}[]{}[]{}{}t t t t t t t t P y k y C y m ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ[]{}{}t t tt R y k ∆+∆+=θθ[][][][]c tm t k k ∆+∆+=θθ3)(62[]{}{}{}[]{}{}{}[]{}{}{})223()26)(6()(2t tt t t t t tt ty ty y t c y y t y t m P P P R ∆++∆++∆+∆+-+=∆+θθθθθ2、MA TLAB 源程序: clc;clear;K=input （’请输入结构刚度k （N/m ）')； M=input （'请输入质量（kg ）')；C=input （’请输入阻尼（N ＊s/m ）'）; t=sym （’t ’);%产生符号对象t Pt=input(’请输入荷载）;Tp=input （’请输入荷载加载时长（s)')； Tu=input （'请输入需要计算的时间长度(s ） ’）； dt=input （'请输入积分步长（s)'）; Sita=input('请输入θ’）;uds=0：dt:Tu;％确定各积分步时刻pds=0：dt：Tp;Lu=length（uds）;Lp=length（pds）;if isa(Pt,'sym'）%荷载为函数P=subs(Pt,t，uds）; %将荷载在各时间步离散if Lu〉LpP（Lp+1:Lu)=0;endelseif isnumeric（Pt）%荷载为散点if Lu〈=LpP=Pt(1:Lu)；elseP(1:Lp)=Pt;P(Lp+1：Lu）=0；endendy=zeros（1,Lu)；％给位移矩阵分配空间y1=zeros(1,Lu);％给速度矩阵分配空间y2=zeros(1，Lu)；%给加速度矩阵分配空间pp=zeros(1,Lu-1);％给广义力矩阵分配空间yy=zeros(1，Lu-1)；％给y（t+theta*t）矩阵分配FF=zeros（1，Lu);%给内力矩阵分配空间y(1)=input('请输入初位移(m)’）；y1（1）=input（’请输入初速度(m/s)');％——-—-——-———--———--初始计算-—-—------———————--——--——y2(1)=(P(1）—C＊y1(1)-K*y（1)）/M；％初始加速度FF（1）=P(1）-M＊y2(1）；l=6/（Sita*dt）^2；q=3/(Sita*dt);r=6/（Sita＊dt);s=Sita＊dt/2；for z=1:Lu—1kk=K+l＊M+q*C;pp(z)=P（z)+Sita＊（P（z+1）—P(z））+(l＊y（z）+r＊y1（z）+2＊y2（z))＊M+（q*y(z）+2＊y1（z）+s＊y2（z)）*C；yy（z)=pp（z）/kk;y2（z+1）=l/Sita＊（yy（z)—y（z)）-l＊dt＊y1(z)+（1-3/Sita）*y2（z）；y1（z+1）=y1（z）+dt/2*（y2（z+1)+y2(zp));y(z+1）=y（z）+y1(z)*dt+dt＊dt/6*(y2(z+1)+2＊y2(z））；FF(z+1）=P(z+1）—M*y2(z+1）;endplot （uds ，y ，’r ’）,xlabel('时间 t ’）,ylabel('位移 y ’），title （'位移图形’） 二、利用威尔逊-θ法求冲击荷载下的结构反应1、矩形脉冲研究不同时长脉冲作用下，体系振动位移。
威尔逊—θ法在matlab中的实现
^
^
k u(ti +θ∆t) = P(ti +θ∆t)
其中
^
k=k+
6
m+ 3 c
(θ∆t)2 θ∆t
（10） （11）
•
^
P(ti
+ θ∆t )
=
Pi
+θ
( Pi +1
−
Pi
)
+
6 [ (θ∆t ) 2
ui
+
6 θ∆t
•
ui
+
••
2 ui
]m
+
(3 θ∆t
ui
+
2 ui
+
θ∆t 2
••
ui
)c
（12）
（2）
•
τ 2 ••
τ 3 ••
••
u(ti +τ ) = u(ti ) +τ u(ti ) + 2 u(ti ) + 6θ∆t [u(ti +θ∆t) − u(ti )]
（3）
当 τ = θ∆t 时，由式（2）和式（3）得到
•
u(ti
+ θ∆t )
=
•
u(ti
)
+ θ∆t
••
u(ti
)
+
θ∆t 2
加速度 0.00E+00 -7.41E-04 -1.21E-03 -1.42E-03 -1.58E-03 -1.54E-03 -1.44E-03 -1.18E-03 -8.64E-04 -4.67E-04 -2.70E-05 3.80E-04 8.26E-04 1.10E-03 2.48E-03 7.78E-03 1.49E-02 8.72E-03 -1.65E-03 -6.50E-04 -1.54E-03 -2.86E-03 -4.51E-03 -6.70E-03 -8.43E-03 -3.74E-03 1.78E-03
中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法与精确解的误差分析
中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法与精确解的误差分析作者：于津津贾慧敏宋敏来源：《教育周报·教育论坛》2018年第05期摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。
但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。
关键词：结构动力学;中心差分法;纽马克法;威尔逊-θ法一、引言：结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q ;;（1）为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。
如图1所示，该体系在冲击荷载 p（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k单位N/cm。
另：自由振动的周期T1=4.45，T2=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，T2=0.28，并假定X0=0;V0=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。
取δ=0.25，γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。
取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。
二、计算方法简介1、精确解计算根据精确解的计算公式可得：X1（t）=1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）X2（t）;=3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）速度的计算公式为位移的导数，加速度的公式为速度的导数。
（下同）2、中心差分法用位移向前一步的差分表示的速度后一步的差分表示的速度的平均来确定当前时刻的速度，得到以当前时刻t为中心的前后时刻位移的差分表示的速度，即：若：x=x0-1/（2×a1）×d x0+1/（2×a0）×d2x0; ;x1（t）=x0（1）;x2（t）=x0（2）;3、纽马克法当在t时刻的响应{x}t，{﹒x}t，{¨x}t，已知时，要求下一时刻t+Δt的响应值{x} t+Δt，{﹒x} t+Δt，{¨x} t+Δt，令在待求时刻动力学方程成立，即：{﹒x} t+Δt={﹒x}t+Δt（1-γ）{¨x} t +γΔt{¨x} t+Δt ;;（2）{x} t+Δt={x}t+{﹒x}tΔt+（0.5-δ）{¨x} tΔt^2+δ{¨x} t+ΔtΔt^2 ;（3）β，γ为按积分精度和稳定性要求而确定的参数，由式3可解得：1/{¨X}t+Δt;=βΔt 2（{X}t+Δt -{x}t）-βΔt ×1/{﹒x}t-（2β-1） ×1/{¨x}t ;;（4）将（4）带入（2）得：{﹒x}t+Δt =γ/βΔt 2×（{x}t+Δt -{x}t）+（1 –γ/β）{﹒x}t +（1 -1/2β）t{¨x}t ;;（5）{x}t +Δt 可由t +Δt 时刻的运动方程求得，即：[M]{¨X}t+Δt +[C]{¨X}t +Δt +[K]{X}t +Δt =[F] t +Δt ;;（6）將式（4）、式（5）代入式（6），可求得求得{X}t+Δt，后求{﹒X}t +Δt 和{¨X}t +Δt。
薪火相传,勇立潮头——厦门大学土木工程学科创办85周年
第4期王东东等:薪火相传,勇立潮头 厦门大学土木工程学科创办85周年h t t p :ʊjx m u .x m u .e d u .c n d o i :10.6043/j.i s s n .0438-0479.202204100 ㊃序 言㊃薪火相传,勇立潮头厦门大学土木工程学科创办85周年厦门大学工科的办学历史始于1922年设立的工学部.1923年,工学部改为工科.1924年,工科归并到理科,下设工程学系,毕业于爱丁堡大学土木工程专业的田渊添教授任物理学系主任兼工程学系主任.1926年,工程学系独立为工科,下设土木工程系㊁电气工程系㊁机械工程系.1927年,工科停办.1937年,在国家危亡㊁中华民族全面抗战的艰难岁月里,时任校长萨本栋教授考虑到战后国家急需建设人才,于7月30日宣布复办土木工程系,并亲自兼任土木工程系主任.厦门大学土木工程学科从此正式创办,时光荏苒,距今已85载.1938—1953年,厦门大学土木工程系共培养了13届毕业生,合计296人,其中新中国成立前9届176人,新中国成立后4届120人,为国家和社会输送了一大批优秀的土木工程专业人才.这其中包括:著名岩土工程专家㊁1939级校友曾国熙先生,随机结构动力学著名学者㊁美国工程院院士㊁1941级校友林幼堃先生,原台湾省考试院考试委员㊁1941级校友卢衍祺先生,全国工程勘察设计大师㊁青藏铁路副总设计师㊁1943级校友吴自迪先生,著名固体力学家㊁1944级校友刘鸿文先生,原台湾省公路局局长㊁1945级校友严启昌先生,中国煤炭科工集团首席科学家㊁中国工程院院士㊁1952级校友洪伯潜先生等这一时期毕业生的杰出代表.1953年全国院校大调整,厦门大学土木工程系师生内迁并入浙江大学㊁华东水利学院等兄弟院校.1999年经教育部批准,厦门大学恢复了土木工程专业,2003年获结构工程 硕士学位授权点,2004年复办土木工程系,2005年获得土木工程 一级学科和 建筑与土木工程(土木水利) 专业学位硕士授权点.随后,厦门大学土木工程学科进入了一个快速发展时期,2012年入选福建省重点学科,2015年设置了 建筑环境监测与防护 二级学科博士点,2017年成立厦门市交通基础设施智能管养工程技术研究中心 ,2022年获批 福建省滨海土木工程仿真重点实验室 .土木工程专业2014年通过了住房城乡建设部高等教育土木工程专业评估,2018年通过了全国工程教育认证.2019年入选福建省一流本科专业建设点,2022年入选国家级一流本科专业建设点.在土木工程专业恢复后的二十多年时间里,培养本科生1290名,研究生393名,80%以上的毕业生在政府机关㊁事业单位㊁大型国企等单位从事建设工程管理㊁设计㊁施工等工作,数十位毕业生在双一流大学等重点高校任教,其中4名毕业生入选国家级青年人才计划.目前,厦门大学土木工程学科有教师37人,其中教授11人㊁副教授12人㊁助理教授8人㊁工程厦门大学学报(自然科学版)2022年h t t p :ʊj x m u .x m u .e d u .c n 技术系列6人.专任教师中,国家优秀青年科学基金获得者1人,教育部新世纪优秀人才3人, 闽江学者 特聘教授1人,福建省杰出青年科学基金获得者1人,福建省科技创新领军人才2人,福建省教学名师1人,福建省新世纪优秀人才3人,福建省教学团队1个,福建省研究生导师团队2个.近年来,土木工程学科结合国家发展和地方需求,在结构健康监测与损伤识别㊁结构高性能数值仿真㊁重大工程防灾减灾与韧性评估等领域进行了深入的研究,形成了具有鲜明特色的研究成果.与此同时,学科教师充分发挥专业优势,积极参与厦门大学马来西亚校区建设,主动服务国家 一带一路 战略,在校区设计㊁组织和实施等方面作出了重要贡献.值此厦门大学土木工程学科创办85周年之际,‘厦门大学学报“(自然科学版)特别组织了该专题,希望通过专题展示厦门大学土木工程学科的最新研究成果,供相关领域研究人员参考.本专题包含12篇研究论文,内容涵盖了结构监测与振动控制㊁结构数值仿真和工程应用研究3个研究方向.结构监测与振动控制领域的论文包括:张建霖等撰写的 带伸臂超高层建筑风振控制方法对比分析 ,该文针对超高层建筑研究了设置调谐质量阻尼器㊁伸臂加强层阻尼体系以及两者混合控制的方案,优化了振动控制效果;雷鹰等撰写的 考虑结构质量未知的非链式结构系统识别方法 ,该文针对结构质量未知的非链式结构系统的识别,提出了一种仅需要观测结构部分加速度响应的扩展卡尔曼滤波方法;张建国等撰写的 某大跨度拱桥的台风抖振响应分析 ,该文对影响厦门地区的台风 苏迪罗 的近地风场特性进行了实测和分析,详细分析了其对某沿海大跨度拱桥的影响;刘中华等撰写的 多模态耦合的覆冰导线风致舞动分析 ,该文提出了一种覆冰导线面内-面外-扭转多阶模态耦合的非线性动力分析模型,分析了脉动风下覆冰导线各阶模态舞动特性.结构数值仿真领域的论文包括:王东东等撰写的 基于数据非线性预处理的结构动力响应贝叶斯回归代理模型 ,该文通过发展有限元动力分析数据的非线性预处理技术,提出了基于机器学习的一种结构动力响应贝叶斯回归代理模型,明显提升了有限元动力分析效率;古泉等撰写的 基于滑动单元的高速磁浮列车-轨道梁耦合系统的动力相互作用分析 ,该文在O p e n S e e s 平台上开发了二维平面内高速磁浮列车-轨道梁耦合系统的有限元模型,探讨了磁浮列车与桥梁的动力响应;雷家艳等撰写的 基于计算扰动修正的W i l s o n -θ法稳定性和精度分析,该文基于计算扰动的概念来量化W i l s o n -θ法中每一步中存在的计算误差,然后通过计算扰动再分配改进了方法的精度;陈昌萍等撰写的 海面上下击暴流风场特性模拟及分析 ,该文通过数值模拟,研究了二维下击暴流作用于海洋上层水域的风场特性与风浪分布.工程应用研究领域的论文包括:李庶林等撰写的 削扩支盘桩承载力的抗拔测试研究 ,该文针对厦门英蓝国际金融中心工程,通过抗拔承载力与变形测试分析了削扩支盘桩的承载力特性,提出了工程改进措施;高婧等撰写的 基于振动测试和模态分析的泵站安全研究 ,该文通过数值仿真和现场实测,详细研究了江东泵站的振动特性,提出了减振措施;陈东霞等撰写的 干湿循环下花岗岩残积土裂隙演化及其对边坡稳定性 ,该文通过干湿循环和直剪试验研究了东南沿海地区花岗岩残积土的粘聚力与裂隙度关系,分析了残积土边坡稳定性;雷家艳等撰写的 刚性吊杆拱桥主要受力构件冲击效应差异性 ,该文依托厦门天圆大桥,通过三维车桥耦合振动体系的数值模拟,研究了拱梁组合体系主要构件的冲击效应.在 厦门大学土木工程学科创办85周年专题出版之际,我们衷心感谢论文作者和‘厦门大学学报“编辑部的大力支持!王东东 张建国 张建霖厦门大学建筑与土木工程学院2022年4月㊃815㊃。
【国家自然科学基金】_wilson-θ法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2011年 科研热词 立式储罐 地震动响应 土与结构相互作用 非粘滞阻尼 竖向隔震 时程积分 指数型阻尼 微分求积法 基础隔震 推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词 推荐指数 高层框架 1 预估校正 1 非线性动力极限承载能力 1 直接积分法 1 流固耦合 1 波浪动力响应 1 样条加权残数法 1 qr法 1 morison公式 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
科研热词 推荐指数 高速列车 1 静动力分析 1 铁道工程 1 邓肯-张模型 1 逐步数值积分法 1 轨段单元 1 谱半径 1 空间振动 1 稳定性 1 状态传递算子 1 液化场地 1 液化判别 1 桩-土-桥梁结构地震相互作用 1 板式轨道 1 有限元法 1 数值模拟 1 大型振动台模型试验 1 wilson-θ 法 1
推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2014年 科研热词 面向对象 非线性 轴向槽径向气体轴承 算法构架 混沌 有限元 微分变换法 动力时程分析 分岔 sipesc.fems 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
科研热词 推荐指数 非传统hamilton型变分原理 3 辛算法 3 相空间 3 动力响应 3 初值-边值问题 3 非线性响应 1 附加运动 1 陀螺效应 1 约束条件 1 稳定性 1 平衡方程 1 分岔 1 修正计算 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
中心差分法、纽马克法和威尔逊—θ法与精确解的误差分析
中心差分法、纽马克法和威尔逊—θ法与精确解的误差分析作者：于津津贾慧敏宋敏来源：《教育周报·教育论坛》2018年第24期摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。
但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。
关键词：结构动力学；中心差分法；纽马克法；威尔逊-θ法一、引言：结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q （1）为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。
如图1所示，该体系在冲击荷载 p（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k 单位N/cm。
P1 P2图1另：自由振动的周期T1=4.45，T2=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，T2=0.28，并假定X0=0；V0=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。
取δ=0.25，γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。
取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。
二、计算方法简介1、精确解计算根据精确解的计算公式可得：X1（t） =1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）X2（t） =3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）速度的計算公式为位移的导数，加速度的公式为速度的导数。
（下同）2、中心差分法用位移向前一步的差分表示的速度后一步的差分表示的速度的平均来确定当前时刻的速度，得到以当前时刻t为中心的前后时刻位移的差分表示的速度，即：若：x=x0-1/（2×a1）×dx0+1/（2×a0）×d2x0； x1（t）=x0（1）；x2（t）=x0（2）；3、纽马克法当在t时刻的响应{x}t，{﹒x}t，{¨x}t，已知时，要求下一时刻t+Δt的响应值{x} t+Δt，{﹒x} t+Δt，{¨x} t+Δt，令在待求时刻动力学方程成立，即：{﹒x} t+Δt={﹒x}t+Δt（1-γ）{¨x} t +γΔt{¨x} t+Δt （2）{x} t+Δt={x}t+{﹒x}tΔt+（0.5-δ）{¨x} tΔt^2+δ{¨x} t+ΔtΔt^2 （3）β，γ为按积分精度和稳定性要求而确定的参数，由式3可解得：1/{¨X}t+Δt =βΔt 2（{X}t+Δt -{x}t）-βΔt ×1/{﹒x}t-（2β-1） ×1/{¨x}t （4）将（4）带入（2）得：{﹒x}t+Δt =γ/βΔt 2×（{x}t+Δt -{x}t）+（1 –γ/β）{﹒x}t +（1 -1/2β）t{¨x}t （5）{x}t +Δt 可由t +Δt 时刻的运动方程求得，即：[M]{¨X}t+Δt +[C]{¨X}t +Δt +[K]{X}t +Δt =[F] t +Δt （6）将式（4）、式（5）代入式（6），可求得求得{X}t+Δt，后求{﹒X}t +Δt 和{¨X}t +Δt。
结构动力学-第五章 数值分析方法 (Part 2)
§5.5 Wilson-θ 法
ti +1 时刻的解
}i +1 = {u }i +1 {u 6 θ 3 Δt 2
({u}
i +θ
{u}i +1
Δt }i + ({u }i +1 + {u }i ) = {u 2 Δt 2 }i + }i +1 + 2 {u }i ) = {u}i + Δt {u {u ( 6
结构动力学
第五章 动力反应数值分析方法
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华南理工大学
土木与交通学院
土木工程系
§5.5 Wilson-θ 法
不同数值积分法计算精度的比较
(0) = 0 考虑无阻尼自由振动问题： mu + ku = 0 u (0) = 1, u
步长： Δt = 0.1 × Tn
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i +θ i
i +1
− {P}i ) +
⎡ 6 ⎤ 6 }i + 2 {u }i ⎥ + u + {u [M ] ⎢ 2 { }i θ Δt ⎢ ⎥ ⎣ (θ Δt ) ⎦ ⎛ 3 ⎞ θ Δt }i + }i ⎟ {u [C ] ⎜ {u}i + 2 {u 2 ⎝ θ Δt ⎠
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§5.5 Wilson-θ 法
加速度变化规律
( ti ) + ατ a ( ti + τ ) = u (0 ≤ τ ≤ θ Δt )
基于Wilson-θ和Newmark-β法的非线性动力学方程改进算法
基于Wilson-θ和Newmark-β法的非线性动力学方程改进算法刘广;刘济科;陈衍茂【摘要】When using Wilson-θ or Newmark-β method to solve nonlinear dynamic equations,usually,we rewrite the equations in the form of incremental equilibrium equations.The coefficient matrix has to be updated in each integral step according to the state variables.In essence,this procedure is to linearize the considered nonlinear system in a single time step.It is usually difficult,however,to handle some strongly nonlinear problems with multiple-degrees-of-freedom.By using an incremental process,in the paper a new fast algorithm was proposed based on Wilson-θ method or Newmark-β method.According to the obtained solution at one time point,we present an initial guessed solution at the next time instant.Then the guessed solution can converge to the true solution via iterative corrections.Numerical examples show that,using the presented fast algorithm together with Wilson-θ method or Newmark-β method,one can get highly accurate solutions.Moreover,the presented algorithm can provide us with a simple way to adjust the convergence as necessary.As the presented methods avoid linearization of the considered nonlinear dynamic systems,they are not only more applicable but also more computationally efficient.%Wilson-θ法和Newmark-β法是非线性动力学方程求解的常用方法.它们的一个基本步骤是,将方程改写为增量平衡的形式,在每一个积分步长内用状态参量修正平衡方程的系数矩阵,其本质是在单个步长内对系统的非线性环节进行了线性化处理.本文基于增量思想分别改进了Wilson-θ法和Newmark-β法,根据即时解给出下一步的猜测解,然后对猜测解进行迭代校正,最终得到收敛的近似解.算例表明,改进算法的精度更高,且收敛准则简单.更为重要的是,本文方法无须对非线性项进行线性化处理,因而计算效率更高,适应范围更广.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】7页(P433-439)【关键词】Wilson-θ法;Newmark-β法;非线性动力学方程;猜测解;迭代校正【作者】刘广;刘济科;陈衍茂【作者单位】中山大学力学系,广州 510275;中山大学力学系,广州 510275;中山大学力学系,广州 510275【正文语种】中文【中图分类】O322Wilson-θ 法和 Newmark-β 法都是动力学方程数值计算常用的经典方法[1-5]。
多自由度体系wilson-θ法程序编写
多自由度体系wilson-θ法程序编写多自由度体系Wilson-θ法是一种广泛应用于多体动力学和结构动力学领域的数值计算方法。
本文将介绍如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。
一、引言多自由度体系Wilson-θ法是一种基于有限元法的数值计算方法，适用于求解多体动力学和结构动力学中的问题。
该方法通过将体系分解为一系列有限元子系统，并采用θ矩阵方法进行求解，能够有效地处理大规模的多自由度体系。
二、程序编写1. 导入必要的库和模块在编写程序之前，需要导入必要的库和模块，包括numpy、scipy 和matplotlib等。
这些库提供了必要的数学运算、数值分析和图形绘制等功能。
2. 定义体系结构和有限元节点首先需要定义多自由度体系的结构和有限元节点的位置。
可以使用网格划分工具将体系划分为有限元网格，并定义每个节点的位置和编号。
3. 构建有限元矩阵和求解器使用Wilson-θ法进行数值计算，需要构建有限元矩阵和求解器。
该矩阵可以采用三角矩阵的形式进行表示，并使用θ矩阵方法进行求解。
在程序中，需要实现矩阵的构建、求解器的初始化等操作。
4. 迭代求解体系响应使用构建好的矩阵和求解器，可以进行迭代求解多自由度体系的响应。
在每次迭代中，需要输入当前时刻的体系响应作为初值，并输出下一时刻的响应结果。
5. 结果可视化最后，可以使用matplotlib等库将求解得到的响应结果进行可视化。
可以将时间历程、振型、频率响应等结果进行绘制，以便更好地分析体系的动态特性。
三、示例代码以下是一个简单的示例代码，用于演示如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。
代码中假设体系由3个自由度的弹簧-质量系统组成，采用三角形矩阵进行求解。
```pythonimport numpy as npfrom scipy.sparse import csc_matrix, dia_matriximport matplotlib.pyplot as plt# 定义体系结构和有限元节点nodes = np.array([[0], [0.5], [1]]) # 节点位置数组degrees_of_freedom = 3 # 自由度数量system_size = len(nodes) # 体系大小node_indices = np.arange(system_size) # 节点编号数组# 构建有限元矩阵和求解器theta_matrix = csc_matrix(dia_matrix(system_size - degrees_of_freedom, 0)) # θ矩阵mass_matrix = csc_matrix(np.diag([0.5, 0.5, 1])) # 质量矩阵solution = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始响应数组forces = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 输出力数组forces[:degrees_of_freedom] = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始输出力数组为零向量solver = theta_matrix.dot(solution) +theta_matrix.dot(forces) + mass_matrix # 初始化求解器theta_vector = np.zeros(system_size) # θ向量用于控制有限元矩阵的构造和更新# 进行迭代求解体系响应for iteration in range(100): # 迭代次数限制为100次response = solver.dot(theta_vector) # 输入当前时刻的响应作为初值进行迭代求解下一时刻的响应结果输出为力向量output_forces在每个节点上作用在体系的上结果可与theta向量用于控制有限元矩阵的构造和更新为了演示程序的基本结构和流程以上给出了一个简单的示例代码其中包含的主要内容有定义体系结构和有限元节点构建有限元矩阵和求解器以及进行迭代求解体系响应结果可视化等当然在实际应用中可能还需要考虑更多的因素例如如何处理边界条件如何处理体系的非线性特性等等因此在实际应用中需要根据具体问题对程序进行适当的修改和优化以下是一些可能需要的注意事项和技巧：1. 选择合适的有限元网格划分工具和算法，以确保计算的精度和效率。
结构动力学数值积分方法-wilson
(10)
求解(10)式，得到位移 u t t 。然后采用(6)式计算得到加速度 a t t 。
a t t
6
t
2
6 u t t u t t v t 2a t
(11)
将加速度 a t t 代入到(1)式中，并令 t ，可以计算出加速度 a t t 。
其中，激振力可以用下式表达。
p t t p t p t t p t
(8)
(9)
由振动控制方程得到关于 u t t 表达式如下：
6m 3c k u t t 2 t t p t p t t p t 6 6 t 3 m u t v t 2 a t u t 2v t a t c 2 t 2 t t
2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3/3
西安交大 航天学院 仲继泽(hnskzjz@)
结构动力学数值积分方法(Wilson-θ) 及其 Matlab 实现
Xjtu-Zjz
Wilson-θ 方法是线性加速度方法的一种拓展。 假设加速度在时间段 t , t t 内线性变化，首先计算时刻 t t 的位移，然后通过内插得到 t t 时刻的位移 (u)、速度(v)及加速度(a)。其中 1 ，相关研究证明， 1.37 时，Wilson-θ 方法 是无条件稳定的。一般情况下，取 1.4 (至于为什么，本人没有做深入的研究)。 Wilson-θ 方法理论推导如下： 记 t 为时间段 t , t t 内的任一时刻，对于一个单自由度振动系统来说， 其初始时刻 t 的位移 u t 、速度 v t 及加速度 a t 为已知量，其 t 时刻的加速 度可以用 t 时刻和 t t 时刻的加速度线性表达，见下式。
加速度计统计数据 wilson方法
加速度计统计数据 wilson方法随着科技的发展，加速度计作为一种常见的测量设备，被广泛应用于各种领域，包括运动监测、环境监测、工程研究等。
而在数据处理方面，Wilson方法作为一种统计方法，对于加速度计数据的分析具有重要的作用。
本文将介绍加速度计统计数据Wilson方法的基本原理、操作步骤以及应用领域。
一、基本原理Wilson方法是一种通过样本统计数据来推断总体分布的方法，其核心思想是根据样本数据计算出一个置信区间，以此推断总体分布。
在加速度计数据处理中，Wilson方法可以通过对加速度数据的统计分析，得出设备的运动状态、运动模式等信息，为相关领域的研究提供支持。
二、操作步骤1. 数据收集：首先，需要收集足够量的加速度数据，确保数据的完整性和准确性。
2. 数据清洗：对收集到的数据进行清洗，去除异常值和干扰信号，确保数据的可靠性。
3. 统计计算：利用Wilson方法对清洗后的数据进行统计分析，计算出加速度的平均值、标准差等指标。
4. 置信区间计算：根据统计结果，计算出加速度值的置信区间，以推断总体分布。
5. 结果解读：根据置信区间和统计指标，解读加速度计统计数据，得出相应的结论。
三、应用领域加速度计统计数据Wilson方法在许多领域都有应用，例如运动科学、工程研究、环境监测等。
在运动科学中，加速度计统计数据可以帮助运动员分析自己的运动状态，提高运动效果；在工程研究中，可以用来监测设备的运动状态，评估其性能；在环境监测中，可以用来监测地震、台风等自然灾害对环境的影响。
四、注意事项1. 数据收集要全面、准确，确保样本的代表性。
2. 数据清洗要仔细，避免异常值和干扰信号对结果的影响。
3. 运用Wilson方法进行统计分析时，要选择合适的置信水平，以保证结果的准确性。
4. 在解读加速度计统计数据时，要结合实际情况，综合分析各种因素，得出客观的结论。
总之，加速度计统计数据Wilson方法是一种重要的数据分析方法，对于加速度计数据的处理具有重要的作用。
基于Wilson-θ算法的动载荷识别及影响因素
・
中央 高 校 基 本 科 研 业 务 费 专项 资 金 资 助 项 目 （ 号 ： ２ １０ ０ ； 京 航 空 航 天 大 学 引 进 人 才 科 研 启 动 经 费 资 助 项 目 编 ＮＳ ０ ２ ８ ） 南 （ 号 ：０ １ＹＡ ０ ３ ） 编 １ ０一 Ｈ１０ ３ 收 稿 日期 ：０ １０ －６ 修 改 稿 收 到 日期 ：０ １１ —０ ２ １—５２ ； ２ １—２３
展 和 Ｗｉ ｏ 一 ｌ ｎ０算法 的提 出 ， 力 学正 问题 的求 解 获 ｓ 动 得 了 良好结 果 ， 对 结构 动力 学 的第 ２类 逆 问题 仍 但
没 有 系统 的解 决 方案 。文 献 ［ ］ ｗｉ ｏ 一 ７中 ｌ ｎ ０算法 提 ｓ
出 了动载荷 时域 算法 的初 步 思路 。笔者 基 于这 种算 法 ， 究 和 改善 了 动 载荷 识 别 算法 的计 算 累 积误 差 研 问题 ， 对一 些主 要参 数选 取进 行研 究并 取得 进展 。
朱 广 荣 ， 陈 国平 张 方 陈英华 ， ，
（． 京 航 空 航 天 大 学 机 械 结 构 力 学 及 控 制 国 家 重 点 实 验 室 南 京 ，１ ０ ６ （． 海 飞机 设 计研 究 院 １南 ２ ０ １ ）２ 上 摘要
上 海 ， ０２ ２ ２０３）
基 于结 构动 力 学 正 问题 Ｗ ｉｏ — 算 法 的基 本 理 论 ， 导 了 时域 逆 问题 动 载 荷 识 别 的改 进 算 法 ， 出 了算 法 的 ｌ ｎｅ ｓ 推 给
Ｋｘ（ ￡＋ Ｏ ｔ Ａ ）一 ，（ ￡＋ Ｏ ｔ Ａ） （） ３
等 效 刚度 为
．
些 识 别方 法 ， ： 如 级数 系 数平衡 法 、 系统 辨识法 、 逆
Wilson-θ法直接积分的运动约束和计算扰动
Wilson-θ法直接积分的运动约束和计算扰动
黄庆丰;王全凤;胡云昌
【期刊名称】《计算力学学报》
【年(卷),期】2005(022)004
【摘要】Wilson-θ法的积分过程一般不可能同时既符合计算假设规定的运动约束条件又满足动力平衡方程,时间步长内附加了一个计算扰动影响.由Wilson-θ法积分计算出的时间步长终点不平衡加速度和系统的动力平衡方程,本文导出了时间步长内计算扰动的确定方法,并进一步采用①同步计算消除计算扰动效应和②后续步计算消除计算扰动效应,两种途径抵消其不利影响.算例指出,本文方法有效减少Wilson-θ法直接积分结果的误差和超越现象,提高了计算稳定性.
【总页数】5页(P477-481)
【作者】黄庆丰;王全凤;胡云昌
【作者单位】华侨大学,土木系,福建,泉州,362011;华侨大学,土木系,福建,泉
州,362011;天津大学,建工学院,天津,300072
【正文语种】中文
【中图分类】TU311.3
【相关文献】
1.卷边槽钢纯弯构件畸变屈曲板组约束系数的直接强度法计算 [J], 罗洪光;马石城
2.Wilson-θ法两种积分格式的稳定性探讨 [J], 方德平;王全凤
3.一种基于直接计算高阶奇异积分的断裂力学双边界积分方程分析法 [J], 李俊;冯
伟哲;高效伟
4.一种改进的Wilson-θ法及其计算稳定性 [J], 黄庆丰
5.确定外部扰动重力场的改进直接积分方法 [J], 刘长弘;吴晓平;田家磊;赵东明因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
关于wilson-θ法的两点注记
关于wilson-θ法的两点注记
Wilson-θ法是一种新型的强化学习方法，专门用于解决离散实际决策问题，
具有模型效率高，学习高效率等优势。
首先，Wilson-θ法能够消除离散决策问题的“决策瓶颈”，其中包括模型有
效性、学习速度和算法效率等。
它使用一系列的立体参数来模拟决策行为，并通过模拟偏好评估与模拟实际决策来计算合适的行动。
其次，Wilson-θ法可以以不断
学习速度提高算法的精度。
它在每一轮迭代时会重新准备其参数，从而充分考虑实际决策中不断变化的可能性和约束条件，使算法更趋于准确。
此外，Wilson-θ法还普遍应用于现实世界中信息技术场景的决策行为。
例如，基于实时推荐系统中的顾客行为数据，使用Wilson-θ算法可以通过调整参数和选择合适的行动来更快的改善顾客体验。
此外，Wilson-θ法还可用于机器人控制，
在动态细节复杂的环境中有着出色的表现。
总之，Wilson-θ法是一种高效的强化学习方法，具有模型效率高，学习高效
率等优势，可以应用于现实世界中各种情境中的决策行为，如实时推荐系统和机器人控制中，发挥出色的执行效率。
基于改进Wilson—θ法的流固耦合迭代算法
流固耦合 问题的一个最重要特征是两相介质之间的相互作用。可变形 的固体在流体的作用甲产生变 形和运动 ， 而这个变形或运动反过来又影响流体的状态 ， 导致流体荷载的分布和大小发生改变。由于流固
耦合问题 的复杂性， 其求解一般都立足于数值分析。如 Ｍ ｂｒ 等用拉格朗 日法分析了三维 流固耦合系 ａ ｉ ｅ 统的动力解 ；ｈｐ 用数值方法计算了地震对拱坝动水压力的影响 ；ｈｋａａ ｌ Ｃ ｏｒ ａ Ｃ ａｒ ｒ 等 分析了地震作用下 ｂｔ 重力坝坝库耦合的动水压力 ； Ｉ ｇ Ｃｏ ｈ和张光斗等 计算了响洪甸拱坝的动力特性 ； ｕ 傅作新 也对结构 与水体相互作用及其求解方法进行了概括总结。但流固耦合系统复杂 ， 计算工作量大 ， 目前没有一个公认 的权威 的算法。本文的 目的是基于改进的 Ｗｉ ｎ０ ｌ －法导出新的迭代算法 。该算法能方便地用以求解库水 ｏ ｓ
文 章 编 号 ：２ ８２甜 （０ ２ ０ ４２４０ ０ ５—７ ２０ ）２ Ｙ０ ￣５ ＂
基 于改 进 Ｗｉｏ ． 的流 固耦 合迭 代 算法 ｌ ｎ０法 ｓ
晏启 祥 ， 刘 浩 吾 ， 夏 春
（ 四川 大学水 电工程学院 ， 四川 成都 ６０ ６ ） １０ ５ 摘 要： 在传统 的 ｗｉ ｏ一 法 的基础上 ， Ｗｉ ｏ一 法进行 了改进并分析 了其稳定性 ， 于改进 的 Ｗｉｏ ． 盎给 ｌ ｎ日 ｓ 对 ｌ ｎ日 ｓ 基 ｓ － ｌ ｎ０ｊ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ａｎ ｉ ｒｖ ｄ Ｗｉ ｏ ． ｔｏ ｓｏ ｔｉｅ ｎ ｔｅｂ ｓｓｏ ｅ ｔａ ｉｏ ａ ｌ ｎ ０ ｍｅ ｏ ｍｐｏ ｅ ｌ ｎ ０ ｍｅｈ ｉ ｂａｎ ｄ ｏ ｈ ａｉ ｆｔ ｒｄｔ ｎ ｌＷｉ ． ｔｄ ｓ ｄ ｈ ｉ ｏ ｓ ｈ
和坝体 相互作用的耦合振动方程， 并能提高计算效率。算例表明 ， 本文中方法的计算效率高于建立在传统
中心差分法、纽马克法和威尔逊—θ法与精确解的误差分析
中心差分法、纽马克法和威尔逊—θ法与精确解的误差分析作者：于津津贾慧敏宋敏来源：《教育周报·教育论坛》2018年第04期摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。
但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。
关键词：结构动力学；中心差分法；纽马克法；威尔逊-θ法一、引言：结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q （1）为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。
如图1所示，该体系在冲击荷载 p（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k 单位N/cm。
P1 P2图1另：自由振动的周期T1=4.45，T2=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，T2=0.28，并假定X0=0；V0=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。
取δ=0.25，γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。
取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。
二、计算方法简介1、精确解计算根据精确解的计算公式可得：X1（t） =1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）X2（t） =3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）速度的计算公式为位移的导数，加速度的公式为速度的导数。
（下同）2、中心差分法用位移向前一步的差分表示的速度后一步的差分表示的速度的平均来确定当前时刻的速度，得到以当前时刻t为中心的前后时刻位移的差分表示的速度，即：若：x=x0-1/（2×a1）×dx0+1/（2×a0）×d2x0； x1（t）=x0（1）；x2（t）=x0（2）；3、纽马克法当在t时刻的响应{x}t，{﹒x}t，{¨x}t，已知时，要求下一时刻t+Δt的响应值{x} t+Δt，{﹒x} t+Δt，{¨x} t+Δt，令在待求时刻动力学方程成立，即：{﹒x} t+Δt={﹒x}t+Δt（1-γ）{¨x} t +γΔt{¨x} t+Δt （2）{x} t+Δt={x}t+{﹒x}tΔt+（0.5-δ）{¨x} tΔt^2+δ{¨x} t+ΔtΔt^2 （3）β，γ为按积分精度和稳定性要求而确定的参数，由式3可解得：1/{¨X}t+Δt =βΔt 2（{X}t+Δt -{x}t）-βΔt ×1/{﹒x}t-（2β-1） ×1/{¨x}t （4）将（4）带入（2）得：{﹒x}t+Δt =γ/βΔt 2×（{x}t+Δt -{x}t）+（1 –γ/β）{﹒x}t +（1 -1/2β）t{¨x}t （5）{x}t +Δt 可由t +Δt 时刻的运动方程求得，即：[M]{¨X}t+Δt +[C]{¨X}t +Δt +[K]{X}t +Δt =[F] t +Δt （6）将式（4）、式（5）代入式（6），可求得求得{X}t+Δt，后求{﹒X}t +Δt 和{¨X}t +Δt。
基于显式Wilsonθ法的动载荷识别研究
收稿日期:２０１８－０４－１９基金项目:国家自然科学基金资助项目(５１７７５０９４).作者简介:范玉川(１９８８－)ꎬ男ꎬ河南新乡人ꎬ东北大学博士研究生ꎻ赵春雨(１９６３－)ꎬ男ꎬ辽宁黑山人ꎬ东北大学教授ꎬ博士生导师ꎻ张义民(１９５８－)ꎬ男ꎬ吉林长春人ꎬ东北大学"长江学者奖励计划"特聘教授ꎬ博士生导师.第４０卷第５期２０１９年５月东北大学学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ)Ｖｏｌ.４０ꎬＮｏ.５Ｍａｙ２０１９㊀ｄｏｉ:１０.１２０６８/ｊ.ｉｓｓｎ.１００５－３０２６.２０１９.０５.０１３基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的动载荷识别研究范玉川１ꎬ赵春雨１ꎬ鲁㊀艳２ꎬ张义民１(１ 东北大学机械工程与自动化学院ꎬ辽宁沈阳㊀１１０８１９ꎻ２ 郑州信大先进技术研究院ꎬ河南郑州㊀４５０００１)摘㊀㊀㊀要:推导出多自由度动力学方程的Ｗｉｌｓｏｎ－θ数值算法显式表达形式ꎬ进而提出了一种显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ的动载荷识别算法.该算法避免了Ｗｉｌｓｏｎ－θ算法的隐式迭代形式的迭代误差ꎬ在拥有显式算法特性的同时具备隐式算法的特性.当θ取合适的值时ꎬ该算法是无条件稳定的.通过悬臂梁的算例和实验对算法的识别效果进行了验证ꎬ并与传统的状态空间法的识别结果进行了对比.结果表明:该算法不仅能够对矩形载荷㊁谐波载荷和随机载荷进行准确地识别ꎬ并且比状态空间法的识别精度更高.关㊀键㊀词:Ｗｉｌｓｏｎ－θ法ꎻ显式表达ꎻ载荷识别ꎻ无条件稳定ꎻ状态空间法中图分类号:Ｏ３２６㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００５－３０２６(２０１９)０５－０６７３－０５ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＤｙｎａｍｉｃＬｏａｄＩｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎＢａｓｅｄｏｎＥｘｐｌｉｃｉｔＷｉｌｓｏｎ￣θＭｅｔｈｏｄＦＡＮＹｕ￣ｃｈｕａｎ１ꎬＺＨＡＯＣｈｕｎ￣ｙｕ１ꎬＬＵＹａｎ２ꎬＺＨＡＮＧＹｉ￣ｍｉｎ１(１ ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ＆ＡｕｔｏｍａｔｉｏｎꎬＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＳｈｅｎｙａｎｇ１１０８１９ꎬＣｈｉｎａꎻ２ ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＸｉｎｄａＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＡｄｖａｎｃｅｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＺｈｅｎｇｚｈｏｕ４５０００１ꎬＣｈｉｎａ.Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ:ＺＨＡＯＣｈｕｎ￣ｙｕꎬＥ￣ｍａｉｌ:ｃｈｙｚｈａｏ＠ｍａｉｌ.ｎｅｕ.ｅｄｕ.ｃｎ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:ＴｈｅｅｘｐｌｉｃｉｔｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆＷｉｌｓｏｎ￣θｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｍｕｌｔｉ￣ｄｏｆｓ(ｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｓ)ｄｙｎａｍｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｄｅｒｉｖｅｄꎬａｓｗｅｌｌａｓａｎｅｘｐｌｉｃｉｔＷｉｌｓｏｎ￣θｄｙｎａｍｉｃｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄꎬａｖｏｉｄｉｎｇｔｈｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｅｒｒｏｒｗｈｉｌｅｋｅｅｐｉｎｇｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｉｔｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ.Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙｓｔａｂｌｅｗｈｅｎａｐｐｌｙｉｎｇａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅθｖａｌｕｅ.Ｔｈｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙａｎｅｘａｍｐｌｅａｎｄａｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｏｆａｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｂｅａｍꎬａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｗｅｒｅｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｏｓｅｆｒｏｍｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｓｔａｔｅｓｐａｃｅｍｅｔｈｏｄ.Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｎｏｔｏｎｌｙｃａｎａｃｃｕｒａｔｅｌｙｉｄｅｎｔｉｆｙｔｈｅｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｌｏａｄꎬｔｈｅｈａｒｍｏｎｉｃｌｏａｄａｎｄｔｈｅｒａｎｄｏｍｌｏａｄꎬｂｕｔａｌｓｏｈａｓｈｉｇｈｅｒｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｔｈａｎｓｔａｔｅｓｐａｃｅｍｅｔｈｏｄ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:Ｗｉｌｓｏｎ￣θꎻｅｘｐｌｉｃｉｔｆｏｒｍｕｌａｒꎻｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎꎻｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙｓｔａｂｌｅꎻｓｔａｔｅ￣ｓｐａｃｅｍｅｔｈｏｄ㊀㊀在机械系统设计过程中ꎬ动载荷是机械结构进行疲劳分析以及进行可靠性计算的基本依据.但是ꎬ在动态系统中ꎬ有些力是很难直接测量的ꎬ特别是结构系统内部各部件之间的相互作用力ꎬ在难以直接测量的情况下ꎬ就需要通过逆动力学的分析技术来得到这些力ꎬ因而开展动载荷识别技术的研究是很有必要的.动载荷识别方法主要分为频域法[１－２]和时域法[３]两大类.由于时域法能够识别各种类型的载荷ꎬ识别精度高ꎬ并且其识别结果具有明确的物理意义ꎬ因而ꎬ时域法越来越受到专家学者们的青睐.Ｌｉｕ等[４]推导了一种基于Ｎｅｗｍａｒｋ－β法的动载荷识别方法ꎬ将传统的隐式Ｎｅｗｍａｒｋ－β算法转化为Ａｘ＝ｂ方程解的显式形式ꎬ与隐式的Ｎｅｗｍａｒｋ－β法具有相同的特点ꎬ并与状态空间法进行了对比ꎬ表明该算法具有明显的优势.Ｌｉ等[５]提出了一种基于二阶泰勒级数展开的时域动态结构载荷识别方法ꎬ该算法将响应表示为一㊀㊀种泰勒级数的逼近形式ꎬ推导出一系列公式ꎬ并建立了系统响应㊁系统特性和输入激励相结合的显式离散方程.Ｌｉｕ等[６]提出了一种新的时域动态Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法ꎬ将形状函数作为加权函数ꎬ建立了前向模型ＴＤＧＭꎬ与传统的格林函数法相比ꎬＴＤＧＭ能有效地克服噪声的影响ꎬ提高动态载荷识别的精度.在求逆运算中ꎬ载荷识别结果通常对结构模型中的响应和误差测量中的噪声非常敏感[７].张方等[８－９]对复杂结构的载荷识别进行了研究ꎬ推导了一种基于广义正交多项式特征技术的动载荷识别模型ꎬ可以在一定精度范围内通过有限的测量点信息对无限未知量的分布动载荷进行识别.Ａｌｌｅｎ等[１０]采用一种ＳＷＡＴ方法ꎬ可以同时识别出冲击型载荷和稳态动态载荷.本文将对Ｗｉｌｓｏｎ－θ法进行变换ꎬ推导其显式表达形式ꎬ提出一种基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的动载荷识别算法ꎬ并通过算例和实验验证了该算法的有效性.１㊀动载荷识别算法线性阻尼结构中ꎬ多自由度结构的动力学方程可以表示为Ｍ㊆ｘｔ＋Ｃ̇ｘｔ＋Ｋｘｔ＝Ｐｔ.(１)其中:ＭꎬＣ和Ｋ分别表示质量矩阵㊁阻尼矩阵以及刚度矩阵ꎻＰｔ是作用在结构上的外加载荷ꎻ㊆ｘｔꎬ̇ｘｔ和ｘｔ分别表示加速度响应㊁速度响应以及位移响应.本文假定阻尼为瑞利阻尼:Ｃ＝α１Ｍ＋α２Ｋ.(２)其中ꎬα１和α２表示阻尼系数.１ １㊀Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的显式表达Ｗｉｌｓｏｎ－θ法假定在[ｔꎬｔ＋θΔｔ](θȡ１)的时间间隔内ꎬ加速度呈线性变化ꎬ如图１所示.令δ为自ｔ时刻开始的时间变量ꎬ适用于０ɤδɤθΔｔꎬ由线性加速度的假设可知ꎬ在适用范围内的加速度为㊆ｘｔ＋δ＝㊆ｘｔ＋δθΔｔ(㊆ｘｔ＋θΔｔ－㊆ｘｔ).(３)积分后可得̇ｘｔ＋δ＝̇ｘｔ＋㊆ｘｔδ＋δ２２θΔｔ(㊆ｘｔ＋θΔｔ－㊆ｘｔ)ꎬ(４)ｘｔ＋δ＝ｘｔ＋̇ｘｔδ＋１２㊆ｘｔδ２＋δ３６θΔｔ(㊆ｘｔ＋θΔｔ－㊆ｘｔ).(５)若δ＝θΔｔꎬ由式(４)和式(５)可得ｔ＋θΔｔ瞬时的速度和位移:̇ｘｔ＋θΔｔ＝̇ｘｔ＋θΔｔ２(㊆ｘｔ＋θΔｔ＋㊆ｘｔ)ꎬ(６)ｘｔ＋θΔｔ＝ｘｔ＋θΔｔ̇ｘｔ＋θ２Δｔ２６(㊆ｘｔ＋θΔｔ＋２㊆ｘｔ).(７)图１㊀Ｗｉｌｓｏｎ－θ法模型Ｆｉｇ １㊀ＭｏｄｅｌｏｆＷｉｌｓｏｎ￣θ联立式(６)和式(７)ꎬ可以用ｔ＋θΔｔ时刻的位移表示ｔ＋θΔｔ时刻的加速度和速度ꎬ即㊆ｘｔ＋θΔｔ＝６θ２Δｔ２(ｘｔ＋θΔｔ－ｘｔ)－６θΔｔ̇ｘｔ－２㊆ｘｔꎬ(８)̇ｘｔ＋θΔｔ＝３θΔｔ(ｘｔ＋θΔｔ－ｘｔ)－２̇ｘｔ－θΔｔ２㊆ｘｔ.(９)则ｔ＋θΔｔ时刻的动力方程可以表示为Ｍ㊆ｘｔ＋θΔｔ＋Ｃ̇ｘｔ＋θΔｔ＋Ｋｘｔ＋θΔｔ＝Ｐｔ＋θΔｔ.(１０)式中:Ｐｔ＋θΔｔ＝Ｐｔ＋θ(Ｐｔ＋Δｔ－Ｐｔ).(１１)将式(８)和式(９)以及式(１１)代入式(１０)ꎬ即得关于ｘｔ＋θΔｔ的求解方程为ｘｔ＋θΔｔ＝＾Ｋ－１＾Ｐｔ＋θΔｔ.(１２)式中:＾Ｋ＝Ｋ＋３θΔｔＣ＋６θ２Δｔ２Ｍꎬ(１３)＾Ｐｔ＋θΔｔ＝Ｐｔ＋θ(Ｐｔ＋Δｔ－Ｐｔ)＋Ｍ(６θ２Δｔ２ｘｔ＋６θΔｔ̇ｘｔ＋２㊆ｘｔ)＋Ｃ(３θΔｔｘｔ＋２̇ｘｔ＋θΔｔ２㊆ｘｔ).(１４)求解方程式(１２)ꎬ得ｘｔ＋θΔｔ.再把ｘｔ＋θΔｔ代入式(８)就可获得㊆ｘｔ＋θΔｔ.在式(３)中取δ＝Δｔꎬ同时将式(８)代入ꎬ可得㊆ｘｔ＋Δｔ＝６θ３Δｔ２(ｘｔ＋θΔｔ－ｘｔ)－６θ２Δｔ̇ｘｔ＋(１－３θ)㊆ｘｔ.(１５)取δ＝Δｔꎬ将式(３)分别代入式(４)和式(５)ꎬ有̇ｘｔ＋Δｔ＝̇ｘｔ＋Δｔ２(㊆ｘｔ＋Δｔ＋㊆ｘｔ)ꎬ(１６)ｘｔ＋Δｔ＝ｘｔ＋Δｔ̇ｘｔ＋Δｔ２６(㊆ｘｔ＋Δｔ＋２㊆ｘｔ).(１７)由式(１２)~式(１４)可得４７６东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４０卷㊀㊀ｘｔ＋θΔｔ＝＾Ｋ－１(１－θ)Ｐｔ＋θ＾Ｋ－１Ｐｔ＋Δｔ＋(６θ２Δｔ２Ｍ＾Ｋ－１＋３θΔｔＣ＾Ｋ－１)ｘｔ＋(６θΔｔＭ＾Ｋ－１＋２Ｃ＾Ｋ－１)̇ｘｔ＋(２Ｍ＾Ｋ－１＋θΔｔ２Ｃ＾Ｋ－１)㊆ｘｔ.(１８)将式(１８)代入式(１５)ꎬ已知恒等式:Ｉ＝＾Ｋ－１＾Ｋꎬ可得㊆ｘｔ＋Δｔ＝Ｃ０Ｐｔ＋Ｃ１Ｐｔ＋Δｔ＋Ｃｄｘｔ＋Ｃｖ̇ｘｔ＋Ｃａ㊆ｘｔ.(１９)其中:Ｃ０＝６θ３Δｔ２＾Ｋ－１(１－θ)ꎻＣ１＝６θ２Δｔ２＾Ｋ－１ꎻＣｄ＝－６θ３Δｔ２＾Ｋ－１ＫꎻＣｖ＝６θ２Δｔ(６θ２Δｔ２Ｍ＾Ｋ－１＋２θΔｔＣ＾Ｋ－１－１)ꎻＣａ＝１２θ３Δｔ２Ｍ＾Ｋ－１＋３θ２ΔｔＣ＾Ｋ－１＋１－３θ.将式(１９)代入式(１６)可得̇ｘｔ＋Δｔ＝Ｂ０Ｐｔ＋Ｂ１Ｐｔ＋Δｔ＋Ｂｄｘｔ＋Ｂｖ̇ｘｔ＋Ｂａ㊆ｘｔ.(２０)其中:Ｂ０＝Δｔ２Ｃ０ꎻＢ１＝Δｔ２Ｃ１ꎻＢｄ＝Δｔ２ＣｄꎻＢｖ＝Δｔ２Ｃｖ＋１ꎻＢａ＝Δｔ２(Ｃａ＋１).将式(１９)代入式(１７)可得ｘｔ＋Δｔ＝Ａ０Ｐｔ＋Ａ１Ｐｔ＋Δｔ＋Ａｄｘｔ＋Ａｖ̇ｘｔ＋Ａａ㊆ｘｔ.(２１)其中:Ａ０＝Δｔ２６Ｃ０ꎻＡ１＝Δｔ２６Ｃ１ꎻＡｄ＝Δｔ２６Ｃｄ＋１ꎻＡｖ＝(Δｔ６Ｃｖ＋１)ΔｔꎻＡａ＝Δｔ２６(Ｃａ＋２).在此用ｘｉꎬ̇ｘｉꎬ㊆ｘｉ和Ｐｉ表示第ｉ时刻式(１９)~式(２１)中的位移㊁速度㊁加速度和激励ꎬ并将其表示为矩阵形式:ｘｉ＋１̇ｘｉ＋１㊆ｘｉ＋１éëêêêùûúúú＝Ａ０㊀Ａ１Ｂ０㊀Ｂ１Ｃ０㊀Ｃ１éëêêêùûúúúＰｉＰｉ＋１éëêêùûúú＋Ａｄ㊀Ａｖ㊀ＡａＢｄ㊀Ｂｖ㊀ＢａＣｄ㊀Ｃｖ㊀Ｃａéëêêêùûúúúｘｉ̇ｘｉ㊆ｘｉéëêêêùûúúú.(２２)在第ｉ时刻的响应可以表示为ｘｉ̇ｘｉ㊆ｘｉéëêêêùûúúú＝ðｉ－１ｊ＝０ＡｄＡｖＡａＢｄＢｖＢａＣｄＣｖＣａéëêêêùûúúúｊＡ０Ａ１Ｂ０Ｂ１Ｃ０Ｃ１éëêêêùûúúúＰｉ－ｊ－１Ｐｉ－ｊ[]＋ＡｄＡｖＡａＢｄＢｖＢａＣｄＣｖＣａéëêêêùûúúúｉｘ０̇ｘ０㊆ｘ０éëêêêùûúúú.(２３)式中ꎬ两个指数ｉ和ｊ分别表示相应矩阵的幂.式(２３)是一种新型的Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的显式表达ꎬ每一个时间步中位移㊁速度㊁加速度响应可被同时求解出来ꎬ而通常的方法是利用每个时间步的迭代算法来计算ꎬ显然这种显式的算法更有优势.１ ２㊀基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的动载荷识别令:ｙｉ＝ｘｉ̇ｘｉ㊆ｘｉéëêêêùûúúú－Ａｄ㊀Ａｖ㊀ＡａＢｄ㊀Ｂｖ㊀ＢａＣｄ㊀Ｃｖ㊀Ｃａéëêêêùûúúúｉｘ０̇ｘ０㊆ｘ０éëêêêùûúúú.则式(２３)可以改写为ｙｉ＝ðｉ－１ｊ＝０Ａｄ㊀Ａｖ㊀ＡａＢｄ㊀Ｂｖ㊀ＢａＣｄ㊀Ｃｖ㊀ＣａéëêêêùûúúúｊＡ０㊀Ａ１Ｂ０㊀Ｂ１Ｃ０㊀Ｃ１éëêêêùûúúúＰｉ－ｊ－１Ｐｉ－ｊ[].(２４)令:Ｈｋ＝Ａｄ㊀Ａｖ㊀ＡａＢｄ㊀Ｂｖ㊀ＢａＣｄ㊀Ｃｖ㊀Ｃａéëêêêùûúúú(ｋ－１)Ａ０㊀Ａ１Ｂ０㊀Ｂ１Ｃ０㊀Ｃ１éëêêêùûúúúꎬ(２５)Ｒｉ＝Ｐｉ－１Ｐｉéëêêùûúú.(２６)式(２９)可以写成从时间段１到ｎｔ上的矩阵的卷积形式:Ｙ＝ＨＦ.(２７)其中:Ｙ＝[ｙＴ１ꎬｙＴ２ꎬ ꎬｙＴｎｔ]ＴꎻＨ＝Ｈ１０ ０Ｈ２Ｈ１ ０⋮⋮⋮ＨｎｔＨｎｔ－１ Ｈ１éëêêêêêùûúúúúúꎻＦ＝Ｒ１Ｒ２⋮Ｒｎｔéëêêêêêùûúúúúú.式(２７)可以改写成载荷识别的表达式Ｆ＝Ｈ－１Ｙ.(２８)对于一个给定的系统ꎬＨ是常数ꎬＹ可以从系统测量的响应中得到ꎬ考虑到式(２８)可能存在不适定性ꎬ可以通过Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法来确定Ｆꎬ在阻尼最小二乘意义下对目标函数进行优化.Ｊ(Ｆꎬλ)＝ Ｙ－ＨＲ ２＋λ Ｆ ２.(２９)其中ꎬλ是正则化参数ꎬ它的值可以通过Ｌ曲线法来确定.基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的动载荷识别方法可以归纳为以下步骤:１)建立系统的有限元模型ꎬ确定系统的质量矩阵Ｍ㊁刚度矩阵Ｋ和阻尼矩阵Ｃꎻ２)选取时间步Δｔ和Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的参数θꎬ参数θ的值可以取为１ ４ꎬ从而保证算法的无条件稳定(在Ｗｉｌｓｏｎ－θ法中ꎬ只要θ的值大于５７６第５期㊀㊀㊀范玉川等:基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的动载荷识别研究㊀㊀１ ３７ꎬ那么该算法就无条件稳定ꎬ但是θ取的过大ꎬ截断误差增大ꎬ精度会下降).３)为递推式(２２)计算矩阵Ａ１ꎬＡ２ꎬＡｄꎬＡｖꎬＡａꎬＢ１ꎬＢ２ꎬＢｄꎬＢｖꎬＢａꎬＣ１ꎬＣ２ꎬＣｄꎬＣｖ和Ｃａꎻ４)计算式(２５)中的矩阵Ｈｋ(ｋ＝０ꎬ ꎬｎｔ－１)和式(２８)中的组合矩阵Ｈꎻ５)通过实验或仿真计算获得系统的响应数据㊆ｘꎬ̇ｘ和ｘꎻ６)利用式(２９)中的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法来确定Ｆ.２㊀仿真算例及抗噪性能研究如图２所示ꎬ一矩形截面悬臂梁长０ ６４ｍꎬ截面尺寸为:宽０ ０５６ｍ㊁高０ ００８ｍꎬ弹性模量Ｅ＝２００ＧＰａꎬ材料密度为７８４０ｋｇ/ｍ３ꎬ该悬臂梁被划分为１８个单元ꎬ共１９个节点.图２㊀悬臂梁结构图Ｆｉｇ ２㊀Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｂｅａｍ在第１０个节点上施加载荷ꎬ为了尽可能全面地验证本文载荷识别算法的准确性ꎬ分别施加方波载荷㊁谐波载荷和随机载荷ꎬ考虑到噪声的影响ꎬ在响应数据中加入５％的随机噪声ꎬ选取第１２个节点的响应信息进行载荷识别ꎬ时间间隔Δｔ＝０ ００１ｓ.选取第１２个节点上的数据进行载荷识别计算ꎬ本文算法与状态空间法进行对比ꎬ如图３所示ꎬｐ２为方波载荷㊁ｐ３为谐波载荷㊁ｐ４为随机载荷.两种方法对于这三种不同类型的载荷都能够比较准确的识别ꎬ但是状态空间法的识别效果明显要差一些ꎬ而基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的载荷识别方法识别得很好ꎬ对实际载荷的还原度较高.为便于量化分析基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的动载荷识别算法的识别精度ꎬ可引入式(３０)计算误差:Ｅｒｒｏｒ＝Ｆｉｄ－ＦｒｅａｌＦｒｅａｌˑ１００％.(３０)式中:Ｅｒｒｏｒ表示相对识别误差ꎻＦｉｄ表示识别得到的外激励ꎻＦｒｅａｌ表示真实的外激励.运用不同的方法ꎬ在不同的采样频率和采样时间下研究动载荷识别的误差ꎬ结果列于表１中.图３㊀载荷识别结果Ｆｉｇ ３㊀Ｒｅｓｕｌｔｓｏｆｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ(ａ) ｐ２ꎻ(ｂ) ｐ３ꎻ(ｃ) ｐ４.表１㊀两种载荷识别方法的识别误差对比Ｔａｂｌｅ１㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｅｒｒｏｒｓｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ％载荷Ｗｉｌｓｏｎ－θ法状态空间法ｐ２３ ２１５ ０４Ｐ３０ ６１３ ８４Ｐ４３ ３０５ １６㊀㊀数据表明ꎬ本文提出的基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的载荷识别方法的识别精度明显高于基于状态空间法的载荷识别方法的识别精度ꎬ并且两种算法都显示谐波载荷的识别精度要远远好于方波载荷和随机载荷的识别精度.６７６东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４０卷㊀㊀㊀㊀图４显示了随着噪声的增大载荷识别精度的变化情况ꎬ两种方法的识别误差都是随着噪声的增大而增大ꎬ但本文算法随噪声的增大识别误差变化较小ꎬ表明本文算法抗噪性能更好㊁识别误差更小.图４㊀载荷识别误差随噪声变化情况Ｆｉｇ ４㊀Ｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｅｒｒｏｒｗｉｔｈｎｏｉｓｅ３㊀实验验证实验用的悬臂梁模型参数与仿真悬臂梁模型参数一致ꎬ选用ＹＥ６２５１振动力学实验系统.激励载荷为谐波载荷ꎬ激励频率设置为１０Ｈｚꎬ算法中采用有限元法进行建模ꎬ代入悬臂梁的相关参数ꎬ选用测量得到的第１１个节点上的响应数据进行载荷识别ꎬ识别结果如图５所示.由图可知ꎬ该算法对实验数据的识别较准确ꎬ识别的载荷曲线与实际的载荷曲线基本吻合.图５㊀实验识别结果Ｆｉｇ ５㊀Ｒｅｓｕｌｔｓｏｆｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ由于实际工程中响应数据的测量位置往往是有限的ꎬ不能够随意选取ꎬ因而在本实验中分别选取第４㊁第７㊁第１０㊁第１３和第１６个节点的测量数据进行载荷的识别ꎬ同样利用式(３０)进行识别误差的计算ꎬ计算结果分别为５ ６７％ꎬ５ ７９％ꎬ５ ３８％ꎬ５ ８６％ꎬ５ ９８％.从结果可以看到ꎬ选取不同的测量点ꎬ识别得到的载荷与实际载荷的误差没有太大差别ꎬ也就是说测量点的选取对识别结果影响不大ꎻ该算法能够适应实际工程的应用环境.４㊀结㊀㊀论１)利用隐式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法ꎬ推导出了它的一种显式表达形式ꎬ进而提出了一种基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的载荷识别算法ꎬ该算法既具有显式算法的优势ꎬ同时具有隐式算法的特点.２)通过算例验证了本文算法在识别矩形波载荷㊁谐波载荷和随机载荷方面的识别精度都高于状态空间法的识别精度ꎬ并且在算例中加入了５％的随机噪声.实验结果表明:算法不仅能够对矩形载荷㊁谐波载荷和随机载荷准确识别ꎬ并且识别精度比状态空间法的识别精度更高.参考文献:[１]㊀ＪｉｅＨꎬＺｈａｎｇＸ.Ａｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｆｌｏａｄｉｄｅｎ￣ｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｉｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎ[Ｊ].Ｎｏｉｓｅ＆ＶｉｂｒａｔｉｏｎＣｏｎｔｒｏｌꎬ２００９ꎬ２９(６):３４－３６[２]㊀ＨｅＺＣꎬＬｉｎＸＹꎬＬｉＥ.Ａｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒｌｏａｄｂｏｕｎｄｓｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｆｏｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｉｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎ[Ｊ].ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＭｅｔｈｏｄｓꎬ２０１７(３):１８５００５１.[３]㊀ＬａｗＳＳꎬＣｈａｎＴＨＴꎬＺｈｕＱＸ.Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｉｎｍｏｖｉｎｇｆｏｒｃｅｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓＡＳＣＥꎬ２００１ꎬ１２７(２):１３６－１４８.[４]㊀ＬｉｕＫꎬＬａｗＳＳꎬＺｈｕＸＱꎬｅｔａｌ.Ｅｘｐｌｉｃｉｔｆｏｒｍｏｆａｎｉｍｐｌｙ￣ＣＩＴｍｅｔｈｏｄｆｏｒｉｎｖｅｒｓｅｆｏｒｃｅｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎꎬ２０１４ꎬ３３:７３０－７４４.[５]㊀ＬｉＸＷꎬＤｅｎｇＺＭ.Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｄｙｎａｍｉｃｌｏａｄｓｂａｓｅｄｏｎｓｅｃｏｎｄ￣ｏｒｄｅｒｔａｙｌｏｒ￣ｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ[Ｊ].ＳｈｏｃｋａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎꎬ２０１６(２０１６):１－９.[６]㊀ＬｉｕＪꎬＭｅｎｇＸꎬＪｉａｎｇＣꎬｅｔａｌ.Ｔｉｍｅ￣ｄｏｍａｉｎＧａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｄｙｎａｍｉｃｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ[Ｊ].ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＭｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬ２０１６ꎬ１０５:６２０－６４０.[７]㊀ＱｉａｎＢꎬＺｈａｎｇＸꎬＷａｎｇＣꎬｅｔａｌ.Ｓｐａｒｓｅｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｆｏｒｃｅｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎꎬ２０１６ꎬ３６８:７１－８６.[８]㊀张方ꎬ秦远田ꎬ邓吉宏.复杂分布动载荷识别技术研究[Ｊ].振动工程学报ꎬ２００６ꎬ１９(１):８１－８５.(ＺｈａｎｇＦａｎｇꎬＱｉｎＹｕａｎ￣ｔｉａｎꎬＤｅｎｇＪｉ￣ｈｏｎｇ.Ｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆｄｙｎａｍｉｃｌｏａｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｏｎｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬ２００６ꎬ１９(１):８１－８５.)[９]㊀徐菁ꎬ张方ꎬ姜金辉ꎬ等.运用数值迭代的动载荷识别算法[Ｊ]ꎬ振动工程学报ꎬ２０１４ꎬ２７(１５):７０２－７０７.(ＸｕＪｉｎｇꎬＺｈａｎｇＦａｎｇꎬＪｉａｎｇＪｉｎ￣ｈｕｉꎬｅｔａｌ.Ａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｄｙｎａｍｉｃｌｏａｄｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｔｅｒａｔｉｏｎꎬ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬ２０１４ꎬ２７(１５):７０２－７０７.)[１０]ＡｌｌｅｎＭＳꎬＣａｒｎｅＴＧ.Ｄｅｌａｙｅｄｍｕｌｔｉ￣ｓｔｅｐｉｎｖｅｒｓｅｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｆｉｌｔｅｒｆｏｒｒｏｂｕｓｔｆｏｒｃｅｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ[Ｊ].ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇꎬ２００８ꎬ２２(５):１０３６－１０５４.７７６第５期㊀㊀㊀范玉川等:基于显式Ｗｉｌｓｏｎ－θ法的动载荷识别研究。
Wilson_法两种积分格式的稳定性探讨
收稿日期:2006 09 21;修改稿收到日期:2007 04 06基金项目:国家自然科学基金(50578066/E080507);福建省自然科学基金(E0410023;E 0540005);厦门市科技计划项目(3502Z20074039)资助项目作者简介:方德平*(1965 ),男,副教授(E mail:fdp@);王全凤(1946 ),男,教授,博士生导师第25卷第4期2008年8月计算力学学报C hinese Journal of C omputational MechanicsV ol.25,N o.4Aug ust 2008文章编号:1007 4708(2008)04 0539 03Wilson 法两种积分格式的稳定性探讨方德平*, 王全凤(华侨大学土木工程学院,福建泉州362021)摘 要:W ilso n 法分为加速度未经过和经过动力平衡方程修正的Wilson 法和W ilson 法;推导了单自由度体系的W ilson 、 法的状态传递算子,由传递算子的谱半径来判断W ilso n 、 法的稳定性。
计算结果表明:W ilso n 法的稳定性是无条件的,Wilson 法的稳定性不是无条件的;并给出了W ilson 法的稳定范围。
关键词:W ilso n 法;稳定性;状态传递算子;谱半径中图分类号:T U 311 3 文献标识码:A1 引言Wilson 法通过建立在t + t 时刻的动力平衡方程求解出t+ t 时刻的位移,再结合t 时刻的位移、速度、加速度来计算t + t 时刻的位移、速度及加速度[1]。
该法是线性加速度法的一种修正形式。
Wilso n 法的稳定性分析表明:当 !1 37时,它是无条件稳定的,在大多数情况下,取 =1 4左右,可望得出很好的结果[2]。
无条件稳定的Wilson 法的时间步长不受结构周期长短的限制,因此得到广泛应用。
同时还对该法作了种种的改进[3 5]。
不过,在求t + t 时刻的加速度时,有两种方法:未经过t + t 时刻的动力平衡方程修正,为Wilso n 法;经过t+ t 时刻的动力平衡方程修正,为Wilson 法。