一元二次方程解题规律与方法

一元二次方程综合培优

◆温故而知新

1、对下列各式进行配方：

⑴错误！不能通过编辑域代码创建对象。； ⑵错误！不能通过编辑域代码创建对象。；（3）错误！不能通过编辑域代码创建对象。

2.设a 、b 为实数,求a 2

+2ab+2b 2

－4b+5的最小值时，则a ＝ ，b ＝ 。 3.已知关于x 的一元二次方程4x 2

+4kx+k 2

=0的一个根是–2，那么k=____.

4.已知α，β是方程0522

=-+x x 的两个实数根，则α2+β2

+2α+2β的值为_________.

5.在关于x 的方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)中, ____________叫做一元二次方程的根的判别式.记作：Δ. (1)b 2－4ac>0 ⇔ 方程有两个_________的实数根. (2)b 2

－4ac=0 ⇔ 方程有两个_______的实数根.

(3)b 2

－4ac<0 ⇔ 方程________实数根. (4)b 2

－4ac ≥0 ⇔ 方程___________两个实数根.

6.判别式只能对一元二次方程使用，因此使用判别式解题的前提是：二次项系数a ≠___ _.

7.求判别式的值，必须先把方程化为一元二次方程的______形式.即 。

8.已知a 、b 、c 为任意实数，则方程

0)(22=-++-c ab x a b x 的根的情况是 。 9、关于x 的方程(m －2)x 2

－2(m －1)x+m+1=0,m 取什么值时:

(1)有两个不等的实数根?(2)有两个实数根?(3)无实根?(4)有两个相等的实数根?（5）只有一个实数根？ 10. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0,Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2,那么x 1+x 2=______,x 1x 2=_____.

11.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用， x 1+x 2 =－b a ，x 1x 2= c

a 成立的条件是：a_ __,

Δ_____.

12.根据乘法公式填空:(1)x 12

+x 22

=(x 1+x 2)2

－______；(2)(x 1－x 2)2

=(x 1+x 2)2

－_______；

（3）2212122221212

22221)(4___)(___1

1x x x x x x x x x x -+=+=+；(4). 丨x 1-x 2丨=

a

∆

.

13.已知方程2x 2

+(8k+1)x+8k 2=0的两个根互为倒数，则k=_______。

14.若方程(m-7)x 2

-（m-1）x+1=0的两个根异号，则m 的取值范围是__________.

15. 以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________. 16.以

和

为根的整系数一元二次方程是_________________.

17．若一元二次方程(二次项系数为1)的两根之比是3∶4，且Δ＝4，则这个一元二次方程是___________. 18．若方程ax 2

+bx+c=0有两个实数根x 1和x 2,那么二次三项式ax 2

+bx+c 分解因式的结果是:ax 2

+bx+c=-__________.

19.在实数范围内分解因式：(x 2

+x)2

-2x(x+1)-3= ______________________.

◆巧用一元二次方程根的定义解题

若x 0是一元二次方程ax 2

+bx+c=0的根,则ax 02

+bx 0+c=0;特别地,若ax 12

+bx 1+c=0, ax 22

+bx 2+c=0(a ≠0),则x 1, x 2是一元二次方程ax 2

+bx+c=0的两个实数根. 一、求一元二次方程中的字母系数

例1．若关于x 的方程(m-1)x 2

+5x+m 2

-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于( )

A.1

B.2

C.1或2

D.0

二、求代数式的值

例2．已知α是方程2200510x x -+=的一个根，求

222005

20041ααα-+

+的值．

三、比较代数式的大小

例3.设t 是一元二次方程ax 2

+bx+c=0的一个实根，试判断b 2

-4ac 与平方式(2at+b)2

的大小关系

四、求公共根的问题

例4．已知关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，求2005()p q +的值．

五、逆用方程根的定义构造一元二次方程解决问题

例5．已知

221010p p q q --=--=，且1pq ≠，求：q pq 1

+的值．

六、用于证明或说理题

例6．已知12x x ，是方程20ax bx c ++=的两个实根，112s x x =+，22212s x x =+，33312s x x =+． 求

证：3210as bs cs ++=．

跟踪练习：

1.关于x 的一元二次方程(a-1)x 2

+x+a 2

-1=0的一个根是0，求a 的值. 2.已知x=1是一元二次方程ax 2

+bx-40=0的一个解,且a ≠b,求a 2

-b

2

2a-2b

的值.