高考导数压轴题处理集锦

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝－(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

(1)解 f (x )＝－(x ＋m )⇒f ′(x )＝－⇒f ′(0)＝e 0－＝0⇒m ＝1，

定义域为{>－1}，f ′(x )＝－＝，

显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝－(x ＋2)，则g ′(x )＝－(x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝－(x >－2)⇒h ′(x )＝＋>0，

所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－)＝－<0，g ′(0)＝1－>0，

所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝－＝0， 所以，＝⇒t ＋2＝e －t ，

当x ∈(－2，t )时，g ′(x )g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )＝g (t )＝－(t ＋2)＝＋t ＝>0， 当m ≤2时，有(x ＋m )≤(x ＋2)，

所以f (x )＝－(x ＋m )≥－(x ＋2)＝g (x )≥g (x )>0.

例2已知函数)(x f 满足212

1

)0()1(')(x x f e f x f x +-=-（2012全国新课标）

(1)求)(x f 的解析式及单调区间；

(2)若b ax x x f ++≥22

1

)(，求b a )1(+的最大值。

（1）1211

()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+

令1x =得：(0)1f =

1211

()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=

得：21

()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+

()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<

得：()f x 的解析式为21

()2

x f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥

22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>

当x =max ()2

e

F x =

当1,a b ==(1)a b +的最大值为2

e

例3已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标） （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围。 解（Ⅰ）22

1(ln )

'()(1)x x b x f x x x α+-=-

+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22

b a b =⎧⎪

⎨-=-⎪⎩

解得1a =，1b =。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1

f ()1x x x x

=++，所以

22

ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)

k x x

--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

(i)设0k ≤，由222

(1)(1)

'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。而(1)0h = 故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得

21

()1h x x >-当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2

11

x - h （x ）>0

从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（

1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x

k

. （）设0

且244(1)0k ∆=-->，对称轴1

11k >-.

当x ∈（1，k -11）时，（1）（x 2

+1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k

-11）时，h （x ）>0，

可得2

11

x

-h （x ）<0,与题设矛盾。 （）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'

h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈ （1，+∞）时，h （x ）>0，可得

2

11

x

- h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]

例4已知函数f(x)＝(x 3+3x 2)e －x . （2009宁夏、海南）

(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β∞)单调减少,证明β－α＞6. 解: (1)当a ＝b ＝－3时(x)＝(x 3+3x 2－3x －3)e －x ,故

f′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x ＝－e －x (x 3－9x)＝－x(x －3)(3)e －x .

当x ＜－3或0＜x ＜3时′(x)＞0;当－3＜x ＜0或x ＞3时′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3∞)单调减少. (2)f′(x)＝－(x 3+3x 2)e －x +(3x 2+6)e －x ＝－e －x ［x 3+(a －6)－a ］. 由条件得f′(2)＝0,即23+2(a －6)－a ＝0,故b ＝4－a.

从而f′(x)＝－e －x ［x 3+(a －6)4－2a ］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,

所以x 3+(a －6)4－2a ＝(x －2)(x －α)(x －β)＝(x －2)［x 2－(α+β)αβ］. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2.

故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β－2)(α－2)＜0， 即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6. 于是β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※