完全平方数 优质课件
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完全平方公式PPT课件
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例4 运用完全平方公式计算：
(1)(3m+n)2；
(2)
x
-
1 2
2
.
(1)(3m+n)2
解 (3m+n)2
= (3m)2+2 ·3m ·n + n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·x·1Fra bibliotek+
12
2 2
= x2 - x+ 1 4
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改 正？
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？ 为什么？
说一说
1. (a-b)2与(b-a)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2. 2. (a+b)2与(-a-b)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (-a-b)2 = [-(a+b)]2=(a+b)2.
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义 和的完全平方公式：
b ab
b²
(a+b)²
《完全平方公式》优质课件
通过提问和练习，检查学生对已有知 识的掌握情况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解 完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
总结词：循序渐进
详细描述：通过对完全平方公式的逐步推导，引导学生理解公式背后的逻辑和意 义。
完全平方公式的形式与意义
总结词：对比分析
公式的证明方法
基于平方的定义进行证明
利用平方的定义，即一个数的平方等于这个数的两次幂，通 过逐步推导证明完全平方公式的正确性。
基于多项式展开进行证明
通过将完全平方式的左边按照完全平方公式的形式展开，证 明公式的正确性。
公式的扩展应用
与其他数学知识的结合
完全平方公式可以与其他数学知识结合 ，如因式分解、解方程和不等式等，以 扩展其应用范围。
实际应用
数据处理
完全平方公式可以用于数据处理，如 计算方差、标准差等统计指标。
实际生活应用
完全平方公式在日常生活中有广泛的 应用，如计算房屋面积、计算价格等 。
04
公式深化
公式的变化形式
完全平方公式的三种形式
两数和的平方、两数差的平方以及两数平方和与它们的积的两倍的和的平方。
公式的应用范围
适用于解决与完全平方公式相关的问题，如代数表达式、方程和不等式等。
进阶习题
总结词
提升解题技巧
详细描述
设计一些稍有难度的习题，如涉及完全平方公式的变 形、与其他数学知识的综合应用等，旨在训练学生掌 握进阶的解题技巧和方法，提高解题能力。
综合习题
总结词
综合运用能力
详细描述
设计一些包含多个知识点、有一定难度的习 题，如需要学生综合运用完全平方公式解决 实际问题、进行复杂计算等，重点考察学生
8.3完全平方公式PPT课件
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
.
5
首(a+平b方)2=，a尾2 平+2方ab，+b2
公式特点：
乘(a-积b的)2=2倍a2放-中2a央b。+b2
1、左边是一个二项式的完全平方；
2、右边积为二次三项式；
3、积中两项为两数的平方和；
4、另一项是两数积的2倍，且与乘式 中间的符号相同；
5 、公式中的字母a，b可以表示数，单 项式和多项式。
.
6
讨论
你能根据图8.8 -1和图8.8 -2 中的面积说 明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 8.8-1
b a
b a 图8.8-2
.
11
练习：运用完全平方公式计算： 1) (a+2b)2 2) (a-2b)2 3) (m-4n)2 4) (4n-m)2
.
12
学一学
例例2 运题用解完全析平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
《完全平方公式》课件
(2) 992 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10 000-200+1 =9 801.
完全平方公式的常见变形
a2 + b2 = （a + b）2−2ab = （a − b）2 + 2ab;
（a + b）2 = （a − b）2 + 4ab;
（a−b）2 = （a + b）2−4ab;
可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就 可以运用这个公式. (2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左 边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的 符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“”. (3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如 (a±b)2 = a2±b2 .
随堂练习
C
(a+b)2
A. ab (a+b)2-44aabb
b
B. (a+b)2 =a2+2ab+b2-4ab
C. (a-b)2 =(a-b)2
a
D. a2-b2
图1
图2
课堂小结
两个数的和（或差）2倍
全
平
方
公
式
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2
《完全平方公式》
知识回顾
平方差公式:
两个数的差
积 (a+b)(a-b)=a2-b2. 两个数的和 平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个
数的平方差.
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式. 2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方 公式进行计算.
完全平方公式-课件
《能力练习册》：P82-83.
你能挑战它吗？
(1)(-4m+n)2 (2)(-x-2y)2
你能用今天所学的内容把我算出 来吗？
(1) 1022 =10404
(2) 992 =9810
课堂小结 完全平方公式：
★(a+b)2= a2 +2ab+b2 ★(a-b)2= a2 - 2ab+b2
课后作业
课本：P112： 必做题：第 2题， 选做题：第 8 题.
完全平方公式
温故而知新
1.单项式与多项式相乘的法则是什么？
2a (a+b)=
2.多项式与多项式相乘的法则是什么？
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd
自主探究1：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
____________________________
____________________________
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
如何记忆完全平方公式？
项数
位置
符号
三项 积的二倍
放中央
两项平方 均为正
★首平方加尾平方，
积的2倍在中央 。
积二倍符 号看两项：
同号得正， 异号得负.
思维诊断
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
____________________________
说说你的发现: 左边: 两数差的平方; 右边: 这两数的平方和,减去它们的积的2倍.
大胆猜想2：
完全平方差公式
(a-b) 2= a2- 2ab + b2
你能挑战它吗？
(1)(-4m+n)2 (2)(-x-2y)2
你能用今天所学的内容把我算出 来吗？
(1) 1022 =10404
(2) 992 =9810
课堂小结 完全平方公式：
★(a+b)2= a2 +2ab+b2 ★(a-b)2= a2 - 2ab+b2
课后作业
课本：P112： 必做题：第 2题， 选做题：第 8 题.
完全平方公式
温故而知新
1.单项式与多项式相乘的法则是什么？
2a (a+b)=
2.多项式与多项式相乘的法则是什么？
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd
自主探究1：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
____________________________
____________________________
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
如何记忆完全平方公式？
项数
位置
符号
三项 积的二倍
放中央
两项平方 均为正
★首平方加尾平方，
积的2倍在中央 。
积二倍符 号看两项：
同号得正， 异号得负.
思维诊断
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
____________________________
说说你的发现: 左边: 两数差的平方; 右边: 这两数的平方和,减去它们的积的2倍.
大胆猜想2：
完全平方差公式
(a-b) 2= a2- 2ab + b2
《完全平方公式》优质课件
平方公式的学习做准备。
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情 况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对 乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和 分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的 证明过程和应用实例。
提前了解下节课要学习的 内容，以便更好地参与课 堂讨论和互动。《完全源自方公式》优 质课件汇报人：
日期:
目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的 兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差 公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理 解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和 加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式 的理解和应用。
06
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情 况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对 乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和 分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的 证明过程和应用实例。
提前了解下节课要学习的 内容，以便更好地参与课 堂讨论和互动。《完全源自方公式》优 质课件汇报人：
日期:
目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的 兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差 公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理 解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和 加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式 的理解和应用。
06
完全平方公式PPT课件
两个二项式相乘理应有几项，但 在公式中实际有几项？试举例说 明
作业：名校课堂
(x -y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
例1
运用完全平方公式计算：
2 (1)(x+2y)
解：
2 (x+2y) = x2
+2•x •2y +(2y)2 + 2 ab +
2 +4y
2 b
(a
2 +b) =
2 a
2 =x +4xy
首平方，末平方， 间的符号相同。 首末两倍中间放
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
§14.2 乘法公式
-完全平方公式
复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？
用一个多项式的每一项乘以另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
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42=16
112=121 182=324 252=625 322=1024
52=25
122=144 192=361 262=676
62=36
132=169 202=400 272=729
三、完全平方数的常用性质： 性质1：完全平方数的末位数字
只可能是0，1，4，5，6，9；
1 某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数
那么要求编号为n的同学转动的次数，实际上是求n的 因数的个数。所以只有因数个数被4除余3的数，最后 面向东。1~200中，因数个数为3的数有22、32、52、 72、112、132，共6个；因数个数为7的数有26，1个； 因数个数为11的数有0个；因数个数为15的数有 32×32×24=144，1个； 所以一共有8个满足条件的编号，即有8名同学面向东。
两位）
（1）因完全平方数除以4所得的余数为0或1，故两个完全 平方数之和除以4所得的余数为0、1 或2，但因999除以4 所得的余数为3，矛盾，因此999不可能； (2)因完全平方数除以8所得的余数为0、1或4，故两个完 全平方数之和除以8所得的余数为0、1、2、4或5。但因 998除以8所得的余数为6，矛盾，因此998不可能； (3) 可算出997=961+36=312+62，因此所求为997。
16就是一个“智慧数”。在自然数列中从1开始数起，第
2009个“智慧数”是
。
5 草地上趴着3599只面朝前的小甲虫。他们身上背着
从1到3599的号码牌。第一秒时号码是1的倍数的甲 虫向右转90度，第二秒时2的倍数的小甲虫向右转90度，第 三秒时3的倍数的小甲虫向右转90度……一个小时后，第 3599只小甲虫）200名同学编为1至200
号面向南站成一排。第1次全体同学向右转(转后所 有的同学面朝西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第 3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为 200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名。
开始所有人都面向南，最后有些同学面向东，则面向东 的同学转了3次，7次，11次……，即转的次数是被4除 余3的数。而转的次数如何确定呢？根据题意可知，对 于编号为n的同学，只有在次数是n的因数时才会转动， 当次数不是n的因数时，编号为n的同学是不动的。
性质3：如果一个完全平方数的个位是6，则十 位是奇数；（反之也一样）
如果一个完全平方数的个位是0，则它后面 连续的0的个数一定是偶数；
如果一个完全平方数的个位是5，则其十位 一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个；
如果一个完全平方数的个位是奇数，那么 它的十位一定是偶数；
3 有没有各位数字完全相同的完全平方数？（至少
所以2×12、2×22、……、2×312都满足题意，即所求 的满足条件的数共有31个。
5 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，
乘以3后是完全立方数。
帅
姚明个子很高，平时生活 不太方便。退役后他决定 变得矮一点，于是服用了 一种油，请问这是什么油？
性质5：完全平方数的因数一定有奇数个，反之 亦然。特别地，因数个数为3的自然数是质数的 平方。
性质4：完全平方数做质因数分解后每个质因数 的次数都是偶数；
4 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方
数的共有多少个？
完全平方数，其所有质因数必定成对出现。 而72=23×32=2×6×6，所以满足条件的数必
为某个完全平方数的2倍， 由于2×31×31=1922＜2008＜2×32×32=2048，
2 有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和。
请问这个三位数的最大值是多少？
（1）因完全平方数除以4所得的余数为0或1，故两个完全 平方数之和除以4所得的余数为0、1 或2，但因999除以4 所得的余数为3，矛盾，因此999不可能； (2)因完全平方数除以8所得的余数为0、1或4，故两个完 全平方数之和除以8所得的余数为0、1、2、4或5。但因 998除以8所得的余数为6，矛盾，因此998不可能； (3) 可算出997=961+36=312+62，因此所求为997。
相等的方阵。做完操后，老师让班长按5人一组分 组活动，班长算了一下说：“5人一组分组还多2 人。”老师马上说：“你一定算错了。”你知道 老师这样说的根据吗？
性质2： 完全平方数除以3只可能余0或1； 完全平方数除以4只可能余0或1； 完全平方数除以8只可能余0、1或4； 完全平方数除以16只可能余0、1、4或9；
32以内自然数的平方。32以内自然数的平方如下：
02=0
72=49
142=196 212=441 282=784
12=1
82=64
152=225 222=484 292=841
22=4
92=81
162=256 232=529 302=900
32=9
102=100 172=289 242=576 312=961
一、完全平方数的定义： 我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方
数或平方数。如02=0，12=1 ， 22=4 ， ···， 112=121 ， 122=144，···其中0 ， 1 ， 4 ， ···， 121 ， 144叫做完 全平方数。
二、完全平方数表： 五年级应记住20以内自然数的平方，六年级应记住
1 求一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，
100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的 灯都不亮。有100个人依次进入房间，第1个人进入房间 后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开； 第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一 下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间， 将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。问： 第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？
帅
帅
巧克力大战西红柿！！！
性质6：平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)， 其中a+b，a-b奇偶性相同。 特殊时期，b=1有不同应用。
3 一个数减去100是一个完全平方数，减去63也是一个
完全平方数，问这个数是多少？
4 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方
差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16=52-32，