二阶非齐次方程的解法.
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
二阶非齐次线性微分方程的通解
二阶非齐次线性微分方程的通解
二阶非齐次线性微分方程是指非齐次线性微分方程中右边的函数未知，而其解须满足一定的非齐次条件,此时二阶非齐次线性微分方程就可以用来描述。
二阶非齐次线性微分方程的解法通常有两种方法，一种是积分因子法，一种是拉普拉斯变换法。
积分因子法是确定积分因子的方法。
由于其式，解的形式是行列式形式，是一种直观的、简单的方法，当方程实质上是可以进行积分的时候，可以采用这种方法。
例如：y''+ p(t) y'+ q(t) y = f(t) ，其积分因子为 M(t) = exp {- ∫ p (t) dt} 。
用这种方法，就可以「加以积分因子后」转化为方程： (My')' + qM y = fM，解此方程常常较为
容易。
拉普拉斯变换法通过拉普拉斯变换把二阶非齐次线性微分方程转换为一阶线性微分方程组。
拉普拉斯变换可将一个新函数 Y (p) 与变量 y 定义进行变换。
对待一
般非齐次线性微分方程ay″ + by′ + cy = f(t)，其变换的具体表达是：Y (p) = {y' +
(b/a)y} + (b/a) * L(y)，其中 L(y) 为微分人变量内涵的拉普拉斯变换表达式。
这种拉普拉斯变换的方法的好处在于可以大大减少二阶非齐次线性方程的复杂性，大大方便其解法的求解。
通过积分因子法和拉普拉斯变换法对二阶非齐次线性方程求解，可满足其特殊性质，也为数值计算提供了有力的解法。
这些方法不仅可以用于二阶非齐次线性微分方程的求解，而且也可以用于多元系统的解决。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
下页
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2pq0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1
下页
例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 齐次方程yy0的特征方程为r210
因为f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]xcos2x iw2i不是
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
下页
例1 求微分征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
特解形式
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x1)e2x 2
提示
此时2pq0 2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
4.5二阶非齐次线性方程
* 1 * 2
设 y 4 y 4 y 8e
*
2x
的特解为 y
* 则所求特解为 y y y 2
* 1
r 2 4r 4 0
特征根 r1, 2 2
* y2 Dx 2 e 2 x
* y1 Ax 2 Bx C
* * y * y1 y 2 Ax 2 Bx C Dx 2 e 2 x .
*
*
10ax 10b bc cos 3 x 10cx 6a 10d sin 3 x x cos 3 x .
1 a 10 10a 1, 10b bc 0, b 0, 解得 比较系数可得 10c 0, c 0, 6a 10d 0. 3 d . 50 x 3 * 2x y e cos 3 x sin 3 x . 50 10
2
2 p 0,
y* x 2Qm ( x )e x .
可设 Q ( x ) x 2 Qm ( x ),
综上讨论
y py qy e x Pm ( x )
0 不是根 * k x 设 y x e Qm ( x ) , k 1 是单根, 2 是定理5 设非齐次方程 2 的右端 f x 是几个函数
之和，如 y P x y Q x y f1 x f 2 x
而 y1与 y2分别是方程
y P x y Q x y f1 x y P x y Q x y f 2 x
* y2 C cos 2 x D sin 2 x;
原方程y y sin x cos 2 x的特解为：
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
二阶常系数非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次微分方程的特解二阶常系数非齐次微分方程是微分方程中的一种重要类型，可以用来描述物理、工程、经济等领域中的许多实际问题。
本文将从实际问题的角度出发，介绍如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。
希望读者通过阅读本文，能够对该问题有一个全面的认识，并学会运用相关方法解决实际问题。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次微分方程的概念和形式。
二阶常系数非齐次微分方程的一般形式为：\[ay''+by'+cy=f(x) \]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，\(y\)是未知函数，\(f(x)\)为已知函数。
这个方程的特解指的是满足该方程的特殊解。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。
假设有一个简谐振动的物体，它的振动方程可以表示为：\[my''+ky=f(t) \]其中，\(m\)为物体的质量，\(k\)为弹簧的劲度系数，\(f(t)\)表示外力对物体的作用。
我们希望求解出物体的位移函数\(y(t)\)。
首先，我们可以将振动方程转化为二阶常系数非齐次微分方程的标准形式：\[y''+\frac{k}{m}y=\frac{f(t)}{m} \]然后，我们可以通过变量分离的方法解这个方程。
假设特解为\(y_p(t)\)，代入方程得到：\[y_p''+\frac{k}{m}y_p=\frac{f(t)}{m} \]接下来，我们需要根据外力的形式选择合适的方法求解特解。
如果外力是常数函数，则特解也应该是常数函数；如果外力是正弦函数，则特解应该是正弦函数等等。
以外力为常数函数的情况为例，我们假设\(y_p(t)=A\)为特解，代入方程得到：\[0+\frac{k}{m}A=\frac{f(t)}{m} \]解得\(A=\frac{f(t)}{k}\)。
所以特解为：\[y_p(t)=\frac{f(t)}{k} \]通过这个例子，我们可以看到求解二阶常系数非齐次微分方程的特解的方法。
二阶微常系数非齐次方程右边是常数
二阶微常系数非齐次方程右边是常数二阶微常系数非齐次方程右边是常数在微积分学中，二阶微常系数非齐次方程是常见的数学问题。
这种方程右边是常数，即系数不随自变量的改变而改变。
二阶微常系数非齐次方程的解法一般包括齐次解和非齐次解两种方法。
下面将分别介绍这两种方法。
一、齐次解首先，我们需要知道什么是齐次方程。
齐次方程是指右边恒等于零的微分方程，即：y”+p(x)y’+q(x)y=0齐次方程的特征方程是：m^2+p(x)m+q(x)=0我们可以根据特征方程的解来确定齐次解的形式。
如果特征方程有两个复根，那么齐次解为：y=c1e^(αx)cos(βx)+c2e^(αx)sin(βx)如果特征方程有一个重根，那么齐次解为：y=c1e^(αx)+c2xe^(αx)如果特征方程有两个不同实根，那么齐次解为：y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)其中，m1和m2是特征方程的两个根。
如果特征方程有两个不同虚根，那么齐次解为：y=e^(αx)(c1cos(βx)+c2sin(βx))其中，α是实部，β是虚部。
二、非齐次解在解决非齐次方程时，我们需要先求出齐次解，然后再根据下列公式求出非齐次解：y(x)=y1(x)+y2(x)其中，y1(x)是齐次方程的解，y2(x)是非齐次方程的一个特解。
我们可以采用常数变易法、待定系数法、试验解法等方法来求解非齐次方程的特解。
常数变易法的思路是，我们假设特解y2(x)为常数C，然后将其代入非齐次方程中求出C的值。
例如：y”+3y’+2y=2假设y2=C，代入方程得：C=1因此，特解为y2=1。
待定系数法适用于非齐次方程的右边为多项式、三角函数、指数函数等的情况。
我们需要选择一组合适的函数形式作为特解，然后解出其中的待定系数。
例如：y”+3y’+2y=8x+5假设y2=A0x+A1，代入方程得：A0=1 A1=5/2因此，特解为y2=x+5/2。
试验解法则需要根据非齐次方程的形式，猜测特解的形式。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明白什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y与其导数y关于t的关系式，形式如下：dy/dt + A*y = B*exp(ct)其中，A、B、c是已知常数，t是自变量。
这个方程的解法有很多种，但是我们今天主要讨论两种方法：一种是分离变量法，另一种是特征线法。
我们来看一下分离变量法。
分离变量法的基本思想是把未知函数y看作两个函数的和，一个是指数函数e^(ct),另一个是线性函数y(t)。
这样一来，我们就可以用积分的方法求解这个方程了。
具体步骤如下：1. 把方程改写为：e^(ct) = y(t) B/A*ln|y(t)|2. 对两边取对数：ln|y(t)| = ct ln|y(t)| ln(B/A)3. 对上式两边求积分：∫[0,∞] ln|y(t)| dt = ∫[0,∞] (ct ln|y(t)| ln(B/A)) dt4. 根据积分公式和性质，我们可以得到：y(t) * e^(-bt) = B/A * e^(-bt) * |y(t)|^n + C,其中n是一个待定常数5. 通过比较系数，我们可以得到：y(t) = (B/A)^n * |y(t)|^n6. 这样我们就得到了二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。
接下来，我们可以通过凑特解的方法得到原方程的通解。
下面我们来看一下特征线法。
特征线法的基本思想是找到一个特征线，使得它与原方程有相同的极值点。
具体步骤如下：1. 对于特征线l:y = x + c,代入原方程得：x + c = x + A*y B*exp(ct) => A*y =B*exp(ct) + c => y = (B/A)*exp(ct) + c/A2. 由于特征线l与原方程有相同的极值点，所以我们可以得到原方程的通解为：y = (B/A)^n * exp(ct) + c/A * (x x0)^n3. 其中，x0是特征线的交点的横坐标，n是待定常数。
4.5 二阶非齐次线性方程
一、二阶非齐次线性方程解的性质和结构
二阶非齐次线性方程的一般形式为:
d y dy + P ( x ) + Q ( x ) y = f ( x )， 2 dx dx
2
二阶非齐次线性方程可以记为:
( D + P ( x ) D + Q ( x )) y = f ( x )，
r + pr + q = 0 的重根，
2
即 : λ + pλ + q = 0, 2λ + p = 0，
2
要使方程两边相等, 须Q( x )为m + 2次
多项式，设其为 : y* = x 2Qm ( x )e λ x ,
代入方程比较系数可得: b 0 , b 1 ,
2 λx y * = x Q ( x ) e . 由此可得特解: m
则 y1 * + y2 * 为方程
L( y ) = f1 ( x ) + f 2 ( x )的特解。
证明:
L( y *1 + y2 *) = L( y1 *) + L( y2 *) = f1 ( x ) + f 2 ( x ).
二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为:
y "+ py '+ qy = f ( x )
设方程 y′′ − 4 y′ + 4 y = 8e 2 x的特解为y2 *,
则所求特解为: y = y + y2 *,
* * 1
∵ r − 4r + 4 = 0， 特征根为：r1,2 = 2.
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+py'+qy=F(x)的微分方程，其中p和q是常数，F(x)是已知的函数，y是未知函数。
这类微分方程的解法包括通解和特解。
首先考虑非齐次微分方程的通解。
通解一般分为两部分，即其对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解。
对于齐次微分方程y''+py'+qy=0，它的特征方程为r^2+pr+q=0，其中r是未知常数。
根据特征方程的根的情况分为三种情况：1. 当特征根为实数时，即r1≠r2，则齐次微分方程的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
2. 当特征根为复数时，即r1=r2=α+iβ，实部为α，虚部为β，则齐次微分方程的通解为y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
3. 当特征根为重根时，即r1=r2=r，则齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)e^(rx)，其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
对于非齐次微分方程y''+py'+qy=F(x)，我们可以采用常数变易法求出它的特解：设非齐次微分方程的特解为y1(x)，则y1''+py1'+qy1=F(x)令y1=A(x)e^(mx)，其中A(x)是待定函数，m是未知常数将y1代入上式得到A(x)和m的关系式：A''e^(mx)+2Am'e^(mx)+Am^2e^(mx)+pA'e^(mx)+pAm'e^(mx )+qAe^(mx)=(F(x))/e^(mx)整理得到A''+2mA'+(m^2+p)A=(F(x))/e^(mx)此时我们可以令(A(x))'=0，使得A(x)是一个常数，从而得到一个特解y1=C(e^(mx))，其中C是未知常数。
二阶非齐次方程
二阶非齐次方程二阶非齐次方程是指形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程。
其中，p 和q是常数，f(x)是已知函数。
二阶非齐次方程是微积分学中的重要内容，它具有广泛的应用领域。
一、求解二阶非齐次方程的一般步骤1. 求出对应的齐次方程的通解，y=c1y1(x)+c2y2(x)，其中c1、c2为任意常数，y1、y2为基本解组。
2. 求出非齐次方程的一个特解y0(x)。
3. 非齐次方程的通解为y=y0(x)+y(x)，其中y(x)为对应的齐次方程的通解。
二、求解二阶非齐次方程的方法1. 常数变易法对于形如f(x)=P(x)e^{mx}的非齐次项，可以采用常数变易法求得特解。
特解y0(x)的形式为y0(x)=Q(x)e^{mx}，其中Q(x)与f(x)有相同的阶数。
2. 微商变换法如果非齐次项为多项式，可以采用微商变换法求得特解。
将非齐次项f(x)表示成关于齐次方程的n次微商的形式，即f(x)=P_n(D)y，其中D=d/dx。
特解y0的形式为y0=[P_n(m)+P_{n-1}(m)D+...+P_1(m)D^{n-1}+P_0(m)D^n]y。
三、举例说明假设二阶非齐次方程为y''-4y'+4y=2e^x。
它的齐次方程为y''-4y'+4y=0，它的特征方程为λ^2-4λ+4=0，解得λ=2（二重根）。
故齐次方程的通解为y=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}。
非齐次项为2e^x，采用常数变易法，特解y0(x)=Ae^x，带入原方程可得A=1/2。
故非齐次方程的通解为y=(1/2)e^x+c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}。
四、结论本文介绍了求解二阶非齐次方程的一般步骤、常数变易法和微商变换法的具体应用，并通过例子说明了具体的求解过程。
二阶非齐次方程是微积分学中的重要内容，进一步的学习和研究将有助于提高我们的数学水平和应用能力。
二阶非齐次微分方程特解
二阶非齐次微分方程特解在微积分中，二阶非齐次微分方程是一类非常重要的数学问题。
二阶非齐次微分方程可以写成如下形式：\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)\]其中，\(p(x)\)、\(q(x)\)和\(f(x)\)是已知函数，而\(y(x)\)是待求函数。
在求解这类微分方程时，除了找到通解外，我们还常常需要找到一个特解。
为了找到二阶非齐次微分方程的特解，我们可以使用常数变易法。
设特解为：\[y_p(x)=u(x)v(x)\]其中，\(u(x)\)和\(v(x)\)是待定函数。
将特解带入原方程，可以求出\(u(x)\)和\(v(x)\)的形式。
一般来说，\(u(x)\)通常可以选择为常数，而\(v(x)\)则是一个包含\(x\)的多项式。
这种方法的思想是通过设定特定的形式，将问题转化为求解代数方程，从而得到特解。
在求解特解时，我们还需要考虑到方程的次数。
如果原方程的右边\(f(x)\)是一个多项式函数，那么特解的形式通常可以选择为跟\(f(x)\)具有相同次数的多项式。
如果\(f(x)\)是一个三角函数，那么特解的形式通常可以选择为同类三角函数。
除了常数变易法外，还有一些其他的方法可以用于求解二阶非齐次微分方程的特解。
例如，我们可以使用待定系数法、指数形式法等。
这些方法本质上都是将特解的形式设定为一定的形式，然后通过代入和比较求解出特解的具体形式。
通过求解二阶非齐次微分方程的特解，我们可以更好地理解微分方程的性质和解的形式。
对于实际问题的建模和求解也非常有指导意义。
因为很多实际问题都可以转化为微分方程的形式，并通过求解特解来得到问题的解析解。
总之，求解二阶非齐次微分方程的特解是数学中一个重要的问题。
通过选择适当的形式设定特解并进行代入和比较，我们可以得到特解的具体形式。
这不仅对于理解微分方程的性质有益，还对于实际问题的建模和求解有着重要的指导意义。
二阶非齐次方程的解法.
1 10 所求非齐方程特解为 y* e ( cos 2 x sin2 x ) 101 101
例4 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 特征方程
r 1 0, r1, 2 0 i ,
2
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C 2 sin x , 0 x 这里f ( x) e (0 cos x 4 sinx), 0, 1
故死者死亡的时间是
t 8时20分 2时57分 5时23分.
故张某不能被排除在嫌疑犯之外.
本章主要内容
一阶方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
二阶方程 可降阶方程
类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程
待 二阶常系数线 定 性齐次方程的解 系 数 法
特征根的情况 通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
二阶常系数非齐次线性方程的解法
y py qy f ( x ) (P,q为常数)
A,B,λω是常数
x
y py qy f ( x ) 的特解y*可设为：
设y* x e [C cos x D sin x],
k
x
0 i不 是 特 征 根 k ,C,D是待定常数. 1 i是 特 征 根
以上的推导过程省略,只要求我们会用它.
y 4 y f1 ( x)的特解可设为 y1 * Ax B,
二阶非齐次方程的特解
二阶非齐次方程的特解
二阶非齐次方程的特解是指方程在特定的自变量取特定的值时,具有唯一的解。
对于二阶非齐次方程 $frac{dx}{dt} + p x = r x^2,$其中
$p$ 是一个非零常数,$r$ 是另一个非零常数,特解可以表示为:
$$x_0 = frac{r}{p} t$$
是方程在 $t=0$ 时的特解。
为了找到特解,可以使用以下方法:
1. 对所有可能的 $t$ 取正半轴范围,例如 $t in (0, infty)$。
2. 对于每个可能的 $t$,计算 $x(t)$ 在该领域内的所有可能
的 $t$ 上的最大值和最小值。
3. 找到这些最大值和最小值中的特解。
这个过程可以使用牛顿迭代法、高斯-约旦迭代法、最小二乘法等方法来实现。
特解的存在性和唯一性可以通过以下数学证明来证明:
对于任意的实数 $a, b, c, d$,有:
$$frac{dx}{dt} + p x = r x^2 = e^t$$
将 $x(0)=0$ 代入,得到:
$$0 = e^0 - e^t = frac{e^t}{e^t} = e^t$$
因此,$frac{dx}{dt}$ 是 $e^t$ 的奇函数。
由于 $e^t$ 是一个奇函数,因此 $x(e^t)$ 也是在 $t=0$ 时的特解。
因为 $x(t)$ 在领域内是一个连续函数,因此 $x_0$ 是 $x(t)$ 在该领域内的特解。
因此,特解可以表示为 $x_0 = frac{r}{p} t$。
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1 10 所求非齐方程特解为 y* e ( cos 2 x sin2 x ) 101 101
例4 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 特征方程
r 1 0, r1, 2 0 i ,
2
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C 2 sin x , 0 x 这里f ( x) e (0 cos x 4 sinx), 0, 1
. 例3 求方程 y 3 y y e x cos 2 x 的一个特解
解 特征方程为 r 2 3r 1 0, 有实根. x f ( x ) e (cos2 x 0 sin2 x ) 1, 2 这里
i 1 2i不是特征根 ,
难点：如何求特解y*？ 方法：待定系数法.
一、 f ( x ) e Pm ( x )型
x
设非齐方程特解为
y* Q( x )e
x
代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
故设 y* e (C cos2 x D sin2 x),
x
将y*, y*, y * 代入原方程，得 x x e [(10D C ) cos2 x ( D 10C ) sin2 x] e cos2 x
1 10 10D C 1 ,D C 101 101 D 10C 0
x
y* 2Be Bxe ,
x x
将y*代入原方程, 得
2Be x Bxe x 2Be x 2Bxe x 3Bxe x e x x x x e 0 1 4Be e B . 4 1 x
于是 y*
4
xe .
二、 f ( x ) e [ A cos x B sin x] 型
对应齐次方程 y py qy 0,
r pr q 0
2
通解结构 y Y y * 即y C1 y1 C 2 y 2 y*,
f(x)常见类型
x
Pm ( x ),
Pm ( x )e x , Pm ( x )e sin x ,
x
Pm ( x )e cos x ,
2
0 x
, 0不 是特征根，
设 y* Ax Bx C ,
2
代入方程, 得 Ax 2 (4 A B) x (2 A 2B C ) x 2
A 1 4 A B 0 2 A 2B C 0
A 1 Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4 C 6
A,B,λω是常数
x
y py qy f ( x ) 的特解y*可设为：
设y* x e [C cos x D sin x],
k
x
0 i不 是 特 征 根 k ,C,D是待定常数. 1 i是 特 征 根
以上的推导过程省略,只要求我们会用它.
于是 y* x 4 x 6.
2
例2 求方程 y 2 y 3 y e x 的一个特解 . 解 特征方程 r 2 2r 3 0,
x
r1 1, r2 3，
x x
这里f ( x) e , 1, 而 1 是特征单根，
设 y* Bxe , y* Be Bxe ,
★特别地 y py qy Pm ( x )
y* x k Qm ( x )
2
r pr q 0
例1 求方程 y 2 y y x 2 的一个特解 . 解 特征方程 r 2 2r 1 0,
r1 r2 1，
这里f ( x) x e
复习
y p( x ) y q( x ) y 0
通解为：y C1 y1 C 2 y 2 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 通解为：y C1 y1 C 2 y 2 y *
y py qy 0( p, q为常数) r 2 pr q 0
x y p y qy Ae ★特别地 （A是常数）
y* Bx k e x
0 不 是 特 征 根 k 1 是 特 征 单 根 , B是待定常数 2 是 特 征 重 根
即q 0 0 0不 是 根 k 1 0是 单 根 , 即 q 0, p 0 2 0是 重 根 即p q 0
2
2
2 p 0,
2 x y * x Q ( x ) e . 可设 Q( x ) x Qm ( x ), m
x 综上讨论：非齐次方程 y py qy e Pm ( x )
的通解y*可以设为：
0 不 是 特 征 根 k x , y* x e Qm ( x ) , k 1 是 特 征 单 根 2 是 特 征 重 根
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y* Qm ( x )e ;
2 p 0,
x
( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
可设 Q( x ) xQm ( x ),
y* xQm ( x )e ;
x
( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
特征根的情况 通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
二阶常系数非齐次线性方程的解法
y py qy f ( x ) (P,q为常数)