第12章 量子物理基础(2)
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玻恩(Born M. 1882-1970) 德国物理学家
(5)
粒子一个一个地入射到单缝上:
U 较长时间以后 极大值 粒子观点 波动观点 统计观点 很多粒子到达 波强度大, | |2大 极小值 没有粒子到达 波强度为零, | |2=0
(6)
t 时刻单位体积内粒子出现的概率为| |2
结论:在空间dV= dxdydz内, 波函数 可视为不变, t 时 刻, 在(x, y, z)点处dV内粒子出现的概率为 dW= | |2dV= dV 以下熟练掌握(重点): 2 －在 t 时刻粒子出现在 (x, y, z) 点处单位体积内的 概率, 即粒子出现的概率密度。 因此波函数 相当于是概率振幅, 简称概率幅 (probability amplitude)。
12.4.1 波函数(Wave function)
量子力学假设:微观粒子的运动状态用波函数 描述。 定义:任何一个具体的波动都可以用空间和时间的函数 来描述, 这样的函数称为波函数, 用符号 (x,y,z,t)表示 例如: 频率为、波长为、沿x轴方向传播的单色平面机 械波, 其波函数为
( x , t ) 0 cos 2 (t
“1”
x
2
“2”
注意： 1 2
2 2 2 闭, 波函数为 2波函数为: =C + C 双缝都打开, 1 1 2 2
2
单缝“1”打开,“2” 2 1 11 1 关闭, 波函数为 1 ,“1”关 单缝“2”打开
2
1 1 2 2 2 2
C1 1 C 2 2
2
干涉项
(12)
§12.7 薛定谔方程(Schrö dinger’s Equation) 2 d r 宏观物体的运动遵循 F m 2 运 dt 动方程, 由方程解出的位矢 r ( t ) 是 描述物体运动状态的基本物理量。
x
由德布罗意关系式
)
1 ( x , t ) 0 cos[ ( Et Px x )]
常写成复数:
( x , t ) 0e
i ( Et P r )
i ( Et Px x )
y
三维运动的自由粒子的波函数:
( r , t ) 0e
i 2 (t x
x
或写成复数形式
( x , t ) 0e
)
)
x
0 e xp[ i 2 (t
对实物粒子而言, 德布罗意波的波函数如何？
)]
(2)
12.4.2 自由粒子波函数 (Wave function of free particle) 设一自由粒子, 不受外力作用, 则粒子作匀速直线运动 (设沿x轴), 其动量Px、能量E均保持恒定。 从波动观点看来: 由德布罗意关系, 有 x
解: 首先把给定的波函数归一化,设归一化波函数为
(x)＝C(x)
其中C为待求的归一化因子。
2
由归一化条件： ( x ) dx 1 得
a - C ( x ) dx C - a2 cos a dx C 2 1
2 2
a 2
2
x
2
(9)
C＝(2/a)1/2 则归一化的波函数为 2 x cos a a ( x) 0
a 当x 2
a a 当x - ，x 2 2
归一化之后, | (x) |2就代表概率密度了,即 a 2 2 x 当x cos 2 2 a ( x) a
0
a a 当x - ，x 2 2
(10)
如何求在(0, a)区间内发现粒子的概率?
*12.6.4 波函数的线性叠加原理 电子双缝实验:
r
z x
P
注 意 描述微观粒子运动状态的波函数因情况不同而不同。
(4)
0e
i [ Et ( Px x Py y Pz z )]
12.6.3 波函数的统计诠释 (Statistical explanation of wave function) 光强与光振动的平方成正比: I E2 物质波与光波类比后玻恩假定: 物质波的强度与波函数模的平方成正比， 即 I |Ψ |2= 其中 是 的复共轭, 把 中的 i(虚数) 变成 – i 即得到 。
2
(11)
波函数线性叠加原理: 如果1、2、· · · ·n都是系统的可能状态, 那么它们的线性叠加也是这个系统一个状态。
Fra Baidu bibliotek
1 C 2 2 C n n C n n 即: C 1 1 也是系统的一个可能状态。 双缝实验中:
n
2
(C C ) (C1 1 C 2 2 ) C1 1 C 2 2 C1 C 21 2 C1C 21 2
2
dV 1
满足上式的波函数称为归一化波函数, 上式称为 归一化条件(normalizing condition)。
(8)
例13: 设粒子处于由下面波函数描述的状态: x a cos 当x a 2 ( x)
0 求: 粒子在x轴上分布的概率密度。
a a 当x - ，x 2 2
=E/h
恒定！
= h/Px 恒定！
这种波只能是单色平面波。 或由不确定关系, 有 Px=0 x 弥散在整个x方向上 E=0 t 波列长为 结论:自由粒子的De Brö glie波是单色平面波。
(3)
其波函数为:
( x , t ) 0 cos 2 (t
2dV － 在 t 时刻粒子出现在 (x, y, z) 点附近 dV 体 积元内的概率。
V
2
dV－ 在 t 时刻粒子出现在V体积内的概率。
(7)
说明 1) 波函数 是空间和时间的复函数, 无物理意义, 而| |2表示概率密度, 有物理意义。 2) 因概率密度 | |2必须为空间坐标(x, y, z)的单值、 有限、连续的函数, 所以 也是空间坐标(x, y, z) 的单值、有限、连续的函数, 称为波函数的标准化条件(standard condition)。 3) 粒子在整个空间内出现的概率为1, 即
(5)
粒子一个一个地入射到单缝上:
U 较长时间以后 极大值 粒子观点 波动观点 统计观点 很多粒子到达 波强度大, | |2大 极小值 没有粒子到达 波强度为零, | |2=0
(6)
t 时刻单位体积内粒子出现的概率为| |2
结论:在空间dV= dxdydz内, 波函数 可视为不变, t 时 刻, 在(x, y, z)点处dV内粒子出现的概率为 dW= | |2dV= dV 以下熟练掌握(重点): 2 －在 t 时刻粒子出现在 (x, y, z) 点处单位体积内的 概率, 即粒子出现的概率密度。 因此波函数 相当于是概率振幅, 简称概率幅 (probability amplitude)。
12.4.1 波函数(Wave function)
量子力学假设:微观粒子的运动状态用波函数 描述。 定义:任何一个具体的波动都可以用空间和时间的函数 来描述, 这样的函数称为波函数, 用符号 (x,y,z,t)表示 例如: 频率为、波长为、沿x轴方向传播的单色平面机 械波, 其波函数为
( x , t ) 0 cos 2 (t
“1”
x
2
“2”
注意： 1 2
2 2 2 闭, 波函数为 2波函数为: =C + C 双缝都打开, 1 1 2 2
2
单缝“1”打开,“2” 2 1 11 1 关闭, 波函数为 1 ,“1”关 单缝“2”打开
2
1 1 2 2 2 2
C1 1 C 2 2
2
干涉项
(12)
§12.7 薛定谔方程(Schrö dinger’s Equation) 2 d r 宏观物体的运动遵循 F m 2 运 dt 动方程, 由方程解出的位矢 r ( t ) 是 描述物体运动状态的基本物理量。
x
由德布罗意关系式
)
1 ( x , t ) 0 cos[ ( Et Px x )]
常写成复数:
( x , t ) 0e
i ( Et P r )
i ( Et Px x )
y
三维运动的自由粒子的波函数:
( r , t ) 0e
i 2 (t x
x
或写成复数形式
( x , t ) 0e
)
)
x
0 e xp[ i 2 (t
对实物粒子而言, 德布罗意波的波函数如何？
)]
(2)
12.4.2 自由粒子波函数 (Wave function of free particle) 设一自由粒子, 不受外力作用, 则粒子作匀速直线运动 (设沿x轴), 其动量Px、能量E均保持恒定。 从波动观点看来: 由德布罗意关系, 有 x
解: 首先把给定的波函数归一化,设归一化波函数为
(x)＝C(x)
其中C为待求的归一化因子。
2
由归一化条件： ( x ) dx 1 得
a - C ( x ) dx C - a2 cos a dx C 2 1
2 2
a 2
2
x
2
(9)
C＝(2/a)1/2 则归一化的波函数为 2 x cos a a ( x) 0
a 当x 2
a a 当x - ，x 2 2
归一化之后, | (x) |2就代表概率密度了,即 a 2 2 x 当x cos 2 2 a ( x) a
0
a a 当x - ，x 2 2
(10)
如何求在(0, a)区间内发现粒子的概率?
*12.6.4 波函数的线性叠加原理 电子双缝实验:
r
z x
P
注 意 描述微观粒子运动状态的波函数因情况不同而不同。
(4)
0e
i [ Et ( Px x Py y Pz z )]
12.6.3 波函数的统计诠释 (Statistical explanation of wave function) 光强与光振动的平方成正比: I E2 物质波与光波类比后玻恩假定: 物质波的强度与波函数模的平方成正比， 即 I |Ψ |2= 其中 是 的复共轭, 把 中的 i(虚数) 变成 – i 即得到 。
2
(11)
波函数线性叠加原理: 如果1、2、· · · ·n都是系统的可能状态, 那么它们的线性叠加也是这个系统一个状态。
Fra Baidu bibliotek
1 C 2 2 C n n C n n 即: C 1 1 也是系统的一个可能状态。 双缝实验中:
n
2
(C C ) (C1 1 C 2 2 ) C1 1 C 2 2 C1 C 21 2 C1C 21 2
2
dV 1
满足上式的波函数称为归一化波函数, 上式称为 归一化条件(normalizing condition)。
(8)
例13: 设粒子处于由下面波函数描述的状态: x a cos 当x a 2 ( x)
0 求: 粒子在x轴上分布的概率密度。
a a 当x - ，x 2 2
=E/h
恒定！
= h/Px 恒定！
这种波只能是单色平面波。 或由不确定关系, 有 Px=0 x 弥散在整个x方向上 E=0 t 波列长为 结论:自由粒子的De Brö glie波是单色平面波。
(3)
其波函数为:
( x , t ) 0 cos 2 (t
2dV － 在 t 时刻粒子出现在 (x, y, z) 点附近 dV 体 积元内的概率。
V
2
dV－ 在 t 时刻粒子出现在V体积内的概率。
(7)
说明 1) 波函数 是空间和时间的复函数, 无物理意义, 而| |2表示概率密度, 有物理意义。 2) 因概率密度 | |2必须为空间坐标(x, y, z)的单值、 有限、连续的函数, 所以 也是空间坐标(x, y, z) 的单值、有限、连续的函数, 称为波函数的标准化条件(standard condition)。 3) 粒子在整个空间内出现的概率为1, 即