拉普拉斯变换讲解

σ0 在
∫
T
−∞
x (t ) e
− σ 1t
dt = ∫
T
−∞
x (t )e −σ 0t e − (σ 1 −σ 0 ) t dt
−σ 0t
≤e
− (σ 1 −σ 0 ) T
∫
T −∞
x (t ) e
dt < ∞
也在收敛域内。 表明 σ 1 也在收敛域内。
6. 双边信号的 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内 如果存在， 如果存在 轴的带形区域。 平行于 jω 轴的带形区域。 例1.
是右边信号, 若 x (t ) 是右边信号, T ≤ t < ∞ , σ 0在ROC内， 内 绝对可积， 则有 x (t )e −σ 0t 绝对可积，即：
∞
∫
T
x (t ) e − σ 0 t dt < ∞
若σ 1 > σ 0 ，则
∫
T
∞ T
x ( t ) e − σ 1t d t
−σ 0t − (σ1 −σ 0 ) t
也有一阶零点， 显然 X ( s ) 在 s = − a 也有一阶零点，由于零极 点相抵消，致使在整个S平面上无极点 平面上无极点。 点相抵消，致使在整个 平面上无极点。 例2. x ( t ) = e
−b t
x(t ) = e −bt u (t ) + ebt u (−t )
1 − bt e u (t ) ↔ , s+b
是有理函数时， 当 X ( s)是有理函数时，其ROC总是由X(s) 的 总是由 必然满足下列规律： 极点分割的。 必然满足下列规律 极点分割的。ROC必然满足下列规律： 1. 右边信号的 右边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最右边极点 一定位于 的右边。 的右边。 2. 左边信号的 左边信号的ROC一定位于 X (s) 最左边极点 一定位于 的左边。 的左边。 3. 双边信号的 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间 可以是任意两相邻极点之间 的带形区域。 的带形区域。
= ∫ x(t )e ≤e
− (σ1 −σ 0 )T
∞
e
dt dt < ∞
∫
∞
也在收敛域内。 表明 σ 1 也在收敛域内。
T
x(t )e
−σ 0t
5. 左边信号的 左边信号的ROC位于 平面内一条平行于jω 位于S平面内一条平行于 位于 轴的直线的左边。 轴的直线的左边。 是左边信号， 若x(t )是左边信号，定义于 ( −∞ ,T ] , ROC 内， σ 1 < σ 0，则
由以上例子，可以看出: 由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。 非任何信号的拉氏变换都存在， 非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上 的任何复数都能使拉氏变换收敛。 的任何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称 的集合， 的集合 为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重 ）对拉氏变换是非常重 要的概念。 要的概念。
例1.
x(t ) = e u (t )
X ( s ) = ∫ e e dt = ∫ e
0 0 ∞ − at − st ∞ − ( s + a )t
− at
1 dt = s+a
积分收敛。 在 Re[ s ] > −a 时，积分收敛。 当 a > 0 时， x (t ) 的傅里叶变换存在
X ( jω ) = ∫ e e
st
∞
显然当s =
jω时，就是连续时间傅里叶变换。 就是连续时间傅里叶变换。
双边拉氏变换的定义： 一.双边拉氏变换的定义：
X ( s ) = ∫ x (t ) e − st dt
−∞
∞
双边拉氏变换， 称为 x (t ) 的双边拉氏变换，其中 s = σ + jω 。
s 若 σ =0， =
jω 则有: X ( jω ) = ∫−∞ x (t )e − jω t dt 则有:
bt
Re[s] > −b
−b
jω
b σ
1 e u (−t ) ↔ − , Re[ s ] < +b s −b
1 1 X (s) = − s+b s−b
上述ROC有公共部分， 有公共部分， 当 b > 0 时，上述 有公共部分
−b < Re[ s ] < b
无公共部分， 当 b < 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X (s) 不存在。 不存在。
−σ t
]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(t ) 的 拉氏变换是对傅里叶变换的推广 拉氏变换就是 x (t ) e −σ t 的傅里叶变换。只要有合 的傅里叶变换。 存在， 适的σ 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利 后满足该条件。 条件的信号在引入 e − σ t 后满足该条件。即有些信 号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。 号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表 明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。 拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
X( jω) = X(s) s= jω
拉氏变换的ROC及零极点图： 及零极点图： 二. 拉氏变换的 及零极点图 例3. x(t ) = e u(t ) + e u(t )
−t −2t
jω
−1
X ( s) = ∫ e e dt + ∫ e e dt
0 0
∞
− t − st
∞
−2t − st
σ
1 Q e u (t ) ↔ , Re[s] > −1 s +1
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform 是一切LTI系统的特征函数。 系统的特征函数。 复指数信号 e st 是一切 系统的特征函数 如果LTI系统的单位冲激响应为 如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t )，则系统对 产生的响应是: e 产生的响应是
st
y (t ) = H ( s )e ，其中 H (s) = ∫ h(t )e− st dt −∞
∞
这就是 x (t )的傅里叶变换。 的傅里叶变换。 表明： 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在 轴上的特例。 σ = 0 或是在 jω 轴上的特例。
由于 X (s) =
∫
∞
−∞
x(t)e e
−σ t − jωt
dt = ∫ [x(t)e ]e
−∞
∞
−σ t
− jωt
dt
= F[ x (t )e [
∏ (s − β ) N (s) =M 若 X(s) 是有理函数 X ( s ) = D( s) ∏ (s − α )
i i i i
分子多项式的根称为零点， 分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 零点 极点。 称为极点 称为极点。 的全部零点和极点表示在S平面上 平面上， 将 X (s) 的全部零点和极点表示在 平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以 就构成了零极点图。 零极点图 表示一个 X(s) ，最多与真实的 X (s) 相差一个常 数因子 M 。 因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。 因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。 一章要讨论的中心问题。 通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ 通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ变 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质， 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 解决 分析问题，而且还能用于 用于傅里叶分析方法不适用的 分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的 许多方面。拉普拉斯变换与Ｚ 许多方面。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅 里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。 里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
x (t ) = {
e
0
− at
0<t<T
其它 t
− at − st
X ( s ) = ∫ e e dt
0
T
=∫ e
0
T
− ( s + a )t
1 − ( s + a )T dt = [1 − e ] s+a
X ( s )有极点
s = −a
−( s+a)T
考查零点， 考查零点，令 e
=1
2π k（k为整数） 为整数） 为整数 得 s = −a + j T
9.2 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms 可以归纳出ROC的以下性质： 的以下性质： 可以归纳出 的以下性质 1. ROC是 S 平面上平行于 jω 轴的带形区域。 是 轴的带形区域。 2. 在ROC内无任何极点。 内无任何极点。 内无任何极点 3. 时限信号的 时限信号的ROC是整个 S 平面。 是整个 平面。 4. 右边信号的 右边信号的ROC位于 平面内一条平行于 jω 位于S平面 位于 平面内一条平行于 轴的直线的右边。 轴的直线的右边。
9. 3 拉普拉斯反变换
The Inverse Laplace Transform 定义： 一.定义： 由 X ( s ) = ∫ x (t ) e − st dt −∞ 若 s = σ + jω 在ROC内，则有 内 则有:
1 例3. X ( s ) = 2 s + 3s + 2 1 1 = − s +1 s + 2
jω
−2
−1
σ
ROC： Fra Baidu bibliotek以形成三种 ROC： 1) ROC： Re[ s ] > −1 ： 2) ROC：Re[ s ] < −2 ： 3) ROC： 2 < Re[ s] < −1 ： − 右边信号。 此时x ( t ) 是右边信号。 左边信号。 此时 x ( t )是左边信号。 双边信号。 此时x ( t ) 是双边信号。
9.0 引言 Introduction
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析 傅里叶分析方法之所以在信号与 系统分析 中如此有用， 中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合， 都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数 系统的特征函数。 函数是一切 LTI 系统的特征函数。 傅里叶变换是以复指数函数的特例 e jω t 和 e jω n 为基底分解信号的。 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 e st 也理应能以此为基底对信号进行分解。 和 z n ，也理应能以此为基底对信号进行分解。
0 −at −st −∞
x (t ) = e − at u (t ) = u (t ) 当 a = 0时， 1 Re[ s ] > 0 可知 u ( t ) ↔ s
0 −( s+a)t
X (s) = −∫ e e dt = −∫ e
−∞
1 dt = Re[s] < −a s+a
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。 与例 比较，区别仅在于收敛域不同。 比较
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 只是它们的收敛域不同。 式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域， 能和信号建立一一对应的关系。 能和信号建立一一对应的关系。 5. 如果拉氏变换的 如果拉氏变换的ROC包含 jω 轴，则有 包含
−t
jω
−2
1 e u (t ) ↔ , Re[ s] > −2 s+2
−2 t
σ
1 1 2s + 3 ∴ X ( s) = + = 2 , s + 1 s + 2 s + 3s + 2
jω
Re[ s] > −1
−2 − 1
σ
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部 可见： 轴的直线作为边界的， 分。ROC总是以平行于 jω 轴的直线作为边界的， 总是以平行于 ROC的边界总是与 X (s) 的分母的根相对应的。 的边界总是与 的分母的根相对应的。
第9章 拉普拉斯变换 章
THE LAPLACE TRANSFORM
本章基本内容： 本章基本内容：
1. 双边拉普拉斯变换； 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数； 系统函数； 6. 单边拉普拉斯变换； 单边拉普拉斯变换；
0
∞
− at − jω t
1 dt = a + jω
(a > 0)
显然， 显然，在 a > 0 时，拉氏变换收敛的区域为
Re[ s ] > − a ，包括了 σ = 0 （即 jω 轴）。
比较 X (s) 和 X ( jω ) ，显然有
X (s)
s = jω
= X ( jω )
x(t ) = −e − at u (−t ) 例2.