时 瞬时速度与瞬时加速度

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随堂练习：航天飞机发射后的一段时间内，第 t秒末 的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t，其中h的单 位是m，t的单位是s．
(1)求第2秒内的平均速度； (2)求第1秒末的瞬时速度； (3)它在作匀加速运动吗？
求第2秒末的瞬时加速度．
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小结: (1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用
以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
ff ((tt00))
。。
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小， 近似的程度就越好。所以当t0时，极限 lim s
t0 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
vv| |t tt0t0
lim
t 00
ss tt
平均变化率求出割线的斜率,再令 x 0 求出切线的斜率 (2)在求瞬时速度时,先利用平均变化率求
出平均速度,再令x 0,求出瞬时速度
(3)在求瞬时加速度时,先利用平均变化
率求出平均速度,再令x 0 ,求出瞬时
加速度.
x 0
平均变化率
瞬时变化率
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例1 将原油精炼为汽油、
柴油、塑胶等各种不同产
平均速度 -13.59
-13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049
当△t→0时，
v 13.1
该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。
即t=2s时，高度对于时间的瞬时变化率。
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构建数学：（瞬时速度）
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。
2
P(1,2)
-2 O
2
因此,点p(1,2)切线的方程为y-2=2(x-1) 即 y=2x
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问题情境1： 平均速度：物体的运动位移与所用时间 的比称为平均速度。
平均速度反映物体在某一段时间段内 运动的快慢程度。那么如何刻画物体 在某一时刻运动的快慢程度？
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第3课时 瞬时速度与瞬时加速度
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问题情境2：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
(1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的 平均速度。
v H(2.1) H(2) 13.59(m / s) 2.1 2
品 ,需要 对原油进 行冷却
和加热.如果在 xh时, 原油
的温度 单位 :0 C为 f x
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度
的 瞬 时 变 化 率, 并 说 明 它 们 的 意 义.
解 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f '2
和 f '6.
根据导数的定义,
lim t 0
f (t0 t) f (t0 ) 。 t
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构建数学：（瞬时加速度）
设物体作直线运动的速度为v=f(t)，以t0为起始 时刻，物体在t时间内的平均加速度为
a v vs f (t0 t) f (t0 ) 。
t t
t
a 可作为物体在t0时刻的加速度的近似值， t 越小，
(2)计算运动员在2s到2+△t s(t∈[2,2+△t])内 的平均速度。
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时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001]
△t 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
练习：物体自由落体的运动方程 s(t) = 1 9.8t2
2
，其中位移s单位m，时间t单位s，求t=3这 一时段的瞬时速度.
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例2：设一辆轿车在公路上做加速直线运动， 假设t s时的速度为 v(t) = 2t2 + 5 ,
（1）求t=3s时轿车的加速度； （2）求t= t0 s时轿车的加速度。
f x
f 2 x
x
f 2
2 x2 72 x 15 22 7 2 15
x
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4x x2 7x x 3,
x
所以, f '2
lim
f
lim x 3 3,
x0 x x0
同理可得 f '6 5.
请同学们自己完成具体运算过程. 在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为 3 与5.它说明在第2h附近,原油温度大约以30 C / h的速 率下降;在6h附近,原油温度大约以50 C / h的速率上升.
一般地,
f
' x0
反
映了
原油温度在时刻x
附
0
近的
变化
Baidu Nhomakorabea
情况.
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练习：曲线的方程为y=x2+1 ，求曲线在点P(1,2) 处的切线方程。
解：曲线在点P(1,2) 处的切线斜率为：
k = f (x0 + D x) - f (x0 ) Dx
(1+ D x)2 + 1- (1+ 1) =
Dx = 2D x + (D x)2
Dx 当Vx无限趋近0时，k = 2
8
6
． 4
近似的程度就越好。所以当t0时，极限
lim v
t0 t
就是物体在t0时刻的瞬时加速度，即
lim v
a tt0 to t
lim f (t0 t) f (t0 ) 。
t 0
t
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求瞬时速度、瞬时加速度
例1：一做直线运动的物体，其位移S与时间t 的关系式是 s = 3t - t2, （1）求t=0到t=2的平均速度； （2）求此物体在t=2时的瞬时速度。
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合作探究：根据瞬时速度、瞬时加速度求参数
例3：已知一个物体运动方程是 s(t) t2 at
（t的单位：s，s(t)的单位：m），2s时的
瞬时速度为为6m/s，则a=
；
练习：已知一质点按 s ct2 3t 的规律做抛物 线运动，且当t=5s时质点的瞬时速度为 18km/s，求该质点的运动方程