高中数学归纳法大全数列不等式精华版

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高中数列公式大全基础知识点方法归纳及解题技巧超详细(完整版)

高中数列公式大全基础知识点方法归纳及解题技巧超详细(完整版)

高中数列公式大全基础知识点方法归纳及解题技巧超详细!(完整版)1. 等差数列的定义与性质定义:(为常数), 等差中项:成等差数列前项和 性质:是等差数列(1)若,则(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,仍为等差数列,公差为d n 2;(3)若三个成等差数列,可设为 (4)若是等差数列,且前项和分别为,则(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项,即:当,解不等式组可得达到最大值时的值.当,由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数n 2的等差数列,有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶,1+=n na a S S 偶奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列,有1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ,,2A x y ⇔=+n ()()11122n n a a n n n S nad +-==+{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+;232n n n n n S S S S S --,,……a d a a d -+,,n n a b ,n n n S T ,2121m m m m a S b T --={}n a 2n S an bn ⇔=+a b ,n n S 2n S an bn =+{}n a 100a d ><,10n n a a +≥⎧⎨≤⎩n S n 100a d <>,10n n a a +≤⎧⎨≥⎩n S n {}n a {}n a)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇,1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义:(为常数,),.等比中项:成等比数列,或前项和:(要注意!)性质:是等比数列(1)若,则 (2)仍为等比数列,公比为nq . 注意:由求时应注意什么?时,; 时,.3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法 如:数列,,求 解 时,,∴①时, ②①—②得:,∴,∴1n na q a +=q 0q ≠11n n a a q -=x G y 、、2G xy ⇒=G =n ()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩{}n a m n p q +=+mn p q a a a a =··232n n n n n S S S S S --,,……n S n a 1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-{}n a 12211125222n n a a a n +++=+……n a 1n =112152a =⨯+114a =2n ≥12121111215222n n a a a n --+++=-+……122n n a =12n n a +=114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩[练习]数列满足,求 注意到,代入得;又,∴是等比数列,时,(2)叠乘法如:数列中,,求 解,∴又,∴. (3)等差型递推公式由,求,用迭加法时,两边相加得∴[练习]数列中,,求()(4)等比型递推公式(为常数,)可转化为等比数列,设 令,∴,∴是首项为为公比的等比数列 ∴,∴ (5)倒数法如:,求 {}n a 111543n n n S S a a +++==,n a 11n n n a S S ++=-14n nS S +=14S ={}n S 4nn S =2n ≥1134n n n n a S S --=-==……·{}n a 1131n nana a n +==+,n a 3212112123n n a a a n a a a n--=·……·……11n a a n =13a =3n a n =110()n n a a f n a a --==,n a 2n ≥21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……0(2)(3)()n a a f f f n =++++……{}n a ()111132n n n a a a n --==+≥,na ()1312nn a =-1n n a ca d -=+c d 、010c c d ≠≠≠,,()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+-(1)c x d -=1d x c =-1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭11d a c c +-,1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭11212nn n a a a a +==+,n a由已知得:,∴ ∴为等差数列,,公差为,∴, ∴( 附:公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:是公差为的等差数列,求解:由∴ [练习]求和: (2)错位相减法若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项和,可由,1211122n n n n a a a a ++==+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12()()11111122n n n a =+-=+·21n a n =+{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………,{}n a {}n b {}n n a b n n n S qS -求,其中为的公比.如: ①②①—②时,,时, (3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.相加[练习]已知,则由∴原式 (附:a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。

高级中学理科数学解题方法篇(数列不等式)

高级中学理科数学解题方法篇(数列不等式)

数列不等式三个考察点:①通项公式②求和③证不等式 一、通项公式学校的训练较多这里不详细介绍。

要熟练掌握:1、 待定系数法、不动点法、特征根法(连续两年中有考查)2、 熟悉变形。

包括:两边同时除以如n 2、平方、变倒数、因式分解、取对数、换元若不熟悉可以找讲义,或者高妙上有介绍 3、累加累乘法但是高考一般不会直白地给出关系,或者给出常见的通项公式。

高考题大多这样出题: 1、 与函数、解析几何结合这个范围太泛了不好归纳,难度一般不会太大,见招拆招即可 2、 给出不常规的通项公式,但有提示比如:1a =1,81+n a n a -161+n a +2n a +5=0(n ≥0),n b =211-n a ,求{n b }通项公式现在不可能把n a 通项公式求出再求n b ,那么显然n b 需先求出,故变形为n a =211+n b ,代入递推关系即可得036411=+-++nn n n b b b b ,再乘以n b 1+n b 即可。

还有一种情况便是先让考生得出1a 、2a 、3a 后猜想用数学归纳证明,有时不会提示考生要猜想,但别的常规方法得不出通项公式时要果断大胆猜想总之,这种题一定要顺着提示做通项公式中一定要重视的是累加累乘法 看上去似乎很简单:1121)()(a a a a a a n n n +-+⋯+-=-)0(1121≠••⋯•=-n n n n a a a aa a a 但是这却是解决不等式证明最原始也是最重要的方法。

原因很简单:高考考的是灵活,除了通项公式的变形,不动点法等方法灵活度不大,所以大多所谓的很难想的题目大多归根到底是递推。

比如:1、 奇偶项不同的数列。

奇项间或者偶项间的递推(后会介绍)2、 数归。

证明)()(n g n f <的核心便是)()1()()1(n g n g n f n f -+<-+3、 通过通过1+n a 与n a 间的关系得出n n qa a =+1或n n qa a <+1或n n qa a >+1,这是解决k S n <(k 为常数)。

高中数学知识点全总结简洁版

高中数学知识点全总结简洁版

高中数学知识点全总结简洁版一、集合与函数概念1. 集合:包括集合的基本概念、表示方法、基本关系和运算。

2. 函数:函数的定义、性质、运算、反函数、复合函数和基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数)。

二、数列与数学归纳法1. 数列:等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式。

2. 数学归纳法:证明方法,包括P(k)成立,假设P(k)成立,证明P(k+1)也成立。

三、排列组合与概率1. 排列组合:排列、组合的基本概念和计算公式。

2. 概率:古典概型、条件概率、独立事件的概率公式。

四、三角函数与三角恒等变换1. 三角函数:正弦、余弦、正切函数的性质和图像。

2. 三角恒等变换:同角三角函数的基本关系、和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式。

五、平面向量与解析几何1. 平面向量:向量的加法、数乘、数量积、向量垂直与平行的判定。

2. 解析几何:直线和圆的方程,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的标准方程。

六、立体几何1. 空间几何体:多面体、旋转体的结构特征和表面积、体积公式。

2. 空间向量:空间向量的基本运算和用空间向量解决立体几何问题。

七、导数与微分1. 导数:导数的定义、几何意义、常见函数的导数。

2. 微分:微分的概念、微分的运算法则。

八、积分1. 不定积分:基本积分表、换元积分法、分部积分法。

2. 定积分:定积分的概念、性质、计算公式。

九、数列的极限与函数极限1. 极限:数列极限的定义、性质、极限的四则运算。

2. 函数极限:函数极限的定义、性质、极限存在的条件。

十、连续与间断1. 连续:连续函数的定义、性质、闭区间上连续函数的性质。

2. 间断:间断点的分类、间断点的性质。

十一、不等式与不等式组1. 不等式:一元一次不等式、一元二次不等式的解法。

2. 不等式组:不等式组的解集、线性规划。

十二、复数1. 复数的概念:复数的定义、代数形式和几何意义。

2. 复数的运算:复数的加法、减法、乘法、除法。

高考数学数列不等式证明技巧

高考数学数列不等式证明技巧

2013高考数学备考之数列不等式的证明技巧证明数列不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧。

这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 二、函数放缩 三、分式放缩 四、分类放缩 五、迭代放缩六、借助数列递推关系 七、分类讨论八、线性规划型放缩 九、均值不等式放缩 十、二项放缩 十一、积分放缩十二、部分放缩(尾式放缩) 十三、三角不等式的放缩十四、使用加强命题法证明不等式 十五、经典题目方法探究具体的分析与讲解如下: 一、裂项放缩例1.(1)求证:35112<∑=nk k .(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 类似技巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rr n r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-例2. (1)求证:n n412141361161412-<++++ (2)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析:(1))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(2)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n二、函数放缩例8.求证:)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例4.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα答案例5.求证取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到:)1ln(113121+<++++n n 另一方面⎰->n i n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n , 所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例6. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和 121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n 和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n例7.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例8.求证:212131211nn>-++++解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(nn n n n n n>-+=-+++ 例9.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}nA 与曲线x y 2=(x ≥0)上的点列{}n B 满足nOB OA nn 1==,直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n .(1)证明n a >1+n a >4,*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0,使得对0n n >∀都有nn n n b b b b b b b b 112312+-++++ <2008-n .解析:(1)依题设有:(()10,,,0nn n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由1n OB n =得:2*212,1,n n n b b b n N n +=∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ()()11000n n a b n n ⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭n a 22221210,2n n n nn b n b b n b =->+=212n n n n a b n b ∴=+1n a 显然,对于1101nn >>+,有*14,n n a a n N +>>∈ (2)证明:设*11,n n nb c n N b +=-∈,则()()()22222111211212121n c n n n n n n n ⎛- +⎝⎛⎫ ⎪++ > ++ ⎝()()()2*1212210,,2n n n n n c n N n ++-+=>∴>∈+ 设*12,n n S c c c n N =+++∈,则当()*221k n k N =->∈时,23111111111113421234212212n k k k kS -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++=+++++++⎪ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=。

高一数列和不等式知识点

高一数列和不等式知识点

高一数学数列知识总结一、看数列是不是等差数列有以下三种方法:①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法:①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a )三、在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法:(1)利用观察法求数列的通项.(2)利用公式法求数列的通项:①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n (;②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①)(1n f a a n n +=+;②).(1n f a a n n =+(4)造等差、等比数列求通项:q pa a n n +=+1;②n n n q pa a +=+1;③)(1n f pa a n n +=+;④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1:1.已知{a n }满足a n+1=a n +2,而且a 1=1。

求a n 。

2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,求下列数列{}n a 的通项公式: ⑴ 1322-+=n n S n ; ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列,它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系:⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示.题型2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项例2:⑴已知数列{}n a 中,)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式;⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,11=a ,n n a n S ⋅=2,求数列{}n a 的通项公式.总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”; 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“;⑵迭加法、迭乘法公式:① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----② 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中,32,111+==+n n a a a ,求数列{}n a 的通项公式.总结:递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法: ①令)(1λλ-=-+n n a p a ;② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11,∴)(1x a p x a n n -=-+; ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1,∴)(11-+-=-n n n n a a p a a . 例4已知数列{}n a 中,n n n a a a 32,111+==+,求数列{}n a 的通项公式.总结:递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为:“q pa a n n +=+1”或“n n n n f a a )(1+=+求解. 例5已知数列{}n a 中,n n n a a a a a 23,2,11221-===++,求数列{}n a 的通项公式.总结:递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”,通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和, )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ,求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列{}n a 中,)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ,求数列{}n a 的通项公式.小结:数列通项的常用方法:⑴利用观察法求数列的通项;⑵利用公式法求数列的通项;⑶应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①)(1n f a a n n +=+;②).(1n f a a n n =+(4)构造等差、等比数列求通项:①q pa a n n +=+1;②n n n q pa a +=+1;③)(1n f pa a n n +=+;④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.3、数列{}n a 中,)(,111n n n a a n a a -==+,则数列{}n a 的通项=n a 。

高中数学数列知识点总结(精华版)

高中数学数列知识点总结(精华版)

一、数列1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2.通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即)(n f a n =.3.递推公式:如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项),且任何一项n a 与它的前一项1-n a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ,那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中,12,11+==n n a a a ,其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21; ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156n n a n N n =∈+,则在数列{}na 的最大项为__(答:125); 2、数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ,其中b a ,均为正数,则n a 与1+n a 的大小关系为___(答:n a <1+n a );3、已知数列{}n a 中,2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列,求实数λ的取值范围(答:3λ>-);4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+,则该函数的图象是()(答:A )二、 等差数列1、 等差数列的定义:如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。

高一常见数列求和不等式放缩法

高一常见数列求和不等式放缩法

高一常见数列求和不等式放缩法一.可直接裂项求和例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:21<n B解:(1)由已知得2)1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得:1212224----+=n n n n n a a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列,所以21=--n n a a ,即{}n a 是公差为2的等差数列,由1211+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n (2))121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ,所以111111111(1++)2335212122(21)2n B n n n =-+--=-<-++L附:裂项常用公式: (1)111(1)1n n n n =-++(2)22211111-1(1)-4k k k k k <<<- (3=(4=<(5)ln()ln()ln ln(1)21n n n n n n <=-+++ (6))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n二.先放缩再求和1.放缩后可裂项求和 例1.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n nn n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有 35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n2.放缩后成等比数列,再求和例2.等比数列{}n a 中,112a =-,前n 项的和为n S ,且798,,S S S 成等差数列.设nn n a a b -=12,数列{}n b 前n 项的和为n T ,证明:13n T <.解:∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-. ∴nn a )21(-=. nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=. (利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想)∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n .3.放缩后为“差比”数列,再求和例3.已知数列{}n a 满足:11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n .求证:11213-++-≥>n n n n a a 证明:因为n n n a na )21(1+=+,所以1+n a 与n a 同号,又因为011>=a ,所以0>n a , 即021>=-+n n n n a na a ,即n n a a >+1.所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n , 即n n n n n n a n a a 221≥=-+,累加得:121212221--+++≥-n n n a a .令12212221--+++=n n n S ,所以n n n S 2122212132-+++= ,两式相减得:n n n n S 212121212121132--++++=- ,所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a , 故得11213-++-≥>n n n n a a .4.放缩后成等差数列,再求和例4.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证:2214n n n a a S ++<;(2)<⋅⋅⋅解:(1)在条件中,令1=n ,得1112122a S a a ==+,1011=∴>a a ,又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ,上述两式相减,注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以, n n a n =-⨯+=)1(11,(1)2n n n S +=所以22221(1)1(1)2224n n n a a n n n n S +++++=<=g (2)因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ;222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++三、分式放缩浓度不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b例1. 证明姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n或者也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 >-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n n n ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n例2.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2) 相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、构造新数列利用单调性求最值例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证2(1).2n n S +<证明:令2)1(2+-=n S T n n 则0232)2)(1(1<+-++=-+n n n T T n n , }{,1n n n T T T ∴>⇒+递减,有0221<-=≤T T n ,故.2)1(2+<n S n例2 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 证明:令12)1211()511)(311)(11(+-++++=n n T n 则13212221>+++==+n n n T T n n , 即}{,1n n n T T T ∴<+递增,有1321>=≥T T n ,得证!例3设数列{n a }满足n a =3-1n ,设数列{b n }满足(),112=-n n a 并记n T 为{b n }的前n 项和,求证:231log (3),N.n n T a n ++ >证明:由1)12(=-b n a 可解得2213log +log 31n n n b a n ==-(1);从而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=133··56·23log 21n n b b b T z n n 。

高考数学复习口诀:不等式和数列

高考数学复习口诀:不等式和数列

高考数学复习口诀:不等式和数列
2021年高考数学温习口诀:不等式和数列
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不等式
解不等式的途径,应用函数的性质。

对指在理不等式,化为有理不等式。

高次向着低次代,步步转化要等价。

数形之间互转化,协助解答作用大。

证不等式的方法,实数性质威力大。

求差与0比大小,作商和1争上下。

直接困难剖析好,思绪明晰综合法。

非负常用基本式,正面难那么反证法。

还有重要不等式,以及数学归结法。

图形函数来协助,画图建模结构法。

数列
等差等比两数列,通项公式N项和。

两个有限求极限,四那么运算顺序换。

数列效果多变幻,方程化归全体算。

数列求和比拟难,错位相消巧转换,
扬长避短高斯法,裂项求和公式算。

归结思想十分好,编个
顺序好思索:
一算二看三联想,猜想证明不可少。

还有数学归结法,证明步骤顺序化:
首先验证再假定,从K向着K加1,推论进程须详尽,归结原理来一定。

总之,在倒计时的百天里,考生只需在片面温习的基础上,抓住重点、难点、易错点,各个击破,夯实基础,规范答题,一定会稳中求进,在高考中取得优秀的效果。

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高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)

1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n !求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121)()2()1(1−+>++++n n n f f f ! 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nn n n ∈>⋅>++++−!.例4 已知222121n a a a +++=L ,222121n x x x +++=L ,求证:n n x a x a x a +++!2211≤1.2.利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>−++++n n ! 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+−++++=∗n N n a nn a n x f xx x x 给定!求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意∗∈N n 且2≥n 恒成立。

例7 已知112111,(1).2n nna a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥;)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828e ≈L)例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n ∗+++>∈>L 。

2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤>=−−n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如:设函数()x f x e x =−。

(Ⅰ)求函数()f x 最小值;(Ⅱ)求证:对于任意n N ∗∈,有1().1nn k k ene =<−∑ 例9 设n n na )11(+=,求证:数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a na 21111,23a aa n ++≥L ,求证:.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+−=N n na a a n n n 121,当31≥a 时证明对所有,1≥n 有:2)(+≥n a i n ; 21111111)(21≤++++++na a a ii !. 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1,求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211!=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立;5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f −=的最大值不大于61,又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)设∗+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011,证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定:01>=a x ,,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈. (I) 证明:对2≥n总有a x n≥;(II) 证明:对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈−+<<∗n N n n n n例17 设1>a ,N n n ∈≥,2,求证4)1(22−>a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ,定义a a a a a nn +=+=+1,111,求证:对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列{a n}满足:a 1=32,且a n=n 1n 13na n 2n N 2a n 1∗≥∈--(,)+- (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n!8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥−+=n a S n n n(Ⅰ)写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅲ)证明:对任意的整数4>m ,有8711154<+++ma a a !.9. 借助数学归纳法例22(Ⅰ)设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ,求)(x f 的最小值;(Ⅱ)设正数n p p p p 2321,,,,!满足12321=++++n p p p p !,求证:np p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log !10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +−,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<−++(1)求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021,上的最大值和最小值; (2)证明:102n a −<<; (3)判断n a 与1()n a n N ∗+∈的大小,并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =,1321n n n a a a +=+,12n =L,,.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x>,21121(1)3n na x xx ⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥,12n =L ,,; (Ⅲ)证明:2121n n a a a n +++>+L .例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(x n ,f(x n ))处的切线与x 轴的交点为(x n+1,0)(n∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1; (Ⅱ)求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件,并说明理由;(Ⅲ)若x 1=2,求证:.31211111121−≤++++++n n x x x !例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k !=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ∵,)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ,即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤,若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ,就放过“度”了!②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

高三数学二轮复习口诀不等式和数列

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《不等式》
解不等式的途径,利用函数的.性质。

对指无理不等式,
化为有理不等式。

高次向着低次代,步步转化要等价。

数形之间互转化,帮助解答作用大。

证不等式的方法,实数性质威力大。

求差与0比大小,作商和1争高下。

直接困难分析好,思路清晰综合法。

非负常用基本式,正面难则反证法。

还有重要不等式,以及数学归纳法。

图形函数来帮助,画图建模构造法。

《数列》
等差等比两数列,通项公式N项和。

两个有限求极限,四则运算顺序换。

数列问题多变幻,方程化归整体算。

数列求和比较难,错位相消巧转换,
取长补短高斯法,裂项求和公式算。

归纳思想非常好,编个程序好思考:
一算二看三联想,猜测证明不可少。

还有数学归纳法,证明步骤程序化:
首先验证再假定,从K向着K加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。

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高三数学不等式、数列、函数、导数重要知识点复习

高三数学不等式、数列、函数、导数重要知识点复习

不等式、数列、函数、导数重要知识点复习本次课课堂教学内容1.已知函数f (x )=-x 2+bx +c ,不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}. (1)求不等式cx 2+bx -1>0的解集;(2)当g (x )=f (x )-mx 在x ∈[1,2]上具有单调性,求实数m 的取值范围.2.随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行也越来越便利.根据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔t (单位:分钟)满足:4≤t ≤15,t ∈N ,平均每趟地铁的载客人数p (t )(单位:人)与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系:p (t )=⎩⎪⎨⎪⎧1 800-159-t 2,4≤t <9,1 800,9≤t ≤15,其中t ∈N .(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500,试求发车时间间隔t 的值; (2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q =6pt -7 920t-100(单位:元),问当发车时间间隔t 为多少时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大?并求出最大净收益.3.已知函数f (x )=13x 3-x 2+ax (其中a 为实数).(1)若x =-1是f (x )的极值点,求函数f (x )的单调递减区间; (2)若f (x )在(-2,+∞)上是增函数,求a 的取值范围.4.已知函数f (x )=a e x -cos x -x (a ∈R ). (1)若a =1,证明:f (x )≥0;(2)若f (x )在(0,π)上有两个极值点,求实数a 的取值范围.5.定义在[0,+∞)上的函数f (x )满足:当0≤x <2时,f (x )=2x -x 2;当x ≥2时,f (x )=3f (x -2).将函数f (x )的极大值点从小到大依次记为a 1,a 2,…,a n ,并记相应的极大值为b 1,b 2,…,b n ,则a 1b 1+a 2b 2+…+a 20b 20的值为( ) A .19×320+1 B .19×319+1 C .20×319+1 D .20×320+16.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=3,且数列{a n +1-a n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)令c n =(-1)n +1a n ,求数列{c n }的前n 项和S n .7.已知数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和为S n ,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以12为公差的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n a n ,n ∈N *,数列{b n }的前n 项和为T n ,∈求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n n 为等比数列,∈若存在整数m ,n (m >n >1),使得T m T n =m S m +λn S n +λ,其中λ为常数,且λ≥-2,求λ的所有可能值.8.函数f (x )=(x -1)ln|x |的图象可能为( )9.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y =a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min 甲桶中的水只有a4升,则m 的值为( )A .5B .6C .8D .1010.素数也叫质数,部分素数可写成“2n -1”的形式(n 是素数),法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2n -1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是P =282 589 933-1,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为P =231-1,第9个梅森素数为Q =261-1,则QP 约等于(参考数据:lg2≈0.3)( )A .107B .108C .109D .101011.(2020·荆门模拟)定义函数y =f (x ),x ∈I ,若存在常数M ,对于任意x 1∈I ,存在唯一的x 2∈I ,使得fx 1+f x 22=M ,则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ,则函数f (x )=log 2x ,x ∈[1,22 020]的“均值”为________..本次课课后练习一、单项选择题1.(2020·沧州调研)集合M ={x |lg x >0},N ={x |x 2≤4},则M ∩N 等于( ) A .(-2,0) B .[1,2) C .(1,2] D .(0,2]2.复数z =1-2ii 在复平面内对应点的坐标是( )A .(2,1)B .(-2,-1)C .(1,2)D .(-1,-2)3.(2020·唐山段考)命题“∈x ∈R ,|x |+x 4≥0”的否定是( ) A .∈x ∈R ,|x |+x 4<0 B .∈x ∈R ,|x |+x 4≤0C .∈x 0∈R ,|x 0|+x 40≥0D .∈x 0∈R ,|x 0|+x 40<04.(2020·郑州模拟)已知向量a 与b 的夹角为π3,且|a |=1,|2a -b |=3,则|b |等于( )A. 3B. 2 C .1 D.325.有5个空盒排成一排,要把红、黄两个球放入空盒中,要求一个空盒最多只能放入一个球,并且每个球左右均有空盒,则不同的放入种数为( ) A .8 B .2 C .6 D .46.已知命题p :若a >b >0,则12log a <12log b +1,则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A .0 B .2 C .4 D .17.(2020·山东模拟)已知三棱锥S -ABC 中,∈SAB =∈ABC =π2,SB =4,SC =213, AB =2 , BC =6,则三棱锥S -ABC 的体积是( ) A .4 B .6 C .43 D .638.(2020·长沙模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于y 轴对称,且当x ∈[0,+∞)时,f (x )+xf ′(x )>0,若a =0.76f (0.76),b =(log 0.76)f (log 0.76),c =60.6·f (60.6),则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c >a >b B .a >c >b C .b >a >c D .a >b >c二、多项选择题9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中一定正确的是( )注:90后指1990年及以后出生,80后指1980~1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A .互联网行业从业人员中90后占一半以上B .互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C .互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D .互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多10.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF 1→·PF 2→=0,则下列结论正确的是( ) A .双曲线C 的渐近线方程为y =±x B .以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1 C .F 1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D .∈PF 1F 2的面积为111.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,以下结论正确的是( )A .异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60° B .直线A 1D 与BC 1垂直 C .直线A 1D 与BD 1平行 D .三棱锥A -A 1CD 的体积为16a 312.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +4)=f (x )+f (2),且在区间[0,2]上是增函数,下列命题中正确的是( ) A .函数f (x )的一个周期为4B .直线x =-4是函数f (x )图象的一条对称轴C .函数f (x )在[-6,-5)上单调递增,在[-5,-4)上单调递减D .函数f (x )在[0,100]内有25个零点13.为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ∈顾客所获的奖励额为60元的概率; ∈顾客所获的奖励额的分布列及均值;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.。

高中数学数列与数学归纳法知识点总结

高中数学数列与数学归纳法知识点总结

高中数学数列与数学归纳法知识点总结
一、数列的概念和性质
- 数列的定义:数列是按照一定顺序排列的一列数。

- 数列的通项公式:可以用通项公式表示的数列的每一项都可以根据项的位置来计算。

- 等差数列:等差数列中的每一项与前一项之差都相等。

- 等差数列的通项公式:设等差数列的首项为$a_1$,公差为$d$,则第$n$项可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$。

- 等比数列:等比数列中的每一项与前一项之比都相等。

- 等比数列的通项公式:设等比数列的首项为$a_1$,公比为$q$,则第$n$项可以表示为$a_n=a_1q^{n-1}$。

二、数学归纳法
- 数学归纳法的基本思想:证明当$n=k$时某个命题成立,然后证明当$n=k+1$时该命题也成立。

由此可得出结论,该命题对于任意正整数$n$都成立。

- 数学归纳法的步骤:
1. 基础步骤:证明当$n=1$时,该命题成立。

2. 归纳假设:假设当$n=k$时,该命题成立。

3. 归纳步骤:利用归纳假设证明当$n=k+1$时,该命题也成立。

- 数学归纳法的应用:
- 证明数学等式或不等式。

- 证明数列的性质。

- 证明关于正整数的一般性质。

三、数列与数学归纳法的应用举例
1. 利用数学归纳法证明等差数列的通项公式。

2. 利用数学归纳法证明等比数列的通项公式。

3. 利用数列的性质证明等差数列和等比数列的性质。

4. 利用数学归纳法证明一些数学等式或不等式。

以上是关于高中数学数列与数学归纳法的一些知识点总结,希
望对你有帮助。

非常完备的高中数学数列专项:通项,求和,单调,不等式,放缩等

非常完备的高中数学数列专项:通项,求和,单调,不等式,放缩等

非常完备的高中数学数列专项:通项,求和,单调,不等式,
放缩等
关于数列的学习是高中的一大重点,通常是在高二阶段开始涉足!2019版新教材调整到高二下学期第一章,近几年的高考数学试卷中数列问题分值基本是在15分左右,一道选择题(填空题)+一道第一大题(一般是16题).并且变换考察方式,需要学生自己选择条件,组建合理的条件进行求解!第一问以求通项为主,第二问往往是求和,不等式,存在性等综合性题目,难度中等,只要掌握基础概念都能很好的进行解答!
数列基础知识总结汇总:
数列与其他知识的概念综合:
各知识点都非常全面,值得收藏:
简单的练习和应用,题目有点老,都是过往高考题,也不妨碍大家依据知识内容进行练习,理解和强化!
数列各知识点的详细讲解:通项
五种最基本通项求解方法:
第五种是考察较多的数学方法,也是难点重点,大家要尤其注意学习
数列求和基础,重点汇总,方法示范,讲解:
可以忽略他的例题
七八种,比较完备的数列求和都要涉足到,是数列知识梳理的饕餮盛宴
数列性质
单调性
最值
奇偶性
周期性
不等式的综合
存在性,比较难的一类题型
数列创新题
数阵
其他知识综合
放缩法,不等式,重点讲解合理练习。

高考数学 热点难点突破技巧 第10讲 数列不等式的证明方法

高考数学 热点难点突破技巧 第10讲 数列不等式的证明方法

第10讲数列不等式的证明方法【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法一般地,证明一个与自然数有关的命题,有如下步骤:(1)证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;(2)假设当(,为自然数)时命题成立,证明当时命题也成立.综合(1)(2),对一切自然数(),命题都成立.二、放缩法证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法.放缩的技巧:①添加或舍去一些项,如:②将分子或分母放大或缩小,如:③利用基本不等式等,如:三、分析法证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法.用分析法证明时,要注意格式,一般格式是“要证明,只需证明……”.对于较难的题目,一般用分析法寻找思路,用综合法写出证明过程.【方法点评】【例1】用数学归纳法证明:【证明】(1)当时,,命题成立.(2)假设当时,成立当时,+当时命题成立. 所以对于任意都成立.【点评】(1)利用数学归纳法证明不等式时,关键在于第二步,证明这一步时,一定要利用前面的假设和已知条件. 否则是“伪数学归纳法”(2)利用数学归纳法证明时,为了利用前面的假设,所以在证明时,一般要配凑出时的结论,再运用.【反馈检测1】已知,(其中)(1)求及;(2)试比较与的大小,并说明理由.【例2】已知函数(1)当时,求函数在上的极值;(2)证明:当时,;(3)证明:.【解析】(1)当变化如下表极大值,(2)令则上为增函数.(3)由(2)知,令得,【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式,是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式,有时需要先放缩通项,得到一个不等式通项,再求和. 有时是需要先求和再放缩求和的结果,本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当,所以放的度很重要,有时需要把每一项都放缩,有时需要把前面两项不放缩,后面的都放缩,有时需要把后面的项不放缩,所以要灵活调整,以达到证明的目的【反馈检测2】已知数列满足.(1)求及通项公式;(2)求证:.【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列,把第一行数1,2,5,10,17,记为数列,第一列数1,4,9,16,25,记为数列(1)写出数列,的通项公式;(2)若数列,的前n项和分别为,用数学归纳法证明:;(3)当时,证明:.【反馈检测4】已知函数(1)当时,比较与1的大小;(2)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;(3)求证:对于一切正整数,都有.【反馈检测5】已知函数.(1)讨论的单调性与极值点;(2)若,证明:当时,的图象恒在的图象上方;(3)证明:.【例3】已知函数是奇函数,且图像在点处的切线斜率为3(为自然对数的底数).(1)求实数、的值;(2)若,且对任意恒成立,求的最大值;(3)当时,证明:.【解析】(1)是奇函数,所以,即所以,从而此时,.依题意,所以.(2)当时,设,则设,则,在上是增函数(3)要证,即要证即证,设, . 则设,则,在上为增函数,,,从而,在上为增函数因为,所以,,所以【点评】本题的第3问,由于结论比较复杂,一下子看不出证明的方向,所以要采用分析法来证明.【反馈检测6】已知函数.(1)当时,试确定函数在其定义域内的单调性;(2)求函数在上的最小值;(3)试证明:.高中数学热点难点突破技巧第10讲:数列不等式的证明方法参考答案(1),;(2)当或时,,【反馈检测1答案】当时,.【反馈检测1详细解析】(1)取,则;取,则,.猜想:当时,,下面用数学归纳法证明:由上述过程可知,时结论成立,假设当时结论成立,即,两边同乘以得:=∵时,,∴. ∴.即时结论也成立,∴当时,成立.综上得,当或时,;当时,.【反馈检测2答案】(1),;(2)见解析.【反馈检测2详细解析】(1)解:时,有,解得时,由得,两式相减得,解得,满足,故(2)所以【反馈检测3答案】(1),;(2)证明见解析;(3)证明见解析.②假设时等式成立,即,则时,,∴时等式也成立.根据①②,都成立.(3)当时,,∴.又.综上可知:成立.【反馈检测4答案】(1)或;(2)见解析.【反馈检测4解析】(1)当时,,其定义域为因为,所以在上是增函数.故当时,;当时,;当时,.所以函数在上递增,在上递减,在上递增且的极大值为,极小值为又当时,;当时,因为函数仅有一个零点,所以函数的图象与直线仅有一个交点.所以或(3)方法一:根据(1)的结论知当时,即当时,,即. 令,则有从而得,,故得即所以(3)方法二:用数学归纳法证明:①当时,不等式左边,右边因为,所以,即时,不等式成立②假设当时,不等式成立,即那么,当时,由(1)的结论知,当时,,即所以即即当时,不等式也成立综合①②知,对于一切正整数,都有【反馈检测5详细解析】(1),当时,在上恒成立,所以在单调递增,此时无极值点.当时,,在上的变化情况如下表:极大值极小值由此表可知在和上单调递增,在上单调递减.为极大值点,为极小值点.(2)当时,令,,当时,,时,,∴在上递减,在上递增,∴,∴时,恒成立.即时,恒成立,∴当时,的图象恒在的图象上方. (3)由(2)知,即,∵,∴,令,则,∴∴∴不等式成立.【反馈检测6答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为;(2);(3)见解析.(2),,当时,,,此时函数在区间上单调递减,函数在处取得最小值,即;当时,令,当时,即当,,,此时函数在区间上单调递减,函数在处取得最小值,即;当,即当时,当,,当时,,此时函数在处取得极小值,亦即最小值,即,综上所述,;由(1)知,当时,函数在区间上单调递增,即函数在区间上单调递增,故,故有,因此不等式在上恒成立,故原不等式得证,即对任意,.。

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§数学归纳法1.数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:(1)验证:n=n0 时,命题成立;(2)在假设当n=k(k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立.2.归纳推理与数学归纳法的关系数学上,在归纳出结论后,还需给出严格证明.在学习和使用数学归纳法时,需要特别注意:(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题;(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.1.用数学归纳法证明命题的第一步时,是验证使命题成立的最小正整数n,注意n不一定是1.2.当证明从k到k+1时,所证明的式子不一定只增加一项;其次,在证明命题对n=k+1成立时,必须运用命题对n=k成立的归纳假设.步骤二中,在由k到k+1的递推过程中,突出两个“凑”:一“凑”假设,二“凑”结论.关键是明确n=k+1时证明的目标,充分考虑由n=k到n=k+1时命题形式之间的区别与联系,若实在凑不出结论,特别是不等式的证明,还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n=k+1时命题也成立,这也是证题的常用方法.3.用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成,缺一不可.尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决,但题目若要求用数学归纳法证明,则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行,否则不正确.4.要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式,和由特殊到一般的数学思想的应用,加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力.5.数学归纳法与归纳推理不同.(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个都有这种属性.结果不一定正确,需要进行严格的证明.(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法,结果一定正确.6.在学习和使用数学归纳法时,需要特别注意:(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题,要求这个命题对所有的正整数n 都成立;(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题.证明:12+122+123+…+12n -1+12n =1-12n (其中n ∈N +). [证明] (1)当n =1时,左边=12,右边=1-12=12,等式成立. (2)假设当n =k (k ≥1)时,等式成立,即12+122+123+…+12k -1+12k =1-12k , 那么当n =k +1时,左边=12+122+123+…+12k -1+12k +12k +1 =1-12k +12k +1=1-2-12k +1=1-12k +1=右边. 这就是说,当n =k +1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N +都成立.用数学归纳法证明:1-12+13-14+…+12n -1-12n=1n +1+1n +2+ (12). [证明] ①当n =1时,左边=1-12=12=11+1=右边, ∴当n =1时,等式成立.②假设n =k 时等式成立,即1-12+13-14+...+12k -1-12k =1k +1+1k +2+ (12). 则当n =k +1时,左边=1-12+13-14+…+12k -1-12k +12k +1-12k +2=(1k +1+1k +2+…+12k )+12k +1-12k +2=(1k +2+…+12k +12k +1)+(1k +1-12k +2) =1k +2+…+12k +12k +1+12k +2=右边. ∴n =k +1时等式成立.由①②知等式对任意n ∈N +都成立.[点评] 在利用归纳假设论证n =k +1等式成立时,注意分析n =k 与n =k +1的两个等式的差别.n =k +1时,等式左边增加两项,右边增加一项,而且右式的首项由1k +1变到1k +2.因此在证明中,右式中的1k +1应与-12k +2合并,才能得到所证式.因此,在论证之前,把n =k +1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的.证明不等式用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n ,不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13⎝ ⎛⎭⎪⎫1+15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12k -1>2n +12成立. [证明] ①当n =2时,左=1+13=43,右=52,左>右, ∴不等式成立.②假设n =k (k ≥2且k ∈N *)时,不等式成立,即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+15…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+12k -1>2k +12, 那么当n =k +1时,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+15…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+12k -1[1+12k +1-1]>2k +12·2k +22k +1 =2k +222k +1=4k 2+8k +422k +1>4k 2+8k +322k +1 =2k +3·2k +12·2k +1=2k +1+12, ∴n =k +1时,不等式也成立.∴对一切大于1的自然数n ,不等式成立.[点评] (1)本题证明n =k +1命题成立时,利用归纳假设并对照目标式进行了恰当的缩小来实现,也可以用上述归纳假设后,证明不等式k +12k +1>2k +1+12成立. (2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤: • 第①步p (n 0)成立是推理的基础; • 第②步由p (k )⇒p (k +1)是推理的依据(即n 0成立,则n 0+1成立,n 0+2成立,…,从而断定命题对所有的自然数均成立).• 另一方面,第①步中,验证n =n 0中的n 0未必是1,根据题目要求,有时可为2,3等;第②步中,证明n =k +1时命题也成立的过程中,要作适当的变形,设法用上上述归纳假设 .(2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明:1+122+132+…+1n 2<2-1n(n ≥2). [分析] 按照数学归纳法的步骤证明,由n =k 到n =k +1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.[证明] 1°当n =2时,1+122=54<2-12=32,命题成立. 2°假设n =k 时命题成立,即1+122+132+…+1k 2<2-1k当n =k +1时,1+122+132+ (1)2+1k +12< 2-1k +1k +12<2-1k +1k k +1=2-1k +1k -1k +1 =2-1k +1命题成立. 由1°、2°知原不等式在n ≥2时均成立.证明整除问题用数学归纳法证明下列问题:(1)求证:3×52n+1+23n+1是17的倍数;(2)证明:(3n+1)·7n-1能被9整除.[分析] (2)先考察:f(k+1)-f(k)=18k·7k+27·7k,因此,当n=k+1时,(3k+4)7k+1=(21k+28)·7k-1=[(3k+1)·7k-1]+18k·7k+27·7k.[证明] (1)当n=1时,3×53+24=391=17×23是17的倍数.假设3×52k+1+23k+1=17m(m是整数),则3×52(k+1)+1+23(k+1)+1=3×52k+1+2+23k+1+3=3×52k+1×25+23k+1×8=(3×52k+1+23k+1)×8+17×3×52k+1=8×17m+3×17×52k+1=17(8m+3×52k+1),∵m、k都是整数,∴17(8m+3×52k+1)能被17整除,即n=k+1时,3×52n+1+23n+1是17的倍数.(2)令f(n)=(3n+1)·7n-1①f(1)=4×7-1=27能被9整除.②假设f(k)能被9整除(k∈N*),∵f(k+1)-f(k)=(3k+4)·7k+1-(3k+1)·7k=7k·(18k+27)=9×7k(2k+3)能被9整除,∴f(k+1)能被9整除.由①②可知,对任意正整数n,f(n)都能被9整除.[点评] 用数学归纳法证明整除问题,当n=k+1时,应先构造出归纳假设的条件,再进行插项、补项等变形整理,即可得证.(2014·南京一模)已知数列{a n}满足a1=0,a2=1,当n∈N+时,a n+2=a n+1+a n.求证:数列{a n}的第4m+1项(m∈N+)能被3整除.[证明](1)当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即当m=1时,第4m+1项能被3整除.故命题成立.(2)假设当m=k时,a4k+1能被3整除,则当m=k+1时,a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.显然,3a4k+2能被3整除,又由假设知a4k+1能被3整除.∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除.即当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.由(1)和(2)知,对于n∈N+,数列{a n}中的第4m+1项能被3整除.几何问题平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点.求证:这n个圆把平面分成n2-n+2个部分.[分析] 用数学归纳法证明几何问题,主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时,分点增加了多少,区域增加了几块.本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧,而每一条弧把它所在的部分分成了两部分,此时共增加了2k个部分,问题就容易得到解决.[解析] ①当n=1时,一个圆把平面分成两部分,12-1+2=2,命题成立.②假设当n =k 时命题成立(k ∈N *),k 个圆把平面分成k 2-k +2个部分.当n =k +1时,这k +1个圆中的k 个圆把平面分成k 2-k +2个部分,第k +1个圆被前k 个圆分成2k 条弧,每条弧把它所在部分分成了两个部分,这时共增加了2k 个部分,即k +1个圆把平面分成( k 2-k +2)+2k =(k +1)2-(k +1)+2个部分,即命题也成立.由①、②可知,对任意n ∈N *命题都成立.[点评] 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚,一定要讲清从n =k 到n =k +1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步时,常用的方法是加一法.即在原来k 的基础上,再增加1个,也可以从k +1个中分出1个来,剩下的k 个利用假设.[分析] 找到从n =k 到n =k +1增加的交点的个数是解决本题的关键.[证明] (1)当n =2时,两条直线的交点只有一个.又f (2)=12×2×(2-1)=1, ∴当n =2时,命题成立.(2)假设n =k (k ≥2)时,命题成立,即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )=12k (k -1), 那么,当n =k +1时,任取一条直线l ,除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )=12k (k -1), l 与其他k 条直线交点个数为k .从而k +1条直线共有f (k )+k 个交点,即f (k +1)=f (k )+k =12k (k -1)+k =12k (k -1+2)=12k (k +1)=12(k +1)[(k 平面内有n (n ∈N +,n ≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f (n )=n (n -1)2.+1)-1],∴当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,对n∈N+(n≥2)命题都成立.[点评]关于几何题的证明,应分清k到k+1的变化情况,建立k的递推关系.探索延拓创新归纳—猜想—证明(2014·湖南常德4月,19)设a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,a n+1=f(a n),n∈N+.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{a n}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.[解析] (1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想a n=an-1+a(n∈N+).(2)证明:(ⅰ)易知,n=1时,猜想正确.(ⅱ)假设n=k时猜想正确,即a k=ak-1+a,则a k+1=f(a k)=a·a ka+a k=a·ak-1+aa+ak-1+a=ak-1+a+1=a [k +1-1]+a . 这说明,n =k +1时猜想正确.由(ⅰ)(ⅱ)知,对于任何n ∈N +,都有a n =an -1+a已知数列{x n }满足x 1=12,x n +1=11+x n,n ∈N +. (1)猜想数列{x 2n }的单调性,并证明你的结论;(2)证明:|x n +1-x n |≤16 ⎝ ⎛⎭⎪⎫25n -1. [解析] (1) 解: 由x 1=12及x n +1=11+x n ,得x 2=23,x 4=58,x 6=1321. 由x 2>x 4>x 6,猜想数列{x 2n }是单调递减数列. 下面用数学归纳法证明:①当n =1时,已证明x 2>x 4,命题成立.②假设当n =k 时,命题成立,即x 2k >x 2k +2.易知x n >0,那么,当n =k +1时, x 2k +2-x 2k +4=11+x 2k +1-11+x 2k +3=x 2k +3-x 2k +11+x 2k +11+x 2k +3=x 2k -x 2k +21+x 2k 1+x 2k +11+x 2k +21+x 2k +3>0, 即x 2(k +1)>x 2(k +1)+2.也就是说,当n =k +1时命题也成立. 综合①和②知,命题成立.(2)证明:当n =1时,|x n +1-x n |=|x 2-x 1|=16,结论成立. 当n ≥2时,易知0<x n -1<1.∴1+x n -1<2,x n =11+x n -1>12.∴(1+x n )(1+x n -1)=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+11+x n -1(1+x n -1)=2+x n -1≥52. ∴|x n +1-x n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11+x n -11+x n -1=|x n -x n -1|1+x n1+x n -1≤25|x n -x n -1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252|x n -1-x n -2|≤…≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25n -1|x 2-x 1|=16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25n -1.易错辨误警示判断2+4+…+2n =n 2+n +1对大于0的自然数n 是否都成立?若成立请给出证明.[误解] 假设n =k 时,结论成立,即2+4+…+2k =k 2+k +1,那2+4+…+2k +2(k +1)=k 2+k +1+2(k +1)=(k +1)2+(k +1)+1. 即当n =k +1时,等式也成立.因此,对大于0的自然数n,2+4+…+2n =n 2+n +1都成立. [误解] 假设n =k 时,结论成立,即2+4+…+2k =k 2+k +1,那2+4+…+2k +2(k +1)=k 2+k +1+2(k +1)=(k +1)2+(k +1)+1. 即当n =k +1时,等式也成立.因此,对大于0的自然数n,2+4+…+2n =n 2+n +1都成立. • [正解] 不成立.当n =1时,左边=2,右边=12+1+1=3,左边≠右边,所以不成立.[点评] 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的.特别是步骤(1),往往十分简单,但却是不可忽视的步骤.本题中,虽然已经证明了:如果n =k 时等式成立,那么n =k +1时等式也成立.但是如果仅根据这一步就得出等式对任何n ∈N +都成立的结论,那就错了.事实上,当n =1时,上式左边=2,右边=12+1+1=3,左边≠右边.而且等式对任何n 都不成立.这说明如果缺少步骤(1)这个基础,步骤(2)就没有意义了.用数学归纳法证明12×4+14×6+16×8+…+12n 2n +2=n4n +1(n ∈N +).[误解] (1) 略.(2) 假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时等式成立,那么当n =k +1时,直接使用裂项相减法求得12×4+14×6+16×8+…+12k 2k +2+12k +22k +4=12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12-14+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14-16+…+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k -12k +2+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k +2-12k +4 =12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12-12k +4=k +14[k +1+1],即n =k +1时命题成立. [正解] (1)当n =1时,左边=12×4=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时, 12×4+14×6+16×8+…+12k 2k +2=k 4k +1成立.那么当n =k +1时,12×4+14×6+16×8+…+12k 2k +2+12k +22k +4=k 4k +1+14k +1k +2=k k +2+14k +1k +2=k +124k +1k +2=k +14k +2=k +14[k +1+1].所以当n =k +1时,等式成立. 由(1)(2)可得对一切n ∈N +等式都成立.[点评] 这里没有用归纳假设,是典型的套用数学归纳法的一种伪证.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n >n +12(n ∈N +).[误解] (1)当n =1时,左边=1+12=32,右边=1+12=1.显然左边>右边,即n =1时命题成立.(2)假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时命题成立,即1+12+13+…+12k >k +12.[正解] (1)略.(2)假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时不等式成立,即1+12+13+…+12k >k +12,则当n =k +1时,1+12+13+…+12k +12k +1+12k +2+…+12k +1>k +12+12k +1+12k +2+…+12k +1>k +12+12k +1+12k +1+…+12k +1 =k +12+2k 2k +1=k +12+12=k +1+12,即n =k +1时不等式也成立.由(1)(2)可得对一切n ∈N +不等式都成立. [点评] 从n =k 到n =k +1时,增加的不止一项,应为12k +1+12k +2+…+12k +2k,共有2k 项,并且k +12+12k +1>k +12+12也是错误的.。

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