高阶导数

教育学家认为：在一天中学习1000-1200个单词， 教育学家认为：在一天中学习1000-1200个单词， 1000 个单词 比学习500个单词记住的更多。实践中知道， 500个单词记住的更多 比学习500个单词记住的更多。实践中知道，一天内 学习几百个单词并记住其中的绝大部分，是完全可以的。 学习几百个单词并记住其中的绝大部分，是完全可以的。 波士顿的教育学教授莱恩· 波士顿的教育学教授莱恩·道瑞特在他的研究报告中 作了对比： 作了对比： 三组美国士兵， 12周内用标准教育学方法学习德语 周内用标准教育学方法学习德语， 三组美国士兵，在12周内用标准教育学方法学习德语， 60天 360小时 小时） （60天，360小时） 另一组士兵，用快速学习法学习同样的内容，（18天 ，（18 另一组士兵，用快速学习法学习同样的内容，（18天， 108小时 小时） 108小时） 结果是：标准组29%达到要求的理解水平； 29%达到要求的理解水平 结果是：标准组29%达到要求的理解水平；快速组 64%达到同样的阅读水平 73%达到同样的口语水平 达到同样的阅读水平， 达到同样的口语水平， 64%达到同样的阅读水平，73%达到同样的口语水平，就 是说：三分之一的时间， 倍的水平。 是说：三分之一的时间，达到超出 1-2倍的水平。
x = xo
x = xo
三阶
y ′′′ x = x
f ′′′( x ) f ′′′( x 0 )
o
d3y dx 3 dny dx n
x = xo
L
n阶 阶
L
L
x = xo
L
f (n) (x)
L
f (n) (x0 )
（ （ y n） y n ）
dny dx n
L
L
x = xo
4
4.求高阶导数举例： 求高阶导数举例： 例1： 解： 例2: 解： 例3 解
1
第五节 高阶导数
(e ) = e ( ) (a ) = a (ln a)
x
(n)
n
x
x
x
n
高阶导数的概念
常 用 的 n 阶 公 式
(sin x)
( n)
π = sin x + n ⋅ . 2
π = cos x + n ⋅ . 2
(n)
n−1
(cos x)
( n)
(n − 1)! . [ln(1 + x)] = (−1) n (1 + x)
( n −1 ) ′ n(n − 1) (n − 2 ) ′′ v + nu v + u v +L
例9
y = x 2 e 2 x , 求y
u' = 2e
n(n − 1)(n − 2 )L (n − k + 1) (n −k ) (k ) + u v + L + uv (n ) . k! (20 )
2!
( k +1)
[
x
( )
]
′
= x + ( k + 1 )） e x （ ∴ 结论成立
13
3
y型 型
f(x)型 型
dy 型 dx
dy dx
dy dx
d2y dx 2
导函数 x0点导数 导函数 x0点导数 导函数 x0点导数 一阶
y′
y′ x= x
f '( x)
o
f ' ( x0 )
二阶
y ′′
y ′′′
y ′′ x = x
f ′′( x )
o
d2y f ′′( x 0 ) 2 dx d3y dx 3
(uv)(n) = u(n)v + nu(n−1)v′ + n(n −1) u(n−2)v′′ +L
LLLLLLL ,
2! n(n −1)(n − 2)L(n − k + 1) (n−k ) ( k ) + u v +L+ uv( n) . k!
10
自己证）。 莱布尼兹公式可用数学 归纳法给出证明 (自己证）。
(n ) (n −1 ) ′ n(n − 1) ( n− 2 ) ′′ v + nu v + u v +L
(uv )
(n )
=u
+
2!
n(n − 1)(n − 2 )L (n − k + 1) (n− k ) (k ) u v + L + uv (n ) . k!
11
(uv )
(n )
=u
(n )
(u ± v )( n) = u ( n) ± v ( n)
u 乘积函数 ( x) ⋅ v( x)的n阶导数公式− − ( 莱布尼茨 Leibniz )公式
(uv )′ = u′v + uv ′ , ″ ′v + uv ′ )′ = u′′v + 2u′v ′ + uv ′′ , (uv ) = (u (uv ) ′′′ = (u′′v + 2u′v ′ + uv ′′)′ = u′′′v + 3u′′v' +3u′v ′′ + uv ′′′ ,
.
解： 设 u = e 2 x , v = x 2 ,
2x
,
( ) u" = 2 2 e 2 x , L , u k = 2 k e 2 x
(k = 1,2 ,L ,20 ),
v′ = 2 x ,
(20 )
v ′′ = 2, v"' = 0 , L , v (k ) = 0
2 2 x ( 20 )
(k = 3 ,4 ,L ,20 ),
y = ax ,
L,
y (n ) = a n e ax .
y′ = a x ln a , y′′ = a x (ln a )2 , L , y (n ) = a x (ln a )n .
5
例4 解：
求 n次多项式 y = a0 x n + a1 x n −1 + L + a n −1 x + a n的 n阶导数 .
代入莱布尼兹公式 , 得
y = x e
(
)
=2 e
20 2 x
⋅x
2
= 2 20 e 2 x x 2 + 20 x + 95 .
12
(
+ 20 ⋅ 219 e 2 x ⋅ 2 x + 20 ⋅ 19 218 e 2 x ⋅ 2 2!
)
补充例题： y = xe x , 补充例题：
′ ′ = ( xe x ) ′ = x ′e x + x e x = ( x + 1 )e x 解： y x ′ y ′′ = ( x + 1 )e = ( x + 2 )e x
y
(4 )
=−
(1 + x )
1⋅ 2 ⋅ 3
4
,
LL , y
(n )
(n − 1)! . = (− 1) n (1 + x )
n −1
7
例7 解:
求 f (x ) =
x + 1的 n 阶导数 .
1 1 − f ′( x ) = ( x + 1 ) 2 , 2
3 1 1 − f ′′ ( x ) = − ⋅ ( x + 1 ) 2 , 2 2
n−1
(
= (− 1 )
2 (2 n − 3 )!! ( x + 1)− 2 n2− 1 . 2n
) ( x + 1)− 2n2−1 .
8
例8
求 y = x µ (µ 为任意常数
y′′ = µ (µ − 1)x µ −2 ,
y′′′ = µ (µ − 1)(µ − 2 )x µ − 3 ,
) 的 n 阶导数
y ′ = na 0 x n −1 + (n − 1 )a 1 x n − 2 + L + 2 a n − 2 x + a n −1 ,
y′′ = n(n − 1)a0 x n−2 + (n − 1)(n − 2 )a1 x n− 3 + L + 3 ⋅ 2a n− 3 x + 2a n− 2 ,
例5 求 y = sin x 的 n 阶导数 . 解： y = sin x ,
5 1 1 3 − f ′′′( x ) = + ⋅ ⋅ ( x + 1) 2 , 2 2 2
f
(4 )
7 1 1 3ห้องสมุดไป่ตู้5 − ( x ) = − ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 1) 2 , 2 2 2 2
LLLLLLL ,
f
(n )
( x ) = (− 1)
n −1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 L 2n − 3 n
6
LLLLLLLL ,
(n )
即
π y = sin x + n ⋅ . 2 π ( n) (sin x) = sin x + n ⋅ . 2
( n)
同样可求得
(cos x)
π = cos x + n ⋅ . 2
例6 求y = ln(1 + x )的n阶导数. 1⋅2 1 1 y ′′′ = , , , y ′′ = − 解 y = ln (1 + x ), y′ = 3 2 (1 + x ) 1+ x (1 + x )
面形式： 莱布尼兹公式可写成下 面形式：
(uv)
(n)
k = Σ Cn u(n−k )v(k ) k =0
n
记忆方法： 记忆方法： 二项式定理
(u + v )n = u nv 0 + nu n−1v 1 + n(n − 1) u n−2v 2 + L
2! n(n − 1)(n − 2 )L (n − k + 1) n− k k + u v + L + u0v n . k!
莱布尼兹公式
(uv)
(n)
= ΣC u
k =0 k n
n
(n−k ) (k )
v
2
第五节 高阶导数
1.概念: 概念: 的函数， 定义: 定义 若函数 y = f ( x ) 的导数 y' = f ' ( x ) 仍是 x 的函数， 二阶导数。 就把 y' = f ' ( x) 的导数叫做函数 y = f ( x )的二阶导数。 一般的: 一般的: 阶导数的导数， 阶导数. 函数 y = f ( x )的 n − 1 阶导数的导数，叫做 n阶导数 2.注意： 注意： 高阶导数所要研究的问题，并不是“接连多次求导” 高阶导数所要研究的问题，并不是“接连多次求导”这么简单 实际上，所谓高阶导数的问题， 推出给定求导阶数， 实际上，所谓高阶导数的问题，是 “推出给定求导阶数，能直接 写出这阶导数的公式“。或称”高阶导数通式“ 写出这阶导数的公式“ 或称”高阶导数通式“ 3.高阶导数的符号: 高阶导数的符号: 在不同情况下，以方便和不容易引起误解为原则， 在不同情况下，以方便和不容易引起误解为原则，可以采用 不同的符号。见下表： 不同的符号。见下表：
.
µ −1 解: y ′ = µ x ,
LLLLLL ,
y (n ) = µ (µ − 1)(µ − 2 )L (µ − n + 1)x µ − n ,
当 µ = n 时，
(x )
n
(n )
= n(n − 1)(n − 2 )L 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
9
和，积的高阶导数： 积的高阶导数： 阶导数的定义， 由n阶导数的定义，不难得到 阶导数的定义
求y ( n )
[
]
( )
( n) x 由此估计： 由此估计：y = ( x + n)e
用数学归纳法证明如下： 用数学归纳法证明如下：
y' = ( x + 1)e x n=1时,显然， 显然， 时 显然
设 n = k 时 y ( k ) = ( x + k )e x 则 n = k +1时 y = ( x + k )e x x ′ = ( x + k )' e + ( x + k ) e
y = ax + b , 求 y ′′ .
y′ = a ,
y′′ = 0.
s = sin ω t , 求 s ′′ .
s ′ = ω cos ω t ,
s ′′ = − ω 2 sin ω t .
求 y = e ax 、 y = a x的 n 阶导数 .
y = e ax , y′ = ae ax , y′′ = a 2 e ax ,
y (n ) = n! a 0 .
LLLLLLLLL ,
π y ′ = cos x = sin x + , 2 π π π π y ′′ = cos x + = sin x + + = sin x + 2 ⋅ , 2 2 2 2 π π ′′′ = cos x + 2 ⋅ = sin x + 3 ⋅ , y 2 2