函数导学案教师版

．§2.1 函数及其表示

1． (2011·浙江)设函数f (x )＝

4

1－x

，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 答案 －1

解析 ∵f (x )＝41－x ，∴f (a )＝4

1－a ＝2，∴a ＝－1.

2． (课本改编题)给出四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④f (x )＝x 2

x 与g (x )＝x 是同一个函数．

其中正确命题的序号有________． 答案 ①②

解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数． 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；

对于④由于这两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数．

3． 函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个

值对应的y 值的范围是________．

答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 4． (2012·江西)下列函数中，与函数y ＝

13x

定义域相同的函数为 ( )

A ．y ＝1sin x

B ．y ＝ln x

x

C ．y ＝x e x

D ．y ＝sin x

x

答案 D 解析 函数y ＝

13

x

的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中

x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法

可知定义域为{x |x ≠0}，故选D. 5． (2012·福建)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1，x >0，0，x ＝0，

－1，x <0，

g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，x 为有理数，

0，x 为无理数，

则f (g (π))的值为 ( )

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．π 答案 B

解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.

题型一 函数的概念 例1 有以下判断：

(1)f (x )＝|x |

x 与g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；

(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；

(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．

思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 答案 (2)(3)

解析 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |

x

的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝

⎩

⎨

⎧

1 (x ≥0)

－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，

由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x ) 和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，

所以f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)．

探究提高 函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由

定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函 数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同， 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函

数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．

下列各组函数中，表示同一函数的是 ( )

A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2

B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2

C ．f (x )＝x 2－1

x －1

，g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A

解析 A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．

C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1， ∴两函数的定义域不同．

D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；

g (x )＝

x 2－1(x 2－1≥0)，

g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A. 题型二 求函数的解析式

【例2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫

2x ＋1＝lg x ，求f (x )；

(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式； (3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2

t －1，

∴f (t )＝lg

2t －1，即f (x )＝lg 2x －1

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