第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
一阶常系数线性差分方程
是得到方程组
Q
s
,t
Pt 1
(3)
Qd ,t Pt
(4)
Qd ,t Qs,t
(5)
16
Q
s
,t
Pt 1
(3)
Qd ,t Pt
(4)
Qd ,t Qs,t
(5)
其中 , , , 都是正的常数，若已知初始价格P0 ，求现 行价格 Pt ，并研究其变化规律.
5yt
5t 2
.
a 5 1 , 设特解 yt At B ，代入方程得
yt1
5
y
t
A(t
1)
B
5( At
B)
6At A 6B 5 t A 5 , B 5 ,
2
12
72
得特解为
yt
5 t 5 , 12 72
原方程通解为
20
练习：
P394 习题九
21
的通解.
解 设特解 yt At B ， 代入方程得
y t 1
yt
A(t
1)
B ( At
B)
A
3t
2,
没有这样的特解。
6
例2 求一阶常系数线性差分方程 yt1 yt 3t 2
的通解.
解 设特解 yt t( At B) At 2 Bt , 代入方程得
一阶常系数线性差分方程
1
一阶常系数线性差分方程标准形式为
yt1 ayt f (t)
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程的阶数一、引言差分方程是离散时间系统的重要数学模型，它可以描述许多实际问题，如物理、工程、经济等领域中的动态过程。
在差分方程中，阶数是一个重要的概念，它决定了方程解的形式和求解方法。
本文将从阶数的定义、求解方法和应用等方面进行详细介绍。
二、阶数的定义1. 一阶差分方程一阶差分方程是指未知函数只含有一次时间导数的差分方程，即形如：y(n+1) = f(n, y(n))其中n表示时间步长，y(n)表示未知函数在第n个时间步长处的取值，f(n, y(n))表示已知函数关系。
由于该方程只含有一次时间导数，因此称为一阶差分方程。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指未知函数含有二次时间导数的差分方程，即形如：y(n+2) = f(n, y(n), y'(n), y''(n))其中y'(n)和y''(n)分别表示未知函数在第n个时间步长处的一次和二次时间导数。
由于该方程含有二次时间导数，因此称为二阶差分方程。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指未知函数含有高次时间导数的差分方程，即形如：y(n+k) = f(n, y(n), y'(n), ..., y^(k-1)(n))其中k为正整数，y^(k-1)(n)表示未知函数在第n个时间步长处的(k-1)次时间导数。
由于该方程含有高次时间导数，因此称为高阶差分方程。
三、求解方法1. 一阶差分方程对于一阶差分方程y(n+1) = f(n, y(n))，可以采用欧拉公式或泰勒公式进行逼近求解。
具体来说，可以将y(n+1)和y(n)在第n个时间步长处展开成泰勒级数：y(n+1) = y(n) + h*y'(n) + O(h^2)其中h表示时间步长。
将上式代入一阶差分方程中得到：y(n+1) = y(n) + h*f(n, y(n)) + O(h^2)将O(h^2)忽略不计，则得到欧拉逼近公式：y(n+1) ≈ y(n) + h*f(n, y(n))该公式可以用于迭代求解一阶差分方程的近似解。
差分方程
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an1(t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
为齐次方程的通解，
yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
1 3 yt 3( )t 在初始条件 2 2
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法PPT课件
y 1 ex C . xx
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例2-6 求一阶线性微分方程 y 2xy 2x 满足初始条件 y |x0 0
的特解。
解
y 2xy 2x,
dy 2xydx 2xdx,
dy yd( x2 ) d(x2 )；
ex2dy ex2 yd(x2 ) ex2d(x2 )；
Q( x)dx
;
x
u
x
u
d ( yea P(t )dt ) d (
x
e a
P ( t )dt
Q(u)du)
;
d ( yea P(t )dt
x
e a
P (t )dt
Q(u)du)
0
;
a
a
故方程的通解为
x
u
yea P(t )dt
x
e a
P
(t
)dt
Q(u)du
C
.
a
x
u
y
e a
P ( t )dt
x)
0,
d( y ) 0;
cos x
故方程的通解为 y C
cos x
即 y x cos x C cos x.
即
y C cos x.
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**例2-8 求一阶线性微分方程 y P( x) y Q( x) 的通解，其中P，Q 都是
x 的连续函数。
解
y P( x) y Q( x) , dy p( x) ydx Q( x)dx ,
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
若 f (x)dx g( y)dy,
则 d
差分方程基础知识
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程是描述离散时间系统动力学行为的数学模型。
它是微分方程的离散形式，通过差分算子来逼近微分算子。
差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。
1. 一阶差分方程一阶差分方程是指方程中最高阶差分项为一阶差分项的差分方程。
一阶差分方程的一般形式为：y[n+1] = f(y[n])，其中y[n]表示第n 个时刻的状态值，y[n+1]表示下一个时刻的状态值，f是关于y[n]的函数。
一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指方程中最高阶差分项为二阶差分项的差分方程。
二阶差分方程的一般形式为：y[n+2] = f(y[n], y[n+1])，其中y[n]和y[n+1]分别表示第n个时刻和第n+1个时刻的状态值，y[n+2]表示下两个时刻的状态值，f是关于y[n]和y[n+1]的函数。
二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指方程中最高阶差分项为高于二阶的差分项的差分方程。
高阶差分方程的一般形式为：y[n+k] = f(y[n], y[n+1], ...,y[n+k-1])，其中y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]分别表示第n个时刻、第n+1个时刻、...、第n+k-1个时刻的状态值，y[n+k]表示下k个时刻的状态值，f是关于y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]的函数。
高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。
差分方程的阶数决定了系统动力学的复杂性。
一阶差分方程描述了简单的状态转移，而高阶差分方程可以描述更复杂的状态转移规律。
通过研究差分方程的阶数，可以深入理解系统的动力学行为，为系统的建模和分析提供有力的工具。
差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。
一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态，二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态，高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。
一阶常系数线性差分方程.ppt
(10 13) (10 14)
方程 (10 14) 变形后改写为
yn1 ayn , n 0, 1, 2, 这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13) 为
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程, 有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数. 若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
y(n) (a)n1 f (0) (a)n2 f (1) (a) f (n 2)
f (n 1)
n1
(a)i f (n i 1)
3 4
2n
由
y0
4,
差分方程特解公式总结
差分方程特解公式总结差分方程是一种离散的数学模型，可以用于描述离散时间下的动态系统。
在求解差分方程的过程中，特解是其中一种重要的解法。
本文将总结差分方程特解的公式，并对其应用进行讨论。
一、一阶线性差分方程特解公式一阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+1} = ay_n + b$，其中$a$和$b$为常数。
对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。
特解公式为：$y_n = \frac{b}{1-a}$，其中$n$为自变量的取值。
这个公式的推导思路是将差分方程中的$y_{n+1}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。
这样得到的特解能够满足差分方程的要求。
二、二阶线性差分方程特解公式二阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n + c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。
对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。
特解公式为：$y_n = \frac{c}{1-a-b}$，其中$n$为自变量的取值。
特解公式的推导过程类似于一阶线性差分方程的推导过程。
我们将差分方程中的$y_{n+2}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。
这样得到的特解能够满足差分方程的要求。
三、一般线性差分方程特解公式对于一般的线性差分方程，特解公式的形式会更加复杂。
我们可以通过猜测特解的形式，并将其代入差分方程中，然后求解出特解。
常见的特解形式包括常数特解、多项式特解、指数特解、三角函数特解等。
选择特解的形式时需要根据差分方程的具体形式和边界条件进行判断。
四、差分方程特解的应用差分方程特解的求解在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，差分方程可以用于描述经济系统的动态变化过程。
通过求解差分方程的特解，可以预测未来的经济发展趋势。
差分方程特解还可以用于模拟物理系统的运动过程、优化控制问题的求解等。
通过建立差分方程模型并求解特解，可以得到系统的稳定性分析和优化策略。
总结：差分方程特解公式是求解差分方程的一种重要方法。
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
差分方程简介
它的通解是 y x Cx A （ A 是任何实常数）. ( 3) y x Pn1 ( x ) ( n 1次多项式) 通解 y x Pn ( x ) ( n次多项式 ）
４ ｎ y x ０
通解 y x是n 1次多项式.
二、一阶常系数线性差分方程
形如： y x 1 ay x f ( x ) 齐次方程： y x 1 ay x 0
y x ( x 2 ) ( x 1)2 x 2 2 x 1
2 y x 2 ( x 2 ) (2 x 1) 2( x 1) 1 ( 2 x 1) 2
3 y x ( 2 y x ) ( 2) 2 2 0
x n x( x 1)( x 2)( x n 1) , x 0 1
例2 设 求 x n
解： x n ( x 1)n x n
( x 1) x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1)( x n 1) [( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x n 2) nx n1
2. 差分方程 有某种商品 t 时期的供给量St与需求 一个例子： 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c, d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 St 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
（ 为常数），
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c )
这样的方程就是差分方程.
一阶常系数线性差分方程
微积分Calculus一阶常系数线性差分方程一一阶常系数线性差分方程概念1一般形式：1()x x y py f x +−=其中为不等于零的常数，为已知函数。
p ()f x ()f x 若不恒等于零，称以上方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。
()f x 若恒等于零，称以上方程为一阶常系数齐次线性差分方程。
齐次线性差分方程的解法1yx =pyx−1=p ∙py x−2=p ∙p ∙py x−3=⋯=p x y 010x x y py +−=一阶齐次线性差分方程：将上述方程变形为：则有：记得一阶齐次线性差分方程的通解：0C y =xx y Cp = （为任意常数）C 二一阶常系数线性差分方程的解法y x+1=py x求差分方程130x x y y ++=的通解。
因为，将其代入通解公式得：3p =−(3)x x y C =− （为任意常数）C 13x xy y +=−将原方程变形为：例解一阶非齐次线性差分方程：1()x x y py f x +−=下面介绍对的三种特殊形式求非齐次差分方程特解的方法。
()f x 非齐次线性差分方程的解法2（1）（为常数，）()f x k =k 0k ≠差分方程变为：1x xy py k +−= 设其特解形式为：s x y Ax *=（其中为待定常数）,A s1,p ≠①取即：0s =x y A*=1,p =②取即：1s =x y Ax*=x y A *=将代入差分方程求得A将代入差分方程求得Ax y Ax *=21716x x y y +++=求差分方程的通解.对应齐次差分方程：的通解为：217x x y y +++=0(7)xx y C =− （为任意常数）C p =−7≠1,设特解为y x ∗=A代入原方程得：2A =故原差分方程通解为：2(7)x x y C =+−（为任意常数）C 例解（2）（其中为常数，且）()xf x ka =k a ，0a >0a ≠非齐次差分方程变为：1x x x y py ka +−= 设特解形式为：x sx y Aa x*=①时，取即p a ≠0s =x x y Aa *=②p a =1s =x x y Axa *=时，取即求差分方程的通解11242x x x y y ++−=原方程化简为122xx x y y +−=对应齐次差分方程通解为2xx y C = （为任意常数）C 2p a ==由于，所以原方程得特解形式为：2xx y Ax =代入原方程得：1(1)2222x x xA x Ax ++−=12A =例解原方程特解为：11222x x x y x x *−==所以原方程通解为：12(2)x x x y x C −=+（为任意常数）C。
《高等数学》(经管类)教学大纲
《高等数学》（经管类）教学大纲大纲说明课程代码：4915001总学时：128学时(讲课128学时)总学分：8分课程类别：必修适用专业：经管类本科一年级学生预修要求：初等数学一、课程性质、目的、任务本课程是本科经管类各专业的一门公共基础课，教学内容主要有一元与多元微积分；级数；常微分方程初步。
本课程教学目的是使学生获得从事经济管理和经济研究所必需的微积分方面的知识；学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；培养抽象思维和逻辑推理的能力；树立辩证唯物主义的观点，同时，本课程也是后继经济应用数学（如概率统计等）的必要基础。
二、课程教学的基本要求：1、正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：函数、极限、无穷小、连续、导数、微分、不定积分、定积分、曲面的方程、偏导数、全微分、二重积分、常微分方程、无穷级数的收敛与发散性、边际、弹性。
2、正确理解下列基本定理和公式并能正确应用：极限的主要定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、定积分作为变上限的函数及其求导的定理、牛顿—莱布尼兹公式。
3、牢固掌握下列基本公式：基本初等函数的导数公式、基本积分公式、函数e x 、sinx 、cosx 、α)1(x +、ln(1+x)的幂级数展开式。
4、熟练运用下列法则和方法函数的和、差、积、商求导法则与复合函数的求导法则、隐函数的求导法、反函数的求导法、直接积分法、换元积分法、分部积分法、二重积分计算法、级数收敛性的比较判别法，达朗贝尔判别法、莱布尼兹判别法、幂级数收敛半径的求法、变量可分离的一阶微分方程的解法、一阶线性微方程的解法、二阶常系数线性微分方程的解法、拉格朗日乘数法、最小二乘法。
5、会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的经济问题。
6、在学习过程中，逐步培养熟练的运算能力，抽象的思维能力，逻辑推理能力、空间想象能力。
知识的获得与能力的培养是同一过程的两个侧面，知识是发展能力的内容，能力是掌握知识的条件，我们既努力获得新知识，同时也注意不断提高分析问题和解决问题的能力。
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
高等数学(第二版)下册课件：一阶常系数线性差分方程
且由前面差分性质有，当 是多项式时， ∗ 比 ∗ 这个
多项式的次数高出1次，故对式 + 1 + = .
有以下两种情况．
（1）当 + 1 ≠ 0，即 ≠ −1 时，右端是n次多项式，
∗ = = 0 + 1 + ⋯ + .
= − , = − + −1 ,
其中 , , , 均为正常数.假定在每一个时期中价格总是确
定在市场售清的水平上，求价格随时间变动的规律.
解：由于在每一个时期中价格总是确定在市场售清的水
水平上，即 = ，因此可得到
故 + −1
− = − + −1
⋯.
一般地， = − 0 ,
则差分方程的通解为
= − .
其中C为任意常数，这种求解一阶常系数齐次线性
差分方程的方法称为迭代法．
例9.8.1 求方程 5+1 − = 0 的通解．
解: 方程可以化为 +1
1
= 则由公式 = −
5
得方程的通解为
代入差分方程有
+ 1 0 + 1 + 1 − 0 + 1 = 2.
整理得
21 + 1 + 0 = 2.
即
1 = 1, 0 = −1.
则特解为
∗ = − 1 .
所求差分方程的通解为
∗ = + − 1 .
满足条件 0 = 1 的特解为
∗
其中系数 0 , 1 , ⋯ , 是待定系数，将 代入到差分方
程 + 1 + = 中，通过比较两端t的同次
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其根 1,2 a
a2 4b 2
称为特征根。
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
根据特征根的情况确定方程通解的形式
特征根
通
解
1 yx A11x A22x yx ( A1 A2 x)1x yx r x ( A1 cos x A2 sin x)
按 (2) 求解。
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第7章 微分方程与差分方程
于是，方程的特解为 Pt a c
bd
对应的齐次方程的通解为 A( d )t ，所求问题的
b
通解为
Pt
A( d )t b
ac bd
当 t 0 时，Pt P（0 初始价格），代人通解得
A
P0
ac bd
,
则满足初始条件的特解为
求价格随时间变化的规律。
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第7章 微分方程与差分方程
解 假设在每一时期中价格总是确定在
市场出清的水平上，即 St Dt ，因此得到
c dPt1 a bPt
bPt dPt1 a c
得差分方程
Pt
d b
Pt 1
a
b
c
由于 d 0,b 0
所以
d b
1，故方程是形如（2）的方程，
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
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第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
yx2 2 yx1 yx 2 yx
于是方程转化为 2 yx c
所以 yx cx ，
yx
1 cx(2) 2
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第7章 微分方程与差分方程
例6 求差分方程 yx2 yx1 2 yx 12 的
通解及 y0 0 , y1 0 时的特解
解 特征方程 2 2 0
k c , 2a
方程有特解
yx
cx 2a
当 1 a b 0 且 a 2 时，取 s 2 ，
即 y x kx2，代人方程得
k 1c, 2
方程有特解
yx
1 2
cx 2
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第7章 微分方程与差分方程
事实上，当 1 a b 0 ,a 2 时，方程
（6）的左端为
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第7章 微分方程与差分方程
由通解的定义知，yx AYx 是齐次方程的通解， 而 y x 是非齐次方程的一个特解，故 AYx y x是 非齐次方程的解，而且含有任意常数，因此是
非齐次方程（1）的通解。
非齐次方程 yx1 a yx f ( x)
通解
yx AYx y x ( A为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
二阶常系数线性差分方程的通解
=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解
1）二阶常系数线性齐次差分方程的通解
设 Yx x ( 0) 为一特解， 代人方程
（5）得
x2 a x1 b x 0
2 a b 0 称其为（5）的特征方程
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第7章 微分方程与差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法 1）齐次方程 yx1 a yx 0 (a为非零常数) 的解法
设 y0 已知，将 x 0,1 ,2 , 依次代人 yx1 a yx 中得 y1 ay0 , y2 ay1 a2 y0 , y3 ay2 a3 y0 , 一般地，yx a x y0 ( x 0,1,2, ) , 可以验证， yx ax y0 满足差分方程，因此是差分方程的解 这种解法称为迭代法。
齐次方程 的通解
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非齐次方 程的特解
第7章 微分方程与差分方程
首先求齐次方程 yx1 a yx 0 的通解 设 Yx x ( 0) 是此方程的一个特解， 代人方程中得 x1 a x 0 ( 0)
a 0 称为特征方程，其根 a 称为特征根，故 Yx a x 是此齐次方程的一个 特解，因此 yx Aa x ( A为任意常数) 是它的通解
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第7章 微分方程与差分方程
2）一般解法 若 y x是方程（1）的一个特解， 即
y x1 a y x f ( x)
它与方程（1）相减得
( yx1 y x1 ) a( yx y x ) 0
令 Yx yx1 y x1 ，即 Yx是对应齐次方程的解， 由前面知，AYx ( A为任意常数) 也是齐次方程的解
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第7章 微分方程与差分方程
因此猜想方程的解为
yx a x y0 c(1 a a2 a x1 )
当
a
1时，yx
ax
y0
1 ax c
1a
( x 0,1,2, )
(
y0
1
c
a
)a
x
1
c
a
当 a 1时，yx y0 c x ( x 0,1,2, ) 可以验证在这两种情况下 yx均为方程的解。
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第7章 微分方程与差分方程
例1 求差分方程 yx1 3 yx 2 的通解 解 由题意 a 3 1 ,c 2 , 代人 (2) 式得通解
yx A• 3x 1
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第7章 微分方程与差分方程
(2) f ( x) cbx (其中c,b 1 均为常数)
方程转化为 yx1 a yx cbx (3)
利用待定系数法 设方程具有形如 y x kxsbx 的特解
当 b a时，取 s 0，即 y x kbx，代人方程得
kbx1 akbx cbx
k c ba
于是
yx
cb x ba
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第7章 微分方程与差分方程
当 b a时，取 s 0，
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
例3 求差分方程 yx1 2 yx 3x2的通解 解 设 y x B0 B1x B2 x2 ，代人原方程
B0 B1( x 1) B2( x 1)2 2B0 2B1x 2B2 x2 3x2 (B0 B1 B2 ) (B1 2B2 )x B2 x2 3x2
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
Pt
( P0
a c )( d )t bd b
ac bd
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第7章 微分方程与差分方程
2. 二阶常系数线性差分方程 形如 yx2 a yx1 byx f ( x) (4)
(其中a,b 0 均为常数，f ( x) 是已知函数)
的差分方程称为二阶常系数线性差分方程。 当 f ( x) 0 时，方程（4）称为非齐次的； 当 f ( x) 0 时，方程 yx2 a yx1 byx 0 (5) 称其为方程（4）对应的齐次方程。
故 yx 2x(2) 2x 2( x(2) x(1) )
所以
yx
2( 1 3
x(3)
1 2
x(2) )
2 3
x( x
1)( x
2)
x( x
1)
2(x3 3x2 2x) x2 x 2 x3 x2 1 x
3
3
3
通解为
yx
2 3
x3
x2
1 3
x
A
( A为任意常数)
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比较系数得 B0 9 , B1 6 , B2 3 原方程的特解为 y x 9 6x 3x2 对应齐次方程的通解为 A • 2x，故原方程的通解
yx 9 6x 3x2 A • 2x ( A为任意常数)
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
例4 求差分方程 yx1 yx 2x2 的通解 解 方程转化为 yx 2x2 而 x2 x( x 1) x x(2) x
第7章 微分方程与差分方程
例5 在农业生产中，种植先于产出及产 品的出售一个适当的时期，t 时期该产品的价 格 Pt 决定着生产者在下一时期愿意在市场上 提供的产量 St1 ，Pt 还决定着本期该产品的需 求量 Dt，因此有
Dt a bPt , St c dPt1 (a,b,c,d均为正常数)
设方程（6）具有形式为 y x kxs的特解
当 1 a b 0 时，取 s 0 ，即 y x k ，代人
方程得 k c ,
1 a b
方程有特解
yx
1
c a
b
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 1 a b 0 且 a 2 时，取 s 1 ，
即 y x kx ，代人方程得
a
( A为任意常数) (2)
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1 时，取 s 1 ，将 y x kx 代人方程得 k c , 此时方程的特解为 y x cx，而当 a 1时， 对应的齐次方程的通解为 yx A ，故此方程的