博弈论第二章 (1)

上
1, 3
博弈方2
4
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二、重复剔除严格劣战略
如果消去的弱劣战略，不是严格劣战略，则消去顺序会影响 结果
解：1）博弈方Ⅱ的策略
“L”和“M”都是策略“R” 的弱劣策略(不是严格劣策 略)，消去策略“L”和“M” 后为：
L U S D
M
R
例：博弈G如下图：
博弈方Ⅱ L 2 ,8 08 ,8 0 ,8 M 1,6 0,6 1,5 R 1,8 0,8 0,9
10:39:53
5
10:39:53
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一、博弈的标准式表述

一、博弈的标准式表述
横行代表囚徒1的收益，在两面。

3、举例：囚徒困境（用双变量矩阵来描述） 双变量矩阵可由任意多的行和列组成，“双变量” 指的是在两个博弈方的博弈中，每一个单元格有两 个数字，分别表示两个参与者的收益。
子
足球
划线法分析夫妻之争
二、重复剔除严格劣战略
解：该博弈共有27种可能的策略组合，需要用三个标 准式来描述： 参与人2
A A B 参与人1 C 2， 0，1 2，0， 1 2， 0，1 B 2，0， 1 1，2，0 2， 0，1 C 2，0， 1 2，0， 1 0，1， 2 参与人1 C A B
二、重复剔除严格劣战略
参与人2 A 2 ， 0 ，1 1，2， 0 2 ， 0 ，1 B 1，2， 0 1，2，0 1 ， 2 ，0 C 2，0， 1 1 ，2 ， 0 0 ，1 ， 2
参与人3选A
参与人3选B
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二、重复剔除严格劣战略

三、纳什均衡
通过划线法找出的具有稳定性的策略组合，不管是否惟 一，都有一个共同的特性，即其中每个博弈方的策略都 是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策。 在两人博弈的情况下，就是“给定你的策略,我的策略 是我最好的策略；给定我的策略，你的策略也是你最好 的策略”。事实上，具有这种性质的策略组合，正是非 合作博弈理论中最重要的一个解概念，即博弈中的“纳 什均衡”（Nash Equilibrium）。

二、重复剔除严格劣战略
2、占优均衡分析的局限性
并非每个博弈方都有这种绝对偏好的上策，而且 常常是所有博弈方都没有上策，因为博弈方的最 优策略随其他博弈方的策略而变化正是博弈问题 的根本特征，是博弈关系相互依存性的主要表现 形式。 因此占优均衡不是普遍存在的。 例如斗鸡博弈，赛马博弈就没有占优均衡，因为 各个博弈方的任何策略都不是绝对最优的，每个 博弈方都没有绝对偏好的上策。所以，占优均衡 并不能解决所有的博弈问题，最多只是在分析少 数博弈时有效。
1, 0 0, 4
1, 3 0, 2
0, 1 2, 0
下
划线法分析囚徒困境
二、重复剔除严格劣战略

二、重复剔除严格劣战略
例3、猜硬币博弈
正面 盖 硬 币 方 正面 -1， 1 1， -1 猜硬币方 反面 1， -1 -1， 1


划线法是一种非常简便的博弈分析方法，由于它 以策略之间的相对优劣关系为基础，因此在分析 用收益矩阵表示的博弈问题时具有普遍适用性。 当然，这并不意味着每个用收益矩阵表示的博弈 都可以用划线法求出确定性的博弈结果。 事实上，许多博弈根本不存在确定性的结果，当 然也就无法用划线法找出这种结果。我们通过一 些例子来说明。
博弈方2 中 博弈方2 右 左
博 上 弈 方下 1
1, 0 0, 4
1, 3 0, 2
0, 1 2, 0
博 弈 上 方 下 1
左
中
博弈方2 博 左 中 弈 方 上 1, 0 1, 3 1 中

1, 0 0, 4
1, 3 0, 2
重复剔除严格劣策略也不能解决所有博弈的分析 问题。因为在许多博弈问题中，上述相对意义上 的严格劣策略往往不存在。如猜硬币、齐威王田 忌赛马、石头，剪子，布等赌胜博弈，没有任何 博弈方的任何策略是相对其他策略的严格劣策略。 此外，在策略数较多的博弈中，重复剔除严格劣 策略法只能消去其中的部分策略，不能消去的策 略组合并不惟一，因此仍然不能完全解决这些博 弈问题。
一、博弈的标准式表述
2、博弈的数学表述
用ui(s)=ui(s1,s2,
… ,sn) (i=1,2,…,n)表示博弈方i
在策略组合s=(s1,s2, … ,sn)的得益, ui是策略集 S1×S2×…×Sn上的多元函数。
定义：若一个N人博弈的策略空间为Si,得益函数为：
ui(s)=ui(s1,s2, … ,sn)(i=1,2,…,n),则该博弈表示为： G={N,S1,S2, … ,Sn；u1,u2,…,un} 。
（2）定义 一般地，如果在一个博弈中，不管其他博 弈方的策略如何变化，一个博弈方的某种 策略给他带来的得益，总是比另一种策略 给他带来的得益要小，那么我们称前一种 策略为相对于后一种策略的一个“严格劣 策略”。
二、重复剔除严格劣战略

二、重复剔除严格劣战略
(4)重复剔除严格劣策略法的缺陷

（3）、举例 为了说明重复剔除严格劣策略法与占优均衡 分析的区别，我们用一个例子来说明。首先 看下图中这个抽象掉现实问题内容的，两个 博弈方分别有三种和两种策略的不对称博弈 问题。
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第二章
完全信息静态博弈
§ § § §
第二章
完全信息静态博弈
完全信息静态博弈即各博弈方同时决策，且所 有博弈方对各方收益都了解的博弈。 囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜硬币、石头 剪子布、古诺产量决策都属于这种博弈。 完全信息静态博弈属于非合作博弈最基本的类 型。本章介绍完全信息静态博弈的一般分析方法、 纳什均衡概念、各种经典模型及其应用等。
反面
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二、重复剔除严格劣战略
例4、夫妻博弈
时装 妻 时装 2， 1 0， 0 丈 夫 足球 0，0 1， 3
二、重复剔除严格劣战略
此外，划线法还可以解决三人博弈问题,只是随着决 策者人数和策略的增多，用策略式表述越来越复杂 例 5 投票博弈 假定三个参与人1，2，3要在三个项目A,B,C中投票选 择一个。规则是同时投票且不允许弃权，得票数最多 的项目当选。如果得票数相同，即每个项目一票，则 项目A当选。再假设不同项目当选时，三个博弈方的 收益表示如下： u1 ( A ) u 2 ( B ) u 3 (C ) 2 u1 ( B ) u 2 (C ) u 3 ( A ) 1 u (C ) u ( A ) u ( B ) 0 2 3 1
L U 2 ,8
M 1,6
R 1,8
(重复提出弱劣策略会把纳什均衡剔除掉， 保留下来的也未必是纳什均衡)
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二、重复剔除严格劣战略
（2）举例
例1
左 博 弈 方 1 上 博弈方2 中 右
二、重复剔除严格劣战略
例2
坦 白 囚 坦 白 徒 1 不坦白 -5， -5 -8， 0 囚徒2 不坦白 0， -8 -1， -1
参与人2 A A B 参与人1 C 0， 1，2 0， 1，2 0，1， 2 2， 0，1 2，0， 1 B 2，0， 1 1，2，0 C 0，1， 2 0，1， 2

参与人3选C
纳什——一个孤独的天才

三、纳什均衡
1、 纳什均衡的定义

纳什1928年出生在美国西弗吉尼亚州 ，他21 岁就获得普林斯顿大学博士学位，不到30岁 已经闻名遐迩。 1950年，纳什发表了他的“非合作博弈”博 士论文，引入了著名的“纳什均衡”理论， 不但奠定了博弈论的数学基础，而且在后来 得到了商业策略家的广泛应用。 纳什30岁时得了妄想型精神分裂症，被精神 分裂症困扰了30多年 。 1994年获得诺贝尔经济学奖。 2001年获得奥斯卡金像奖的电影《美丽心灵》 讲述的就是纳什的故事。
1、博弈的标准式和纳什均衡 2、应用举例 3、混合策略和纳什均衡的存在性 4、二人零和博弈
§ 1、博弈的标准式和纳什均衡
一、博弈的标准式表述
一、博弈的标准式表述
1、标准式的三要素 (1) 参与人(或称为博弈方） (2) 每个参与人可选择的战略集 (3) 收益：针对所有参与人可选择的战略组合，每一 个参与人获得的收益
二、重复剔除严格劣战略
三、纳什均衡
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一、博弈的标准式表述
2、博弈的数学表述
假设一个博弈有n个博弈方，博弈方i的策略集(又称策略空间) 为 Si(i=1,2,…,n) ，用 sij∈ Si 表示博弈方 i 的第 j 个策略； 若si∈Si(i=1,2,…,n),称s=(s1,s2, … ,sn)为一个策略组合； 若用 s-i = (s1,s2, … ,si-1, si+1, … ,sn),则 s = (si,s-i)。
囚徒2 坦 白 囚 坦 白 徒 1 不坦白 -5， -5 -8， 0 不坦白 0， -8 -1， -1
3、举例（2）：斗鸡博弈
进 A 进 退
-3，-3 0， 2
B
退
2， 0 0， 0
独木桥
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一、博弈的标准式表述
3、举例（3）：齐王田忌赛马
上中下 上中下 上下中 齐 王 中上下 中下上 下上中 下中上 3，-3 1，-1 1，-1 -1,1 1，-1 1，-1 上下中 1，-1 3，-3 -1,1 1，-1 1，-1 1，-1 田忌 中上下 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 -1,1 中下上 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3 -1,1 1，-1 下上中 -1, 1 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 下中上 1，-1 -1, 1 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3